M535: Edificio torcido A) PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA En la arquitectura moderna, muchas veces los edificios tienen formas inusuales. La siguiente fotografía muestra un modelo computacional de un edificio torcido y el plano de su primer nivel. Se indica la orientación del edificio en la parte inferior. N N E O S O S E El primer nivel del edificio contiene la entrada principal y tiene espacio para tiendas. Arriba hay 20 pisos con departamentos. El plano de cada piso es similar al primer nivel, pero cada uno tiene una orientación ligeramente diferente del anterior. El cilindro central contiene el elevador y una entrada a cada piso. B) PREGUNTAS DEL PROBLEMA Pregunta 1 Estima la altura total del edificio en metros. Explica cómo encontraste la respuesta. Pregunta 2 Las siguientes figuras muestran vistas laterales del edificio torcido.
Vista lateral 1 Vista lateral 2 Desde qué dirección se ha dibujado la vista lateral 1? A B C D Del Norte Del Oeste Del Este Del Sur Pregunta 3 De qué dirección se ha dibujado la vista lateral 2? A B C D Del Noroeste Del Noreste Del Suroeste Del Sur Este Pregunta 4 Cada piso que contiene departamentos tiene un cierto giro con respecto al primer nivel. El piso superior (el piso 20 arriba del primer nivel) está en ángulo recto con respecto al primer nivel. El siguiente dibujo representa el primer nivel Dibuja en este mismo diagrama el plano del piso 10 arriba del primer nivel, mostrando cómo este piso está situado en respecto al primer nivel.
C) SOLUCIÓN DIRECTA DEL PROBLEMA Pregunta 1 Podemos suponer que cada piso tiene una altura aproximada de 3 metros, por lo tanto podemos multiplicar 21 pisos (el primer nivel mas los 20 pisos) por 3 metros de altura de cada piso: (21) (3) = 63 metros. Pregunta 2 C. Del Este. Como el edificio en su piso inferior tiene su lado mayor con orientación perfectamente Este-Oeste y en su último piso, su lado mayor tiene una orientación perfectamente Norte-Sur, la única forma en que el observador vea completo el piso superior es estando perpendicular al mismo, por lo que el punto de observación puede ser el Oeste o el Este, pero como se ve completamente el cuerpo cilíndrico de los elevadores, entonces el punto de observación solo puede ser el Este. Pregunta 3 D. Del Sureste. Dado que en la vista, en el piso más inferior, puede verse el lado corto del rectángulo pero no completamente sino en forma parcial y ésta vista se va recortando hasta no ser visible y nunca es visible el lado corto opuesto, el único ángulo de visión que permite ver este efecto es la vista Sur-Este. Si estuviéramos en la vista Este se vería completamente el lado corto del primer piso pero no sería visible nada del lado largo dado que éste tiene una orientación totalmente Este-Oeste y si estuviéramos en la vista Sur, veríamos completamente en el primer nivel el lado largo del edificio y el cilindro del cubo de elevadores sin ver el lado corto del edificio. La única vista que permite ver ambas y parte de la cara corta este, es la vista Sur-Este
Pregunta 4 El siguiente dibujo muestra la inclinación del piso 10 con respecto al primer nivel: Piso 10 Piso 20 90 Planta Baja Dado que en el primer nivel la orientación del lado largo del edificio es Este-Oeste, (0º de rotación) y en el piso 20 por encima del primer nivel la orientación del lado largo es Norte-Sur, (90º), y la variación del giro entre pisos podemos suponerla constante, a la mitad de la distancia, es decir 10 pisos por encima del primer nivel, que es la mitad de la altura total para alcanzar el giro de 90º, podemos concluir que el ángulo de giro es entonces exactamente la mitad del total, es decir, 45º.
