Unidad 15 Estadística inferencial. Estimación por intervalos. Pruebas de hipótesis PÁGINA 353 SOLUCIONES 1. El peso de azúcar por confitura se distribuye según la normal N (465;30). Veamos el porcentaje que puede considerarse como almíbar: Luego el 89, 96% lleva el nombre de almíbar, es decir 179, 9 botes son almíbar y no llevan la mención de almíbar el 10, 04% es decir 0, 08 botes. 1
. Queda: a) El número de caras obtenidas al tirar una moneda sigue una distribución binomial B (400;0,5). La esperanza matemática es µ = 400 0,5 = 00 La varianza es σ = n p q = 400 0,5 0,5 = 100. b) La distribución binomial anterior la podemos aproximar a la normal N (00;10) c) P ( X > 0) = P( X 0,5) = P( Z,05)1 P( Z <,05) = 0, 00 P ( 180 < X < 0) = P(179,5 X 0,5) = P( Z,05) P( Z,05) = P( Z,05) 1= 0,9596 d) P ( X = 0) = P(19,5 < X < 0,5) = P(1,95 < Z <,05) = 0, 0054 P ( X = 190) = P(189,5 < X < 190,5) = P( 1,05 < Z < 0,95) = P(0,95 < Z < 1,05) = 0,04
PÁGINA 369 SOLUCIONES 1. El error cometido está en el paso: cos 1º cos 90º = cos 90º cos (-30º) cos 10º = cos 30º Simplificamos o dividimos por cos 90º = 0. Esta simplificación nos puede conducir a cualquier resultado, ya que: Sí a 0 = b 0 y simplificamos por cero, entonces, a = b.. En este caso el error lo cometemos en el paso t t a = b t t a = b La raíz cuadrada de una expresión tiene dos raíces, opuestas, y tomamos la que nos conviene para crear el error. 3
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SOLUCIONES 1. El estimador muestral es la media X = 0, 764. La desviación típica de la distribución muestral 0,00058 de medias es σ = = 0,00037. x 50 Al nivel de confianza del 90 % le corresponde un crítico z 1, 645. α / = El intervalo de confianza en el que se encuentra el diámetro medio de los remaches es: Es decir, 1. El estimador muestral es la proporción p ˆ = = 0, 4. 30 0,4 0,6 La desviación típica de la distribución muestral de proporciones es σ ( pˆ) = = 0, 089. 30 Al nivel de confianza del 75 % le corresponde un crítico z 1, 15. α / = La proporción de alumnos de la población con dos o más hermanos se encuentra dentro del siguiente intervalo de confianza: P ( 0,4 1,15 0,089;0,4 + 1,15 0,089) P (0,977;0,504) 3. El estimador muestral es la proporción 110 p ˆ =. 00 110 90 La desviación típica de la distribución muestra de proporciones es: σ ( pˆ) = 00 00 = 0, 035 00 Al nivel de confianza del 95 % le corresponde un crítico z 1, 96. α / = El intervalo de confianza en el que se encuentra la proporción de votantes de la población es: 110 110 P 1,96 0,035 ; + 1,96 0,035 P (0, 4814;0,6186) 00 00 5
4. La distribución muestral de diferencia de medias es normal: N 5 5,5; 1 + = N ( 0,5 ; 0,36) 100 100 Para un nivel de confianza del 99 % le corresponde un crítico z, 58. El intervalo de confianza para la diferencia de medias es: α / = µ A µ B ( 0,5,58 0,36 ; 0,5 +,58 0,36) es decir ( 1,077 ; 0,769). La diferencia de medias nula esta dentro del intervalo por lo que no podemos decir que un método sea más eficaz que otro. 5. La solución queda: 8,8 a) La distribución muestral de medias es normal N 13,41; N (13,41 ; 1,31) 40 A un nivel de confianza del 90 % le corresponde un crítico z 1, 645. La antigüedad media de la flota µ se encuentra en el intervalo ( 13,41 1,645 1,31 ;13,41+ 1,645 1,31) = (11,6 b) El error de estimación es 1,645 1,31=, 155. ; 15,56) α / = Al nivel de confianza del 95 % le corresponde un crítico z 1, 96. n = z α / E σ 1,96 8,8 =,155 = 56,71 La muestra debe contener al menos 57 aviones. α / = 3 6. La distribución muestral de medias es normal N 0; N (0 ; 0,51) 34 A un nivel de confianza de 99 % le corresponde un crítico z, 58 α / = El precio medio de los libros de texto se encuentra en el intervalo: µ ( 0,58 0,51 ; 0 +,58 0,51) = (18,68 ; 1,3) 0,5 7. La distribución muestral de medias es normal N 1,3; N (1,3; 0,015) 400 a) Al nivel de confianza del 95 % le corresponde un crítico z 1, 96.el intervalo buscado es: µ ( 1,3 0,015 1,96 ; 1,3 + 0,015 1,96) µ (1,8 ; 1,3) α / = 6
