1. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma. Solución: Los sumandos han de ser e y e. La suma será - ln.. Calcula dos números positivos de modo que al sumarlos resulte 10 y la resta de uno de ellos menos el inverso del otro sea máxima. Solución: El que se invierte debe ser 1 y el otro 9. 3. Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la estructura de la empresa, sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además afirma que el nivel de seguridad de la empresa se puede expresar como la décima parte del producto del número de alarmas de tipo A instaladas por el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su nivel de seguridad? Solución: 3 alarmas tipo A y 6 alarmas tipo B. 4. Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar obreros y comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra x máquinas y contrata y obreros, el número de unidades de producto que puede fabricar viene dado por la función: f ( x, y) = 90x y. Cada máquina le supone una inversión de 500 y cada contrato de un nuevo obrero le cuesta 1500. Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 500 para este fin, determina el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para maximizar la producción. Solución: 3 máquinas y 10 obreros. 5. Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. Qué dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la mayor área posible? -. 1/7.-
Solución: Las dimensiones han de ser 100 m. y 100 m. (cuadrado). 6. Queremos vallar un terreno de forma rectangular que tenga una superficie de 400 metros cuadrados. El precio del metro lineal de valla es de 4 euros. Qué dimensiones debemos dar a dicho terreno para que el coste de la valla utilizada sea mínimo?. Solución: Las dimensiones del solar han de ser 0 m. y 0 m. (cuadrado). 7. Supongamos que el solar del problema anterior tiene 00 metros cuadrados y uno de sus lados, a lo largo del río, requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. Qué dimensiones darán el coste más bajo? Solución: Las dimensiones del solar serán 15 m. para los lados que no queden pegados al río, y 40/3 m. para los otros dos lados (uno de los cuales lleva la valla más costosa). 8. Un aparejador sabe que el rendimiento de los operarios de una constructora, a medida que avanza la jornada laboral, viene dado por R(t) = 30-10,5 t + t 3, siendo t el número de horas transcurridas desde el inicio de la jornada laboral ( 0 t 8 ). Determina cuándo se producen los rendimientos máximo y mínimo. Solución: El máximo rendimiento se da para t = 0 y el mínimo para t = 7. 9. Una bióloga marina sabe que los ingresos por venta de ejemplares de lubina en una planta de cultivo de peces es I(q)= 000 q 0,04 q y los costes de alimentación vienen dados por la función C(q)= 1.000.000 + 100 q + 0,001 q, donde q = nº unidades de lubina. Halla: a) La función beneficio. b) Cuántas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo? Solución: a) B(q) = I(q) C(q) b) 3171 lubinas 10. Una bióloga está haciendo un cultivo de Escheritzia coli. Se sabe que el número de bacterias varía con el tiempo (en días) de acuerdo con la siguiente función: N(t) = 50 ( t 3-15 t + 36 t + ). -. /7.-
Se pide: a) Cuántas bacterias había al principio? b) Cuál es el número máximo de bacterias? Cuándo se da? Solución: Al principio había 100 bacterias y el nº máximo es 1500 en el segundo día. 11. Hallar una función polinómica de tercer grado que tenga un extremo relativo en (1, 1) y un punto de inflexión en (0, 3). 3 Solución: y = x 3x + 3. 1. Una tienda vende aceite a,10 el litro. Los costes de producción son de 30 céntimos de euro el litro y los de transporte son la centésima parte del cubo del número de litros vendidos. Halla cuántos litros deben venderse para obtener una ganancia máxima. Solución: 60 litros. 13. Se estima que la ganancia de una empresa en decenas de miles de euros para los próximos 10 años viene dada por la función: t si 0 t < 4 t + 1 f ( t) = t + si 4 t 10 t + 1 Averigua cuándo será la ganancia máxima. Solución: Será para t = 4 (ganancia máxima 1000 ). 14. El precio de venta de una unidad de un artículo viene dado por al expresión p = 1-0,01 x, donde x es el número de unidades fabricadas y p es el precio en cientos de euros. a) Cuál es la función que representa los ingresos en función de las unidades fabricadas y vendidas? b) Cuántos artículos se deben fabricar y vender para que los ingresos sean máximos? -. 3/7.-
Solución: a) I = 1x 0,01x b) x = 600 3 15. La función f ( x) = x + ax + bx + c verifica: f(1) = 1; f (1) = 0, y no tiene máximo ni mínimo en x = 1. Calcula a, b, c. Solución: a = -3; b = 3; c = 0. 16. El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función B(x)= 1, x (0,1 x) 3, donde x es el número de autobuses fabricados en un mes. a) Calcula la producción mensual que hace máximo el beneficio. b) Obtener dicho beneficio máximo. Solución: a) x = 0 b) 16 millones de euros. 17. Un agente comercial cobra por la venta de mercaderías una comisión x x C( x) = 100 +, donde x representa la cantidad en cientos de euros de la venta 100 1000 efectuada. Determina la cantidad que tendrá que vender para que la comisión que cobre sea máxima. Solución: Tendrá que vender mercancías por valor de 500 (comisión máxima de 100,05 ). 18. Suponemos que el rendimiento r de un alumno en un examen de una hora viene dado por ( t) r( t) = 300 t 1, donde 0 t 1 es el tiempo (en horas) transcurrido desde el comienzo del examen. Se pide: a) En qué momentos el rendimiento es nulo? b) En qué momento se obtiene el mayor rendimiento y cuál es? c) En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento? Solución: a) Al comienzo y al final del examen b) A mitad de examen y es 75 c) Aumenta en la primera media hora y disminuye en la segunda media hora -. 4/7.-
