APUNTES DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA AXONOMÉTRICO SISTEMA CÓNICO

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1 APUNTES DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA SISTEMA AXONOMÉTRICO SISTEMA CÓNICO S. Axonométrico S. Cónico José C. Izquierdo Fitz Catedrático de Dibujo y Artes Plásticas ISBN

2 ÍNDICE 3.- SISTEMA AXONOMÉTRICO Clases de sistemas axonométricos El triángulo de trazas Concepto de coeficiente de reducción Determinación de los coeficientes de reducción y de los ángulos que forman los ejes con el plano del cuadro Determinación de los coeficientes de reducción Determinación de los ángulos que forman los ejes con el plano del cuadro Alfabeto del punto. Proyecciones del punto Puntos situados en los planos de proyección y en los ejes Alfabeto de la recta. Proyecciones de la recta Posiciones particulares de la recta a). Recta paralela a uno de los ejes del sistema b). Recta paralela a uno de los planos del sistema c). Recta perpendicular a uno de los planos del sistema d). Perpendicular al plano del cuadro Alfabeto del plano. Proyecciones del plano Posiciones particulares del plano a). Paralelo a uno de los ejes del sistema b). Paralelo a uno de los planos del sistema c). Plano que contiene a uno de los ejes del sistema d). Plano que contiene al origen del sistema e). Plano perpendicular a uno de los ejes del sistema f). Plano perpendicular a uno de los planos del sistema g). Plano paralelo al plano del cuadro h). Plano perpendicular al plano del cuadro Intersecciones de planos Traza natural u ordinaria de un plano Traza natural u ordinaria de una recta Determinación de secciones planas de figuras Intersección de recta y plano Representación de figuras planas a). Aplicando los coeficientes de reducción b). Abatiendo el plano que contiene a la figura Representación de la circunferencia Representación en axonométrico de figuras dadas por sus proyecciones diédricas Paso de diédrico a axonométrico Paso de axonométrico a diédrico

3 Sistema axonométrico oblicuo. Perspectiva caballera SISTEMA CÓNICO Representación del punto Representación de la recta Posiciones particulares de la recta a). Recta paralela al PG. Recta horizontal. Recta R b). Recta perpendicular al PG. Recta vertical. Recta S c). Recta contenida en el PG. Recta T d). Recta paralela al PC. Recta frontal. Recta R e). Recta perpendicular al PC. Recta de punta. Recta S f). Recta contenida en el PC. Recta T Haces de rectas Rectas que forman un ángulo dado con el PC Determinación del ángulo que una recta forma con el PC Representación del plano Pertenencia entre puntos y planos Posiciones particulares del plano a). Plano paralelo al PC. Plano P. Plano frontal b). Plano perpendicular al PC. Plano Q. Plano de canto c). Plano paralelo al PG. Plano horizontal d). Plano perpendicular al PG. Plano vertical Haces de planos. Obtención del que pasa por el punto de vista Intersecciones de planos Intersección de recta y plano División de un segmento en partes iguales o proporcionales a). Segmento horizontal. Paralelo al PG b). Segmento frontal. Paralelo al PC c). Segmento cualquiera Abatimiento del PG. sobre el PC. Abatimiento de un punto Verdadera magnitud de un segmento a). Segmento perpendicular al plano geometral. Recta vertical b). Segmento paralelo al plano geometral. Recta horizontal c). Segmento perpendicular al plano del cuadro. Recta de punta d). Segmento paralelo al plano del cuadro. Recta frontal e). Segmento cualquiera Perspectiva de figuras planas a). Circunferencia situada en el PG y por detrás del PC Métodos para realizar perspectivas cónicas a). Método Reile b). Método de la homología

4 3.- SISTEMA AXONOMÉTRICO. El sistema axonométrico está formado por tres planos que se cortan, dos a dos, bajo ángulos rectos. Estos planos se cortan entre sí dando lugar a tres rectas que le llamaremos ejes del sistema (X), (Y) y (Z) y estos ejes se cortan en un punto que le llamaremos origen del sistema (O). Un punto (A) cualquiera del espacio lo proyectaremos ortogonalmente sobre estos tres planos obteniéndose las proyecciones (a ), (a ) y (a ), seguidamente este conjunto vuelve a proyectarse sobre un cuarto plano, llamado plano Figura 1 del cuadro, y sobre él obtendremos los puntos A, a, a y a, además de tener las proyecciones X, Y, Z de los ejes (X), (Y), (Z) y la proyección O del punto (O). Según la posición del plano del cuadro respecto al triedro y según la forma de proyectar sobre este, da lugar a las distintas variantes del sistema axonométrico que existen. Figura 2 Página nº 1

