IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS SISTEMAS LINEALES Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS Ing. Fredy Ruiz Ph.D. ruizf@javeriana.edu.co Maestría en Ingeniería Electrónica Pontificia Universidad Javeriana 2013
Sistema Un sistema S es un operador que relaciona una señal u(t) denominada entrada con una señal y(t) denominada salida. y(t)=s(u(t)) El sistema es lineal si: S(a u 1 (t) + b u 2 (t) +.. ) = a S(u 1 (t) + b S(u 1 (t)) +...)
Sistema El sistema es invariante con el tiempo si su respuesta a una entrada no depende del instante en el cual viene aplicada. y(t-t')=s(u(t-t')) El sistema es causal si su respuesta al instante t depende solo de los valores de la entrada para t' t
Sistemas LTI u(t) S y(t) Un sistema lineal e invariante con el tiempo relaciona entrada-salida como: y(t)= g(t ')u(t t ' )dt ' Donde g(t') es la respuesta al impulso de S. Si S es causal g(t')=0 para t'<0. g(t') contiene toda la información del sistema.
Sistemas LTI en tiempo discreto En el curso trabajamos únicamente con sistemas en tiempo discreto. En la práctica las señales son muestreadas. En este caso y(t)= k= Si el sistema es causal: y(t)= k=0 g(k)u(t k ) g (k)u(t k)
Modelos con perturbaciones Consideramos dos tipos de señales no manipulables Ingresos no medibles, e.g. Torque de carga en un motor Rafagas de viento en un avion Ruido de medida Ruido térmico, deriva y otros efectos de la instrumentación v(t) u(t) S + y(t)
Modelos con perturbaciones Consideramos dos tipos de señales no manipulables Ingresos no medibles, e.g. Torque de carga en un motor Rafagas de viento en un avion Ruido de medida Ruido térmico, deriva y otros efectos de la instrumentación y(t)= k=0 g (k)u(t k)+v(t )
Modelos de perturbaciones Señales desconocidas. Se describen por sus propiedades estadísticas. 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Modelos de perturbaciones Señales desconocidas. Se describen por sus propiedades estadísticas. v(t) es un proceso estocástico: Secuencia de variables aleatorias!!! 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Modelos de perturbaciones Señales desconocidas. Se describen por sus propiedades estadísticas. v(t) es un proceso estocástico: Secuencia de variables aleatorias!!! 4 3 2 1 0-1 -2 Cómo se describe?????? -3-4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Modelos de perturbaciones Señales desconocidas. Se describen por sus propiedades estadísticas. v(t) es un proceso estocástico: Secuencia de variables aleatorias!!! Cómo se describe?????? F ( X (t 1 ),..., X (t k ))(x 1, x 2,..., x k ) fdp conjunta
Procesos estocásticos F ( X (t 1 ),..., X (t k ))(x 1, x 2,..., x k )= fdp conjunta Esta representación es muy compleja Se requieren infinitas fdp, una por cada valor k Primeros momentos: Valor medio μ X (t k )=E X (t k )= x F X (t (x ;t ) k k )dx Autocorrelación R XX (t k,t l )= xk x l F ( X (t k ), X (t l )) ( x k, x l ;t k,t l )dx k dx l
Procesos estacionarios Si las propiedades estadísticas no cambian al desplazar el tiempo, el proceso es estrictamente estacionario: F ( X (t 1 ),..., X (t k ))(x 1, x 2,..., x k )=F ( X (t1 +τ),..., X (t k +τ))( x 1, x 2,..., x k ) Esto es imposible de verificar: Para todo τ Para todas las combinaciones de tiempo: t 1, t 2,, t k
Procesos estacionarios Proceso estacionario en sentido amplio: El valor medio es constante: E X (t k )= x F X (t (x ;t ) k k )dx=μ X La autocorrelación depende de la diferencia entre los tiempos de observación: R XX (t k,t l )=R X (t k t l )=R X (τ)
Procesos estacionarios Proceso estacionario en sentido amplio Además: R X (0)=E [ X 2 (k)] R X (τ)=r X ( τ) R X (τ) R X (0)
Ergodicidad Un proceso estacionario es ergódico de primer orden si: La media temporal converge a la media estadística: μ X (T )= 1 T T 1 0 x(t) lim T E [μ X (T )]=μ x lim T var [μ X (T )]=0
Ergodicidad Un proceso estacionario es ergódico de segundo orden si: -: La correlación temporal converge a la correlación estadística: R X (τ,t )= 1 T T 1 t=0 x(t+τ) x(t) lim T R X (τ,t )=R X (τ) lim T var [ R X (τ,t )]=0 Se puede definir ergodicidad de cualquier orden.
Ruido blanco Secuencia de variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas (i.i.d.), con media cero y varianza conocida. No se especifica la distribución, puede ser Gausiana: N(0,λ) útil para obtener resultados formales Uniforme: Buena representación del ruido de medida Arbitraria
Procesos estocásticos a través de sistemas lineales Sea v(t) P.E. estacionario en sentido amplio, con: E{v(t)} valor esperado E{v(t)v(t-t')} Autocorrelación Qué sucede al aplicar v(t) como entrada a un sistema LTI con respuesta impulso g(t)? v(t) g(t) y(t)
Propiedades de y(t) Valor esperado de y(t) Condiciones para su existencia? Covarianza de y(t)
Propiedades de y(t) Densidad espectral de potencia
Propiedades de y(t) Relaciones entrada-salida en frecuencia
Dado un sistema con respuesta impulso Escribir la ecuación de diferencias Calcular la función de transferencia Graficar la respuesta en frecuencia Ejercicios y(t)=g(z)e(t) g(0)=1, g(1)=-0.5, g(t)=0 para t<0 y t>1. Si e(t) es ruido blanco con varianza 1, obtener analíticamente Ry(t') y el espectro de potencia de y(t). En matlab: Generar un vector e(t) de longitud N=100. distribuido gausaino con media cero. Obtener su función de correlación y su espectro de potencia (ver funciones idinput, covf, spa, idpoly) Simular el sistema. Obtener la función de correlación y el espectro de potencia de y(t) y confrontar con el obtenido teóricamente Repetir para N=1000, N=10000 y analizar las diferencias.