Transformación Bidimensional entre PSAD56 e ITRF08 usando métodos de Helmert y Molodensky María José Zambrano Carrera de Ingeniería Geográfica y Medio Ambiente Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Ricardo Romero Grupo de Investigación en Tecnologías Espaciales Gestión Investigación y Desarrollo Instituto Geográfico Militar Alfonso Tierra Grupo de Investigación en Tecnologías Espaciales Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE
GENERALIDADES.
INTRODUCCIÓN El proceso de conversión de un sistema de coordenadas a otro, llamado transformación de coordenadas, requiere que los mismos puntos tengan sus coordenadas conocidas en ambos sistemas, el arbitrario (local) y el sistema final (global) de coordenadas. Para este trabajo se utilizó la transformación bidimensional, para coordenadas planas (Este-Norte). Los métodos que se aplicaron para la transformación bidimensional fue la transformación de Helmert y Molodensky Badekas. Puntos homólogos PSAD56 - ITRF Transformación Coordenadas Métodos Helmert Molodensky Transformación bidimensional Compatibilizar y actualizar Finalidad
PROBLEMÁTICA A RESOLVER Cartografía incompatible Escala de representación Precisión de la red clásica
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS M. Helmert M. Molodensky Transformación Similaridad Figura1. Transformación de Sistemas de Referencia
METODOLOGÍA.
TRANSFORMACIÓN DE HELMERT Conocidas las coordenadas de dos puntos en ambos sistemas podrán determinarse las cuatro incógnitas de la transformación de Helmert. Figura2. Dos sistemas de coordenadas en el plano Fuente: M Farjas, (2005)
TRANSFORMACIÓN DE HELMERT Este tipo de transformación considera los siguientes parámetros: rotación, traslación y diferencial de escala. El modelo matemático de Helmert para la transformación de coordenadas en PSAD56 a ITF08 vienen dadas por (1): X Y I = X o Y o + 1 + δ R X Y P (1) Donde, X Y I T,corresponde a las coordenadas en ITRF08. X o Y o T, traslaciones en X y Y. K= 1 + δ, representa la factor de escala, donde δ es el diferencial de escala. R, corresponde a la matriz de rotaciones en el eje z. X Y P T,corresponde a las coordenadas en PSAD56.
TRANSFORMACIÓN DE MOLODENSKY Figura 3.Geometría de la Transformación de Molodensky-Badekas Fuente:School of Mathematical & Geospatial Sciences. RMIT University,(2006)
( ) TRANSFORMACIÓN DE MOLODENSKY-BADEKAS El modelo bidimensional de Molodensky relaciona dos sistemas de coordenadas mediante los cuatro parámetros de transformación de Helmert, la diferencia radica en la inclusión de un centroide de coordenadas ( X m, Y m ). Las ecuaciones de condición para la transformación de coordenadas en PSAD56 a ITF08 vienen dadas por (2): X Y I = X o Y o + X m Ym + 1 + δ R X X m Y Y m P (2) Donde, X Y T I,corresponde a las coordenadas en ITRF08. X o Y T o, traslaciones en X y Y. X m Y T m,coordenadas del centroide. K= 1 + δ, representa la factor de escala,donde δ es el diferencial de escala. R, corresponde a la matriz de rotaciones en el eje z. X X m (Y Y m ) T P,corresponde a las coordenadas en PSAD56.
MÉTODO DE MÍNIMOS DE CUADRADOS Las observaciones ajustadas se pueden expresar en función de los parámetros ajustados (5): Donde, La=Observaciones ajustadas Xa= Parámetros que van hacer ajustados La = F(X a ) El modelo matemático para calcular los parámetros de transformación está dado por (6) X = (A T * P * A) 1 * (A T P L) Donde, X= Vector de corrección d parámetros A=Matriz de derivadas parciales P= Matriz de pesos (Identidad) L= Diferencia entre las observaciones aproximadas y las observaciones realizadas Para determinar la calidad del ajuste, se calcula la varianza posteriori (7): σ o 2 = VT P V (n u) = Ф (n u) Donde, n-u =Grados de libertad, n es el número de observaciones y u, número de incógnitas V=vector de residuales de las observaciones ajustadas
( ) PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN ENTRE ITRF Si se asumen que un ITRF no varía con respecto al tiempo y sus coordenadas quedan ajustadas en el espacio (no hay velocidades involucradas), en este caso los parámetros de transformación se emplean sin sus velocidades, se usan 7 parámetros, pero si se asume que los parámetros de transformación cambian con respecto al tiempo en una época dada, entonces es necesario el uso de los 14 parámetros (incluidos sus rates). 14 parámetros 7 parámetros Figura 4.Parámetros de Transformación del ITRF2008 a ITRFS anteriores. Fuente: The International Terrestrial Reference Frame.