5 a). El sistema axonométrico ortogonal. Figura 1. b). El sistema axonométrico oblicuo. Figura 2. a). Sistema axonométrico ortogonal. El plano del cuadro es oblicuo a los tres ejes del triedro y la proyección sobre el plano del cuadro es ortogonal. b). Sistema axonométrico oblicuo. El plano del cuadro es paralelo a uno de los planos del triedro y la proyección sobre el plano del cuadro tiene que ser oblicua pues, al ser el plano (X)(O)(Z) paralelo al cuadro, el eje (Y) será perpendicular al mismo y si proyectáramos ortogonalmente, el eje (Y) se proyectaría como un punto y no tendríamos sistema axonométrico, por ello, la proyección tiene que ser oblicua. Vamos a empezar el estudio del sistema axonométrico ortogonal. Clases de sistemas axonométricos. Existen tres clases de sistemas axonométricos y estas tres clases se diferencian entre si por los ángulos que forman los ejes (X), (Y) y (Z) con el plano del cuadro. Sean los ángulos que forman los ejes con el cuadro los siguiente, figura 3: Eje (X) con el cuadro Eje (Y) con el cuadro Eje (Z) con el cuadro α β γ. X proyección de (X) sobre el cuadro.. Y proyección de (Y) sobre el cuadro.. Z proyección de (Z) sobre el cuadro. Figura 3 Página nº 2

6 Si los tres ángulos son iguales entre si, el sistema recibe el nombre de ISOMÉTRICO o MONOMÉTRICO y se caracteriza porque los ángulos que forman los ejes X, Y y Z son también iguales entre si y su valor es de 120º. Si dos ángulos son iguales y el tercero es distinto, el sistema recibe el nombre de DIMÉTRICO y se caracteriza porque los ángulos que forman los ejes entre si, dos serán iguales y el tercero será distinto. Si los tres ángulos son distintos entre si, el sistema recibe el nombre de TRIMÉTRICO y se caracteriza porque los ángulos que forman los ejes entre si, serán los tres distintos. El triángulo de trazas. Por ser el plano del cuadro oblicuo al triedro este será interceptando por el plano del cuadro dando lugar a un triángulo que recibe el nombre de triángulo de trazas. Figura 3. La posición del triángulo de trazas depende de la posición que tenga el plano del cuadro respecto al triedro, en el caso de que el plano del cuadro pase por el centro del sistema, el triángulo degenerará en tres rectas que pasan por el centro del sistema, en cualquier otro caso, el triángulo tendrá sus lados paralelos a estas tres rectas. Figura 3 Observando la figura vemos que el eje (Z) es perpendicular al plano (O)AB, por tanto, es perpendicular a cualquier recta de este plano, en especial a la recta AB. Página nº 3

7 La recta AB pertenece al plano (O)(X)(Y) y al cuadro. Por otro lado, el plano (O)CO es perpendicular al plano del cuadro y por contener al eje (Z) será también perpendicular a la recta AB. El eje Z pertenece al plano (O)CO, por tanto, el eje Z es perpendicular a la recta AB. Por análogas consideraciones, BC será perpendicular al eje X y CA al eje Y, es decir, que los lados del triángulo de trazas son perpendiculares a los ejes del sistema. Observando la figura 4, el triángulo de trazas es el triángulo ABC y el triángulo que resulta de unir los pies de las alturas del triángulo de trazas, es el triángulo órtico FGH. Los ejes del sistema son las bisectrices del triángulo órtico 1. Figura 4 Concepto de coeficiente de reducción. Observando la figura 5 vemos que el segmento U se proyecta sobre el plano del cuadro como Uz, estas dos magnitudes están ligadas por la expresión matemática: cos( γ ) = Uz U es decir, si conocemos el segmento U que representa una magnitud sobre el eje (Z), para conocer su valor proyectado sobre el cuadro bastará con despejar de la fórmula anterior el segmento Uz y obtendremos: 1 Teorema de Schlömilch-Waisbach. Página nº 4

8 Figura 5 Uz= U*cos( γ) Por tanto, todas las magnitudes que sean paralelas al eje (Z), para obtener sus correspondientes magnitudes sobre el eje Z, tendremos que multiplicarlos por el factor cos( γ), este factor recibe el nombre de COEFICIENTE DE REDUCCIÓN DEL EJE (Z). Análogamente para los otros ejes, así tendremos: Cx= cos( α) Cy= cos( β) Cz= cos( γ) Determinación de los coeficientes de reducción y de los ángulos que forman los ejes con el plano del cuadro. Determinación de los coeficientes de reducción. Observando las figuras 6 y 7, vemos que el triángulo A(O)B es rectángulo en (O) y el lado AB está situado en el cuadro. Procedamos a abatir dicho triángulo alrededor de la recta AB hasta que quede situado en el plano del cuadro. Por ser la recta AB la hipotenusa del triángulo A(O)B trazaremos el arco capaz del segmento AB para 90º y sobre este arco deberá estar el punto ((O)). El punto (O) describe una circunferencia situada en un plano perpendicular al eje de giro AB, por tanto, al estar AB en el cuadro este plano lo veremos como una recta perpendicular a AB. Página nº 5

9 Figura 6 Trazaremos por O una perpendicular a AB y donde corte al arco capaz tendremos el punto ((O)) abatido de (O). La unión de este punto con A y B nos darán los catetos del triángulo A(O)B, es decir, los abatidos ((X)) e ((Y)) de los ejes (X) e (Y). Tomando sobre ((X)) e ((Y)) un segmento de valor U y hallando sus extremos sobre X e Y obtendr emos los segmentos Ux y Uy, los cuales nos permite determinar los coeficientes de reducción de los ejes X e Y. Cx = Ux / U Cy = Uy / U Figura 7 Para determinar el coeficiente de reducción del eje Z, repetiremos este proceso pero aplicándolo al triángulo BOC o AOC. En la figura se ha aplicado al triángulo BOC. Cz = Uz / U Página nº 6

