CÓDIGO: PA-- FECHA: 9--23 PÁGINA: de 8 Nombres y Apellidos del Estudiante: Docente: Área: Matemáticas Grado:9º Periodo: 3º GUÍA # 4 Duración: horas Asignatura: Estadística ESTÁNDAR: Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión y asimetría. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Propone diferentes estrategias de solución a situaciones problema que involucran variables cuantitativas para datos agrupados y no agrupados. EJE(S) TEMÁTICO(S): CARACTERIZACIÓN DE VARIABLES CUANTITATIVAS *DATOS AGRUPADOS *DATOS NO AGRUPADOS ORIENTACIONES ) Observaciones sobre el desarrollo de la guía 2)Lectura texto guía (seguir correctamente las instrucciones dadas, 3)Explicación por parte del docente atención y concentración durante las explicaciones, 4)Desarrollo del taller asignado en grupo o individual. leer comprensivamente, orden y pulcritud )Socialización del trabajo desarrollado. en el desarrollo de la guía ). ) Se valorarán todos los momentos de la guía. EXPLORACIÓN. De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra CORREAS? C R R R E E E E A A A A A S S S S S S a) 24 b) 48 c) 42 d) 3 e) 28 2 Qué ves aquí? Un jarrón Dos niños Una caja Nada CONCEPTUALIZACIÓN
CÓDIGO: PA-- FECHA: 9--23 PÁGINA: 2 de 8 CARACTERIZACIÓN DE VARIABLES CUANTITATIVAS Para caracterizar variables cuantitativas se consideran dos casos teniendo en cuenta la forma en que están presentados los datos: datos agrupados y datos no agrupados. Datos agrupados: Se caracterizan a partir de la construcción de un diagrama de tallo y hojas, una tabla de frecuencias, los histogramas y polígonos correspondientes y polígonos correspondientes. Datos no agrupados: Se caracterizan a partir de las medidas de tendencia central, las medidas de posición, las medidas de dispersión y el diagrama de caja y bigotes. Caracterización de datos agrupados Las características de los elementos de una población pueden ser de tipo cualitativo o de tipo cuantitativo. En el primero caso se trata de cualidades que distinguen un elemento de otro y lo ubican en clases independientes y separadas. Las propiedades de tipo cuantitativo son aquellas que pueden medirse o contarse. Una característica cuantitativa que toma datos aislados de modo que no acepta valores intermedios entre dos consecutivos, se llama Cuantitativa Discreta. Ejemplo. El número de hijos. Si se trata de una característica que puede tomar valores consecutivos, se dice que es una variable Cuantitativa Continua. Ejemplo. El peso Las diferentes características de los elementos de una población pueden representarse de diversas maneras: tablas, diagramas de barras o diagramas circulares. TABLA DE FRECUENCIAS Una tabla de frecuencias es un arreglo tabular de las frecuencias con que ocurre cada característica en que se han dividido los datos. La construcción de una tabla de frecuencias para datos cuantitativos presenta como su punto de mayor importancia la determinación del número de intervalos (clases) que la conformaran. Este número depende de la cantidad y de la naturaleza de los datos a resumir y del propósito que se busca con el resumen. A continuación se presentan ciertas pautas para la construcción de una tabla de frecuencias Ejemplo 2. En la clase de educación física el profesor tomó la medida de la estatura de los alumnos del grado octavo; él apuntó los datos aproximando en centímetros, así: si medía entre 4. cm. y 4.4 cm. anotaba 4 cm.; pero si medía entre 4. cm. y 4.9 cm. anotaba cm. En una primera presentación el profesor agrupó los datos como se dan en la siguiente tabla: Estatur a en cm No de alumn os 4 4 8 2 3 7 3 8 2 2 3 9 7 4 3 2 7 Como la estatura es una variable continua ( por qué?), es posible agrupar los datos,considerar intervalos de cinco cm. y reunir, en cada uno, los alumnos cuya estatura está en ese intervalo, así Como el rango de la estatura está entre 4 cm. y 7 cm. podemos agrupar en cinco intervalos de cm. cada uno. El profesor agrupa así: en el primer intervalo incluye a los alumnos con 4. cm. o más hasta.4 cm. y así De acuerdo con la tabla el maestro observa que 7 de sus estudiantes tienen una estatura superior a cm. hasta cm., y que los alumnos con estatura inferior son apenas 4. Si una característica o variable es continua, los datos pueden aproximarse y agruparse en intervalos llamados Intervalos de clase o simplemente clases. Para conocer la longitud de un intervalo se encuentra la diferencia entre los valores extremos superiores (o inferiores) de dos intervalos consecutivos. La representación gráfica llamada histograma Se realiza mediante barras unidas, con base proporcional a la longitud del intervalo y altura proporcional a la frecuencia del intervalo. El diagrama lineal se obtiene uniendo con segmentos los puntos medios de las bases superiores de las barras del histograma, éstos puntos se llaman marcas de clase. Las marcas de clase se calculan mediante la fórmula: yi =Ls + Li 2 Ejercicio 4.