EJERCICIOS 00 Calcula el valor numérico de las epresiones. a) + si d) + si b) + y si y e) + si c) + si a) 8 + b) + 8 c) 7 + + 9 d) + e) + 00 Señala cuáles de estas igualdades son identidades o ecuaciones. a) ( ) + ( ) + b) ( ) ( ) ( ) a) + + + + + 7 + 7 Igualdad b) 8 + + 7 + 7 Es cierta solo para ( ) 7( ) + 7 78 9 + 7 00 Escribe dos identidades y dos ecuaciones. Identidades: 7 + 8 9 + 7 7( ) + Ecuaciones: + 8 + 8 + 00 Determina los elementos de estas ecuaciones. a) ( + 9) b) + c) ( ) + + + a) Primer miembro:. Segundo miembro: ( + 9). Incógnita:. Grado:. b) Primer miembro: +. Segundo miembro:. Incógnita:. Grado:. c) Primer miembro: ( ) + +. Segundo miembro: +. Incógnita:. Grado:. 0
SOLUCIONARIO 00 Cuál de los siguientes números es solución de la ecuación 9 ( )? a) b) c) d) 9 ( ) a) 9 0 9 ( ) ( ) No b) ( ) 9 9 No ( ) ( 8) c) 9 70 9 No ( ) 9 d) ( ) 9 9 La solución es ( ) ( ) 00 Escribe dos ecuaciones que tengan como solución. + 7 007 Escribe dos ecuaciones que tengan: a) Dos soluciones. b) Ninguna solución. c) Infinitas soluciones. a) + b) + 9 0 + + 0 c) + ( + ) + + + + 008 Resuelve aplicando las reglas de la suma y el producto. a) + d) 8 b) e) 7 c) f) a) + + b) + + c) 8 ( )( ) ( )8 8 d) 8 8 8 e) 7 7 8 f) 0
009 00 0 0 Calcula. a) + b) 7 + 8 7 c) d) a) + + 7 9 b) 7 + 8 7 7 + 8 8 7 8 7 9 7 7 7 0 c) + + 0 d) + + Resuelve. a) + c) 7 b) d) 8 + a) + + + + 7 7 7 7 7 b) + + + + 0 c) 7 7 + + + + d) 8 + 8 + 8 + + 8 0 0 Halla la solución de esta ecuación: ( + ) +. ( + ) + + +. Es una identidad: infinitas soluciones. Resuelve estas ecuaciones. a) + + + d) + b) + + 9 e) 9 + + + c) + 8 + f) + + + 9 a) + + + + + 0 b) + + 9 Identidad c) + 8 + 8 d) + 7 7 + 0 Ecuación incompatible e) 9 + + + 9 9 + 9 9 + 0 Ecuación incompatible f) + + + 9 8 + 0
SOLUCIONARIO 0 Indica si el paso es correcto o no. a) + + b) 9 a) +. Sí es correcto. b) 9 +. No es correcto. 0 Qué pasa cuando en los dos miembros de una ecuación aparece un mismo término? Entonces podemos eliminarlo de los dos miembros, porque transponiendo uno quedaría la suma de uno de ellos más su opuesto. 0 Resuelve. a) ( ) b) 0 ( 7) a) ( ) + 0 + 0 0 + 0 0 b) 0 ( 7) 0 + 7 0 9 0 + 9 9 0 Calcula el valor de. a) b) c) + + + 7 + 7 + + m.c.m. (, ) + + a) ( + ) ( + ) + + 0 + 7 ( + 7) b) 0 0 0 F m.c.m. (, ) 0 ( + 7) 0 0 0 + c) 7 + + 7 + 0 7 F m.c.m. (, ) 0 0 7 0 0
07 Resuelve estas ecuaciones. ( ) ( ) a) ( + ) ( + ) b) + 8 a) ( ) ( ) ( ) ( ) F 7 b) + m.c.m. (, ) 8( ) ( ) 0 8 8 + 0 0 ( + ) ( + ) 8 7 F m.c.m. (, 8) ( + ) ( + ) + ( 7 ) 8 8 + ( + ) 9( + ) (7 ) 8 + + 0 9 8 7 8 7 + 7 8 + 8 8 8 08 09 Escribe una ecuación de primer grado con paréntesis y denominadores que tenga como solución. + + ( + ) Resuelve. a) 7 + 0 d) 9 + 0 b) 9 + 8 0 e) + 8 0 c) 8 + 8 0 f) + + 9 0 a) 7 7 7 + 0 ( ) ± ( ) 7 ± 9 8 7 ± 7 ± 9 9 8 b) 9 + 8 0 ( ) ± ( ) 9 ± 8 7 9 ± 9 9 ± 0