10 Los coeficientes de reducción son siempre MENORES A UNO y deben de cumplir la siguiente igualdad matemática: Cx 2 + Cy 2 + Cz 2 = 2 Figura 8 Determinación de los ángulos que forman los ejes con el plano del cuadro. Observando las figuras 8 y 9, vamos a considerar el triángulo C(O)M, que es rectángulo en (O) y en el ángulo en C es el que forma el eje (Z) con el cuadro. Procedamos a abatir dicho triángulo alrededor de la recta CM hasta que quede situado en el plano del cuadro. Por ser la recta CM la hipotenusa del triángulo C(O)M trazaremos el arco capaz del segmento CM para 90º y sobre este arco deberá estar el punto ((O)) abatido de (O). El punto (O) describe una circunferencia situada en un plano perpendicular al eje de giro CM, por tanto, al estar CM en el cuadro este plano lo veremos como una recta perpendicular a CM. Trazaremos por O una perpendicular a CM y donde corte al arco capaz tendremos el punto ((O)). La unión de este punto con C y M nos darán los catetos del triángulo. El triángulo abatido es C((O))M, el ángulo en C es el ángulo buscado. Obsérvese que conocido el ángulo, γ tenemos el coeficiente de reducción del eje Z, no hay mas que calcular el coseno de este ángulo. También se puede calcular colocando un segmento sobre ((Z)) y determinando sus extremos sobre Z, el cociente entre ambos será el coeficiente de reducción. Página nº 7

11 Cz = Uz / U Para calcular los otros dos ángulos de los otros ejes, hay que repetir el mismo proceso pero con los triángulos B(O)Ñ y A(O)N. Figura 9 Veamos como podemos determinar un sistema axonométrico si nos dan los ángulos que forman los ejes Y y Z con el cuadro. Figura 10. Figura 10 Consideremos el eje Z en el cual fijaremos dos puntos C y O. A partir de C, (C es un vértice del triángulo de trazas) y con respecto a Z colocaremos el ángulo γ que forma el eje ((Z)) con el cuadro. El triángulo C((O))M es rectángulo en ((O)) lo cual nos va a permitir encontrar el Página nº 8

12 punto M ya que M((O)) es perpendicular a C((O)). Trazando por M la perpendicular al eje Z tendremos la recta AB intersección del plano del cuadro con el plano ((X))O((Y)). A partir del punto (O)) y con respecto a Z colocaremos el ángulo forma el eje ((Y)) con el cuadro, lo cual nos permite encontrar el punto B, que nos va a llevar a encontrar el punto B describiendo un arco de circunferencia de centro O y radio OB. Encontrado B, para obtener el eje X basta con trazar por O una perpendicular a la recta BC y así tenemos los tres ejes del sistema. Los puntos A, B y C son los vértices del triángulo de trazas. Alfabeto del punto. Proyecciones del punto. β que Para determinar las proyecciones de un punto basta con conocer dos de las cuatro proyecciones. Figura 11. Consideremos el sistema definido por los ejes X, Y y Z y las proyecciones A y a de un punto. Para determinar sus otras proyecciones a y a, bastará trazar por a rectas paralelas a los ejes X e Y las cuales nos permitirá encontrar los puntos m y n sobre los ejes respectivamente. Trazando paralelas al eje Z por m y n donde se corten con las paralelas a los ejes X e Y trazadas por A obtendremos las proyecciones a y a del punto considerado. Figura 11 Observando la figura, el punto A representado está situado en el triedro correspondiente a las regiones positivas de los ejes X, Y y Z y este punto está por encima del plano XOY y por delante de los planos XOZ e YOZ. Puntos situados en los planos de proyección y en los ejes. Figura 12. Los puntos B, C y D están situados sobre los planos XOY, XOZ e YOZ respectivamente y los puntos E, F y G están sobre los ejes X, Y y Z. Obsérvese que en el caso de los puntos B, C y D dos de sus proyecciones están situadas sobre los ejes y la proyección del punto coincide con una de ellas, y en el caso de los puntos Página nº 9

13 E, F y G, dos proyecciones están sobre los ejes y la tercera coincide con el origen del sistema. Figura 12 En la figura 13 se ha representado las proyecciones de un punto A situado por encima del plano XOY, por delante del XOZ y por detrás del YOZ. Obsérvese como la paralela al eje Y corta al eje X por su parte negativa. Figura 13 Página nº 10