METODOLOGÍA Parámetros de Transformación IGb08 PSAD56 2 Traslaciones 1 Rotación 1 Diferencial de escala Comisiones 54 País 134 Coordenadas observadas en IGb08, ITRF08 (2013) Base de datos,observadas en ITRF94 (1995.4), de los 134 vértices : 80 se transformaron (ITRF94 ITRF08)
1. Se elaboró una base de datos de coordenadas tanto en PSAD56 como en ITRF08. 2. Se realizó un cambio de época entre ITRFs del ITRF94 (1995.4) a ITRF08 (2013.9) y viceversa, tendiendo las coordenadas de las comisiones y del país en los dos sistemas. Tabla1.Coordenadas cartesianas de la de la Base de Datos. Figura 5.Parámetros de Transformación del ITRF2008 a ITRFS anteriores. Fuente: The International Terrestrial Reference Frame.
3. Las coordenadas en los dos sistemas fueron tranformadas utilizando 7 y 14 parámetros: Coordenadas Transformadas con rates Coordenadas Transformadas sin rates 14 parámetros 7 parámetros Figura 6.Parámetros de Transformación del ITRF2008 a ITRF94. Parámetros 7 14 X Y Z λ ϕ E N
ÁREAS DE COBERTURA Figura 7. Puntos observados en las Comisiones 2013. Figura 8.Puntos observados en todo el País.
4. Para la transformación de las coordenadas se diseñaron dos programas en el software de Matlab, para cada uno de los métodos. Figura9.Programa Molodensky- Badekas. Figura10.Programa Helmert.
5. Del conjunto de puntos de las comisiones y de todo el país, se seleccionó los puntos de ajuste y los puntos de comprobación para cada grupo. PUNTOS Puntos Comisiones: 54 País: 134 Ajuste 39 87 Comprobación 15 47 Comprobación 30% 70 % Ajuste Los puntos de ajuste comprenden los puntos extremos que cubren el contorno del país y aquellos de mayor y menor altura nivelada. Con los puntos destinados para la prueba o comprobación, se calculó las estadísticas principals. La escala se obtiene de la ecuación: Escala de aplicación = Error máximo /0.3 mm
Figura11.Programa Helmert Tabla2. Parámetros de transformación para Helmert, vértices del grupo de Comisiones. Parámetros del programa δ 1.249 ppm α 1.37E-6 rad Tx -263.96 m Ty -377.25 m ESTACIÓN UTM Observadas ITRF08 Transformadas N E N E Diferencia N Diferencia E Distancia El Pelado 10080313.4789 842246.7505 10080321.36 842248.61 7.89 1.86 8.10197895 Cabras 10052207.4420 837907.0604 10052215.40 837908.81 7.96 1.75 8.14989902 Cungapito 10047774.5084 836631.6187 10047782.87 836633.40 8.36 1.78 8.54421961 Rayoloma 10055219.1753 811896.9271 10055227.67 811898.81 8.49 1.89 8.70159247 Tuquer Alto 10054323.8674 852516.6127 10054331.80 852518.48 7.94 1.87 8.15421768 Germania Torre 10001212.0754 678161.8295 10001220.30 678162.24 8.23 0.41 8.23894078 Cuna 9962103.0089 689015.6475 9962111.37 689014.51 8.36-1.13 8.43821072 Palestina 9820268.0786 614501.8932 9820276.35 614502.14 8.27 0.25 8.27860489 Saya 9756720.7518 543047.3593 9756728.78 543048.01 8.03 0.65 8.05227247 Chillacocha 9613005.6156 652045.6151 9613014.41 652046.66 8.79 1.05 8.85555273 Pachito 9842690.2275 588219.4657 9842698.18 588219.65 7.95 0.19 7.9543653 Quinde 9582901.9427 677118.8802 9582910.99 677120.36 9.05 1.48 9.16871655 Yantahuayco 9687631.9243 684173.8797 9687639.86 684174.15 7.93 0.27 7.93918897 CASITAGUA 9995954.124 780485.857 9995962.74 780486.49 8.61 0.63 8.6371704 LATACUNGA BN 9909956.342 764161.0869 9909964.43 764160.43 8.09-0.66 8.11376088 LULUNURCO 9991880.798 777461.1882 9991889.42 777461.76 8.62 0.57 8.63741968 MINAYA 9893532.287 580246.7691 9893539.71 580246.42 7.42-0.35 7.43146193 MIRAVALLE 9970083.922 777284.6917 Media 9970092.43 777285.16 3.92 8.51 0.47 8.5235532 PANECILLO GEOD. 9974655.644 776234.5625 Mínimo 9974664.17 776235.11 9.13 8.53 0.55 8.54696591 PAYAMINO 9949031.302 910910.4673 Máximo 9949039.54 910911.80 1.61 8.24 1.33 8.34724069 UNGUI II 9973741.668 771907.8252 9973750.20 771908.21 8.54 0.39 8.54531977 LOJA UTPL 9558876.107 699936.2311 Desviación 9558884.75 699937.78 2.09 8.64 1.55 8.77856454 CULAURCO 9870227.643 854278.1735 Escala 9870236.19 854278.97 30000 8.55 0.79 8.58293858 CACHARI 9803298.543 670862.4902 9803307.66 670860.68 9.12-1.81 9.30004259 MASHASHINGO 9849638.096 714864.714 9849647.08 714863.63 8.98-1.09 9.04747316 CORAZON 9941520.375 761774.1766 9941528.78 761774.03 8.41-0.14 8.41074136 DANAS 9761088.521 734782.819 9761096.45 734782.12 7.93-0.70 7.95926393 CORONA REAL 9825007.81 748299.8378 9825015.73 748299.20 7.92-0.63 7.94865984 GUANGOTASIN 9893980.293 777828.3685 9893988.29 777827.77 8.00-0.60 8.02035528 INGACORRAL 9935709.124 760686.6087 9935716.28 760686.37 7.15-0.23 7.15799471
RESULTADOS.
