* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * * Las superficies regladas desarrollables que vamos a estudiar son:

Transcripción

1 Superficies regladas desarrollables. Las superficies regladas desarrollables que vamos a estudiar son: a).- La pirámide. b).- El prisma. c).- El cono. d).- El cilindro. a).- Superficie piramidal. La pirámide. Figura 146 Figura 146. Llamamos superficie piramidal a la superficie engendrada por todas las rectas que pasando por un punto fijo llamado vértice se apoyan en una poligonal plana que llamaremos directriz. Cada una de las rectas que engendran la superficie las llamaremos generatrices y aquellas que pasan por un vértice de la poligonal las llamaremos aristas laterales, cada uno de los segmentos que forman la directriz les llamaremos aristas básicas. De esta definición se desprende que la superficie piramidal es ilimitada y hueca. Generalmente para trabajar con ellas se suelen limitar por dos planos, uno que pasa por el vértice y otro que es el plano que contiene a la directriz. Si la limitamos por dos planos, uno el de la directriz y otro que no pase por el vértice entonces tenemos el tronco de pirámide, este plano no tiene por qué ser paralelo con el otro. Figura 147. Llamamos altura a la perpendicular trazada por el vértice al plano de la directriz. Página nº 112

2 Figura 147 Clasificación de las pirámides. Las pirámides se clasifican en dos grupos, regulares o rectas e irregulares u oblicuas. Una pirámide es recta cuando la directriz es un polígono regular y la altura de la pirámide pasa por el centro de la directriz y es oblicua cuando la directriz no es regular o la altura no pasa por el centro de la directriz. Figura 148. Figura 148 Página nº 113

3 Representación diédrica de la pirámide. Figura 149. Consideremos una pirámide definida por una poligonal regular de seis lados situadas en el PH y vértice V. Vemos que la pirámide representada es recta al ser la directriz un exágono regular y la altura pasa por el centro de la directriz. Los planos P -P y Q -Q son los planos tangentes a la pirámide a lo largo de las aristas V5 y V2 respectivamente, a las aristas v 5' y v 2' se les llaman contornos aparentes verticales. En proyección vertical serán vistas las aristas que se apoyan en la zona de la directriz entre los vértices y serán ocultas las que lo hacen entre los vértices Figura 149 Por tanto las aristas ocultas serán la v 6' y v 1'. En proyección horizontal por quedar el vértice V dentro de la directriz pueden ocurrir dos cosas, si el vértice es mas alto que la directriz, como es el caso que nos ocupa, todas las aristas son vistas, mientras que si el vértice es mas bajo que la directriz puede ocurrir que la pirámide no tenga base, es decir, no hay tapadera, entonces todas las aristas serán vistas interiormente y si consideramos que hay base entonces todas serán ocultas. Veamos otro caso con una pirámide oblicua, figura 150. Las aristas vistas en proyección horizontal (gráfico inferior dcho) son aquellas que se apoyan en los vértices de la directriz, es decir, serán vistas las aristas v1, v6, v5, v4 y v3 y oculta la v2, con respecto a la directriz serán vistas las aristas 16, 65, 54, 43 y ocultas las 32 y 12. En proyección vertical (gráfico superior dcho) serán vistas las aristas que se apoyan en los vértices , es decir, serán vistas las aristas v 5', v 4', v 3' y v 2' y ocultas las v 6' y v 1'. Las aristas v 5' y v 2' son los contornos aparentes verticales y las aristas v1 y v3 los contornos aparentes horizontales. Las aristas que son contornos aparentes verticales no tienen por qué ser contornos aparentes horizontales y viceversa. Página nº 114

4 Figura 150 Veamos la diferencia con otra pirámide que tiene el vértice mas bajo que la directriz. Figura 151. Hemos considerado que no existe tapadera en la directriz, es decir, que a través de ella se ve el interior de la pirámide. En proyección horizontal serán vistas completas las aristas que se apoyan en los vértices de la directriz, es decir, v1, v2 y v3, serán vistas, a medias, las aristas que se apoyan en los vértices 6-5-4, es decir, las aristas v6, v5 y v4 serán vistas hasta sus respectivas intersecciones con las aristas de la directriz 12 y 23, el resto serán ocultas. Si tuviera tapadera entonces serían íntegramente ocultas. En proyección vertical sería exactamente igual que el caso de la figura 150. Página nº 115