14 Alfabeto de la recta. Proyecciones de la recta. Como ya sabemos una recta queda definida conociendo dos puntos de ella, por tanto para determinar las proyecciones de una recta bastará con conocer las proyecciones de dos de sus puntos. La unión ordenada de las proyecciones de los puntos nos dará las proyecciones de la recta. Figura 14. Sean los puntos (A, a, a, a ) y (B, b, b, b ), la unión de: A con B nos dará la proyección R. a con b nos dará la proyección r. a con b nos dará la proyección r. a con b nos dará la proyección r. Figura 15. En diédrico definíamos las trazas de una recta como los puntos de intersección de esta con los planos de proyección y, a lo sumo, podía tener dos trazas ya que hay dos planos de proyección. En axonométrico, el concepto de trazas es idéntico la única salvedad es que una recta puede tener hasta un máximo de cuatro trazas ya que existen cuatro planos de proyección que son, el XOY (traza H), el XOZ (traza V), el YOZ (traza W) y el plano del cuadro (traza ordinaria o natural de la recta To). Hay que Figura 14 tener en cuenta que las trazas de la recta están sobre ella, es decir, H, V, W y To estarán situados sobre R, estando las demás proyecciones sobre sus las respectivas proyecciones de la recta. Para determinar las trazas hemos procedido de la siguiente manera: Página nº 11

15 Figura 15 En la proyección R estarán las proyecciones H, h, V, v y W, w. En la proyección r estarán las proyecciones h, v y w. En la proyección r estarán las proyecciones h, v y w. En la proyección r estarán las proyecciones h, v y w. Por otro lado, las proyecciones que no están con H, V y W tienen que estar en los ejes, por tanto, buscaremos en la proyección r aquellos puntos que estén en los ejes X e Y donde tendremos las proyecciones v y w, en r las que están en los ejes X y Z obteniéndose los puntos h y w y por último en la proyección r los que están en los ejes Y y Z obteniéndose los puntos v y h. Conocidos los puntos (h, h ), (v, v ) y (w, w ) podemos encontrar los puntos (H, h ), (V, v ) y (W, w ). La visibilidad de la recta queda definida por los puntos H, V y W ya que son los puntos de corte con los planos XOY, XOZ e YOZ. Obsérvese que la recta se mete por debajo del plano XOY y por detrás del plano XOZ siendo ocultas estas partes. Para determinar su traza ordinaria lo expondremos después de ver las intersecciones de planos. Página nº 12

16 Posiciones particulares de la recta. La recta puede adoptar cuatro posiciones que son: a). Paralela al eje X, Y o Z. b). Paralela al plano XOY, XOZ o YOZ. c). Perpendicular al plano XOY, XOZ o YOZ. d). Perpendicular al plano del cuadro. a). Recta paralela a uno de los ejes del sistema. Figura 16. En la figura se han representado las proyecciones de dos rectas R y S siendo cada una de ellas paralelas a los ejes X e Y respectivamente. Obsérvese que de la perpendicularidad que existe entre los planos de proyección, la recta que es paralela al eje X es perpendicular al plano YOZ y en este plano la proyección de la recta se ve como un punto. Análogamente para la recta S con respecto al plano XOZ. Al ser la recta paralela a un eje es paralela a los dos planos que pasan por él, por tanto, tendrá tres proyecciones paralelas al eje considerado. Si la recta además están contenida en uno de los planos, por ejemplo la Figura 16 recta R contenida en el XOY, tendrá las proyecciones R y r coincidentes en r, la r estará confundida con el eje X y la r estará sobre en el eje Y. Análogamente si consideramos la recta S contenida en el plano YOZ tendrá las proyecciones S y s coincidente en s, la s confundida con el eje Y y la s estará sobre el eje X. b). Recta paralela a uno de los planos del sistema. Figura 17. En la figura se han representado dos rectas R y S paralelas respectivamente a los planos XOY e YOZ. Obsérvese que la recta R, que es paralela al XOY, todos sus puntos tienen la misma coordenada z, por tanto, las proyecciones r y r serán paralelas a los ejes X e Y respectivamente. Análogamente a la recta S con respecto Página nº 13

17 al plano YOZ y todos sus puntos tienen la misma coordenada x. Las proyecciones s y s serán paralelas a los ejes Y y Z respectivamente. Si además la recta R está contenida en el plano XOY, las proyecciones R y r serán coincidentes en r, y las r y r coincidentes con los ejes X e Y respectivamente. Por igual razonamiento, si la recta S está contenida en el plano YOZ, las proyecciones de S y s serán coincidentes en s y las s y s coincidirán con los ejes X y Z respectivamente. c). Recta perpendicular a uno de los planos del sistema. Figura 16. Si una recta es perpendicular al plano XOY será paralela al eje Z, si lo es al plano XOZ será paralela al eje Y y si lo es al plano YOZ lo será al eje X. En la figura 16 están representadas las rectas R perpendicular al plano YOZ (paralela al eje X) y la S es perpendicular al plano XOZ (paralela al eje Y). d). Perpendicular al plano del cuadro. Figura 18. Si una recta es perpendicular al plano del cuadro, su proyección R será un punto mientras que las proyecciones r, r y r serán respectivamente paralelas a los ejes X, Y y Z. Figura 18 Página nº 14