D) CRITERIOS DE EVALUACIÓN DEL PROBLEMA SEGÚN LOS ESTÁNDARES DE PISA INTENCION DE LA PREGUNTA 1 Evaluar la habilidad del estudiante para estimar la altura de un edificio si se proporcionan el número de pisos. Criterio de evaluación para la pregunta 1 Código 2: Se aceptan respuestas en un rango de 50 a 90 metros si se proporciona una explicación correcta. Código 1: El método de cálculo es correcto y la explicación, pero se usan 20 pisos en lugar de 21. Código 0: Otras respuestas, incluyendo respuestas sin explicación, respuestas con número incorrecto de pisos, y respuestas que usan una estimación no razonable de la altura de cada piso (4 m será el límite para la altura). Código 9: Sin respuesta. INTENCION DE LA PREGUNTA 2 Evaluar la habilidad del estudiante para visualizar una figura tridimensional desde distintas perspectivas. Criterio de evaluación para la pregunta 2 Código 1: C. Del Este Código 0: Otras respuestas. Código 9: Sin respuesta. INTENCION DE LA PREGUNTA 3 Evaluar la habilidad del estudiante para visualizar una figura tridimensional desde distintas perspectivas. Criterio de evaluación para la pregunta 3 Código 1: D. Del Sureste Código 0: Otras respuestas. Código 9: Sin respuesta. INTENCION DE LA PREGUNTA 4 Evaluar la habilidad del estudiante para analizar la rotación de una figura tridimensional.
Criterio de evaluación para la pregunta 4 Código 2: Un dibujo correcto, indicando el punto de rotación y la dirección contra las manecillas del reloj. Se aceptan ángulos entre 40 y 50. Código 1: Uno de los siguientes datos es incorrecto: ángulo de rotación, punto de rotación ó la dirección de rotación. Código 0: Otras respuestas. Código 9: Sin respuesta. E) SOLUCIÓN COMENTADA DEL PROBLEMA SEGÚN EL PROCESO DE MATEMATIZACIÓN EN EL MARCO PISA. Identificación de un problema matemático. El problema que se plantea consiste en analizar las vistas de un edificio y el plano de su primer nivel. Se muestra una fotografía del mismo y el estudiante deberá analizar sus diferentes vistas. El problema pertenece al dominio de espacio y forma y es necesario que el estudiante tenga habilidades para el análisis de figuras tridimensionales. Identificación de los elementos matemáticos asociados al problema, reorganización del problema en términos de las matemáticas identificadas. Se muestra la siguiente fotografía del edificio: Y el diagrama de la planta del primer nivel: El primer nivel del edificio contiene la entrada principal y tiene espacio para tiendas. Arriba hay 20 pisos con departamentos. El plano de cada piso es similar al primer nivel, pero cada uno tiene una orientación ligeramente diferente del
anterior. El cilindro central contiene el elevador y una entrada a cada piso. El alumno deberá de analizar la fotografía y el plano para contestar las preguntas: Pregunta 1 Estima la altura total del edificio en metros. Explica cómo encontraste la respuesta. Pregunta 2 Las siguientes figuras muestran son vistas laterales del edificio torcido. vista lateral 1 Desde qué dirección se ha dibujado la vista lateral 1? A B C D Del Norte Del Oeste Del Este Del Sur Pregunta 3 Las siguientes figuras muestran son vistas laterales del edificio torcido.
