Generación n de números n aleatorios La aplicación de los números aleatorios se remonta a los tiempos de la primera revolución industrial, cuando los procesos manuales tuvieron que reemplazarse por procesos mecanizados como consecuencia de la explosión demográfica que se estaba presentando en los países desarrollados con la disminución de las tasas de mortalidad y el aumento de las tasas de natalidad y que, para satisfacer las necesidades de la población cada vez más creciente hubo necesidad de incrementar la producción de toda clase de bienes y servicios.
Generación n de números n aleatorios Es posible identificar diferentes métodos usados a través de la historia para generar números aleatorios que pudieran ser utilizados en los procesos de simulación de las actividades industriales. Dichos métodos pudiéramos clasificarlos en: 1.Manuales 2.Tablas de Biblioteca 3.Generadores Analógicos 4.Generadores Digitales 5.Métodos de Recurrencia o Congruenciales
Generación n de números n aleatorios Los métodos recurrentes son muchos, pero aquí analizaremos solamente 5 métodos, el primero de ellos, solamente por su trascendencia histórica al ser el pionero en la generación de números aleatorios con esta técnica. El resto SI se analizarán más a detalle.
Método de los cuadrados medios Este método fue planteado por Von Neumann en 1950. Se basa en tomar un número, elevarlo al cuadrado y tomar los dígitos del centro como nuevo número, luego repetir el procedimiento.
Método de los cuadrados medios Procedimiento: 1.Seleccionar un valor para semilla (n o ) entero, positivo, con e dígitos par 2.Elevar al cuadrado n o, completar con ceros a la izquierda del número hasta tener 2*e dígitos, seleccionar los e dígitos centrales del número como n i 3.Calcular r i = n i e 10 4.Repetir 2 y 3 tantas veces como sea necesario.
Ejemplo: Suponga que se desean generar números aleatorios por el método de los cuadrados medios con 1111 como semilla.
Método Multiplicativo Procedimiento: 1.Seleccionar un valor para semilla (n o ) entero, positivo, impar, no divisible por 5 y con e dígitos par. 2.Seleccionar un valor para λ cercano a 10 e/2 a partir de λ = 200t±p Donde: t = cualquier número entero (- λ ) p = un número primo (véase el apéndice A) 3.Calcular n i = n i-1 λ utilizando aritmética entera (es decir, seleccionando los e dígitos del lado derecho del número).
Método Multiplicativo 4.Calcular r i = n i e 10 5.Repetir 2 y 3 tantas veces como sea necesario o hasta que se repita la serie. h 5 x 10 e-2 Donde h representa la longitud de serie (es decir, la cantidad de números que se pueden generar hasta antes de que se repita uno de ellos, en cuyo caso se repetirá la serie)
Ejemplo: Suponga que se desean generar números aleatorios por el método multiplicativo con 1111 como semilla. n 0 = 1111; e = 4 (pues tiene 4 dígitos) Para seleccionar λ, lo primero que se debe hacer es calcular 10 e/2, que para este ejemplo es 10 4/2 = 10 2 = 100. Es decir, se debe seleccionar un valor para λ cercano a 100 pero a partir de la ecuación λ = 200t ± p.
Como p es un número primo, es imposible obtener un valor de 100, pues al sumar o restar un número primo (que siempre es impar, a excepción del número 2), el resultado siempre será un número impar. Entonces el objetivo es encontrar un valor de 99 o de 101, que es el impar más cercano a 100. Ahora bien, como t es cualquier valor entero y al no poder saber cuál es, entonces se considera primero el valor 0 (cero), pues es la mitad del intervalo dado para t.