SOLUCIONARIO c) 8 + 8 0 ± ( 8) ( 8) 8 8 ± 8 9 9 d) 9 + 0 ( ) ± ( ) 9 ± 8 9 ± 9 ± 7 e) 8 + 8 0 ( ) ± ( ) ± ± ± f) 9 + + 9 0 ± ± 08 ± ± 00 Epresa de la forma a + b + c 0 y resuelve. a) 0 b) 8 0 c) 8 d) + 9 0 0 a) 0 0 ( ) ± ( ) + ± + 80 ± 8 ± 9 b) 8 0 + 0 8 0 ± 0 0 + 8 0 ± 00 + 8 0 ± 8 0 ± 8 c) 8 + 8 0 ± + 8 ± ± 9 ± 00 ± 0 8/ / d) + 9 0 0 + 9 0 ± ( 0) ( 0) 9 0 ± 0 ± 8 9 0 ± 00 07
0 0 Resuelve estas ecuaciones. a) 98 0 b) + 0 0 7 a) 98 0 98 9 ± 9 7 b) + 0 0 + 0 ( + ) 0 0 0 + 0 Otra forma: + 0 0 0 ± 0 0 0 ± 00 0 0 0 ± 0 0 0 Determina el número de soluciones de las ecuaciones de segundo grado. a) 7 0 b) + 9 + 8 0 c) + 0 a) Δ ( 7) ( ) 9 + 8 97 > 0 Tiene soluciones b) Δ 9 8 8 7 9 > 0 Tiene soluciones c) Δ ( ) < 0 No tiene solución 0 Halla cuántas soluciones tienen estas ecuaciones de segundo grado. Después, calcula su valor. a) + 0 d) + 9 0 b) 0 e) 7 + c) f) 8 a) ± + 0 ± 0 ± + 0 0 b) 0 + 0 0 ± 0 0 + 0 ± 0 ± 00 + 0 + 0 08
SOLUCIONARIO c) ( ) ± ( ) 0 0 ± ± 0 ( ) ± ( ) 9 d) + 9 0 ± e) 7 + 7 + 0 ± ( ) ( ) 7 7 ± ± 7 No tiene soluciones reales ± 8 ± 8 + 7 7 ± f) 8 ± No tiene soluciones reales 8 8 0 0 Calcula el valor del discriminante y las soluciones en cada caso. a) + 0 c) b) 0 0 d) + 0 a) Δ( ) > 0 Tiene soluciones b) 0 + 0 0 0 0 Δ( 0) 00 00 0 Tiene solución (doble) c) + 0 Δ( ) 0 < 0 No tiene solución c) 0 + Tiene soluciones Δ 0 Escribe una ecuación de segundo grado: a) Con dos soluciones. b) Con una solución doble. c) Sin solución. a) + 7 + 0, b) + + 9 0 (doble) c) + 0 No tiene soluciones reales 09
0 07 Resuelve. a) 9 0 f) + 0 b) 7 0 g) + 9 0 c) 0 h) 0 + 0 d) 7 i) e) 0 j) 0 0 0 a) 9 0 9 0 ( ) 9 0 9 0 0 b) 7 0 7 0 ( ) 7 0 7 0 0 c) 0 ( ) 0 0 / 0 0 d) 7 0 ( 7 ) 0 7 0 /7 e) 0 0 f) 0 0 + ( + ) + 0 0 0 g) + 9 0 + 9 0 ( ) + 9 0 9 0 0 h) 0 + 0 ( 0 + ) 0 0 + 0 /0 0 0 i) + 0 ( + ) 0 + 0 / 9 j) 0 8 9 Calcula. a) 900 9 c) 0 b) ( ) 7 d) ( )( + 7) 0 a) 900 9 ± 00 00 0 / 0 / b) ( ) 0 0 0 0 ± ( ) ( ) + 0 0 ± +. 00 0 0 ±. ± 0 0 0/ 0 / 0
SOLUCIONARIO c) 0 + 0 0 ± ( ) ( ) + 0 ± 9 ± 7 0 d) ( )( + 7) 0 + 7 0 7/ 08 09 Escribe una ecuación de segundo grado con algún coeficiente igual a cero y dos soluciones. 0 ± La suma de dos números es 8. Si uno es la mitad del otro, qué números son? Sean los dos números y. + 8 8 Los dos números son y. 00 María tiene tebeos menos que Sara. Si María le da de sus tebeos, Sara tendrá el triple que ella. Cuántos tebeos tiene cada una? Tebeos de María: Tebeos de Sara: + + + ( ) + + María tiene tebeos y Sara 0. 0 A una fiesta asisten personas. Si se marchasen chicos, habría el triple de chicas que de chicos. Cuántos chicos y chicas hay? N.º de chicos: N.º de chicas: ( ) 9 9 Sustituimos: 0. Hay chicos y 0 chicas. 0 La suma de dos números consecutivos impares es. De qué números se trata? Sean los dos números y + + + 77 Por tanto, los números son 77 y 79. 0 El producto de un número por el doble de ese mismo número es 88. Qué número es? Eiste más de una solución? Número: 88 88 ± Tiene dos soluciones: y.