- En una ciudad costera, un sábado de agosto, se midió con radar la velocidad, en kilómetros por hora, de motocicletas que pasaron frente a un paso de nivel ( qué es un paso de nivel?). Los datos se encuentran en la siguiente tabla: 9 8 8 7 2 3 98 9 89 3 8 2 3 2 2 97 8 32 28 42 2 9 89 9 7 2 32 2 28 34 38 39 23 8 2 98 92 9 28 3 38 43 9 33.- Agrupa los datos en intervalos de clase de igual longitud. Elabora la tabla y el histograma correspondiente. Solución. El menor dato es 7 y el mayor es 43, por lo tanto podemos considerar. El menor dato es 7 y el mayor es 43, por lo tanto podemos considerar que los datos varían entre 7 y, es decir que están todos en el intervalo (7; ). Para encontrar la longitud de cada intervalo de clase aplicamos
CÓDIGO: PA-- FECHA: 9--23 PÁGINA: 3 de 8 sucesivamente. Qué estudiantes están en el cuarto intervalo? Estatura (fi) [4, ) [, ) 7 [, ) 7 [, ) 7 [, 7) 4 la siguiente fórmula: l = Ls - Li m l : longitud del intervalo de clase (la que debemos determinar). Li : límite inferior del intervalo de variación de los datos. Ls : límite superior del intervalo de variación de los datos. m : número de intervalos que se desea construir. Teniendo en cuenta la fórmula anterior es fácil ver que Li = 7, Ls = y además el ejercicio plantea agrupar en intervalos, por lo tanto m =. Se tiene entonces: l = - 7 l = 8 Es decir que los intervalos de clase tendrán una longitud igual a 8. La tabla queda entonces de la siguiente manera: Intervalo de clase Frecuencia [7; 78) [78; 8) 2 [8; 94) [94; 2) 7 [2; ) [; 8) 3 [8; 2) [2; 34) 8 [34; 42) [42; ) 2 FRECUENCIA Entendemos por frecuencia el número de veces que se repite cierta acción, la frecuencia, el número de veces que se presenta (o se repite) un dato. EJEMPLO : 3 estudiantes se presentaron a un concurso de Biología y estos fueron sus resultados: Intervalos de fi Fi hi Hi yi clase 7-74 4 4 3; 3% 3; 3% 72 7-79 9 ; 7% 3% 78 8-84 2% % 82 8-89 7 22 23; 3% 73; 3% 87 hi = x fi n Por ejemplo el porcentaje de estudiantes que hay en la clase 3 es: h 3 = x f 3 = x = x (; 2) = 2 n 3 por lo tanto el valor es h 3 = 2% La frecuencia relativa acumulada es Hi y se calcula igual que la Fi solo que usando las frecuencias relativas. Por ejemplo, la frecuencia relativa acumulada de la clase 3 es: H 3 = h + h 2 + h 3 = 3; 3 + ; 7 + 2 = y,.finalmente yi, es la marca de clase de cada intervalo. GRÁFICOS EN DATOS AGRUPADOS GRÁFICOS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS. Diagrama de barras. Su representación es idéntica a la explicada para variables cualitativas, las barras deben de ser estrechas para mostrar que los valores que toma la variable son discretos. Se usan cuando se pretende hacer un diagrama diferencial utilizando variables discretas. En el caso de realizar un diagrama integral, es decir, usando frecuencias acumuladas, las barras aparecen formando una escalera. DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS Un diagrama de tallo y hojas es una representación gráfica en la cual, los datos se clasifican de acuerdo con la expresión decimal de cada uno de ellos. Este diagrama es usado cuando hay una cantidad no muy pequeña de datos y dan una idea de la localización de los datos y de la forma de la distribución. Para construir un diagrama de este estilo se debe dividir cada dato en tallo y hoja El tallo corresponde a la primera, o primeras cifras del dato, y en la mayoría de los casos la hoja corresponde a la última cifra del dato. Ejemplo