Por lo tanto, si t = 0, entonces λ = 200(0) ± p = ± p = + 101, pues el 99 no es número primo. Como ya se sabe que no se puede mejorar el valor, se selecciona λ = 101. El resto de los cálculos aparecen en la siguiente tabla: I n n i-1 λ i (aritm. r entera) i = n i /10 e 1 1111*101 = 112211 2211 0.2211 2 2211*101 = 223311 3311 0.3311 3 3311*101 = 334411 4411 0.4411 4 4411*101 = 445511 5511 0.5511
De hecho, el proceso se repite tantas veces sea necesario generar números aleatorios o hasta que se repita la serie, que para este ejemplo, debe ser aproximadamente en el quinientosavo número aleatorio (h 5 x 10 e-2 = 5 x 10 4-2 = 5 x 10 2 = 500)
Método aditivo 1.Generar una tabla de k números enteros positivos (k 10 e 3) 2.Sumar el último elemento de la tabla con el primero, generando de esta manera n i (utilizando aritmética entera) 3.Calcular n i r i = 10 e 4.Sumar el n i generado con el segundo número de la tabla y así sucesivamente En este caso, h tiende a ser, pues podrá repetirse un número, pero nunca se repite la serie completa.
Ejemplo: Suponga que se genera la tabla con 10 elementos siguientes por el método de los cuadrados medios (aunque puede usarse cualquiera de los métodos para generar números aleatorios para generar esta tabla. Por lo tanto, k = 10 i Número 1 2343 2 4896 3 9708 4 2452 5 0123 6 0151 7 0228 8 0519 9 2693 10 2522
Ahora se suma el último elemento en la tabla con el primero de la tabla para generar n i, y repetimos el proceso hasta generar 15 números aleatorios (aunque pueden ser los que se deseen), como se muestra en la tabla siguiente: i Suma n i r i = n i /10 e 1 2522 + 2343 = 4865 4865 0.4865 2 4865 + 4896 = 9761 9761 0.9761 3 9761 + 9708 = 19469 9469 0.9469 4 9469 + 2452 = 11921 1921 0.1921 5 1921 + 0123 = 2044 2044 0.2044
i Suma n i r i = n i /10 e 6 2044 + 0151 = 2195 2195 0.2195 7 2195 + 0228 = 2423 2423 0.2423 8 2423 + 0519= 2942 2942 0.2942 9 2942 + 2693 = 5635 5635 0.5635 10 5635 + 2522 = 8157 8157 0.8157 11 8157 + 2343 = 10500 0500 0.0500 12 0500 + 4896 = 5396 5396 0.5396 13 5396 + 9708 = 15104 5104 0.5104 14 5104 + 2452 = 7556 7556 0.7556
Como podrá observarse, a pesar de que se usan siempre los mismos valores de la tabla, los números aleatorios resultantes son diferentes, con lo cual se comprueba que la serie, para el método aditivo, tiende a ser infinita.
Método mixto 1.Seleccionar un valor para semilla (n o ) entero, positivo y con e 3. 2.Seleccionar un valor para c entero, positivo, impar y con número de dígitos menor o igual a e 3.Seleccionar un valor para λ cercano a 10 e/2 + 1 4.Calcular n i = n i-1 λ + c utilizando aritmética entera 5.Calcular n r i i = e 10 6.Repetir 4 y 5 tantas veces como sea necesario o hasta que se repita la serie. h 5 x 10 e-2
Ejemplo: Suponga que se desean generar números aleatorios por el método aditivo con un valor de n 0 = 222 y con un valor para c = 25. Como la semilla tiene 3 dígitos, e = 3; por lo que 10 e/2 = 10 3/2 = 31.62. Por lo tanto, λ = 33 El resto de los cálculos aparecen en la siguiente tabla.
n I n i-1 λ+ c i (aritm. r entera) i = n i /10 e 1 222*33 + 25 = 7351 351 0.351 2 351*33 + 25 = 11608 608 0.608 3 608*33 + 25 = 20089 089 0.089 4 089*33 + 25 = 2962 962 0.962 De hecho, el proceso se repite tantas veces sea necesario generar números aleatorios o hasta que se repita la serie, que para este ejemplo, debe ser aproximadamente en el cincuentavo número aleatorio (h 5 x 10 e-2 = 5 x 10 3-2 = 5 x 10 1 = 50)
Método combinado 1.Generar una tabla de k números enteros positivos (k 10 e 3) 2.Generar un índice j (1 j k) generado a partir de j = int(rnd * (k - 1) + 1.5) 3.Seleccionar el j-ésimo elemento de la tabla como n i 4.Reemplazar el n i seleccionado por uno nuevo. 5.Calcular n r i i = e 10 6.Repetir 2, 3, 4 y 5 tantas veces como sea necesario generar números aleatorios
En este caso, la longitud de serie (h) tiende a ser infinita, al igual que en el método aditivo, pues podrá repetirse un número, pero nunca se repite la serie completa. Ejemplo: Suponga que se genera la tabla con 10 elementos siguientes por el método de los cuadrados medios (aunque puede usarse cualquiera de los métodos para generar números aleatorios para generar esta tabla. Por lo tanto, k = 10.
