SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA Y A DISTANCIA MATEMÁTICAS I Fascículo 1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN MATERIAL COMPLEMENTARIO PARA CONSULTA DEL ESTUDIANTE-ASESOR DE CONTENIDO
Elaboró: Profesor Amado Miguel León Izquierdo INTRODUCCIÓN Centro de Estudio No. 01 El Rosario Academia de Matemáticas Enero 008 Desde que el hombre primitivo se volvió sedentario necesitó estructurar una nueva forma de organizarse para cazar, alimentarse y convivir, de lo anterior se desprende la necesidad de contar o enumerar como recurso para sobrevivir. Gran parte de la actividad cultural antigua y presente se refiere al registro de datos, las cuentas y las operaciones numéricas. Todavía es común ver anotaciones como //// y similares para contar. No todos los pueblos contaban en la misma forma. Sus símbolos numéricos eran distintos de los que hoy tenemos y hacían marcas de conteo que dependían de sus peculiaridades culturales y de los materiales que tenían a su alcance. En los inicios de la historia escrita las personas se percataron de que dos flechas y dos frutas tenían algo en común, una cantidad llamada dos, la percepción de esta cantidad estaba relacionada con el proceso de contar, esto es asocio una cantidad con un conjunto de objetos o sea una relación uno a uno y esto le sirvió a los hombres para dejar un registro de las cantidades para lo cual inventaron lo primeros numerales que reflejaban el proceso de conteo y con esto surgieron los primeros sistemas de numeración. Los sistemas de de numeración usaron algunos de los siguientes principios. Principio Aditivo. Se suman los valores de los símbolos que lo forman. Principio Sustractivo. Se restan los valores de los símbolos que lo forman. Principio Multiplicativo. Un símbolo colocado arriba o sobre un numeral lo multiplica por cierta cantidad.
1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN NO POSICIONALES* Los sistemas no posiciónales son aquellos en donde el valor de los números no esta determinado por el lugar en el que se escriben. Los números solo tienen un valor absoluto. Algunos sistemas numéricos antiguos no posiciónales, son el egipcio y el romano. 1.1 SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO La cultura floreció 500 años antes de nuestra era, en la ribera del río Nilo. Tenía una escritura jeroglífica muy desarrollada y un sistema de numeración simbólico muy original. Los principios básicos son: Es un sistema de numeración decimal Usa símbolos distintos para representar las cantidades múltiplos de 10 Los números se formar por agrupamientos de sus símbolos Se escriben en columnas los símbolos que se repiten más de 3 veces Los símbolos se escriben de derecha a izquierda, de menores a mayores, aunque también se pueden escribir en sentido inverso. Es un sistema aditivo, ya que sus símbolos se suman para dar la expresión total del número.
Ejemplos: 1. SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGO El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas. Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente), diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 4 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente: De esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras, y a su vez las palabras tienen un valor numérico, basta sumar las cifras que corresponden a las letras que las componen. Esta circunstancia hizo aparecer una nueva suerte de disciplina mágica que estudiaba la relación entre los números y las palabras. En algunas sociedades como la judía y la árabe, que utilizaban un sistema similar, el estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte: la kábala, que persigue fines místicos y adivinatorios. 1.3 SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO La cultura romana llegó a su apogeo en el siglo III antes de nuestra era. Para entonces había retomado gran parte de la cultura griega; sin embargo, el derecho, la medicina y algunas técnicas bélicas se consideraban aportaciones romanas. Roma, asentada a orillas del río Tiber, creó una cultura original que dominó el Mediterráneo durante casi 1000 años.