CÓDIGO: PA-- FECHA: 9--23 PÁGINA: 4 de 8 9-94 8 3 2; 7% % 92 Donde fi es la frecuencia absoluta, es decir, el número de estudiantes que hay en el intervalo i, por ejemplo en el intervalo 4, la frecuencia es f 4 = 7. Fi representa la frecuencia absoluta acumulada hasta el intervalo i, por ejemplo, para encontrar la frecuencia acumulada correspondiente al intervalo 4, se hace F4 = f + f2 + f3 + f4 = 4 + + + 7 = 22 Por otro lado, hi corresponde al porcentaje de estudiantes que hay en el intervalo de clase i (o frecuencia relativa) se calcula mediante la fórmula: Supongamos la siguiente distribución de frecuencias 3 2 37 24 39 2 3 4 3 3 Por último reordenamos las hojas y hemos terminado el diagrama GRÁFICOS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS Histograma. Para construirlo se representa sobre el eje de abcisas los extremos de las clases definidas por los intervalos de clase L i- L i. Se usan cuando se pretende hacer un diagrama diferencial utilizando variables continuas. Sobre el eje de abscisas, se construyen rectángulos, tomando como base la amplitud del intervalo y como altura la frecuencia de cada intervalo, siempre que la amplitud de todos los intervalos sea la misma, puesto que el área se obtiene multiplicando la base por la altura. Por lo tanto, en este caso, cada altura da idea de la densidad o concentración de datos en esa zona: -Más altura aparecen más valores de la variable. -Menos altura los datos que aparecen son más escasos. Polígono de frecuencias. Se construye fácilmente una vez representado el histograma, y consiste en unir los puntos del histograma que corresponden a las marcas de clase de cada intervalo mediante una recta. El diagrama integral para variables continuas se denomina también polígono de frecuencias acumulado u ojiva. En estos polígonos obtenidos se aprecian con claridad propiedades importantes, como si la curva es no creciente, de donde a donde se desplaza MEDIDAS DE POSICIÓN. Las medidas de tendencia central más comunes son: La media aritmética: comúnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de una letra M o por una X con una línea en la parte superior. La mediana: la cual es el puntaje que se ubica en el centro de una distribución. Se representa como Md. Los puntajes contribuyen de manera proporcional al hacer el cómputo de la media. Es la medida de tendencia central más conocida y utilizada. Las medias de dos o más distribuciones pueden ser fácilmente promediadas mientras que las medianas y las modas de las distribuciones no se promedian. La media se utiliza en procesos y técnicas estadísticas más complejas mientras que la mediana y la moda en muy pocos casos. Cómo calcular, la media, la moda y la mediana Media aritmética o promedio Es aquella medida que se obtiene al dividir la suma de todos los valores de una variable por la frecuencia total. En palabras más simples, corresponde a la suma de un conjunto de datos dividida por el número total de dichos datos. Ejemplo : En matemáticas, un alumno tiene las siguientes notas: 4, 7, 7, 2,, 3 n = (número total de datos) La media aritmética de las notas de esa asignatura es 4,8. Este número representa el promedio. Ejemplo 2: Cuando se tienen muchos datos es más conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmética. El siguiente cuadro con las medidas de 3 varas de pino lo ilustra. Largo Frecuencia Largo por Frecuencia
CÓDIGO: PA-- FECHA: 9--23 PÁGINA: de 8 La moda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa Mo. La media es considerada como la mejor medida de tendencia central, por las siguientes razones: (en m) absoluta absoluta. =. = 9 7 2 7. 2 = 4 8 2 8. 2 = 9 9 9. = 4 Frecuencia total = 3 43 Ejemplo 3: MODA (MO) Es la medida que indica cual dato tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos; o sea, cual se repite más. Ejemplo : Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de niñas de un Jardín Infantil., 7, 3, 3, 7, 8, 3,, 9,, 3, 4, 3 La edad que más se repite es 3, por lo tanto, la Moda es 3 (Mo = 3) Ejemplo 2: 2, 2, 4, 23, 78,, 9 En este conjunto de datos no existe ningún valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valores no tiene moda. MEDIANA (MED) Es el valor central de un conjunto de valores ordenados en forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual número de valores antes y después de él en un conjunto de datos agrupados. Según el número de valores que se tengan se pueden presentar dos casos: Si el número de valores ES IMPAR, la Mediana corresponderá al valor central de dicho conjunto de datos. Si el número de valores ES PAR, la Mediana corresponderá al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2). Ejemplo : Se tienen los siguientes datos:, 4, 8,, 9,, 2 Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene:, 2, 4,, 8, 9, El corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares. Interpretando el gráfico de barras podemos deducir que: alumnos obtienen puntaje de 2 alumnos obtienen puntaje de 7 8 alumnos obtienen puntaje de 72 2 alumnos obtienen puntaje de 77 alumnos obtienen puntaje de 82 4 alumnos obtienen puntaje de 87 lo que hace un total de alumnos Sabemos que la mediana se obtiene haciendo lo cual significa que la mediana se ubica en la posición intermedia entre los alumnos 2 y 2 (cuyo promedio es 2,), Entonces, como el total de alumnos es par debemos promediar esos puntajes:
CÓDIGO: PA-- FECHA: 9--23 PÁGINA: de 8 Ejemplo 2: El siguiente conjunto de datos está ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med será el promedio de los valores centrales. 2, 9, 8,, 3,,, 9,, 3 La mediana es 77, lo cual significa que 2 alumnos obtuvieron puntaje desde 77 hacia abajo y 2 alumnos obtuvieron puntaje de 77 hacia arriba. ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN GLOSARIO. ) Busque el vocabulario desconocido en la guía y escríbelo en el cuaderno. Desarrolle las siguientes actividades. 2).- La velocidad de vehículos esta agrupada en la siguiente tabla. Intervalo de fi Fi hi Hi yi clase [7; 78) [78; 8) 2 2 [8; 94) [94; 2) 7 7 [2; ) [; 8) 3 3 [8; 2) [2; 34) 8 8 [34; 42) [42; ) 2 2 Total Completa la tabla y responde la siguientes preguntas:. Cuántos vehículos llevan una velocidad menor a km/h? 2. Qué porcentaje se encuentra por debajo de 2 km/h? a. Determina la distribución de frecuencias (fi; Fi; hi; Hi). b. Elabora el diagrama circular correspondiente a fi ) Construye el diagrama de tallos y hojas para los datos 2 2 22 23 23 2 342 38 3 32 383 433 43 438 3 8 ) Consideremos los siguientes datos, expresados en metros, correspondientes a las estaturas de 8 estudiantes de noveno grado.,7,72,8,72,74,83,84,88,92,7,84,8,73,84,87,83,8,77,73,7,78,77,7,83,83,72,7,8,84,93,82,9,7,8,,7,7,8,79,84,8,8,77,8,7,88,7,79,87,79,77,7,74,7,78,77,74,73,83,7,83,77,7,77,77,84,83,79,82,7,7,7,79,88,,8,72,7,79,77 Hallar el rango, la marca de clase y elaborar la tabla de frecuencias y luego representarlo en el diagrama respectivo. )El gráfico de la figura representa las notas obtenidas por niños en una prueba. Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? 3 Qué porcentaje supera los km/h? 4. Si se estableciera una velocidad máxima de 2 km/h, cuántos vehículos serían sancionados? A qué porcentaje corresponde?. Si se estableciera una velocidad mínima de 94 km/h, cuántos vehículos serían sancionados? A qué porcentaje corresponde? 3)Los siguientes datos corresponden a la duración en horas, de uso continuo de dispositivos electrónicos iguales, sometidos a un control de calidad. 48 49 724 78 8 7 82 79 88 74
CÓDIGO: PA-- FECHA: 9--23 PÁGINA: 7 de 8 77 72 83 83 82 794 7 7 89 9 7 489 72 74 8 88 7 83 42 8 72 8 8 49 89 Construye una tabla de distribución de frecuencias agrupadas que considere las columnas: intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia relativa. 4) La siguiente codificación: : Auxiliar, 2: Asistente, 3: Asociado y 4: Titular. Los valores de la variable "Categoría del escalafón docente" para 4 profesores es el siguiente. 3 4 4 2 2 3 3 4 3 4 2 4 3 2 2 4 2 3 2 2 3 3 4 2 2 2 4 4 muestra las edades de 22 alumnos de un colegio. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 7 años. II) La mediana es mayor que la media (promedio). III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 7 ó 8 años. Alternativas A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 7)La tabla adjunta Edad (en años) 7 8 9 I) La mediana es. II) La moda es. III) La media aritmética (promedio) es 4,7. Alternativas A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III El gráfico siguiente muestra la distribución de las notas de matemática de un grupo de 4 estudiantes de 9º grado Cuál de las siguientes opciones corresponde a los valores de la mediana y la moda, respectivamente? Alternativas A) 4 y B) y C) 4, y 4 D) 4, y E) 4 y 4, Alumnos 4 2 SOCIALIZACIÓN ) Puesta en común del trabajo desarrollado. 2) Retroalimentación de posibles dudas. 3) Evaluación escrita del tema visto. 4)Se evalúa la participación activa de todos los estudiantes. ) Revisión de corrrecciones. ) Revisión del trabajo desarrollado COMPROMISO CONSULTAR: ) MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE DISPERSIÓN a) Nombre b) Definición c) Fórmulas d) Ejemplos. Presentar todas las actividades propuestas en la guía en el tiempo previsto. PREPARAR C ON RESPONSABILIDAD LAS EVALUACIONES Y EXPOSICIONES ELABORÓ REVISÓ APROBÓ NOMBRES YAIRA LIZETH RINCON AURA ALEXANDRA URIBE
CÓDIGO: PA-- FECHA: 9--23 PÁGINA: 8 de 8 CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico 9 24 9 24 9 24