Relaciones y funciones

Relaciones y funciones por: Oliverio Ramírez Juárez No todas las relaciones tienen que ser personales, por ejemplo, se puede relacionar la estatura de un niño con su edad o el costo de la entrada al cine con la hora o el día. Al utilizar la noción de relación, puedes saber que a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento; en este caso se relaciona un conjunto de personas con un conjunto de fechas. Observa el siguiente diagrama, qué elementos encuentras en él?, qué puedes concluir del mismo? Figura 1. Relación entre dos conjuntos. Como puedes observar en el diagrama, para que exista una relación es necesario que existan dos conjuntos, el conjunto A que representa a las personas (al cual matemáticamente se le llama Dominio); el conjunto B que representa las fechas de nacimiento (llamado Rango) y una regla de correspondencia que relacione de alguna manera, un elemento del conjunto A con un elemento del conjunto B. Nota que: Todas las personas tienen una fecha de nacimiento. Una persona no puede tener dos fechas distintas de nacimiento. Luis y Ana nacieron el mismo día. 1

En Matemáticas, existe un tipo especial de relación que es de gran relevancia, llamado función. Revisa entonces la definición de una función: Smith (2000, p.18) dice que una función f es una regla que asigna exactamente un elemento y de un conjunto B a cada elemento x de un conjunto A. De acuerdo con la definición teórica, para que una relación se considere función debe cumplir con las siguientes dos condiciones: 1. Ningún elemento del dominio (conjunto A) puede quedar sin asociarse con un elemento del rango (conjunto B). 2. Un elemento del dominio no puede tener más de un asociado en el rango, pero un elemento del rango sí puede estar asociado con más de un elemento del dominio. Volviendo a la relación, analiza si es una función o no: Figura 2. Relación entre un conjunto de personas y un conjunto de fechas de nacimiento. 2

Todas las personas tienen una fecha de nacimiento. Una persona no puede tener dos fechas distintas de nacimiento. Juan y Ana nacieron el mismo día. Cumple con la regla 1 Cumple con la regla 2 Cumple con la regla 2 Para que una relación se considere función, debe cumplir con las dos condiciones. Por lo tanto, la relación anterior SÍ es una FUNCIÓN. Constante En una expresión matemática, una constante es cualquier cantidad conocida. Por ejemplo, en la fórmula para calcular el área de un círculo A = pr2 aparece la constante π cuyo valor es 3.14159265 Figura 3. Diagrama ilustrativo del área de un círculo. Variable independiente y variable dependiente Siguiendo con el mismo ejemplo, observa que se desconoce el valor de A y R. Como su valor puede variar de acuerdo al círculo del que se trate, se les conoce como variables. De la manera en que está escrita la fórmula, para cada valor que asignes a R, habrá un valor para A. Por ello se dice que R es la variable independiente y como el valor de A depende de R, A es la variable dependiente. 3

Integración de conceptos Si sabes cómo puedes representar e interpretar a las funciones, éstas te pueden ayudar a tomar decisiones importantes en tu vida diaria. Supón que quieres rentar un plan de telefónicas y te ofrecen dos planes: Plan 1: pagar una renta diaria de $10.00, más $0.50 por llamada que se realice. Plan 2: pagar una renta diaria de $18.00, con ilimitadas. Cuál será el mejor plan para ti? Para tomar la mejor decisión, necesitas representar los datos de una manera más fácil de comprender. Una forma de remplazar algunos datos para el Plan 1, es por medio de una tabla en la que, en base al número de, conozcas el costo que se va generando. La siguiente tabla está incompleta. Verifica los valores que ya están colocados y escribe los números que faltan en los recuadros naranja. [Puedes ver las respuestas al final de esta lectura]. 0 10 11 15.5 22 21 1 10.5 12 16 23 21.5 2 11 13 24 22 3 14 17 25 22.5 4 12 15 17.5 26 23 5 12.5 16 18 27 6 13 17 18.5 28 24 7 18 19 29 24.5 8 19 19.5 30 25 9 20 20 10 15 21 Tabla 1. Datos de número de y su costo diario De acuerdo con los datos de la tabla anterior, cuál será el costo si se realizan sólo 12?, en este caso, qué plan conviene? Si se realizan 26, qué plan conviene más?, por qué? 4