0 Alberto tiene el doble de edad que Ana. Si multiplicamos sus edades obtenemos el número. Qué edad tiene cada uno? Edad de Ana: Edad de Alberto: ± Como la edad es un número positivo, la solución es única. Ana tiene años y Alberto años. 0 La suma de un número y su cuadrado es. De qué número se trata? + + 0 ± + ± 9 ± 7 Eisten dos soluciones: Para + + Para 7 ( 7) + ( 7) 9 7 0 El producto de las edades de Luisa y su hermano, que tiene años menos que ella, es 7. Cuántos años tienen ambos? Edad de Luisa: ( ) 7 7 0 Edad de su hermano: ± ( ) ( ) + 7 ± + 70 ± 79 ± 7 La segunda solución no es válida (una edad no puede ser negativa), así que la edad de Luisa es años y la de su hermano: años. 07 Encuentra dos números consecutivos tales que al multiplicarlos se obtenga como resultado 80 unidades. Sean los dos números y +. ( + ) 80 + 80 0 ± + 80 ±. ± 9 9 0 Eisten dos soluciones: Para 9 Los números son 9 y 0. Para 0 Los números son 0 y 9.
SOLUCIONARIO 08 Para vallar una finca rectangular de 70 m se utilizan 0 m de cerca. Calcula las dimensiones de la cerca. Los lados miden y. El área será: A ( ) 70. Para hallar la medida de los lados resolvemos la ecuación de segundo grado: ( ) 70 70 + 70 0 ± 70 ±. 0. 000 ± ± 0 ACTIVIDADES 09 Determina si las siguientes igualdades algebraicas son identidades o ecuaciones. a) + ( ) + 8 b) 7 + c) + + 8 d) ( + ) a) + ( ) + 8 + + 8 + + Identidad b) 7 + 7 + Ecuación c) + + 8 + Ecuación d) ( + ) + + Identidad 00 Indica los miembros de estas ecuaciones. a) + b) 7 + c) + + d) ( + ) ( ) a) +. er miembro.º miembro b) 7 +. er miembro.º miembro c) + +. er miembro.º miembro d) ( + ) ( ). er miembro.º miembro
0 0 0 0 0 Señala los términos de las ecuaciones. a) + c) + 7 + + b) 9 + d) 9( + 7) ( ) a) + Términos:,, b) 9 + Términos:,, 9,,, c) + 7 + + Términos:,, 7,,, d) 9( + 7) ( ) 9 + + Términos: 9,,,, Indica el grado de las siguientes ecuaciones. a) 8 + 0 b) + 0 c) + 7 0 d) a) Grado. b) Grado. c) Grado. d) Grado. Cuál de estos números es solución de la ecuación ( ) +? a) b) c) 0 d) e) f) La solución es: c) 0, ya que 0(0 ) 0 + 0. Es el valor solución de alguna de las ecuaciones? a) 0 c) 8 e) 0 b) + 0 d) + 8 + f) + 8 + 8 a) Sí, 0. d) No, + 8 +. b) No, + 0. e) No, 8 0. c) No, 8. f) No, + 8 + 8. Escribe una ecuación: a) Con dos incógnitas y términos independientes y. b) Con una incógnita y solución 7. c) Con incógnita z y solución 9. a) y + + y b) 9 7 c) z 0 z 0 9 z 9 0 Averigua cuáles de las siguientes ecuaciones tienen como solución. a) c) e) 8 b) 8 d) f) a) Sí,. c) No,. e) Sí,. b) No,. d) No,. f) No,.
