ESACIOS AFÍN Y EUCLÍDEO Nota: Los pocedimietos expestos o so los úicos qe eselve los poblemas Defiició El espacio afí so los ptos coexistiedo jto al espacio vectoial V, co sistema de efeecia ( pto fijo O del espacio y a base, qe siempe cosideamos otoomal). Se idetifica las coodeadas de los ptos co las de ss vectoes de posició (ve defiició poco más adelate). El espacio eclídeo o mético es lo mismo, peo dispoiedo del podcto escala, co lo qe se pede habla de áglos, pepediclaidad, distacias y áeas. Nomalmete tabajamos e el espacio eclídeo, co todas las heamietas a esto alcace. Vecto de posició Si (x, y, z) S vecto de posició es el qe e el oige del sistema de efeecia O co el pto. Como se ha dicho, y s vecto de posició se idetifica y tiee las mismas coodeadas: O ( x, y, z) Coodeadas del vecto qe e dos ptos (x, y, z); Q(x', y', z') Q ( x' x, y' y, z' z) Compoba si tes ptos está alieados A(x, y, z), B(x', y', z'), C(x", y", z") está alieados si los vectoes AB ( x' x, y' y, z' z) y B(x', y', z') A(x, y, z) AC ( x" x, y" y, z" z) tiee la misma diecció. Esto es, si so popocioales. Lego la codició es: x" x y" y z" z x' x y' y z' z OQ O Q Q OQ O O C(x", y", z") to medio de segmeto x x' y y' z z' A(x, y, z), B(x', y', z') M,, Simético de pto especto de oto (x, y, z) '(a, a, a ) Coocidos (x, y, z) y Q(x', y', z'), Q(x', y', z') paa halla las coodeadas de ' cosideamos qe Q es el pto medio del segmeto '. o tato se despeja a, a y a e: x a y a z a x' y' z' IES Feado de Heea of. R. Mohigefe ágia de 8
Dividi segmeto e vaios igales o ejemplo, paa dividi el segmeto Q e pates igales, hallamos las coodeadas de los ptos qe casa la divisió: A y B. Es lo mismo qe calcla las coodeadas de ss vectoes de posició: OA O A O Q O OQ O OB O B O Q O OQ O A O B Q Módlo de vecto (Espacio eclídeo) Se calcla po medio del podcto escala. Si ( x, y, z) : x y z Ecació de la ecta Coocidos pto (p, p, p ) y vecto de diecció d = (d, d, d ) o Ecació vectoial (x, y, z) = (p, p, p ) + (d, d, d ) o Ecacioes paaméticas x p d y p d Es la ec. vectoial escita compoete a compoete. z p d o Ecació cotia x p y p z p So tes igaldades (ª = ª, ª = ª, ª = ª). d d d Si se cooce dos ptos de la ecta, A = (a, a, a ) y B = (b, b, b ) d OB OA = (b, b, b ) (a, a, a ) = (b a, b a, b a ) es vecto de diecció de la misma, y se pede costi las ecacioes vectoial, paaméticas y cotia. Coocidos dos plaos cya itesecció es la ecta o Ecació e foma implícita ax by cz d 0 La matiz de los coeficietes tiee ago. a' x b' y c' z 0 Cada a de las dos ecacioes es plao. Hay ifiitas ecacioes vectoiales, paaméticas, cotias e implícitas de a misma ecta. aso ete vectoial, paaméticas y cotia Es tivial, po cato está explicitados el pto y el vecto de diecció. aso de vectoial / paaméticas / cotia a foma implícita Se escibe la ec. e foma cotia. Se toma dos calesqiea de las tes igaldades, se qita deomiadoes y se despeja paa igalalas a 0. IES Feado de Heea of. R. Mohigefe ágia de 8
aso de foma implícita a paaméticas Si e cada a de las dos ecacioes apaece sólo dos vaiables, a la vaiable qe se epite se le llama y se despeja la ota vaiable e cada a de las dos ecacioes. La tecea ecació paamética es la vaiable epetida igalada a. E caso cotaio, se bsca meo de ode distito de ceo e las ecacioes implícitas. La vaiable qe o figa e el meo, se igala a y se pasa al segdo miembo. Se eselve el sistema, e fció de. La tecea ecació paamética es la vaiable qe se pasó al segdo miembo igalada a. Cosegi vecto de diecció desde la foma implícita Si pasa a paaméticas, se mltiplica vectoialmete (a, b, c) x (a, b', c'). Cosegi coodeadas de ptos de la ecta E paaméticas o vectoial, se da a valo abitaio. Es lo más fácil. E cotia o implícita, se da valo abitaio a a de las vaiables, y se despeja las otas dos. Sabe si pto está e la ecta E paaméticas, se sstitye las vaiables po las coodeadas del pto. El esltate debe se el mismo e las tes ecacioes qe qeda; de lo cotaio, el pto o está e la ecta. E cotia o implícita, se sstitye las vaiables po las coodeadas del pto y se ve si las igaldades eslta