Nuestro sistema de escritura proviene del suyo y aún en la actualidad se utiliza, aunque en forma muy restringida. Sus principios fundamentales son Es un sistema de numeración decimal Tiene un principio aditivo, uno sustractivo y uno multiplicativo Se llaman símbolos primarios a I, X, C y M, y sólo se pueden repetir un máximo de tres veces cada uno cuando se encuentran dentro de una cifra. Se llaman símbolos secundarios a V, L y D, y no pueden repetirse Ejemplos: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Principio aditivo XXXlll = 33; Principio sustractivo lx = 9; Principio multiplicativo Vl = 6000 Si un símbolo tiene dos rayas encima, se multiplica por 1000 X 1000 = 1000000 Ejemplos: V = ( 5)(1000000 ) 5000000 ; XLl = ( 41)(1000000 ) 41000000 Tomado de: http://thales.cica.es/rd/recursos/rd97/otros/sistnum.html. SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES* Los sistemas posiciónales son aquellos que representan en valor de los números de acuerdo al lugar que ocupan en la escritura, los números tienen además de un valor absoluto, un valor relativo. En un sistema posicional, el valor de cada símbolo depende de la posición que ocupa. Algunos sistemas numéricos antiguos posiciónales, son el maya y el babilónico.
.1 SISTEMA DE NUMERACIÓN BABILÓNICO En Mesopotamia (en lo que actualmente es Irak) en un valle comprendido por los ríos Tigris y Eufrates, se asentaron diversas culturas: asirios, caldeos y babilonios. Por el año 000 antes de nuestra era habían desarrollado un sistema de escritura llamado cuneiforme (en forma de cuña), el cual perduró a través de tablillas de arcilla cocida. Sus principios numéricos son: Usa un sistema decimal de notación del 1 al 60 A partir del 60 su sistema es sexagesimal y posicional Sus símbolos se pueden escribir por el agrupamiento hasta nueve veces y sus valores se suman (principio aditivo) Cada nueva posición se entiende de acuerdo con el contexto en que se escribe o bien por un breve espacio entre cada nivel numérico. El símbolo que representaba diez era la misma cuña, pero rotada 90 en la dirección en que giran las manecillas del reloj, estos símbolos se repetían hasta 9 veces y sus valores se suman como en el sistema egipcio (principio aditivo).
Para escribir varios cientos, usaban el principio multiplicativo. Ejemplo: Los babilonios sabían que la esfera terrestre giraba alrededor del sol y que el año constaba de 360 días. Lo cual los conduce dividir el círculo en 360 partes y, de esta manera surge el actual sistema de medidas basados en grados. Establecieron la división del tiempo en años, meses, días, horas, minutos y segundos.. SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA La cultura maya se distingue por ser una de las más importantes y originales del continente americano. Su esplendor se presenta alrededor del año 700 de nuestra era y se manifiesta en una amplia zona del sureste de la República Mexicana, en los estados de Chiapas, Tabasco, Yucatán, Campeche y Quintana Roo, extendiéndose, además, por países centroamericanos de Guatemala, Honduras y El Salvador.
Se distingue por: Es un sistema de numeración vigesimal Es de carácter posicional Usa un símbolo para el cero Utiliza una cantidad reducida de símbolos para conformar cualquier número. Los mayas fueron la primera civilización que empleo el principio de posición, e inventaron un símbolo para el números cero. Su sistema de numeración tomo como base el numero 0, es decir, un sistema vigesimal, los símbolos que empleaban eran tres el punto, la raya y el caracol. Para representar los números del 1 al 19 aplicaron el principio aditivo. Del numero 0 en adelante aplicaron el principio posicional con una escritura vertical ascendente, el valor de cada símbolo se le debe multiplicar por lugar que ocupe. 0 1 3 0,0,0,0, etc según el AMLI. Ejemplo 0 3 8000 0 400 0 1 0 0 0 1 3X 0 =100 1 X 0 =40 0 1X 0 = 1 141 Valores Posicionales * http://thales.cica.es/rd/recursos/rd97/otros/sistnum.html