18 Alfabeto del plano. Proyecciones del plano. Como ya sabemos por diédrico, un plano queda definido por tres posibles condiciones que son, (ver página 20 de diédrico) y se representa por sus trazas: a). Tres puntos no alineados. b). Un punto y una recta que no se pertenezcan. c). Dos rectas que se cortan. En axonométrico el plano se define de la misma manera, la diferencia entre ambos sistemas de representación es que, en diédrico el plano posee dos trazas y en axonométrico por tres, ya que existen tres planos de proyección. Estas tres trazas tienen la propiedad de que SIEMPRE forman un triángulo cuyos vértices están sobre los ejes del sistema. Figura 19. En la figura se han representado dos planos el P y el Q. Obsérvese que las trazas del plano P forman un triángulo cuyos vértices, 1, 2 y 3, están en los ejes y el plano Q otro cuyos vértices son 4, 5 y 6. Todo plano tiene siempre una cuarta traza que es su traza ordinaria o natural y es la intersección del plano con el plano del cuadro. Cuando abordemos el estudio de las intersecciones de planos, podremos Figura 19 determinar esta traza. Esta traza tiene un valor muy importante por el hecho de estar en el plano del cuadro y estar en verdadera magnitud, por tanto nos servirá como charnela o eje de giro para abatir el plano en cuestión sobre el plano del cuadro y poder ver todo los elementos que contenga en verdadera magnitud. En la figura 20 se resuelve el problema de encontrar las trazas de un plano definido por tres puntos no alineados. Para su resolución aplicaremos el mismo procedimiento que en diédrico, es decir, determinando las trazas de las rectas que estos puntos definen dos a dos. (Ver página 20 y siguientes de diédrico). Consideremos tres puntos A, B y C definido por sus proyecciones A-a, B-b y C-c. Página nº 15

19 Figura 20 Para determinar las trazas del plano que determinan, no ha hecho falta encontrar todas las trazas de las tres rectas que estos puntos definen, sino que se han determinado solamente cuatro trazas, ya que, los puntos donde las trazas del plano cortan a los ejes también pertenecen a las trazas del plano buscado. Así hemos tomado la recta AC determinando las proyecciones AC y a c, vemos que a c corta al eje Y en el punto w 1 que es una de las proyecciones de la traza W 1 que nos permite encontrar w 1 y la recta BC determinando sus proyecciones BC y b c, vemos que b c corta al eje Y en el punto w 2 que es una de las proyecciones de la traza W 2 que nos va a permitir encontrar w 2. La unión de w 1 y w 2 nos da la proyección P del plano buscado. Esta traza corta a los ejes Y y Z en los puntos 2 y 3 por donde pasarán las trazas del plano P y P respectivamente. Para determinar P y P hemos empleado la Página nº 16

20 recta AB determinando las proyecciones AB y a b, vemos que a b corta al eje X en v que nos permite encontrar v, la unión de v y el punto 3 nos da P. P corta al eje X en el punto 1 por donde pasa P. La unión de 1 y 2 nos da P. Obsérvese que está última recta pasa por h punto de intersección de AB y a b, siendo h una de las trazas de la recta AB. Lo otros casos se deja al lector para su resolución. Posiciones particulares del plano. El plano puede adoptar ocho posiciones que son: a). Paralelo a uno de los ejes del sistema. b). Paralelo a uno de los planos del sistema. c). Plano que contiene a uno de los ejes del sistema. d). Plano que contiene al origen del sistema. e). Plano perpendicular a uno de los ejes del sistema. f). Plano perpendicular a uno de los planos del sistema. g). Plano paralelo al plano del cuadro. h). Plano perpendicular al plano del cuadro. a). Paralelo a uno de los ejes del sistema. Figura 21. El plano paralelo a uno de los ejes del sistema se caracteriza por tener dos de sus trazas paralelas al eje al que es paralelo. Además, por la perpendicularidad de los planos del sistema, este plano será perpendicular a uno de los planos del triedro. Figura 21 En la figura se han representado dos planos P y Q que son, respectivamente, paralelos al eje X (perpendicular al plano YOZ) y paralelo al eje Z (perpendicular al plano XOY). Página nº 17

21 b). Paralelo a uno de los planos del sistema. Figura 22. El plano paralelo a uno de los planos del sistema se caracteriza por tener dos trazas paralelas a los ejes del sistema y carece de la traza con el plano al que es paralelo. Además, por la perpendicularidad de los planos del sistema, este plano será perpendicular a uno de los ejes del triedro. En la figura se han representado dos planos P y Q que son, respectivamente, paralelos al plano XOY (perpendicular al eje Z) y paralelo Figura 22 al plano XOZ (perpendicular al eje Y). Estos planos son perpendiculares a dos planos del triedro. El P lo es a los planos XOZ e YOZ y el Q a los planos XOY e YOZ. Obsérvese que carecen de la traza con el plano al que es paralelo y, por tanto, no se forma ningún triángulo entre las tres trazas del mismo. c). Plano que contiene a uno de los ejes del sistema. Figura 23. Figura 23 Un plano que contenga a uno de los ejes del sistema se caracteriza porque dos de sus trazas son, precisamente, el eje al que contiene. En la figura se ha representado el plano P que contiene al eje Y, las trazas con los planos XOY e YOZ son coincidentes y son, precisamente el eje Y, la otra traza P pasará por el centro del triedro. d). Plano que contiene al origen del sistema. Figura 24. El plano que contiene al centro del triedro se caracteriza por pasar sus tres trazas por este punto y, por tanto, el triángulo que forman con los ejes del triedro degenera en un punto, el centro del sistema. Página nº 18