SOLUCIONARIO 07 Escribe dos ecuaciones en cada caso. a) Que tengan como solución. c) Que su solución sea. b) Que tengan como solución. d) Que su solución sea. a) y + c) 0 y 0 b) y 9 d) + 0 y 08 Resuelve. a) 0 e) + b) 9 + f) + 7 c) g) + 0 9 d) + h) 9 a) 0 0 7 b) 9 + 9 + 9 9 7 c) + + d) + + 8 8 e) + f) + 7 7 7 7 g) + 0 9 0 9 + 00 0 h) 9 + 9 09 Halla la solución de estas ecuaciones. a) + + d) + 0 + 0 g) 9 + 8 7 + b) + 7 + e) 7 h) c) + 0 7 + f) 0 0 i) 9 8 8 9 a) + + + 7 7 b) + 7 + 7 9 c) + 0 7 + 0 7 8 0 d) + 0 + 0 0 0 0 e) 7 + 7 + f) 0 0 + 0 + 0 0 g) 9 + 8 7 + 9 + 7 8 8 9 h) + + 9 i) 9 8 8 9 9 8 9 + 8
00 Corrige los errores en la resolución de la ecuación. En el tercer paso, al despejar, el debe pasar dividiendo con el mismo 0 signo con el que multiplica a, en este caso positivo,. 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN CON PARÉNTESIS? Resuelve ( ) ( ). PRIMERO. Se eliminan los paréntesis, teniendo en cuenta que si hay un signo menos delante de un paréntesis se cambian todos los signos de su interior. ( ) ( ) + + SEGUNDO. Agrupamos los términos con en un miembro, y los números, en el otro. + + + TERCERO. Reducimos los términos semejantes. + + CUARTO. Despejamos. 0 Resuelve. a) ( + ) 0 + ( + ) d) 0 ( 7) b) ( 7) ( ) e) ( + ) 7( ) c) ( ) f) ( + 7) ( + 8) a) ( + ) 0 + ( + ) + 0 + + + + 0 No tiene solución b) ( 7) ( ) + 7 7 + c) ( ) + 0 d) 0 ( 7) 0 + 7 0 + 9 9 e) ( + ) 7( ) + 0 7 7 0 7 f) ( + 7) ( + 8) + + + +
SOLUCIONARIO 0 0 Resuelve estas ecuaciones. a) 9 c) e) 0 b) 7 d) 8 f) a) 0 0 0 b) c) d) 7 8 7 8 7 e) f) 9 9 9 0 0 Escribe una ecuación: a) Que tenga un paréntesis y solución. b) Que tenga un denominador y solución. c) Que tenga dos paréntesis y solución. ( ) a) b) c) ( ) ( ) 0 Resuelve. a) c) + 0 + b) + 7 d) a) + 7 b) + 7 7 + 7 9 c) d) + 0 + 0 0 + + + 7
0 Calcula el valor de. a) + 7 + 9 d) + b) e) c) + + f) + 8 8 0 + + 0 0 0 a) + 7 + 9 9 7 0 m.c.m. (, ) 0 8 0 0 8 + b) + 8 8 0 0 c) + + 0 ( + ) 0 + F m.c.m. (, ) 0 F 0 8 0 + 8 8 0 + 8 0 + 8 8 d) + 8 ( + 8) ( ) F e) m.c.m. (, ) ( + 8) ( ) + + + 8 8 8 8 0 + + m.c.m. (, ) 0 ( ) ( 8 ) ( 0) 0 + 0 + 0 0 ( ) + (8 ) + ( 0) 0 0 + 0 + 0 0 0 F 7 0 0 7 0 0 7 f) 0 0 0 F m.c.m. (,, ) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) 0 0 + 0 + 0 0 + 0 0 0 0 0 0 8
SOLUCIONARIO 07 Obtén la solución de estas ecuaciones. 0 ( ) a) d) b) ( + ) e) c) + + 0 + ( ) 7 ( + ) + 0 a) 0 ( ) ( 0) ( ) F m.c.m. (, ) ( 0) 9( ) 8 0 9 + 08 + 8 8 80 80 b) ( + ) 0( + ) 0 0 + 0 + 7 7 c) d) e) + + 0 m.c.m. (, ) 0 ( ) ( + ) 0 + 0 0( 0 ) ( ) + ( + ) 0(0 ) 8 0 + + 00 0 + 0 00 + + ( ) + ( ) 7 7 ( ) + ( ) + + 8 8 ( + ) + 0 F F m.c.m. (0, ) 0 0 0 0 0 ( + ) + 0 ( ) + 0.0 ( + ) + 0.0. 8 7 +. + 9.8 9 F (: ) 9
08 Está bien resuelta esta ecuación? Averígualo comprobando su solución. Corrige los errores que se han cometido. 7. o Se calcula el m.c.m. m.c.m. (7, ) 8. o Se multiplica por 8. ( ) 7( ). o Se eliminan paréntesis. 7 7. o Se transponen términos. + 7 7 +. o Se reducen términos.. o Se despeja la..º No se ha multiplicado por : ( ) 7( ).º Está mal aplicada la propiedad distributiva: 8 7 + 7.º + 7 7 + 8.º Está mal sumado:.º Se ha despejado mal la : 7 09 Resuelve. ( + ) ( + )( ) a) ( ) ( ) b) ( ) c) a) ( + ) ( + )( ) + 8 0 ± + ± + 97 7 97 97 b) ( ) ( ) + 0 8 c) ( ( )) + 0 0