b) A un nivel de confianza del 99 % le corresponde un crítico z, 58.el intervalo buscado es: µ ( 1,3 0,015,98 ; 1,3 + 0,015,58) µ (1,68 ; 1,33) α / = 0,5 0,75 8. La distribución muestral de medias es normal N 0,5; N (0,5; 0,061) 50 Al nivel de confianza del 95 % le corresponde un crítico z 1, 96.el intervalo viene dado por: P ( 0,5 0,061 1,96 ; 0,5 + 0,061 1,96) (0,13 ; 0,37) α / = 7
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SOLUCIONES 9 9. La distribución muestral de medias es normal N 8,1; N (8,1; 0,03) 800 Al nivel de confianza del 95 % le corresponde un crítico z 1, 96. α / = La estancia media en el hospital se encuentra en el intervalo: µ ( 8,1 0,03 1,96 ; 8,1+ 0,03 1,96) µ (7, 478 ; 8,77) 10. Los estadísticos correspondientes a esta muestra son: x = 104 y s = 5 5 a) La distribución muestral de medias sigue la normal N 104; N (104; 1,5 ) 16 b) A un nivel de confianza del 95 % le corresponde un crítico z 1, 96. α / = El intervalo de confianza para la media poblacional es: µ ( 104 1,5 1,96 ; 104 + 1,5 1,96) µ (101,55 ; 106,45) 1600 11. La distribución muestra de medias sigue la normal N 675; N ( 675; 160) 100 A un nivel de confianza del 95 % le corresponde un crítico z 1, 96. α / = La media de ingresos anuales se encuentra en el intervalo: µ ( 675 1,60 1,96 ; 675 + 1,60 1,96) = (361,4 ; 988,6) 1. A un nivel de confianza del 95 % le corresponde un crítico z 1, 96. 5 P ( 19 < X < 1) = 0,95 19 = 0 1,96 9,8 = n n > 49 n Al menos 50 individuos deben formar la muestra. α / = 13. A un nivel de confianza del 95 % le corresponde un crítico z 1, 96. El tamaño de la muestra viene dado por: n = z α / E σ 1,96 0, = 0,03 = 170,74 El tamaño mínimo de la muestra es de 171 pollos. α / = 9
14. La distribución muestral de proporciones es normal N ( 0,55;0,05 ) Los intervalos pedidos son: P ( 0,55 0,05 1,96 ; 0,55 + 0,05 1,96) = (0,45 ; 0,648) P ( 0,55 0,05,58 ; 0,55 + 0,05,58) = (0,41 ; 0,679) P ( 0,55 0,05 3 ; 0,55 + 0,05 3) = (0,4 ; 0,7) 15. El tamaño de la muestra es: n = z α / p q 1,96 0,55 0,45 = = 594,5 E 0,04 Al menos se debe tomar 595 votantes. 16. A un nivel de confianza del 99 % le corresponde un crítico z, 58. α / = 5 975,58 z α / p q 1000 1000 El tamaño de la muestra viene dado por: n = = = 64, 89 E 0,05 Al menos se han de tomar 65 piezas. 110 90 17. El error viene dado por E = = 10. El nivel de confianza del 98 % le corresponde un crítico z, 33. α / = zα / σ,33 1 El mínimo tamaño muestral viene dado por: n = = = 7, 8 E 10 Debemos tomar al menos 8 electrodomésticos. 10
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SOLUCIONES 18. Para un nivel de confianza del 90 % o un nivel de significación del 10 % los valores críticos para pruebas unilaterales z ó bilaterales z los hallamos utilizando la tabla de a distribución normal N(0,1) P ( z z α ) = 0,90 z = 1,8 α y mediante las siguientes expresiones: P ( z z z / ) = 0,90 z / α α / α α = 1,645 α / Del mismo modo obtenemos los valores críticos para los restantes niveles de confianza. 19. Las hipótesis son: Es unilateral y para un nivel de significación del 5 % le corresponde un crítico z = 1,645. α En la grafica hemos sombreado la zona de aceptación de la hipótesis nula H 0. 