vista lateral 2 Desde qué dirección se ha dibujado la vista lateral 2? A B C D Del Norte Del Oeste Del Este Del Sur Pregunta 4 Cada piso que contiene departamentos tiene un cierto giro con respecto al primer nivel. El piso superior (el piso 20 arriba del primer nivel) está en ángulo recto con respecto al primer nivel. El siguiente dibujo representa el primer nivel: Abstracción matemática progresiva de la realidad Para la pregunta 1, en donde se pide estimar la altura aproximada del edificio, se puede hacer la suposición de que cada piso tiene altura promedio de 3 metros por lo tanto podemos multiplicar 21 pisos (el primer nivel más los 20 pisos) por 3 metros de altura de cada piso. Para la pregunta 2 y 3 a partir de la fotografía podemos analizar las diferentes vistas para compararlas con las vistas laterales 1 y 2. La idea es observar a detalle las características de las caras del edificio y el cilindro del elevador central. También puede ser de utilidad considerar el plano del primer nivel, de manera que ayude a colocarse como observador desde la posición correcta. En el caso de la pregunta 2, como el edificio en su
piso inferior tiene su lado mayor con orientación perfectamente Este-Oeste y en su último piso, su lado mayor tiene una orientación perfectamente Norte-Sur, la única forma en que el observador vea completo el piso superior es estando perpendicular al mismo, por lo que el punto de observación puede ser el Oeste o el Este, pero como se ve completamente el cuerpo cilíndrico de los elevadores, entonces el punto de observación solo puede ser el Este. Para la pregunta 3, dado que en la vista en el piso inferior, puede verse el lado corto del rectángulo pero no completamente sino en forma parcial y esta vista se va recortando hasta no ser visible y nunca es visible el lado corto opuesto, el único ángulo de visión que permite ver este efecto es la vista Sur-Este. Si estuviéramos en la vista Este se vería completamente el lado corto del primer piso pero no sería visible nada del lado largo dado que éste tiene una orientación totalmente Este-Oeste y si estuviéramos en la vista Sur, veríamos completamente en el primer nivel el lado largo del edificio y el cilindro del cubo de elevadores sin ver el lado corto del edificio. La única vista que permite ver ambas y parte de la cara corta este, es la vista Sur-Este
Para la pregunta 4, se pide calcular el giro con respecto al primer piso, considerando que el piso superior está en ángulo recto, podemos considerar que para el piso 10 será la mitad del ángulo de giro. Podemos comprender cada piso como una misma figura plana girando en torno a un radio de giro que está ubicado en el centro del cilindro que forma el cubo de elevadores dado que es el único sólido que no torcedura o giro aparente, entonces el centro del cilindro es el centro de giro del edifico por lo que el primer nivel, que podemos considerar con un giro relativo de 0º, termina con un giro relativo de 90º en el nivel 21. Comprendiendo que cada piso tiene la misma altura, (3 m supuestos), podemos considerar que cada piso gira relativamente un ángulo uniforme de 0º a 90º. Como la pregunta se refiere al piso 10, la mitad del edificio, podemos considerar que el ángulo es de 45. Resolución del modelo matemático Para la pregunta 1, podemos multiplicar 21 pisos (el primer nivel mas los 20 pisos) por 3 metros de altura de cada piso, que dará un total de 63 metros. Para la pregunta 2 a partir de la fotografía identificamos que la vista es desde el Este del edificio.como el edificio en su piso más inferior tiene su lado mayor con orientación perfectamente Este-Oeste y en su último piso, su lado mayor tiene una orientación perfectamente Norte-Sur, la única forma en que el observador vea completo el piso superior es estando perpendicular al mismo, por lo que el punto de observación puede ser el Oeste o el Este, pero como se ve completamente el cuerpo cilíndrico de los elevadores, entonces el punto de observación sólo puede ser el Este. En la pregunta 3, podemos identificar que la vista se