SOLUCIONARIO 00 Resuelve las ecuaciones de segundo grado aplicando la fórmula general. a) + 0 e) + 0 b) + 0 f) 7 + 0 c) + 8 + 0 g) + 0 d) + 0 a) ± ± + b) ± 0 ± 88 c) 8 ± 8 ± 0 ( doble) d) ± + ± + 9 9 8 e) ± ± 0 No tiene solución ( doble) f) g) ± 9 8 ± 9 No tiene solución ± + ± + 0 Sin resolverlas, averigua el número de soluciones de estas ecuaciones. a) + + 0 e) + 8 + 0 b) + 8 0 f) + 0 c) 8 + 0 g) 7 + 0 d) + + 0 a) Δ > 0: soluciones. b) Δ + 00 > 0: soluciones. c) Δ 0: solución. d) Δ + > 0: soluciones. e) Δ 0: solución. f) Δ 0 88 < 0: sin solución. g) Δ9 8 9 < 0: sin solución.
0 Determina el número de soluciones de las siguientes ecuaciones. a) 0 e) 0 b) + 0 f) 7 c) + 0 g) + + + d) + 8 + 0 a) 0 ± b) 0 + 0 ( + ) 0 + 0 c) + 0 ± ( ) ( ) ± d) + 8 + 0 ± 8 8 8 ± e) 0 ± ( ) ( ) + ± + 8 ± + f) 7 7 + 0 ( 7) ± ( 7) 7 ± 9 8 7 ± g) + + + + 0 + 0 ± + ± 0 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado incompletas. a) 8 0 e) 8 0 b) + 0 0 f) 0 c) + 7 0 g) 0 d) 0 h) 0 a) ± 8 b) No tiene solución c) ( + ) 0, d) ± e) 8( + ) 0, f) ( + ) 0, g) ± h) ( ) 0,
SOLUCIONARIO 0 Resuelve las ecuaciones por el método más adecuado. a) 7 b) 0 c) 0 d) 0.000 e) f) 70 0 g) + h) 00 i) 7 0 j) k) 9 l) + 7 0 a) 7 9 ± b) 0 0 + ± c) 0 ± d) 0.000 ±00 e) ± f) 70 0 70 ± g) + ± h) 00 00 + ± i) 7 0 7 ± j) 9 ± k) 9 9 9 ± l) + 7 0 7 ± 9 + 0 ± 7 0
0 Resuelve. a) 7 0 b) + 0 c) 0 d) 0 0 e) ( ) 0 f) 0 g) h) i) 00 0 j) 0 a) 0 7 0 ( 7) 0 7 0 7 0 b) 0 + 0 ( + ) 0 + 0 0 c) 0 0 ( ) 0 0 0 d) 0 0 0 ( 0) 0 0 0 0 0 0 e) ( ) 0 0 0 f) 0 0 ( ) 0 0 g) 0 0 0 0 ( ) 0 0 h) 0 ( ) 0 0 0 0 0 i) 0 00 0 ( ) 0 0 j) 8 0 ( ) 0 0 0 0
SOLUCIONARIO 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES EN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A CERO? Resuelve la ecuación ( )( + ) 0. Para que un producto de varios factores valga cero, al menos uno de los factores ha de ser cero. PRIMERO. Se iguala a cero cada uno de los factores. ( )( + ) 0 0 + 0 SEGUNDO. Se resuelven las ecuaciones resultantes. ( )( + ) 0 0 + 0 La ecuación tiene dos soluciones: y. 07 Calcula sin aplicar la fórmula general. a) ( + )( ) 0 b) ( )( + ) 0 c) ( + )( ) 0 d) ( ) 0 e) ( ) + f) 0 + a) 0 0 + b) 0 0 + 0 c) 0 0 d) 0 (doble) e) ( ) 0 0 (doble) 0 0 f) 0 0 (doble)
08 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) ( + )( ) + 0 e) ( + )( ) b) ( + 9)( 9) ( 7) f) 8 c) ( ) d) ( ) g) 7 + 0 a) ( + )( ) + 0 + + 0 0 0 0 ( ) 0 0 b) ( + 9)( 9) ( 7) 8 8 0 0 0 ( ) 0 0 c) ( ) 0 ± + 780 ± 8 d) ( ) + + 0 + + 8 0 ± + 8 ± + ( ) ± e) ( + )( ) 9 ± f) g) 8 8 0 ± ( / ) ( / ) + 8 / ± ( 9/ ) + 7 / ± ( 9 +. ) / / ± / ( / + / ) / 8 8 ( / / ) 8/ 9 7 7 7 + 0 ( ) ± ( ) / ± + 7 9 7
SOLUCIONARIO 09 Escribe una ecuación de segundo grado, con todos sus coeficientes distintos de cero, que tenga una solución doble. La ecuación es + + 0. ± 070 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES? ( ) Resuelve +. PRIMERO. Eliminar los denominadores. Se calcula el m.c.m. de los denominadores y se multiplican los dos miembros de la ecuación por él. m.c.m. (, ) ( ) + ( ) ( ) ( + ) SEGUNDO. Quitar los paréntesis. ( + ) + + + + + TERCERO. Pasar todos los términos al primer miembro y operar. + + 0 0 CUARTO. Simplificar la ecuación, si se puede, y resolverla. Dividimos entre 0 F 0 ± + ± QUINTO. Comprobar las soluciones. ( ) 9 7 + + ( ) ( ) ( ) + 7 7
