LOGARITMOS Y RADICALES Definición Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces: La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base, denotada por,se llama: función logarítmica de base a, y, el número se llama logaritmo de x en la base a La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos 221 Teorema ( Propiedades de los logarítmos ) Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces : Cuando a > 1, si 0 < x < y, entonces, Es decir,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y,entonces, Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio
Para todo número real, existe un único número real tal que Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva Si, y, a!= 0, entonces, (Invarianza) RADICALES A continuación definiremos la principal raíz enésima de un numero real Definición de Sean n un numero entero positivo mayor de 1 y a, un numero real 1) Si, entonces 2) Si, entonces es el número real positivo b tal que 3) a) Si y n es non, entonces es el numero real negativo b tal que b) Si y n es par, entonces no es un número real Si n=2 se escribe en lugar de y se llama raíz cuadrada principal de o simplemente raíz cuadrada de a El número es la raíz cúbica de a Ilustraciones: Observa que porque, por definición, las raíces de números reales positivos son positivas El símbolo se lee "más o menos" Para completar nuestra terminología, la expresión es un radical, el
número a se llama radicando y n es el índice del radical El símbolo signo radical es el Si, entonces ; esto es, Reglas generales para el uso de exponentes y radicales: 1 2 3 4 5 (Esta es una definición, más que una regla, pero puede derivarse de la 6 7 regla 2 cuando a y b son iguales) 8 (Esta es una definición que permite usar las reglas de exponentes para los radicales) 9 10 11 12 13 14
Demostración Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior A manera de ilustración, se demuestran las propiedades 1,4 y 7 Se dejan las restantes como ejercicio para el lector Sea De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3,se tiene : Esto es, ( 1 ) En segundo lugar, nuevamente por la definición, 0 Es decir, ( 2 ) De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que Sea y, entonces : ( 1 ) ( 2 ) De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que : Es decir, 7Se supone que a > 1 y 0< x < y Sean : y Se prueba que En efecto,si,y como a > 1,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que, es decir, en contradicción con la hipótesis
Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1 Observaciones i ) La igualdad, dada en la propiedad 1, es también válida para b < 0 ii) Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades 7 y 8 de los exponentes, ponen de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma base Es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y decreciente ), la otra también lo es iii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número e (número de EULER )Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se denotan por Ln Sin embargo,los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la practica son los correspondientes a la base 10,los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan por o, simplemente, Log x Para resolver ecuaciones logarítmicas hay que transformarlas en ecuaciones algebraicas: Veamoslo con un ejemplo: 1 Transformamos los números en logaritmos usando 2 Aplicamos las propiedades de los logaritmos para dejar un único logaritmo en cada miembro de la ecuación 3 Quitamos los logaritmos y resolvemos la ecuación algebraica resultante Las soluciones son y 4 Comprobamos las soluciones (ver que no se obtienen logaritmos de número negativos o el logaritmo de 0 al sustiruir las soluciones en la ecuación original) es solución y no lo es porque aparecería
Sabiendo que calcula 1 Buscamos potencias de 2 (que es el dato) y de 10 (que es la base) 2 3 4 5 Cacula Resuelve Es una ecuación con suma de exponenciales y la resolveremos mediante un cambio de variable: el cambio de varible va a ser Las soluciones de la ecuación de segundo grado son y Deshacemos el cambio de variable: entonces, En este caso no podemos aplicar la igualación de base y lo que hacemos es tomar logaritmos en base 2 a ambos lados del igual: y Desarrollos logarítmicos 1 Tomamos logaritmos y aplicamos la propiedad del cociente Aplicamos la propiedad del producto Aplicamos la propiedad de la potencia
2 Tomamos logaritmos en ambas partes del igual Aplicando la propiedad del cociente Aplicando la propiedad del producto Quitando parentesis y aplicando las propiedades de la potencia y de la raiz 3 Tomando logartimos y aplicando las propiedades correspondientes Reduciendo nos queda 4 Aplicamos la propiedad del producto Aplicamos la propiedad de la raiz Volvemos a aplicar la propiedad del producto y la de la potencia Logaritmos naturales o neperianos Los logaritmos naturales o logaritmos neperianos son los que tienen base e Se representan por ln (x) o L(x) Los logaritmos neperianios deben su nombre a su descubridor John Neper y fueron los primeros en ser utilizados El logaritmo neperiano de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para obtener x ln 1 = 0 e 0 = 1
Propiedades de los logaritmos naturales ln 1 = 0 ln e = 1 ln e n = n ln (x y) = ln x + ln y (ln x) / (ln y) = ln x - ln y ln x n = n ln x Ejemplo 222 Gráfica de La Función Logarítmica En las figuras 3 y 4, aparecen las gráficas de las funciones e, en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas e Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii) Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x
fig 3 fig 4