10 La distribución muestral de medias se ajusta a la normal N 800 ; = (800; 4) 5 El intervalo de confianza para el nivel de significación dado es: ( 800 1,645 4 ; 800 + 1,645 4) = (760,5 ; 839,48) Como la media x = 750 está fuera del intervalo rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que la vida media es menor de 800 horas. Otra forma de resolver el problema es viendo que la variable tipificada: 750 800 z = =,083 cae dentro de la zona de rechazo, por tanto, rechazamos la hipótesis nula 4 de que la vida media es mayor de 800 horas. 1
0. Las hipótesis son: H 0 1 : p 0,78 H : p > 0,78 La prueba es unilateral y al nivel de confianza del 99 % le corresponde un crítico z =, 33. La distribución muestral de proporciones es normal N (0,78 ; 0,019). 0,83 0,78 El valor tipificado: z = =, 63 0,019 Como z cae fuera de la zona sombreada de aceptación rechazamos la hipótesis nula y podemos afirmar que la situación ha cambiado. α 1. Las hipótesis son: H 0 1 : p 0,03 H : p > 0,03 La prueba es unilateral y al nivel de significación del 5 % le corresponde un crítico z =1, 645. La distribución muestral de proporciones es normal N (0,03 ; 0,054). 0,038 0,03 El valor tipificado viene dado por: z = = 1, 48 0,0054 Como este valor cae en la zona de aceptación, aceptamos H 0. α 13
. La solución queda: p = 0,5 184 n = 400 ; pˆ = = 0,46 400 Las hipótesis son H H 0 1 : p 0,5 : p < 0,5 Es unilateral, al nivel de significación del 1% corresponde un crítico z =, 33 que nos da lugar a una zona de rechazo y una sombreada de aceptación. α La distribución muestral de proporciones es normal N (0,5 ; 0,05). Luego 0,046 0,5 z = =, 4 zona rechazo 0,05 Por tanto rechazamos H0 y podemos afirmar que la proporción ha disminuido. 3. En cada caso: a) Para el nivel de significación del 5 % las hipótesis son: H p 0,1 ; H : p 0, 1.la prueba 0 : 1 > es unilateral con un crítico z =1, 645 y tenemos una zona de aceptación en el intervalo ( ; 1,645). z = 400 300 0,1 = 1,96 0,017 α Como z cae fuera del intervalo de aceptación rechazamos H0 y aceptamos la hipótesis alternativa H 1. b) Para el nivel de significación del 1 % y las mismas hipótesis, la prueba es unilateral con el intervalo de aceptación ( ;,33). En este caso z = 1, 96 cae dentro del intervalo y aceptamos la hipótesis nula H 0. 14
4. En cada caso la solución queda: Pruebas unilaterales 1 1 Formulamos las hipótesis H 0 : p ; H1: p >. La distribución muestral de proporciones es normal N (0,5 ; 0,0). 1 0,5 El valor tipificado es z = =,5. 0, a) Para N s 0,05 z = 1,645. la zona de aceptación es ( ; 1,645 ). = α Como z ( ; 1,645 ) rechazamos la hipótesis nula. b) Para N s 0,01 z =,33. la zona de aceptación es ( ;,33). = α Como el valor z =, 5 cae fuera de este intervalo rechazamos la hipótesis nula. Pruebas bilaterales 1 1 Formulamos las hipótesis H 0 : p = ; H1: p. La distribución muestral de proporciones es normal N (0,5 ; 0,0). El valor tipificado es z =,5. c) Para N s,05 z 1,96. la zona de aceptación es ( 1,96; 1,96 ). Como el valor z cae = 0 α / = fuera de esta zona rechazamos la hipótesis nula H 0. d) Para N s,01 z,58. la zona de aceptación es (,58;,58). Como el valor = 0 α / = z =,5 cae dentro de esta zona aceptamos la hipótesis nula H 0. 5. Formulamos la hipótesis: La distribución muestral de diferencia de medias es normal: N 1190 130; 90 10 + 100 75 = ( 40; 16,5) 40 La prueba es bilateral y z = =, 4 16,5 15