07 Resuelve las siguientes ecuaciones. ( ) a) + ( )( + ) + + b) 0 c) ( + ) d) ( ) + ( )( ) ( ) e) ( )( + ) + ( + )( ) f) + 0 a) ( ) + 8 + 8 + + 8 0 + 0 ± + ± + 9 b) ( )( + ) 0( + ) ( + ) 8 0 0 + 0 8 0 9 0 ±. 07 +. 9 ±. 7 Tiene soluciones c) + + 0 + + 0 ± 8 ± Sin solución d) + 7 + + 0 ± + ± + e) + + 8 0 f) + 0 + 0 07 07 Encuentra dos números consecutivos que sumen. Los dos números son y + + + 0 Por tanto, los números son y. Calcula un número tal que su doble y su triple sumen 0. El número es + 0 0 8
SOLUCIONARIO 07 Encuentra un número tal que, al sumarle, resulte el doble del número menos una unidad. El número es + ( ) 07 Halla dos números consecutivos, sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es 7. Los dos números son y +. ( + ) 7 + + 7 8 Los números son 8 y 8. 07 El precio de un anillo y su estuche es de 0.00 y el anillo vale 0.000 más que el estuche. Cuál es precio de cada artículo? Estuche:. Anillo: + 0.000 + + 0.000 0.00 00 00. El estuche cuesta 00 y el anillo 0.00. 077 Una bodega eportó en enero la mitad de sus barriles, y a los dos meses, un tercio de los que le quedaban. Cuántos barriles tenía al comienzo si ahora hay 0.000 barriles? Barriles:. Eporta en enero: y en los dos meses siguientes:. 0. 000 0. 000 0. 000 0.000 barriles 078 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE EDADES MEDIANTE ECUACIONES? El perro de Ále tiene años menos que él. Dentro de años, Ále tendrá el triple de la edad de su perro. Cuáles son sus edades? PRIMERO. Planteamiento. Edad de Ále Edad del perro Actualmente Dentro de años + + 8 Dentro de años, la edad de Ále será el triple que la del perro: + ( 8). SEGUNDO. Resolución. + ( 8) + 8 TERCERO. Comprobación. Ále tiene años y su perro años. En años, Ále tendrá 8 años y su perro años, 8. 9
079 Miguel tiene años más que su primo Ignacio y, dentro de años, entre los dos sumarán 0 años. Cuántos años tiene cada uno? Ignacio:. Miguel: + ( + ) + ( + + ) 0 0 Ignacio: años y Miguel: 9 años. 080 Qué edad tengo ahora si dentro de años tendré el triple de la edad que tenía hace años? Edad actual: + ( ) 0 años 08 Lucía tiene tres hijos. El pequeño tiene la mitad de años que el mediano, y este tiene años menos que el mayor. Calcula las edades de los tres, sabiendo que la suma de sus edades actuales es igual a la edad de su prima Ana, que es años mayor que el hermano pequeño. Mayor: Mediano: Pequeño: Ana: + + + 8 9 Mayor: 9 años. Mediano: años. Pequeño: año y medio. + 08 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE MEZCLAS MEDIANTE ECUACIONES? Disponemos de dos tipos de té: uno de Tailandia, a,0 /kg, y otro de la India, a,0 /kg, y queremos obtener 00 kg de té a /kg. Cuántos kilos hemos de mezclar de cada tipo? PRIMERO. Planteamiento. Té tailandés Té indio Mezcla Kilos 00 00 Precio,,(00 ), +,(00 ), + 00, ( ) Precio por kg de mezcla 00 SEGUNDO. Resolución., + 00, ( ) 00, + 0, 00 0 TERCERO. Comprobación. Necesitamos 0 kg de té de Tailandia y 00 80 kg de té de la India., 0+, 80 El kilo de mezcla vale:. 00 0