El resto del cálculo aparece en la siguiente tabla. Nota: los números aleatorios (rnd) que aparecen en la tabla, fueron calculados a partir de los números aleatorios generados por el método aditivo. j = int(rnd * (k - 1) + i n i r i = n i /10 e 1 J = int(0.4895*9 + 1.5) = 5 0123 0.0123 2 J = int(0.9791*9 + 1.5) = 10 2522 0.2522 3 J = int(0.9499*9 + 1.5) = 10 9888 0.9888 4 J = int(0.1951*9 + 1.5) = 3 9708 0.9708 5 J = int(0.2074*9 + 1.5) = 3 6756 0.6756 1.5)
i j = int(rnd * (k - 1) + 1.5) n i r i = n i /10 e 6 J = int(0.2225*9 + 1.5) = 3 6435 0.6435 7 J = int(0.2453*9 + 1.5) = 3 4092 0.4092 8 J = int(0.2972*9 + 1.5) = 4 2452 0.2452 9 J = int(0.5665*9 + 1.5) = 6 0151 0.0151 10 J = int(0.8187*9 + 1.5) = 8 0519 0.0519 11
2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. En esta sección se describen 2 de las pruebas estadísticas que se aplican a los números pseudoaleatorios generados por cualquiera de los métodos anteriores; en la primera de ellas, se tratará de verificar la hipótesis de que los números generados provienen de la distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1], en la segunda de ellas, se aplicará la prueba de corrida, misma que sirve para verificar que los números son efectivamente aleatorios. A continuación se detallan ambas pruebas:
2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. Prueba de Kolmogorov-Smirnov Esta prueba sirve para verificar o negar la hipótesis que un conjunto de observaciones provienen de una determinada distribución. La estadística D que se utiliza en esta prueba es una medida de la diferencia máxima observada entre la distribución empírica (dada por las observaciones) y la teórica supuesta. La estadística D es obviamente una variable aleatoria. A continuación se detalla cómo se utiliza esta prueba para verificar o negar que un conjunto de números pseudoaleatorios tiene una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0, 1].
2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. Paso 1. Se formula la hipótesis, H 0 de que los números provienen de una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0, 1]. Paso 2. Se selecciona una muestra de tamaño n de números pseudoaleatorios generados (Knuth recomienda n = 1000). Sea F n (X), de la siguiente manera: Paso 3. Calcule la función de distribución acumulada empírica, F n (x), de la siguiente manera: Ordene los valores de la secuencia, tal que X i X i+1 para toda i.
Haga Simulación 2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. F n (0)= 0 y F n (X i )=i/n, i=l,2,...,n. Paso 4. Evalúe la estadística de Kolmogorov-Sminov, D, a partir de D = Máx F n (X i )-X i, 0<X i < 1. Paso 5. Consulte la tabla de límites aceptables para la prueba de Kolmogorov-Smirnov, para un tamaño de muestra n y un determinado nivel de riesgo α (ver apéndice B). Si D es menor o igual a este número se acepta H Q ; de otra manera se rechaza H Q.
