UNIDAD DIDÁCTICA X: Geometría 3D (V) ÍNDICE Página: 1 INTRODUCCIÓN.. 2 2 PERSPECTIVA CABALLERA. 2 2.1 REPRESENTACIÓN DE PUNTOS, RECTAS Y GEOMETRÍAS PLANAS.. 3 2.2 REPRESENTACIÓN DE SÓLIDOS 3 3 PERSPECTIVAS AXONOMÉTRICAS...4 4 EJERCICIOS PROPUESTOS. 7 5 SOLUCIONES A LA UNIDAD VIII.. 8 1
1 INTRODUCCIÓN Conviene recordar la introducción general de los sistemas de representación que se realizó en la unidad 4, apartado 3.1 CLASIFICACIÓN SEGÚN EL MÉTODO PROYECTIVO. Como allí se comentó las perspectivas caballera y las axonométricas son proyecciones cilíndricas, siendo oblicua la caballera y ortogonales las axonométricas. Cada uno de estos sistemas proyectivos es susceptible de utilizarse, como hemos visto con el diédrico, para el estudio de la geometría descriptiva, con sus métodos específicos y manejando geometrías regulares. Sin embargo el enfoque que se va a dar en este tema es tan solo a nivel de la definición de cada uno de los sistemas perspectivos, y de visualización de elementos sencillos, los cuales los trazaremos a través de sus coordenadas (x,y,z) sin entrar a ver los métodos como si se hizo en diédrico. 2 PERSPECTIVA CABALLERA. Es la proyección cilíndrica oblicua que se obtiene sobre un plano de proyección (llamado también de cuadro) que disponemos paralelo al plano XZ del triedro de referencia, y cuyos haces proyectivos tienen una dirección oblicua respecto al plano de proyección fijándose de una forma arbitraria. De forma que los ejes Z, X y en general todo plano paralelo al XZ, quedan en VM, proyectándose el ángulo entre X e Y ortogonal, mientras que el Y se muestra con un cierto ángulo σ y afectado por un índice k de reducción que se fija según cómo de oblicua sea la Escala reducida p.e. E: 2/3. proyección. No obstante los valores usuales en la perspectiva caballera fijan el ángulo del eje Y Y respecto el Z y el X en 135, y el coeficiente de reducción en 2/3. 2 20 Z 135 90 30 VM Escala 1:1 Figura 1: Triedro de referencia y escalas en perspectiva caballera. X
2.1 REPRESENTACIÓN DE PUNTOS, RECTAS Y GEOMETRÍAS PLANAS. Para obtener puntos en perspectiva puntos nos basamos en sus coordenadas, por ejemplo A(6,5,4) y B(-4,3-2) para llevar las distancias sobre los ejes o paralelas a ellos. Para dibujar una recta debemos basarnos en dos puntos de ella, uniéndolos mediante la recta en perspectiva. O Z A(6,5,4) r X La construcción de figuras planas poligonales se basa en situar sus vértices por coordenadas y unirlos con segmentos rectos, si bien cabe tener en cuenta: el paralelismo se conserva en toda proyección cilíndrica y por tanto en la perspectiva caballera; por otra parte los coeficientes de reducción sobre rectas paralelas son constantes y en los planos paralelos al XZ todo queda en VM. Basándonos en estos principios se puede establecer una relación de afinidad (no estudiada en el presente curso) que permite pasar de figuras que están en planos paralelos al ZX, es decir en VM, a otros planos como se muestra en la figura 3. De esta forma la dificultad se reduce a sólo obtener el rectángulo circunscrito en el plano buscado haciendo uso de coordenadas. 2.2 REPRESENTACIÓN DE SÓLIDOS. Y B(-4,3,-2) Debemos obtener la perspectiva de todos sus vértices y aristas, conformando las caras de la superficie poliédrica que delimita el volumen, para terminar trazando y analizando el contorno aparente. Este contorno aparente 3 Y Figura 2: Situar puntos A y B por coordenadas, y la recta R que pasa por ellos. Z Figura 3: Situar figuras planas por medio del rectángulo circunscrito, paralelismo y proporcionalidad. X
nos permite discernir las aristas que son vistas y las que son ocultas. Es muy importante elegir la disposición de la pieza respecto de los ejes, de forma que: las geometrías más complejas queden en planos paralelos a ZX si es posible, para de esta forma, poder representarlas en VM. En el caso de superficies curvas debemos determinar las generatrices de contorno aparente: tangentes exteriores a la/s base, aunque en un principio deben resolverse como se vio en el tema de tangencias, no es Y habitual dejar en línea fina dichas construcciones auxiliares sino borrarlas, por lo que es habitual aproximarlas manualmente si se tiene suficiente destreza y no se exige de forma especifica en el enunciado, logrando de esta forma una mayor rapidez en el trazado perspectivo. Z Figura 4: Perspectiva caballera de un sólido cilíndrico maclado con un prisma rectangular. X 3 PERSPECTIVAS AXONOMÉTRICAS. Como ya se ha dicho se trata de proyecciones cilíndricas ortogonales, en las axonometrías el plano de cuadro se sitúa sobre el triedro de referencia intersecando a los tres ejes formando un tetraedro irregular, el triángulo que se determina sobre el plano de cuadro se denomina fundamental y se caracteriza por ser sus lados perpendiculares a los ejes XYZ en la perspectiva axonométrica. En un caso general las llamadas escalas axonométricas de los ejes son distintas para cada eje y vienen dadas por los cósenos directores del plano de cuadro. Hay dos formas sencillas de obtener dichas escalas a partir de los ejes y el triángulo fundamental, se diferencian según que triangulo tomemos para abatir, pero en todos los casos tomamos como charnelas de abatimiento el lado del triangulo que ya esta en VM por pertenecer al plano de cuadro. 4 Figura 5: Triángulo fundamental y ángulos directores.