SOLUCIONARIO 08 08 08 Cuántos litros de leche de 0,7 / hay que mezclar con leche de 0,8 / para conseguir 00 litros a 0,77 /? Leche de 0,7 : Leche de 0,8 : 00 0,7 + 0,8(00 ) 00 0,77 8 0, 77 80 Hay que mezclar 80 litros a 0,7 / y 0 litros a 0,8 /. En una fábrica de ladrillos se mezcla arcilla de la tonelada con arcilla de la tonelada. Cuántas toneladas de cada clase hay que emplear para conseguir 00 toneladas de arcilla a 9 la tonelada? Arcilla a /t:. Arcilla a /t: 00 + (00 ) 00 9.00 9.00 0 0 t a /t y 80 t a /t En una papelería se han vendido cajas de papel del tipo A y cajas del tipo B por 7.700. Cuál es el precio de la caja de cada tipo si el precio de la caja del tipo B es la del tipo A? Tipo A: Tipo B: + + 7. 700 7 +. 00 0.000 0. Caja del tipo A: 0. Caja del tipo B: 7. 08 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE MOVIMIENTO MEDIANTE ECUACIONES? Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 80 km/h y, dos horas más tarde, sale un coche de la misma ciudad a 0 km/h. A qué distancia de la ciudad alcanzará el coche al camión? PRIMERO. Planteamiento. Tiempo transcurrido desde que sale el coche hasta el encuentro Distancia que recorre el camión Distancia que recorre el coche Ventaja Momento del encuentro 80 80 + 80 0 La distancia recorrida por los dos vehículos al encontrarse es la misma 80 + 80 0 SEGUNDO. Resolución: 80 + 80 0 0 0 80 TERCERO. Comprobación. Se encuentran horas después de la salida del coche, es decir, a las horas de la partida del camión. El camión, en horas, recorre: 80 80 km. El coche, en horas, recorre: 0 80 km.
087 Esther viaja de Sevilla a Barcelona en su coche. Sale a las 8 de la mañana y lleva una velocidad constante de 90 km/h. A 0 km de Barcelona, Juan coge, a esa misma hora, un autobús que viaja a 70 km/h, con la misma dirección que Esther. A qué hora se encuentra Esther con el autobús? Qué distancia ha recorrido cada uno? El tiempo que tardan en encontrarse es. 90 0 + 70 0 0, horas. Luego se encuentran a las h 0 min. La distancia recorrida por Esther es:, 90 9 km y la de Juan: 9 0 8 km. 088 A las 7 de la mañana, Tomás sale de Zamora con dirección a Cádiz, distantes entre sí 0 km, a una velocidad de 7 km/h. A la misma hora, Natalia sale de Cádiz y se dirige hacia Zamora en la misma carretera que Tomás a una velocidad de 0 km/h. A qué hora se cruzarán? Y a qué distancia estarán de Cádiz? Siendo el tiempo que tardan en encontrarse, y considerando que están a una distancia de 0 km: 7 + 0 0 0,888 horas h min 0 s. Se cruzarán a las h min 0 s y estarán a,888 0 9, km de Cádiz. 089 Un terreno rectangular tiene una superficie de.79 m y mide 0 m más de largo que de ancho. Calcula sus dimensiones. Ancho:. Largo: + 0 ( + 0).79 + 0.79 0 ± + ± 0 + 8 7 0 00. 9 0 7. 0 0 8 7 Las dimensiones son 7 m de ancho y 7 m de largo. La otra solución no es válida por ser negativa. 090 Si un campo de fútbol mide 0 m más de largo que ancho y su área es 7.000 m, halla sus dimensiones. Ancho:. Largo: + 0 ( + 0) 7.000 + 0 7.000 0 0 ± 900 + 8. 000 0 ± 8. 900 0 70 + 70 0 70 00 Las dimensiones son 70 m de ancho y 00 m de largo. La otra solución no es válida por ser negativa.