cietas (sí peteece) o falsas (o está e la ecta). osicioes elativas de dos ectas ede: a) Czase (si cotase); b) Cotase; c) Se paalelas; d) Coicidetes. E los casos a y b los vectoes de diecció so li. idep. (es deci, o so popocioales, o o es múltiplo del oto). Se difeecia e qe tiee pto e comú, o o lo tiee. E los casos c y d los vectoes de diecció espectivos so li. depedietes (es deci, so popocioales, o es múltiplo del oto). Se difeecia e qe tiee algú pto e comú (tedá ifiitos, etoces) o o lo tiee. aa aveigalo, lo más fácil es igala las ecacioes paaméticas espectivas, peo tomado letas distitas paa los paámetos: po ejemplo s paa el de la pimea ecta y t paa el de la segda. Se discte el sistema esltate de tes ecacioes co dos icógitas s y t: x p sd x p' td ' sd td ' p' p y p sd y p' td ' sd td ' p' p z p sd z p' td ' sd td ' p' p d p' p A ' = d p' p d p' p a( A') S. comp.id. : Coicidetes Si a(a) = Igal diecció a( A') S. icompatible : aalelas IES Feado de Heea of. R. Mohigefe ágia de 8
Si a(a) = Distita diecció a( A') S. comp.det.:se cota a( A') S. icompatible :Se cza Ecació del plao Coocidos pto (p, p, p ) y dos vectoes de diecció =(,, ), v = (v, v, v ) o popocioales o Ecació vectoial (x, y, z) = (p, p, p ) + (,, ) + (v, v, v ) o Ecacioes paaméticas x p v y p v z p v Si se cooce tes ptos del plao qe o esté alieados: A = (a, a, a ), B = (b, b, b ) y C = (c, c, c ) = OB OA = (b, b, b ) (a, a, a ) = (b a, b a, b a ) v = OC OA = (c, c, c ) (a, a, a ) = (c a, c a, c a ) so dos vectoes de diecció del plao, y se pede costi las ecacioes vectoial y paaméticas. Ecació implícita ax + by + cz + d = 0 = (a, b, c) es vecto omal (pepedicla) al plao. Obtee ptos del plao E paaméticas, se da valoes abitaios a y. E implícita, se da valo abitaio a dos de las tes vaiables, y se despeja la ota. Obtee vecto omal al plao E paaméticas, mltiplicamos vectoialmete los dos vectoes de diecció: v. E implícita, lo teemos diectamete: = (a, b, c). Sabe si pto está e el plao o aaméticas E paaméticas, al sstiti (x, y, z) po A(a, a, a ), debe existi y qe popocioe las coodeadas de A. Lego el sistema: a p v v a p a p v v a p a p v v a p debe tee solció. o tato, como a(a) = (la matiz de los coeficietes; y es así poqe los vectoes de diecció de plao o so popocioales, es deci, so liealmete idepedietes), la codició paa ello es qe a(a') =. Esto es: v a p v v a a p p 0 v v IES Feado de Heea of. R. Mohigefe ágia 4 de 8
o Implícita Al sstiti (x, y, z) po A(a, a, a ), la igaldad debe eslta cieta. Ecació del plao coocidos pto (p, p, p ) y vecto omal = (a, b, c) a(x p ) + b(y p ) + c(z p ) = 0 asa de vectoial / paaméticas a implícita o Método Apovechado la codició, e paaméticas, paa qe pto esté e el plao, siedo ese pto (x, y, z) (es deci, válido paa todos y cada o de los ptos del plao), qeda: v x p v v y p z p Desaollado el detemiate obteemos la ecació implícita. o Método Como teemos pto del plao = (p, p, p ), y obteemos vecto omal mltiplicado vectoialmete los vectoes de diecció = v, podemos escibi la ecació del plao cado coocemos pto y vecto omal. 0 Haz de plaos de base a ecta ax by cz d 0 Todos los plaos qe cotiee a la ecta (e implícitas) a' x b' y c' z 0 obtiee paa cada o de los posibles valoes de e la ecació: se ax + by + cz + d + ( a'x + b'y + c'z + ) = 0 salvo el plao a'x + b'y + c'z + = 0, qe o sale e la fómla ateio paa igú valo de. A la fómla ateio, jto co este último plao, se le llama haz de plaos de base. Así, si debemos obtee plao qe cotega a y cmpla alga ota codició, podemos sa la fómla ateio paa aveigalo (os lo popocioaá cieto valo de ). Y si igú valo de os da la espesta, segamete es el plao a'x + b'y + c'z + = 0. osicioes elativas de dos plaos Estdiamos el sistema fomado po ss espectivas ecacioes implícitas: ax by cz d 0 a b c d A ' a' x b' y c' z 0 a' b' c' (e ealidad, la última colma de la matiz ampliada seía la opesta de lo qe está escito, peo esto es idifeete paa el cálclo del ago). Tes casos posibles: IES Feado de Heea of. R. Mohigefe ágia 5 de 8