22 Figura 24 e). Plano perpendicular a uno de los ejes del sistema. Este caso ha quedado expuesto en la figura 22. f). Plano perpendicular a uno de los planos del sistema. Este caso ha quedado expuesto en la figura 21. Si el plano fuera perpendicular a dos planos del triedro véase la figura 22. g). Plano paralelo al plano del cuadro. Figura 25. Un plano paralelo al plano del cuadro tendrá sus trazas paralelas a este plano, es decir, sus trazas serán respectivamente, perpendiculares a los ejes del triedro. h). Plano perpendicular al plano del cuadro. El plano perpendicular al plano del cuadro tendrá sus tres trazas confundidas en una sola. Véase la figura 25. Figura 25 Página nº 19

23 Intersecciones de planos. Figura 26. La intersección de dos planos es una recta que pertenece a ambos planos. Sabemos por diédrico, (véase página 30 y siguientes), que la recta intersección debe pertenecer a ambos planos, por tanto las trazas de la recta deben estar sobre las trazas de ambos planos. En la figura tenemos representado dos planos, el P y el Q, observamos que las trazas P y Q se cortan en el punto H=h, traza con el plano XOY de la recta buscada, las trazas P y Q se cortan en el punto V=v, traza con el plano XOZ y las trazas P y Q se cortan en W=w. La unión de estos tres puntos, H, V y W, nos da Figura 26 laproyección R de la recta buscada. Para simplificar el dibujo no se han trazado las proyecciones r, r y r de la recta R. La visibilidad del conjunto no presenta mayor complicación y resulta mucho mas fácil de ver que en diédrico. Traza natural u ordinaria de un plano. Figura 27. Generalmente el plano del cuadro se hace que pase por el centro del triedro por lo que las trazas de este plano serán tres rectas que pasan por el origen Página nº 20

24 y son, respectivamente, perpendiculares a los ejes del triedro. ( α', α'', α''') Para determinar la traza ordinaria, P 0, tendremos que resolver la intersección del plano que nos dan y el plano del cuadro siguiendo el mismo procedimiento que en el caso anterior. Figura 27 Traza natural u ordinaria de una recta. Figura 28. La traza natural u ordinaria de una recta será el punto de intersección de la recta con el plano del cuadro. Para su resolución tomaremos un plano auxiliar, cualquiera, que contenga a la recta, le calcularemos su traza ordinaria y donde la recta corte a esta traza tendremos la traza ordinaria de la recta. El plano auxiliar Página nº 21

25 que tomaremos será el mas simple posible, generalmente, un plano que sea perpendicular a uno de los del sistema (una de sus trazas se confundirá con una de las proyecciones de la recta). Figura 28 Tenemos la recta R definida por sus proyecciones R y r. Hemos tomado un plano P auxiliar perpendicular al plano XOY y que contenga a la recta R. Hemos determinado su traza ordinaria P 0 y la traza ordinaria, R 0, de la recta R, será la intersección de R con P 0. Determinación de secciones planas de figuras. Para determinar la sección que un plano le produce a una figura, basta con ir calculando las intersecciones de cada plano, que conforma la figura, con el plano dado. Hay que tener en cuenta que, los planos que integran la figura se van cortando entre sí dos a dos. Consideremos dos planos P y Q que se cortan según la recta R, la intersección del plano del corte, W, con los planos P y Q darán dos rectas S y T que tendrán un punto en común con la recta R. Figura 29. Página nº 22

26 Figura 29 En la figura 30 se ha resuelto la sección que el plano W le produce a un prisma de base cuadrada. Para su resolución hemos empezado por el plano P1 (cara mas a la dcha) que corta a las trazas del plano W en los puntos 5 y 6, la unión de estos nos da la intersección de esta cara con el plano sector, limitamos esta intersección al trozo 12 (que es lo Figura 30 Página nº 23

27 que está dentro de esa cara). A continuación hemos tomado el plano P3 (cara delantera), que corta al plano sector en los puntos 9 y 10, la unión de estos nos da la intersección que la limitamos al trozo 14. Seguidamente consideramos el plano P2 (cara mas a la izda) que corta al plano W en los puntos 7 y 8 y limitamos la intersección al trozo 43 y por último, hemos considerado el plano P4 (obsérvese que solo hemos determinado una traza de este plano ya que la intersección que buscamos deberá pasar por el punto 2), este plano corta al plano sector en el punto 11, la unión de este último punto y el 2 nos da la última intersección que la limitamos al trozo 23. A la izda de la figura está el estudio de la visibilidad. Quedará visible del corte hacia arriba y oculto del corte hacia abajo. En la figura 31 hemos resuelto otro caso de sección plana. El procedimiento a seguir es el mismo que el anteriormente expuesto por lo que no vamos a realizar ningún comentario. Figura 31 Página nº 24

28 Intersección de recta y plano. La intersección entre una recta R y un plano P es un punto I. (Véase página 60 de diédrico). Para su resolución vamos a considerar un plano auxiliar W que contenga a la recta R, resolveremos la intersección S entre ambos planos P y W y el punto I buscado será la intersección entre ambas rectas R y S. El plano auxiliar lo tomaremos de la forma mas simple posible, es decir, que sea perpendicular a uno de los planos del sistema por lo que, una de las trazas de este plano se confundirá con una de las proyecciones de la recta. Figura 32. Figura 32 Hemos considerado un plano W perpendicular al plano XOY por lo que su traza W coincidirá con r y las trazas W y W serán paralelas al eje Z. Resolvemos la intersección S de ambos planos y el punto I será la intersección de las rectas R y S. Página nº 25