SOLUCIONARIO 09 Encuentra dos números que se diferencien en 7 unidades, sabiendo que su producto es 0. Menor:. Mayor: + 7 ( + 7) 0 + 7 0 0 ± + ± 7 + 7 7 9 0 7 89 7 7 Las soluciones son y o y. 09 En un triángulo rectángulo de m de perímetro, la longitud de un cateto es igual a los tres cuartos de la del otro. Halla sus dimensiones. Cateto : Cateto : Hipotenusa: 9 + + + 8 Cateto 8 m. Cateto m. Hipotenusa 0 m. 09 Para embaldosar un salón de 8 m de largo por m de ancho se han utilizado 00 baldosas cuadradas. Cuánto mide el lado de las baldosas? Mayor: Menor: Diagonal: + ( ) + ( ) 0 + 00 8 0 ± + ± + 9 9 8 Las dimensiones son 8 cm y 0 cm. La otra solución no es válida por ser negativa. 09 La diagonal de un rectángulo mide 0 cm. Halla sus dimensiones si un cateto mide cm menos que el otro. Lado de la baldosa: 00 8 0, 0, La baldosa mide 0 cm de lado.
09 Un cine tiene igual número de filas que de butacas por fila. El propietario decide remodelarlo quitando una butaca por fila y tres filas. Después de la remodelación, el número de butacas es. a) Cuántas filas tenía el cine antes de la remodelación? b) Cuántas butacas hay ahora en cada fila? a) Llamamos n.º de filas n.º de butacas/fila. Se eliminan filas:. Se elimina butaca por fila:. ( )( ) + 0 0 ± + 0 ± +. 80 ± 0 No tiene sentido el valor negativo, por lo que el cine tenía 0 butacas por fila y 0 filas. b) Ahora tiene 0 9 butacas por fila. 09 Vamos a investigar qué ocurre con las ecuaciones de segundo grado cuyo coeficiente de vale, es decir, ecuaciones de la forma: + b + c 0 Para ello seguimos estos pasos. a) Resuelve las cuatro ecuaciones: b) Qué relaciones observas entre las soluciones obtenidas y los coeficientes b y c? c) Encuentra las soluciones de + b + c 0 y luego calcula su suma y su producto. d) Aplicando las relaciones halladas, busca dos números cuya suma sea y su producto.
SOLUCIONARIO a) 7 + 0 ± ± 7 + 7 9 8 7 7 0 0 ± + ± + 7 9 0 9 7 + + 0 ± ± + + 0 ± ± + 0 9 00 0 b) b ( + ), c c) b b c + b b c b b c b b c + + + b b b c + d) + 0 ± b b c b b c ± ( ) + 8 7 c 097 Desarrolla y simplifica la epresión: A ( ) + + ( + ). Encuentra tres números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 0.00. A ( ) + + ( ) A + + + + + A + 0.00 + 0.000 0.000 ±00 Tiene dos soluciones: 99 y 00, 0 y 99, 00 y 0.
098 Resuelve la ecuación: + ( + )( + ) 0 sin utilizar la fórmula general. Para ello factoriza la epresión del primer miembro. + ( + )( + ) 0 ( + )( ) ( + )( ) + ( + )( + ) 0 ( + )[( ) + ( + )] 0 ( + )( + ) 0 EN LA VIDA COTIDIANA 099 A Mariam le quedan pocos días para dar a luz. En su trabajo tienen la costumbre de hacer un regalo a los recién nacidos. Sus compañeros Roberto y Pilar se han encargado de recoger el dinero. Mariam es muy popular en su empresa, la conoce casi todo el mundo, por eso la mayoría de sus compañeros han participado en el regalo. Ayer, Roberto y Pilar estuvieron en unos grandes almacenes y han propuesto comprar un coche de bebé que está de oferta y por el que tendrían que poner 8 cada uno. Como todos estaban de acuerdo, fueron a comprarlo, pero resultó que la oferta había terminado y les faltaban. Lo que podemos hacer es poner cada uno 9 y con los 8 que sobran compramos una camiseta para el niño. Finalmente, Roberto y Pilar me han dicho que de los compañeros hay una persona que no ha puesto dinero para el regalo de Mariam. Crees que es cierto lo que dicen? Personas que participan en el regalo: Precio original: 8 Precio nuevo: 8 + y 9 8 8 + 9 8 Luego lo que han dicho Roberto y Pilar no es cierto, ya que han puesto dinero personas y no.