2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. Ejemplo. De una tabla de números aleatorios se eligen los siguientes 50 (divididos entre 100 para que su valor oscile entre 0 y 1). 0.10 0.32 0.76 0.13 0.34 0.37 0.04 0.64 0.74 0.24 0.08 0.68 0.19 0.09 0.23 0.99 0.02 0.09 0.70 0.38 0.12 0.99 0.80 0.36 0.64 0.66 0.74 0.34 0.76 0.36 0.31 0.10 0.45 0.82 0.35 0.85 0.77 0.02 0.65 0.68 0.63 0.32 0.05 0.74 0.90 0.73 0.42 0.03 0.64 0.35
2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. Se desea probar la hipótesis H 0 : Provienen de una distribución uniforme en [0, 1], a un nivel de significancia del 90%. Paso 2. Se arregla la tabla anterior para que se cumpla la condición X X i+1 para toda i. 1 0.02 11 0.12 21 0.35 31 0.64 41 0.74 2 0.02 12 0.13 22 0.36 32 0.65 42 0.77 3 0.03 13 0.19 23 0.36 33 0.66 43 0.80 4 0.04 14 0.23 24 0.37 34 0.68 44 0.82 5 0.05 15 0.24 25 0.38 35 0.68 45 0.85 6 0.08 16 0.31 26 0.42 36 0.70 46 0.90 7 0.09 17 0.32 27 0.45 37 0.70 47 0.94 8 0.09 18 0.34 28 0.63 38 0.73 48 0.97 9 0.10 19 0.34 29 0.64 39 0.74 49 0.99 10 0.10 20 0.35 30 0.64 40 0.74 50 0.99
2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. Paso 3. Se construye F n (X ) para toda i siendo n = 50. F n (0.00) = 0.00 F n (0.12) = 0.22 F n (0.36) = 0.43 F n (0.65) = 0.64 F n (0.85) = 0.90 F n (0.02) = 0.04 F n (0.13) = 0.24 F n (0.37) = 0.48 F n (0.66) = 0.66 F n (0.90) = 0.92 F n (0.03) = 0.06 F n (0.19) = 0.26 F n (0.38) = 0.50 F n (0.68) = 0.70 F n (0.94) = 0.96 F n (0.04) = 0.08 F n (0.23) = 0.28 F n (0.42) = 0.52 F n (0.70) = 0.74 F n (0.97) = 0.98 F n (0.05) = 0.10 F n (0.24) = 0.30 F n (0.45) = 0.54 F n (0.73) = 0.76 F n (0.99) = 1.00 F n (0.08) = 0.12 F n (0.31) = 0.32 F n (0.63) = 0.56 F n (0.74) = 0.82 F n (0.09) = 0.16 F n (0.32) = 0.34 F n (0.64) = 0.62 F n (0.77) = 0.84 F n (0.10) = 0.20 F n (0.34) = 0.38 F n (0.80) = 0.86 F n (0.35) = 0.42 F n (0.82) = 0.88
Paso 4. Simulación 2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. que ocurre para F n (.38). D = MáxІF n (X i )-X i І = 0.12 Paso 5. Para un nivel de significancia del 90% y una muestra de 50 números se tiene del apéndice B, un valor 0.172. Como D < 0.172 se acepta H Q : Los 50 números si provienen de una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0, 1].
2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. Prueba de Corrida Una corrida se define como un conjunto de números que aparecen ordenados en forma monotónicamente creciente o decreciente. Por ejemplo: 03, 23, 57, 92, 99 contiene una sola corrida, mientras que 03, 99, 23, 92, 57 contiene 3 corridas: (03, 99), (23, 92), (57). Si se utiliza el signo (+) para identificar que el número que aparece a la derecha de otro que es mayor, o (-) si es menor, se tiene que: 03, 10, 23, 57, 92, 99 +, +, +, +, + mientras que 03,99,23,92,57 +,-,+,-.
2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. Esta prueba se basa en el supuesto que el número de corridas es una variable aleatoria. Se ha demostrado que si una secuencia tiene más de 20 números, el número de corridas es una variable aleatoria distribuida normalmente con media y variancia conocida. La prueba se realiza de la siguiente manera:
2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. Paso 1. Se formula la hipótesis Ho: La secuencia de números es aleatoria. Paso 2. Se selecciona una muestra de tamaño n (n > 20). Paso 3. Se definen con los signos (+) y (-) las posibles corridas. Paso 4. Se define a la estadística r como el número de corridas.
2.2 Pruebas estadísticas sticas de aleatoriedad. Paso 5. Si n > 20 y Ho es verdadera, entonces r se aproxima a una distribución normal con media y varianza Paso 6. Se acepta Ho, a un nivel de riesgo α, si Donde Z(.) se encuentra tabulada en la distribución normal (ver apéndice C)