a(a) = a (A') = el sistema tiee ifiitas solcioes depedietes de paámeto (había qe llama t a la icógita qe o está e el meo picipal) las solcioes seía las ecacioes paaméticas de a ecta Se cota. ' a(a) = y a(a') = Sistema icompatible No tiee ptos e comú laos paalelos. a(a) = a(a') = Ua fila depede liealmete de la ota (so popocioales) So la ecació del mismo plao (a de ellas es múltiplo de la ota ecació) So plaos coicidetes. ' = ' osicioes elativas de a ecta y plao Tomamos la ecta e paaméticas: x p d y p d z p d y el plao, e implícita: ax + by + cz + d = 0. Itetamos calcla s itesecció, sstityedo x, y, z e la ecació de po ss expesioes e : a(p + d ) + b(p + d ) + c(p + d ) + d = 0 Nos qeda a ecació e : ap + bp + cp + d + (ad + bd + cd ) = 0 () qe, si podemos despeja, se tasfomaá e: ( ap bp cp d) ad bd cd Casos: Si el deomiado es 0: solció úica paa. Al sstitila e las ecacioes de podce pto: ecta y pla- o se cota e dicho pto. E este caso, ecta y plao seá pepediclaes cado el vecto de diecció de la ecta d d, d, ) y el vecto omal al plao = (a, b, c) sea popocioales. ( d Si el deomiado es = 0, o seía posible este último despeje, y la ecació () tedía la foma ap + bp + cp + d + 0 = 0 ap + bp + cp + d = 0. Esto pede se cieto o o (ap + bp + cp + d es úmeo fijo). Etoces: o Si es cieto, la ecació () es vedadea paa todo Todos los ptos de la ecta so solció la ecta está coteida e el plao. o Si o lo es, la ecació () o se cmple paa igú valo de ecta y plao o tiee igú pto e comú La ecta es paalela al plao. IES Feado de Heea of. R. Mohigefe ágia 6 de 8
Áglo ete dos ectas Es el meo de los dos áglos qe foma ss espectivos vectoes de diecció d y d ' (po eso se toma el podcto escala del meado e valo absolto): d cos d Codició de pepediclaidad de dos ectas d 0 Áglo ete ecta y plao d se = cos(90 ) d Codició de pepediclaidad de ecta y plao d y so popocioales Codició de paalelismo de ecta y plao d 0 (so pepediclaes) Áglo ete dos plaos ' cos ' Codició de pepediclaidad de dos plaos ' 0 d 90 α α d d Distacia ete dos ptos Si los ptos so (x, y, z ) y (x, y, z ): d(, ) = = ( x z x ) ( y y) ( z ) Distacia de pto a plao Si el pto es (x, y, z ) y el plao es a x + b y + c z + d = 0: ax by cz d d(, ) = a b c Distacia de pto a a ecta Si es el pto, A es pto calqiea de y d es el vecto de diecció de : d x A Áea del paalelog amo d(, ) = = d base A d(,) d Distacia ete dos ectas Si so coicidetes: d(, ') = 0 Si so paalelas: d(, ') = d(, '), siedo pto calqiea de. IES Feado de Heea of. R. Mohigefe ágia 7 de 8
Si se cza: Sea y Q sedos ptos calesqiea de y ' espectivamete, y sea d y d ' los vectoes de diecció de las dos ectas: [ d,, Q] d ' d(, ') = Q d (Es la distacia ete los plaos paalelos qe cotiee a cada ecta y al vecto de diecció de d la ota ecta = volme del paalelepípedo ete áea de la base = alta del paalelepípedo) ' epedicla comú a dos ectas qe se cza aa halla la ecta s pepedicla a las ectas y ' (qe se cza), pocedemos de la sigiete foma: ) Hallamos plao paalelo a las dos ectas:. aa ello, tomamos los espectivos vectoes de diecció de las dos ectas, y pto calqiea; el más fácil es (0, 0, 0). El podcto vectoial de los vectoes de diecció de las ectas os da vecto omal al plao α: d x =(,, ). o tato: α (x 0) + (y 0) + (z 0) = 0 ) Costimos el plao β pepedicla a α y qe cotega a. Dos vectoes coteidos e el plao so (,, ) y d, y como pto vale calqiea de : x a y a z a β d d d 0 ) Costimos el plao β ' pepedicla a α y qe cotega a '. Dos vectoes coteidos e el plao so (,, ) y d ', y como pto vale calqiea de ': x a' y a' z a' β ' 0 4) La pepedicla comú bscada es la itesecció de β y β '. ' s ' Simético de pto especto plao ) Hallamos la ecta pepedicla al plao qe cotiee al pto, sado el vecto omal al plao y el pto. M ) Calclamos M, itesecció de la ecta ateio co el ' plao. ) Calclamos el simético de especto de M. Simético de pto especto a ecta ) Hallamos el plao pepedicla a la ecta y qe cotiee al pto, sado el vecto de diecció de la ecta como vecto omal al plao. M ) Hallamos M, itesecció de y. ' ) Calclamos el simético de especto de M. IES Feado de Heea of. R. Mohigefe ágia 8 de 8