29 Representación de figuras planas. Vamos a representar en perspectiva isométrica un exágono contenido en el plano XOY según sus proyecciones diédricas adjunta en la figura 33. Podemos realizar la representación por dos métodos distintos: a). Aplicando los coeficientes de reducción. b). Abatiendo el plano que contiene a la figura. a). Aplicando los coeficientes de reducción. Figura 34. Antes de empezar, tomaremos todas las dimensiones que aparecen en la figura y le aplicaremos sus correspondientes coeficientes Figura 33 de reducción. En nuestro caso, por ser la representación en isométrico, los coeficientes de reducción son iguales para los tres ejes y su valor es De esta manera las dimensiones quedarán así: Eje X Eje Y Seguidamente llevaremos estas nuevas dimensiones sobre los ejes de nuestro sistema axonométrico y trazaremos paralelas a ellos por e s t o s p u n t o s e n c u y a s intersecciones tendremos los vértices del exágono buscado. Figura 34 Página nº 26

30 b). Abatiendo el plano que contiene a la figura. Figura 35. Como la figura esta contenida en el plano XOY y este plano corta al plano del cuadro según el triángulo ABC, vamos a proceder a abatir el plano XOY alrededor de la recta AB. Una vez abatido el exágono se verá en verdadera magnitud, lo dibujaremos y aplicando los conocimientos de afinidad procederemos a desabatirlo. Nótese que las dimensiones del exágono se han colocado sin aplicar coeficiente de reducción alguno ya que, al proceder al desabatimiento éstas se reducen solas. Figura 35 Representación de la circunferencia. Figura 36. Las proyecciones de una circunferencia en el sistema axonométrico, siempre se ve como una elipse. Para su trazado, procederemos a inscribirla en un cuadrado y Página nº 27

31 buscaremos la afinidad que transforma a la circunferencia inscrita en éste en la elipse que buscamos. Generalmente, con obtener 8 puntos y sus respectivas tangentes tenemos suficiente información para poder trazarla, no obstante, si estamos haciendo la representación en isométrico, se pueden determinar los ejes de la misma y poder trazarla por puntos. Los ocho puntos que vamos a considerar van a ser, trazando las paralelas a los lados del cuadrado por el centro del mismo, nos van a dar cuatro puntos en la circunferencia, los otros cuatro son los puntos de intersección de la circunferencia con las diagonales del cuadrado. Las tangentes en estos ocho puntos son, respectivamente, paralelas a los lados y diagonales del cuadrado circunscrito. Figura 36 Tomare mos como eje de la afinidad cualquiera de las rectas O1, 12, 23 o 3O, en nuestro caso hemos considerado la recta 23, la figura afín del paralelogramo O123 es el cuadrado O 1'2'3'. Una vez trazado éste le inscribiremos una circunferencia y le trazaremos las diagonales y las paralelas a los lados por su centro. Así obtendremos los ocho puntos anteriormente citados (en la figura solamente se le han puesto nombre a los puntos f y g ). Seguidamente procederemos a encontrar los correspondientes Página nº 28

32 afines. El centro de la circunferencia será la intersección de las diagonales 13 y O2. Para encontrar los afines de los puntos f y g, trazaremos paralelas al lado 1'2' por estos puntos, estas rectas cortan al eje en los puntos m y n por donde trazaremos paralelas a la recta 12, donde estas paralelas corten a las diagonales 13 y O2, tendremos los puntos f y g buscados. Hemos trazados las tangentes en los ocho puntos. En la figura vemos que la tangente en f corta al eje en el punto a que unido con f nos da la tangente buscada y la tangente en g corta al eje en el punto b que unido con g nos da la otra tangente. Conocido los puntos y sus tangentes procedemos a su trazado a mano alzada. Obsérvese que al ser la representación en isométrico los puntos g y f son los vértices de la elipse, es decir, extremos de los ejes de la misma por lo que podemos trazarla por cualquier método para construir una elipse, el método mas cómodo y simple es el de la tarjeta de papel. Si tuviéramos que trazar media elipse o un cuarto de la misma, el procedimiento sería análogo al anteriormente descrito. Figura 37 con tramos curvos. En la figura 37, hemos representado una pieza Obsérvese que para proceder al trazado de las curvas hemos inscrito la figura en Página nº 29

33 prismas rectos de base cuadrada y hemos buscado las afinidades que transforman en elipses las circunferencias inscritas en esos cuadrados. Representación en axonométrico de figuras dadas por sus proyecciones diédricas Cuando tengamos que representar una figura dada por sus proyecciones diédricas, lo primero que haremos es, a mano alzada, realizar la perspectiva de la figura observando las proyecciones diédricas. Es muy conveniente dedicarle a esta labor un poco de tiempo ya que, una vez obtenida la perspectiva de la figura, su representación será mucho mas fácil por no tener mas que dibujarla con sus medidas sabiendo que es lo que vamos a ver. Paso de diédrico a axonométrico. Vamos a representar en axonométrico la sección plana de un tetraedro representado por sus proyecciones diédricas según la figura 38. Figura 38 Figura 39. Empecemos situando los puntos 1,2,3 y 6. Para ello vamos a calcular las coordenadas que poseen estos puntos. Una vez determinadas l e a p l i c a m o s s u s correspondientes coeficientes d e r e d u c c i ó n y l o s colocaremos sobre los ejes X e Y d el sistema y determinaremos los puntos 1, 2, 3 y 6. Seguidamente calcularemos la altura del punto V y la colocaremos, una vez reducida, sobre la paralela al eje Z trazada por el punto v. Para calcular el punto v Página nº 30