5 Figura 151 Situar puntos en la pirámide. Para situar puntos en la pirámide, distinguiremos tres casos: 1). Punto situado en una arista lateral. Punto A. 2). Punto situado en una arista básica. Punto B. 3). Punto situado en una cara de la pirámide. Punto C. Figura 152 Figura 152. Punto A situado en arista lateral, nos dan a para encontrar a basta con situar el punto A sobre la arista V1. Punto B situado en arista básica, basta situar el punto B en la arista básica 1'4'. Punto C situado en una cara de la Página nº 116

6 pirámide, nos dan c. Trazaremos las generatrices que pasan por c, unimos v con c y cortarán a LT en los puntos 7' y 8', estos dos puntos son de la directriz y lo situaremos en ella obteniéndose los puntos 7 y 8, seguidamente trazamos las generatrices v7 y v8 (proyecciones que se corresponden con v c ) y trazando la perpendicular a LT por c hasta cortar a estas generatrices encontramos los puntos c1 y c2, que son los puntos buscados. Obsérvese que la pareja de puntos c -c1, c es oculto por apoyarse su generatriz en el punto 8 (zona oculta en PV) y la pareja c -c2, c es visto por apoyarse su generatriz en el punto 7 (zona vista en PV), en ambos casos c1 y c2 serán ocultos porque sus generatrices se apoyan en los puntos 7 y 8 (zona de puntos ocultos en PH). Sección plana de una pirámide. En las páginas 103 y siguientes se expusieron la manera de determinar las secciones que los planos producen a las figuras, para el caso que nos ocupa la solución es la misma, siempre que nos den un plano que no sea ni horizontal, ni frontal, ni proyectantes el proceso es realizar un cambio de plano para poder ver la sección como una línea. También se puede realizar por otro método y es el siguiente, determinar la intersección de una de las aristas de la pirámide con el plano y seguidamente, teniendo en cuenta que, la sección buscada y la base de la pirámide son figuras homológicas de centro el vértice y eje la traza horizontal del plano, podemos calcular la sección aplicando los conocimientos de homología. En las figuras 153 y 154 se han calculado la sección plana de una pirámide por ambos métodos. Figura 153. Sección plana de una pirámide mediante cambio de plano. Hemos realizado un cambio de plano para poner el plano P de canto, de esta manera la sección la veremos como la recta a -b -c -d, situando estos puntos en sus respectivas aristas, tanto en proyección horizontal como vertical, tenemos la sección determinada. Para el estudio de la visibilidad se ha tenido en cuenta la existencia del plano P, observando el cambio de plano vemos que será visto desde la línea de corte hacia arriba, por tanto las aristas de la pirámide quedan divididas en dos trozos desde el vértice v hasta los puntos a, b, c y d serán vistos y el resto oculto al igual que la base Análogamente ocurre en proyección vertical desde v hasta los puntos Página nº 117

7 b, c y d serán vistos y las partes inferiores ocultas. Obsérvese que el punto a no lo tenemos en cuenta por ser la arista v 2' entera oculta. Figura 153 En alguna ocasión nos pueden pedir calcular la verdadera magnitud de la sección, para ello no tenemos mas que abatir el plano y calcular la sección abatida. El proceso para abatir un plano quedó expuesto en las páginas 41 y siguientes, no obstante en la figura 153 se ha realizado el cálculo de la verdadera magnitud de la misma. Téngase en cuenta que, para realizar el cálculo de la sección, tenemos que hacer un cambio de plano y poner el plano dado en otro de canto y recuérdese que un método para abatir era poner el plano de canto entonces, aprovecharemos este cambio de plano para determinar la verdadera magnitud de la sección. Página nº 118