En la figura 6 se ha tomado para el eje Z el plano proyectante que pasa por Z, de forma que abatimos el triángulo que se forma sobre él como sección plana del tetraedro mencionado. De esta forma tenemos en VM el ángulo σ que forma el eje Z con el plano de cuadro y con él la escala sobre el eje Z, en este abatimiento aplicamos el concepto de arco capaz de 90º, ángulo que se produce en O entre Z y el plano XY. El otro triángulo que podemos abatir es la una cara del tetraedro de las que se forman sobre el triedro de referencia, p.e.: XOY, también usando el arco capaz de 90º pues los ejes XY son ortogonales en O. En este caso podemos determinar dos escalas, la del eje X y la del Y. Figura 6: Perspectiva axonométrica, determinación del triángulo fundamental y las escalas axonométricas. Figura 7: Izq.: Perspectiva axonométrica y proyecciones axonométricas. Der.: Otra perspectiva del proceso de obtención de la figura de la izq. Solo se han dibujado los ejes proyectivos para el punto de mayor X. 5
Llegado este punto cabe diferenciar lo que se llaman perspectiva axonométrica de las proyecciones axonométricas. La perspectiva es la proyección ortogonal de una figura sobre el plano de cuadro, y las proyecciones axonométricas son las obtenidas sobre los tres planos del triedro de referencia, siendo también ortogonales a sus respectivos planos de proyección. Definidas las proyecciones axonométricas, diremos que en el presente curso las dibujaremos por coordenadas 2D del plano que las contiene aplicando los coeficientes de reducción pertinentes. Para dibujar la perspectiva axonométrica nos basaremos con al menos dos proyecciones axonométricas, para por ellas pasar los haces proyectivos correspondientes y en sus intersecciones determinar los puntos de la perspectiva. Si el uso de la perspectiva axonométrica busca mostrar lo mejor posible una pieza de cierta complejidad debemos elegir la disposición del plano de cuadro respecto de ella de la forma que obtengamos una visión más representativa, no obstante la norma establece una relación entre las escalas (proporcionales a Ex=1/2, Ey=Ez=1) y con ello una dirección del plano de cuadro y en consecuencia de los ejes. Se define de la siguiente forma: Figura 8: Obtención de los ejes y escalas axonométricas normalizados. Trazamos el eje Z con una longitud OA=8 y AB=12, determinamos el punto C del eje X como la intersección de los arcos de R12 y R8 y centro O. La Ex=Ez y la Ey es ½. De acuerdo con la definición del triángulo fundamental tendremos que la dirección del eje Y es perpendicular a AC. Esta perspectiva axonométrica es un caso particular de las llamadas axonométricas dimétricas, es decir, que tienen dos escalas iguales, diferenciándose de los casos generales llamados axonométricas trimétricas. Otro caso especial son las perspectivas isométricas, que tienen las tres escalas iguales, por tanto los tres ejes han de formar 120º. En estos casos la Ex=Ey=Ez=0,816 aproximadamente. La norma define lo que se llama el DIBUJO isométrico, que proporcionalmente toma Ex=Ey=Ez=1. Tanto en la perspectiva axonométrica normalizada como en el dibujo isométrico hay que 6
Figura 9: Izq.: Perspectiva axonométrica normalizada de un cubo con las circunferencias inscritas en sus caras vistas, quedan como elipses cuyos ejes principales están perpendiculares a los ejes del triedro o paralelos a ellos. Der.: Dibujo isométrico de una esfera de centro O con las circunferencias máximas situadas en los planos del triedro, la envolvente y los ejes mayores están mayorados 1/0,816, mientras que los ejes conjugados que se sitúan en las direcciones de los ejes están a escala 1/1. tener en cuenta que los elementos situados en planos paralelos al de cuadro se van a ver ampliados y no en VM, en el caso del dibujo isométrico la escala para el plano de cuadro será Ec=1/ 0,816 mientras que en la axonometría normalizada será Ec=1/ 0.943. Este último caso es tan poco diferente de 1 que podemos despreciarla excepto en el CAD. 4 EJERCICIOS PROPUESTOS 1/ Obtén el dibujo simétrico normalizado de la pieza definida en caballera en la figura 4. 2/ Dibuja un pentágono (L=40)en cada plano del triedro de referencia en perspectiva caballera, σ=150º y k=3/4. Puede utilizarse circulo graduado para dibujar el pentágono inicial. 3/ Obtén la PERSPECTIVA isométrica de un octaedro (L=40) regular apoyado sobre uno de sus vértices en el plano horizontal en el punto P(50,50,0) y su correspondiente diagonal vertical, de forma que sus aristas a media altura queden paralelas a los planos XZ y YZ. Indica aristas ocultas y vistas. Remarca en línea gruesa aquellos elementos notables del octaedro que queden en VM e indica su nombre. 5 SOLUCIONES A LA UNIDAD VIII. 7
1/ Obtén el desarrollo del cilindro de la figura 6 con la transformada, determinando todos sus puntos notables. Figura 12. 2/ Obtén la sección plana del cono de la figura 21 con el plano α, abatiendo para ver su VM y determinando sobre ella todos los elementos notables de la cónica. Figura 13. 8