34 hemos trazado las rectas que pasando por los vértices 1, 2 y 3 pasan por los puntos medios de los segmentos 23, 13 y 12 respectivamente. De esta manera tenemos determinada la perspectiva del tetraedro. Para determinar las trazas del plano P hemos tomados las coordenadas de los puntos 7 y 8', sobre los ejes Y y Z respectivamente, una vez colocado sobre los ejes del sistema, lo unimos con el punto 6 y tenemos las tres trazas del plano P, P, P y P. Para calcular la sección que el plano le produce al tetraedro podíamos haber calculado las coordenadas de los puntos A, B y C y situarlos sobre sus respectivas aristas, pero lo hemos resuelto de otro modo. Para determinar el punto B, hemos considerado un plano auxiliar Q que contenga a la arista V2 y determinamos la intersección de este plano y el plano P, obteniéndose la recta R, donde R corta a la arista V2 tenemos el punto B. (Recuérdese la intersección de recta y plano. Ver página 25). Las trazas Q y P se cortan en 9 y las Q y P en 10, la unión de 9 y 10 nos dan la perspectiva de R, donde R corta a la arista V2 nos dan el punto B. Por último, para determinar las otras dos rectas de la sección, hemos considerado la homología que existe entre la base del tetraedro 123 y la sección ABC. Obsérvese que la prolongación de la arista 23 corta a P en 4 y la arista 12 en 5 respectivamente, la unión de estos puntos 4 y 5 con B nos determinan los puntos C y A sobre las aristas V1 y V3 respectivamente. Figura 39 Página nº 31

35 Paso de axonométrico a diédrico. Para pasar de axonométrico a diédrico es análogo a lo anteriormente expuesto la diferencia está en que, al pasar de diédrico a axonométrico hay que multiplicar por los coeficientes de reducción y en el paso de axonométrico a diédrico hay que dividir entre los mismos, por lo demás todo el proceso es el mismo. Recordemos que las únicas medidas que están en verdadera magnitud (salvando el tema de los coeficientes de reducción), son las que se encuentren en rectas paralelas a los ejes del sistema. Sistema axonométrico oblicuo. Perspectiva caballera. Ya quedo definido el sistema axonométrico oblicuo al definir el sistema axonométrico (ver página 1 y siguientes). La diferencia fundamental de este sistema respecto del axonométrico ortogonal es que uno de los planos del sistema es paralelo al plano del cuadro, por tanto, este plano se verá en verdadera magnitud y por el paralelismo de ambos planos, dos ejes serán paralelos al cuadro y el tercero, al ser perpendicular, no se puede proyectar ortogonalmente sobre el mismo, por ello, se hace oblicuamente al cuadro. De aquí que el único eje que tiene coeficiente de reducción es el que se proyecta oblicuamente sobre el cuadro ya que los otros dos tiene coeficiente de reducción igual a la unidad. El coeficiente de reducción no se puede calcular tiene que darse como un dato mas. De todo esto, la gran ventaja que posee esta variedad del sistema axonométrico, es que toda circunferencia contenida en un plano paralelo al cuadro se verá como una circunferencia, por el contrario si lo es a cualquiera de los otros dos planos, se verá como una elipse. A partir de este momento, al sistema axonométrico oblicuo, le llamaremos perspectiva caballera. Hay dos formas de perspectiva caballera según que eje sea el que se proyecta oblicuamente al cuadro. Generalmente suele ser el eje Y, pero si es el eje Z entonces la perspectiva recibe el nombre de perspectiva militar. La forma de trabajar con la perspectiva caballera es IDÉNTICA a la manera de trabajar con el sistema axonométrico ortogonal, la representación del punto, de la recta y del plano, las trazas de la recta y las trazas del plano, así como las intersecciones de planos y rectas y planos, son exactamente igual a lo expuesto en Página nº 32

36 el sistema axonométrico ortogonal. Vamos a realizar la perspectiva caballera de la pieza representada por sus proyecciones diédricas. Figuras 40 y 41. Coeficiente de reducción: Cy=0.75 Figura 40 Página nº 33

37 Figura 41 Para realizar la perspectiva hemos determinado la proyección de la planta de la figura en el plano XOY y el alzado en el plano XOZ, de esta manera podemos encontrar los centros de cada una de las circunferencia que conforman la figura. Puntos importantes de obtener son los contornos de la figura, para ello hemos trazado por los centros de las circunferencias rectas perpendiculares al eje Y en cuya intersección con las mismas tendremos los puntos de tangencias entre las circunferencias y los contornos de la figura. Página nº 34