Parámetros de transformación por el método bidimensional de Helmert y Molodensky entre PSAD56 e ITRF08 transformado con 7 parámetros. TABLA 3. PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN HELMERT TABLA 4. PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN MOLODENSKY Método Helmert Parámetros Comisiones País Diferencial escala 1.249 ppm 0.42 ppm Rotación 1.37E-6 rad 2.75E-6 rad Traslación Este -263.96 m -276.864 m Traslación Norte -377.25 m -377.659 m Método Molodensky Parámetros Comisiones País Diferencial escala 1.249 ppm 0.42 ppm Rotación 1.37E-6 rad 2.75E-6 rad Traslación Este -249.5 m -249.374 m Traslación Norte -365.904 m -365.4307 m
Parámetros de transformación por el método bidimensional de Helmert y Molodensky entre PSAD56 e ITRF08 transformado con 14 parámetros. TABLA 5. PARÁMETROS DE TRANSFORMACIÓN HELMERT Y MOLODENSKY Transformación 14 Parámetros Parámetros Método Helmert Método de Molodensky Diferencial escala 0.426 ppm 0.426 ppm Rotación 2.75E-6 rad 2.75E-6 rad Traslación Este -276.86 m -249.37 m Traslación Norte -367.65 m -365.43 m
ESTADÍSTICAS PRINCIPALES TABLA 7. ESTADÍSTICAS PRINCIPALES DE LA TRANSFORMACIÓN ENTRE PSAD56- ITRF08 APLICANDO LOS RESULTADOS DE LA TABLA 3 Y 4. Valores Método Helmert Método Molodensky Comisiones País Comisiones País Media 3.92 8.37 1.43 0.95 Máximo 9.13 9.29 5.02 3.62 Mínimo 1.61 7.15 0.07 0.10 Desviación 2.09 0.49 1.382 0.91 Escala 30000 30000 20000 15000 TABLA 8. ESTADÍSTICAS PRINCIPALES DE LA TRANSFORMACIÓN ENTRE PSAD56- ITRF08 APLICANDO LOS RESULTADOS DE LA TABLA 5 Y 6. Método Método Helmert Valores Molodensky País País Media 8.36 0.98 Máximo 9.30 3.84 Mínimo 7.16 0.001 Desviación 0.49 0.98 Escala 31000 15000
APLICACIONES EN SIG s.
SIG 2. SYSTEM OF AUTOMATED GEOSCIENTIFIC ANALYSES (SAGA) Helmert : 7 parámetros
SIG 2. GVSIG Helmert: 7 parámetros
SIG 3. KOSMO Helmert: 7 parámetros
RESIDUALES.
CONCLUSIONES Se realizó la metodología para transformar los sistemas PSAD56 e ITRF08usando métodos de Helmert y Molodensky con coordenadas planas UTM. La transformación PSAD56-ITRF08 observadas en las comisiones son compatibles con escalas menores a 1:20000, debido a la mala distribución de los puntos. La transformación de PSAD56-ITRF08 (observadas y transformadas) son compatibles con escalas menores a1:30000, según el método de Helmert y a escalas 1:15000 según el método de Molodensky Badekas. La aplicación de los parámetros de transformación de Molodensky Badekas, también son compatibles con escalas medianas, específicamente para cartografía temática a detalle. La aplicación de estos parámetros de transformación servirá para la transformación espacial de la cartografía, en sistemas de información geográfica que requieren explícitamente transformaciones bidimensionales.