Con los datos de la tabla anterior, se puede construir una gráfica como la que se te muestra a continuación. Puedes usar Excel o hacerlo en tu cuaderno, graficando los puntos en un plano coordenado. Tu gráfica debe ser similar a la siguiente: Figura 3. Gráfica de la relación existente entre el número de y el costo diario En ocasiones es conveniente analizar los datos en forma de tablas, pero también en forma gráfica. Por ello es necesario que te acostumbres al uso de gráficas. De acuerdo a la gráfica o a la tabla de valores, puedes determinar varias situaciones: 1. Si realizas 16 diarias, el costo sería de $18.00. 2. Si acostumbras hacer menos de 16 diarias, te conviene contratar el Plan 1. 3. Si planeas realizar 16 o más diarias, entonces te conviene contratar el Plan 2, el cual tiene un costo de $18.00, pero con ilimitadas. Te diste cuenta que si analizas tu situación en particular puedes tomar la mejor decisión?, crees que puedas predecir con el Plan 1 cuánto pagarías por 35? Ya se representó una función mediante una gráfica y una tabla de valores. Otra forma de representar una función es mediante una expresión algebraica, la cual se puede determinar a partir de la regla de correspondencia entre los dos conjuntos. 5

La forma en que se representará una función es la siguiente. A manera de ejemplo, se tomará la ecuación de la recta pendiente-ordenada al origen. Recuerdas esta ecuación?, la estudiaste en Matemáticas básicas: y = mx + b En este caso: y es la variable dependiente. x es la variable independiente. m, b son las constantes. Una forma alternativa de escribir una función es: De donde se deduce que: f(x) = mx + b y = f(x) Es necesario que te acostumbres a las dos formas de representar una función, porque en el curso usarás ambas de manera indistinta. Ve cómo funciona! Si se expresa algebraicamente la función del ejemplo anterior. Plan 1 Pagar una renta diaria (costo por día) de $10.00, más $0.50 por llamada que realices. Primero: Se establecen los dos conjuntos y se les asigna una variable. Conjunto A: número de = n Conjunto B: costo por día = C 6

Segundo: Se traduce la regla de correspondencia (enunciado el Plan 1) del lenguaje común al lenguaje matemático. por día es $10.00 pesos más $0.50 por llamada que se realice C = 10 + 0.5n Como te habrás dado cuenta, el costo por día (variable C) depende del número de que realices (variable n). Esto lo puedes observar en la gráfica o en la tabla, por lo tanto a la variable C la llamarás variable dependiente y la podrás representar como C(n), lo cual indica que el costo depende del número de. A la variable n, la llamarás variable independiente, ya que el número de determina el costo por día. Finalmente, la expresión anterior la puedes reescribir como: C(n) = 10 + 0.5n Ahora ya puedes calcular el costo diario, si conoces el número de realizadas. En la siguiente tabla, se te muestran algunos ejemplos del uso de la expresión anterior. Completa la tabla escribiendo las cantidades que faltan. [Puedes ver las respuestas al final de este documento]. Regla de correspondencia por día n C(n) = 10 + 0.5n C(n) 1 C(1) = 10 + 0.5(1) 10.5 3 C(3) = 10 + 0.5(3) 11.5 10 C(10) = 10 + 0.5(10) C(16) = 10 + 0.5(16) 20 C(20) 35 C(35) Tabla 1. Aplicación de la expresión C(n) 7

Respuestas a las tablas 1 y 2 Tabla 1: 0 10 11 15.5 22 21 1 10.5 12 16 23 21.5 2 11 13 16.5 24 22 3 11.5 14 17 25 22.5 4 12 15 17.5 26 23 5 12.5 16 18 27 23.5 6 13 17 18.5 28 24 7 13.5 18 19 29 24.5 8 14 19 19.5 30 25 9 14.5 20 20 10 15 21 20.5 Tabla 2: Regla de correspondencia por día n C(n) = 10 + 0.5n C(n) 1 C(1) = 10 + 0.5(1) 10.5 3 C(3) = 10 + 0.5(3) 11.5 10 C(10) = 10 + 0.5(10) 15 16 C(16) = 10 + 0.5(16) 18 20 C(20) 20 35 C(35) 27.5 Referencias Fuenlabrada, S. (2001). Cálculo diferencial (2ª. ed.). México: Mc Graw- Hill. Smith, R. T. (2000). Cálculo, Tomo 1 (F. A. Castillo y G. A. Villamizar. Trads.). Colombia: Mc Graw-Hill. 8