ACTIVIDAD DE REGULACIÓN Contesta lo siguiente: 1.- Qué sistema numérico representaba sus números mediante letras? a) Babilónico b) Maya c) Decimal d) Romano.- Los mayas colocaban sus números en forma: a) Horizontal Ascendente b) Vertical Descendente c) Horizontal Ascendente d) Vertical Ascendente 3.- Que sistema numérico utiliza un símbolo a la derecha para sumar y a la izquierda para restar (principio sustractivo y aditivo). a) maya b) romano c) babilónico d) egipcio 4.-Como se representa el 1, 5 y 10, en el sistema de numeración egipcio. a),, b),, c),, d),, 5.- Que nombre recibe la escritura del sistema de numeración babilónico por emplear cuñas? a) Escritura Egipcia b) Escritura Romano c) Escritura Cuneiforme d) Escritura Decimal 6.- La mayor contribución de los mayas es la creación del número? a) 0 b) 10 c) 0 d) 1
7.- Cómo representaban los números los mayas? a) Cuñas b) Letras c) puntos y rayas d) Jeroglíficos SISTEMA DECIMAL** Es de base diez y posicional, ya que agrupa de diez en diez, es por ello que 10 unidades forman una decena, 10 decenas forman una centena, 10 centenas forman una unidad de millar y así sucesivamente. Ejemplo: * La cantidad 80501, de acuerdo con la posición de sus dígitos, tiene una unidad, cero decenas, cinco centenas, cero unidades de millar, ocho decenas de millar y dos centenas de millar. - Su representación en forma desarrollada verticalmente es la siguiente: Valor del dígito de acuerdo a su posición: 8 0 5 0 1 1 x 1 = 1 1 unidad 0 x 10 = 00 0 decenas 5 x 100 = 500 5 centenas 0 x 1000 = 0000 0 unidades de millar 8 x 10000 = 80000 8 decenas de millar x 100000 = 00000 centenas de millar 80501 - Su representación en forma desarrollada horizontalmente es la siguiente: 80501 = x 100000 + 8 x 10000 + 0 x 1000 + 5 x 100 + 0 x 10 + 1 - La representación anterior se puede simplificar empleando exponentes para escribir los múltiplos de 10. Para las unidades, tenemos: 1 = 1 Para las decenas: 10 = 10 1 Para las centenas: 100 = 10 x 10 = 10 Para las U. de millar: 1000 = 10 x 10 x 10 = 10 3 Para las D. de millar: 10000 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 4 Para las C. de millar: 100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10 5 Así se tiene que la cantidad, 80501 representada en múltiplos de diez o potencias de diez, queda de la forma siguiente: x 10 5 + 8 x 10 4 + 0 x 10 3 + 5 x 10 + 0 x 10 1 + 1 x 1
.3 OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES A TRAVÉS DE ALGORITMOS A) Valor posicional de los números. Ejemplo: * Tres dígitos iguales representados en distintas formas tienen distinto valor numérico. Tal es el caso del número 3 que se puede representar en las siguientes formas: 333, 33 3, 3 33, 3 3/3 y 33 3, La primera representación indica un valor numérico de trescientos treinta y tres (333). La segunda indica que el treinta y tres se debe multiplicar tres veces, ya que el exponente es tres, de acuerdo con esto el valor numérico de 33 3 = (33)(33)(33) = 35937. La tercera indica que el tres se debe multiplicar treinta y tres veces, ya que éste es el valor del exponente; de esta forma resulta el valor numérico de 3 33 = 5.559060567x10 15. La cuarta indica que el tres tiene como exponente la unidad (1) ya que 3/3 es igual a uno, y de acuerdo con esto el valor numérico es 3 3/3 = 3 1 = 3. La última representación indica que el treinta y tres lo vamos a dividir entre el tres resultando un valor numérico de 33 3 11. De lo anterior se concluye que el valor numérico menor es 3 3/3 y el mayor es 3 33. De acuerdo con el valor numérico de las representaciones anteriores, se pueden ordenar las cantidades de tres números iguales de menor a mayor, quedando de la forma: 3 3/3, 33 3, 333, 333, 3 33.