presenta desde el Sureste. Dado que en la vista, en el piso más inferior, puede verse el lado corto del rectángulo pero no completamente sino en forma parcial y esta vista se va recortando hasta no ser visible y nunca es visible el lado corto opuesto, el único ángulo de visión que permite ver este efecto es la vista Sur-Este. Si estuviéramos en la vista Este se vería completamente el lado corto del primer piso pero no sería visible nada del lado largo dado que éste tiene una orientación totalmente Este-Oeste y si estuviéramos en la vista Sur, veríamos completamente en el primer nivel el lado largo del edificio y el cilindro del cubo de elevadores sin ver el lado corto del edificio, la única vista que permite ver ambas y parte de la cara corta este, es la vista Sur-Este. Para la pregunta 4, la rotación del edificio será de aproximadamente 45, como se muestra en la siguiente figura: Uso de la solución del modelo matemático como herramienta para interpretar el mundo real. Dado que en el primer nivel la orientación del lado largo del edificio es Este-Oeste, (0º de rotación) y en el piso 20 por encima del primer nivel la orientación del lado largo es Norte-Sur, (90º), y la variación del giro entre pisos podemos suponerla constante, a la mitad de la distancia, es decir, 10 pisos por encima del primer nivel, que es la mitad de la altura total para alcanzar el giro de 90º, podemos concluir que el ángulo de giro es entonces exactamente la mitad del total, es decir, 45º. Otra manera de ver el problema es considerar que son 90 entre 20 pisos, que representan 4.5 por piso. Por lo tanto para el piso 10 sería (10) (4.5) = 45. Las habilidad para analizar figuras tridimensionales puede ser muy una herramienta muy útil en diversos contextos del mundo real. Esta situación también busca identificar si el alumno es capaz de aproximar las dimensiones de un objeto y dar una respuesta que tenga sentido con respecto a la
PROCESOS realidad. F) COMENTARIOS AL CONTEXTO Y DOMINIO DEL PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA. CLASIFICACION Contexto Público: análisis de la forma de un edificio. Dominio Espacio y forma: analizar las diferentes vistas del edificio y la rotación de cada piso. G) COMENTARIOS A LOS PROCESOS MATEMÁTICOS DOMINANTES DEL PROBLEMA SEGÚN EL MARCO PISA. Se marcan en amarillo las áreas dominantes: MACRO-PROCESOS Pensamiento y razonamiento Argumentación Comunicación, utilización de operaciones y lenguaje técnico (formal y simbólico). Construcción de modelos Planteamiento y solución de problemas Representación Uso de herramientas de apoyo. Reproducción Conexión Reflexión El problema tiene características reproductivas a nivel de solución de problemas. No hay demandas especiales para que un alumno pueda dar las respuestas correctas dado que ha hecho el razonamiento correcto. Nótese la importancia de experiencia previa en este tipo de pensamiento. Hemos asumido un nivel reflexivo en casi todas las áreas marcadas porque tal problema será para el alumno típico totalmente nuevo en su forma y en el tipo de preguntas que hace. Un arquitecto profesional probablemente estaría operando a nivel reproductivo en todas estas áreas, no así quien enfrenta tal situación por primera vez. El alumno debe razonar la situación profundamente y hacer suposiciones. Debe recordar su experiencia en edificios y saber que en general un piso no es menor de unos dos metros y medio, y en general no sería mayor de unos cuatro metros. Tal vez el alumno deberá reflexionar usando su propia estatura para concluir tal cosa. El alumno debe además reflexionar para construir modelos mentales que le lleven a entender cómo van cambiando las vistas según la posición de observación y se va torciendo el edificio para llegar a concluir la posición del décimo piso en referencia al primer piso.
H) CONEXIONES CURRICULARES DEL REACTIVO PISA CON EL PROGRAMA DE LA SEP. En el documento CurrMateSEPMaster obsérvense las siguientes conexiones curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión curricular véase Programa Mate SEP Este problema está relacionado directamente con conocimientos y habilidades: 2.2.3 Forma, espacio y medida Formas geométricas Cuerpos geométricos Describir las características de diferentes figuras. Construir desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos. Anticipar diferentes vistas de un cuerpo geométrico. 3.5.2 Forma, espacio y medida Formas geométricas Cuerpos geométricos Anticipar las características de las figuras que se generan al girar o trasladar figuras. Construir desarrollos planos de conos y cilindros rectos. Anticipar y reconocer las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Determinar la variación que se da en el radio de los diversos círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos a una esfera o un cono recto.