a) Para un nivel de significación del 5 % le corresponde un crítico z 1, 96. La zona de α / = aceptación del intervalo ( 1,96; 1,96 ). Como z cae fuera de este intervalo rechazamos H0 y aceptamos que hay diferencias entre las duraciones medias de las lámparas. b) Para un nivel de significación del 1 % le corresponde un crítico z, 58. El intervalo de α / = aceptación es (,58;,58). Como z cae dentro de este intervalo aceptamos H0 que no hay diferencias entre las vidas medias. 16
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SOLUCIONES 6. En cada caso: σ σ a) El intervalo de confianza para la media es de la forma: x zα /, x + zα /. n n Al nivel de confianza del 95% le corresponde un z α/ = 1,96; lo que nos permite escribir el sistema: 60 x 1,96 = 37,6 n 60 x + 1,96 = 39, n Obtenemos: x = 38, 4 ; n = 144. b) El error de estimación viene dado por: σ z α 3600 1,51 E =. = E = ± 6,04 n 5 7. Para un nivel de confianza del 99%, le corresponde z α/ =,575. z α σ,575 6 El tamaño mínimo viene dado por: n = = = 38, 7 E 1 El valor de n debe ser, al menos, 39. 8. Es un intervalo de confianza para la proporción p = 0,45 por ser el valor medio del intervalo (0,4; 0,48). El intervalo de confianza para la proporción tiene la forma: p q p q p zα /, p + zα / n n 0,45 0,55 0,45 zα / = 0,4 1056 Sustituyendo los valores dados obtenemos: 0,45 0,55 0,45 + zα / = 0,48 1056 z α / = 1,96 A este valor le corresponde un nivel de confianza del 95%. 18
9. Se trata de un test de hipótesis bilateral para la media: H 0 : µ = 1800 H 1 : µ 1800 A un nivel de significación del 0,05 le corresponde un z α/ = 1,96. La zona de aceptación es, por tanto: 100 100 1800 1,96 ; 1800 + 1,96 = (177,8; 187,7) 50 50 Como 1850 no pertenece a la zona de aceptación, podemos decir que el nuevo proceso ha modificado la tensión media de ruptura con un nivel de significación del 5%. 30. La solución es: a) A un nivel de confianza del 99% le corresponde un z α =,575. Calculamos el error máximo mediante la expresión: σ z α 1,9,575 E =. = E = ± 3,698 n 81 b) Hacemos un test de hipótesis bilateral para la media: H 0 : µ = 160 H 1 : µ 160 A un nivel de confianza del 95% le corresponde un z α = 1,96 La zona de aceptación es: 1,9 1,9 160 1,96 ; 160 + 1,96 = (157,18; 16,8) 9 9 Como 159 (157,18; 16,8) queda dentro de la zona de aceptación no podemos rechazar la hipótesis de que la estatura media es de 160 cm. 31. Se trata de un test de hipótesis bilateral para la proporción: H 0 : p = 0,1 H 1 : p 0,1 A un nivel de significación del 0,05 le corresponde un z α = 1,96. La zona de aceptación es: 0,1 0,9 0,1 0,9 0,1 1,96 ; 0,1 + 1,96 = (0,041; 0,1588) 100 100 Como 0,05 (0,41; 0,1588) no podemos rechazar la hipótesis nula y podemos decir que la nueva vacuna no cambia la proporción de enfermos. 19
3. Hacemos un test de hipótesis bilateral para la media: H 0 : µ = 40 H 1 : µ 40 Para un nivel de significación del 0,05 le corresponde un z α = 1,96. La zona de aceptación es: 5 5 40 1,96 ; 40 + 1,96 = (38,04; 41,96) 5 5 Como 41,35 (38,04; 41,96) empleados es de 40 años. aceptamos la hipótesis de que la edad media de los Para la otra pregunta consideramos un test de hipótesis unilateral para la media: H 0 : µ 40 H 1 : µ < 40 La zona de aceptación es: 40 1,645 ; + = ( 38,355; + ) En este caso 41,35 ( 38,355; ) es mayor o igual de 40 años. 5 5 +. Con lo que aceptamos la hipótesis de que la edad media. 33. Hacemos un test de hipótesis bilateral para la proporción: H 0 : p = 0,4 H 1 : p 0,4 A un nivel de confianza del 95% le corresponde un z α = 1,96 La zona de aceptación es: 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 1,96 ; 0,4 + 1,96 = (0,3040; 0,4960) 100 100 Como 0,30 cae fuera de la zona de aceptación rechazamos la hipótesis nula que es la que afirma el electricista. 0