B) Método de Gauss. Para sumas de series de números. Ejemplo: * Sumar los primeros 0 números naturales pares por medio del método de Gauss. La serie, es: + 4 + 6 + 8 + 10 + 1 + 14 + 16 + 18 + 0 + + 4 + 6 + 8 + 30 + 3 + 34 + 36 + 38 + 40 = Se realiza la suma de cada par formado con los extremos de la serie: el primero con el último, el segundo con el penúltimo, el tercero con el antepenúltimo, etc. + 4 + 6 + 8 + 10 + 1 + 14 + 16 + 18 + 0 + + 4 + 6 + 8 + 30 + 3 + 34 + 36 + 38 + 40 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 La suma de cada par de extremos da 4, y como la serie se compone de 0 elementos, entonces se realizan 10 sumas; por lo tanto la suma de los primeros 0 números naturales pares, es el resultado del producto de la suma de los extremos por el número de sumas realizadas: 4 x 10 = 40 C) Multiplicación por duplicación egipcia. Ejemplo: * Obtener el resultado de la multiplicación 16 x 1, por medio del método de duplicación egipcia. Se coloca la unidad (1) y se empieza a duplicar sucesivamente, hasta llegar a un número menor o igual al factor menor de la multiplicación, que en este caso es 1. 1 4 8 Posteriormente se marcan las cantidades que sumadas den como resultado el valor del factor menor (1). 1 4 8 1
El siguiente paso es duplicar el factor mayor de la multiplicación (16), de manera correspondiente a la duplicación de la unidad y se marcan las cantidades que son correspondientes a las que fueron marcadas en la duplicación de dicha unidad. 1 16 3 4 64 8 18 1 Por último se suman las cantidades que se marcaron en la duplicación del factor mayor, y esa suma es el resultado de la multiplicación. 64 + 18 = 19 ACTIVIDAD DE REGULACIÓN 1.- De acuerdo con la posición de sus dígitos, en la cifra 5555, que lugar ocupa el tercer 5 de izquierda derecha. A) Unidad B) Centena C) Unidad de millar D) Decena.- En la cifra 4587 que lugar ocupa el 5: A) Unidades de millar B) Unidades C) Decenas de Millar D) Centenas 3.- Expresa las siguiente operación en su forma desarrollada, 7 centenas de millar, mas 8 decenas de millar, mas 4 unidades de millar, mas 7 centenas, mas decenas, mas 7 unidades. 6 5 A) 7x10 8x10 4x10 7x10 x10 7 6 5 B) 7x10 8x10 4x10 7x10 x10 7 C) 7x10 8x10 4x10 7x10 x10 7 5 4 D) 7x10 8x10 4x10 7x10 x10 7 3 4 4 3 4 3 3 5 4.- Es la expresión que por el método de Gauss, nos conduce al resultado de la siguiente serie de números, + 9 + 16 +... + 86 + 93 + 100 A) (10 x 7) + 51 B) 10 x 15 C) 100 x 15 D) 100 x 7
5.- Es la suma de los primeros doce números naturales pares por el método de Gauss. a) 156 b) 56 c) 56 d) 356 6.- Indica cual de los siguientes números es el menor. a) b) c) d) 7.- De acuerdo con el valor numérico de las siguientes representaciones, Cuál de ellas tiene un valor numérico menor que 3 33? A) 333 B) 33 3 C) 3 33 D) 3 3/3 8.- De acuerdo con el método de duplicación de los egipcios que números, se tienen que sumar para obtener el resultado de la multiplicación 16 x 1. A) 1 16 B) 1 1 C) 1 17 D) 1 18 3 4 34 36 4 64 4 48 4 68 4 71 8 18 8 96 8 136 8 14 ** Fuente: Este material fue tomado de los CUADERNOS DE ATIVIDADES DE APRENDIZAJE, CONSOLIDACIÓN RETROALIMENTACIÓN DE MATEMÁTICAS I.