19. El área (en cm ) afectada por una infección cutánea se desarrolla a partir del instante t = 0 t según la función: f ( t) = 10 +, donde t se da en días. Determinar: t + 9 a) La superficie afectada por la infección en el instante inicial. b) El momento en que el área afectada es máxima y el valor de dicha área. c) El comportamiento de la infección cuando transcurren muchos días. Se estabiliza o desaparece? Solución: a) 10 cm b) t = 3, siendo el área afectada 1 10 + 6 cm c) Tiende a estabilizarse, tendiendo hacia 10 cm 0. Dadas las funciones de ingreso y de coste total de una empresa en miles de euros: 11 35 8 3 I ( x) = x + x y C ( x) = x + 1 54 108 7 4 siendo x la producción de la empresa en miles de unidades ( x 5), determínese la producción para obtener el máximo beneficio. Cuál es éste? Solución: 3500 unidades, siendo el beneficio máximo I ( 3,5) C(3,5) en miles de euros. 1. La altura de una piedra lanzada verticalmente hacia arriba cumple la ecuación x = 6 + 39, t 4,9 t, donde x se mide en metros y t en segundos. Cuál es la máxima altura que alcanza? En qué momento? Cuál es la velocidad en ese instante? Solución: Llega a 84,4 m., cuando han transcurrido 4 seg., siendo en ese instante su velocidad cero.. Una empresa ha realizado un estudio acerca de los costes de producción llegando a la conclusión de que producir x unidades de un objeto dado tiene un coste (en euros) expresado por f ( x) = 0 5 x 5x + 700 a) Cuántas unidades han de producirse para tener un coste de 175 euros? b) Halla el número de unidades que se deben producir para que el coste sea mínimo. c) Cuánto es ese coste mínimo? -. 5/7.-
Solución: a) 30 o 70 unidades b) 50 unidades c) 65 euros 3. La cotización de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley: 3 C ( x) = x 45x + 43x + 30000, siendo x el número de días transcurridos del mes. Cuál será la cotización en Bolsa el día? Determina los días del mes en que se alcanzan las cotizaciones máxima y mínima, calculando esas cotizaciones. Solución: La cotización el día es 30314. La cotización máxima es 30351 alcanzada el día 3 y la mínima es 3439 alcanzada el día 7. 4. La atención (en una escala de 0 a 100), ante un anuncio de televisión de 3 minutos de duración, se comporta según la función A ( t) = 10 t + 40 t + 40, con 0 t 3. a) A cuántos minutos de comenzar el anuncio se presta la máxima atención? b) Cuando finaliza el anuncio, en qué punto de la escala de atención se está? c) En qué punto de la escala de atención se está cuando han transcurrido 90 segundos? Solución: a) A los minutos, siendo la atención 80 b) 70 c) 77 5 5. La altura (en metros) que alcanza una pelota lanzada verticalmente hacia arriba viene dada, en función del tiempo transcurrido desde el lanzamiento (en segundos), por la expresión: h = 0 t 4,9 t. a) Qué altura habrá alcanzado a los tres segundos? b) En qué momentos alcanzará 10 m de altura?. c) Cuál es la altura máxima que alcanza? En qué instante? Solución: a) 15,9 m. b) Cuando 10 ± 51 t = seg. c) 4,9 100 10 m., cuando t = seg. 4,9 4, 9 3 6. Determina los coeficientes a, b, c de modo que la función f ( x) = x + ax + bx + c tenga un mínimo para x = 4 y un máximo en el punto (, 0). Solución: a = -9; b = 4; c = -0 -. 6/7.-
7. El valor en millones de euros de una empresa, en función del tiempo en años que lleva funcionando, viene dado por f ( t) = 9 ( t ) su valor máximo?., con 0 t 6. En qué momento alcanzó Solución: A los dos años de funcionamiento. 8. Se ha comprobado que la evolución, desde el año 1980 (t = 0), del número de ejemplares t + del lince ibérico sigue la ley N ( t) =, con N = miles de ejemplares y t años. Cómo t + 1 va evolucionando la población de linces ibéricos con el paso de los años? Solución: En 1980 había 000 ejemplares y la población está disminuyendo desde entonces, cada vez más lentamente, tendiendo a estabilizarse hacia 1000 ejemplares. 9. Una empresa maderera arroja diariamente material según la función 3 p ( t) = 0,01 t 0, t + t + 1, con p la cantidad de material en kilogramos y t la hora del día con 8 t 0. En qué momentos del día aumenta la cantidad de material que arroja? En cuáles disminuye? Halla la cantidad máxima de material que arroja y a qué hora se produce. Solución: El material arrojado está aumentando desde las10 hasta las 0. Y disminuye desde las 8 hasta las 10. La cantidad máxima de material que arroja es 1 kg., a las 0. 30. Una empresa estima que los ingresos y gastos anuales (en euros) que generan la fabricación de x unidades de un producto vienen dados por: Ingresos: I ( x) x = + 360x Gastos: G ( x) = 4x + 10x + 70 a) Encuentra la función que da el beneficio de la empresa. b) Cuántas unidades se deben fabricar para que el beneficio sea máximo? c) A cuántos euros asciende este beneficio máximo?. Solución: a) B ( x) = x + 40x 70 b) 60 unidades c) 7130 -. 7/7.-