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SOLUCIONES 160 34. El estimador puntual puede ser la proporción p ˆ = = 0, 4 400 Al nivel de confianza del 95 % le corresponde un crítico z 1, 96. α / = 0,4 0,6 La distribución muestral de proporciones es normal N 0,4; = (0,4; 0,045) 400 El intervalo de confianza pedido es: P ( 0,4 1,96 0,045;0, 4 + 1,96 0,045) = (0,35;0, 448) 35. El error cometido es: E = 50 = 1 año. 100 Al nivel de confianza del 95 % le corresponde z 1, 96. α / = zα / σ 1,96 10 El tamaño de la muestra viene dado por: n = = = 384, 16 E 1 Al menos se deben tomar 385 individuos. 36. Formulamos las siguientes hipótesis: H H 0 1 : p 0,48 : p > 0,48 La prueba es unilateral y aun nivel de significación del 1 % le corresponde un crítico z α =,33. La zona de aceptación es el intervalo ( ;,33). La distribución muestral de proporciones es normal N (0,48 ; 0,013). 800 0,48 1500 La variable tipificada es: z = = 4, 10 0,013 Como z cae fuera de la zona de aceptación rechazamos la hipótesis nula H0 con una probabilidad del 1 % de equivocarnos y creemos que la intención de voto es mayor. 37. Al nivel de confianza del 99 % le corresponde un crítico z, 58. α / = zα / σ,58 10 El tamaño mínimo ha de ser: n = = = 665, 64 E 1 Es decir, la muestra debe de ser al menos de 666 personas.
38. En cada uno de los casos: Zona A 0,5 La distribución muestral de medias es normal N 5,7; = (5,7; 0,05) 100 Formulamos las hipótesis: H0 : µ 5,7 H1: µ < 5,7 La prueba es unilateral y al nivel de confianza del 85 % le corresponde un crítico z =1, 645. La zona de aceptación es el intervalo ( 1,645; + ). 5,6 5,7 El valor tipificado z = = cae fuera de la zona de aceptación por tanto rechazamos 0,05 H0 y podemos aceptar que las medidas son diferentes. α Zona B 0,5 La distribución muestral de medias es N 5,7; = (5,7; 0,07) 49 Formulamos las hipótesis: H0 : µ 5,7 H1: µ > 5,7 La prueba es unilateral y la zona de aceptación es el intervalo ( ;1,645 ). 5,85 5,7 El valor tipificado z = =, 14 cae fuera de la zona de aceptación y rechazamos H 0. 0,07 La definición de los errores tipo I y tipo II puede verse en la página 35 del libro de texto. 39. Formulamos las hipótesis: H0 : µ 9,5 H1: µ < 9,5 9 La distribución muestral de medias es N 9 ; = (9; 0,7) 15 A un nivel de confianza de 99 % le corresponde un crítico, en esta prueba unilateral, de z α =,33. La zona de aceptación es el intervalo (,33; + ). 9 9,5 La variable tipificada es: z = = 1, 85. Como el valor z = 1, 85 cae dentro de la zona de 0,7 aceptación, aceptamos la hipótesis nula H 0. 3
40. El tamaño mínimo de la muestra es: n = z α / E σ Al nivel de confianza del 95 % le corresponde z 1, 96. 1,96 8 Por tanto: n = = 45, 86. 1 Se han de tomar al menos 46 niños. α / = 41. Al nivel de confianza del 95 % le corresponde z 1, 96. α / = 1 5 1 1 La distribución muestral de proporciones es normal N ; 6 6 = ( ; 0,047) 6 64 6 1 1 La proporción esta en el intervalo: P 1,96 0,047 ; + 1,96 0,047 = (0,0745 0,588) 6 6 Como mínimo debemos obtener 64 0,0745 5 cincos. Como máximo 64 0,0588 17 cincos. 4. Formulamos las hipótesis: H H 0 1 : p 0,05 : p < 0,05 Es unilateral y al nivel de significación del 5 % le corresponde un crítico z =1, 645. La zona de aceptación es el intervalo ( 1,645 ; + ). La distribución muestral de proporciones es normal N ( 0,05;0,007 ). 0,036 0,05 La variable z = = como cae fuera de la zona de aceptación rechazamos H0 y el 0,007 partido no obtiene respuesta. α 4