8 Figura 154. Sección plana de una pirámide mediante homología. Figura 154 Página nº 119

9 Hemos calculado la intersección entre una arista cualquiera, se ha elegido la V6, y el plano P obteniéndose el punto I. A partir de este momento aplicamos la homología de centro el vértice V y eje la traza horizontal P del plano. Vamos a prolongar los lados, 23, 34, 45 y 61 de la base de la pirámide hasta cortar a P en los puntos a, b, c, d y f. La arista 56 corta a P fuera de los límites del papel y la arista 12 es paralela a P. Uniendo a con i obtenemos sobre v1 el punto por el que trazaremos paralela a P hasta llegar a v2, este punto lo uniremos con d hasta llegar a v3, a continuación uniremos este último punto con c hasta llegar a la arista v4 y este lo unimos con b hasta llegar a v5, por último unimos este punto con i y tenemos la línea del corte calculada. Seguidamente situaremos estos puntos en sus respectivas aristas en proyección vertical y lo unimos en el mismo orden que están en proyección horizontal. El estudio de la visibilidad es idéntico al explicando en el ejemplo anterior, es decir, será visto desde el vértice hasta la línea de corte y oculto la parte inferior. Otra forma de situar puntos en una pirámide. Figura 155 Figura 155. Si nos dan la proyección vertical c de un punto y nos piden que lo situemos en la pirámide podemos tomar un plano paralelo al PH y determinar la sección que le produce a la misma, si la directriz esta en PH, la sección y la directriz serán homotéticas de centro de homotecia el vértice de la pirámide, en caso contrario serían homológicas y situaremos el punto sobre esta sección. Si nos diera la proyección horizontal de un punto, el plano que tomaríamos sería un plano frontal, una vez determinada la sección, situaremos el punto sobre ella. Página nº 120

10 Intersección de recta y pirámide. Una recta puede adoptar varias posiciones con respecto a una pirámide, y son, figura 156: a). Que tenga dos puntos en común con ella, punto de entrada y punto de salida. b). Que toque a una arista en un punto. c). Que coincida con una cara de la pirámide. d). Que sea exterior a la pirámide, es decir, no la toca. Figura 156 La forma de solucionar este problema es simple. Consideramos un plano de canto o vertical que contenga a la recta. Este plano producirá una sección en la pirámide, la sección y la recta están en un mismo plano por tanto, puede ocurrir, figura 157: a). La recta corta a la sección en dos puntos. b). La recta toca a la sección en un punto. c). La recta coincide con una linea de la sección. d). La recta es exterior a la sección. Figura 157 Página nº 121

11 En la figura 158, se ha resuelto una intersección entre recta y pirámide. Vamos a tomar un plano de canto P que contenga a la recta R y vamos a calcular la sección que el plano P le produce a la pirámide. El corte es la línea m -n -o -f estos puntos los situamos en sus correspondientes aristas en proyección horizontal, es decir, el punto M sobre la arista V1, el N sobre V4, el O sobre V2 y el F sobre V3, unidos estos puntos ordenadamente nos da, en proyección horizontal, la poligonal m- n-o-f, cuadrilátero que es la sección que el plano P le produce a la pirámide. Esta poligonal y la recta R se cortan en los puntos A y B puntos de entrada y salida en la pirámide. Nos queda determinar las partes vistas y ocultas de la recta. La recta ha quedado dividida en las siguientes partes, en proyección vertical, empezando por la izda, antes del punto m, de m a a, de a a b, de b a f y de f hacia la dcha. y en proyección horizontal desde la izda hasta el corte con la arista básica 14, desde este punto hasta a, desde a hasta b, desde b hasta el corte con la arista v2 y desde este punto hacia la dcha. Las partes vistas y ocultas quedan así: Figura 158 Página nº 122

12 En proyección vertical, hasta m visto, desde m hasta a, oculto, ya que el punto a está situado en una cara oculta, desde a hasta b siempre será oculto por estar en el interior de la pirámide, (si el vértice está mas bajo que la base y no hay tapadera en la base, a través de ella se verá el interior de la misma y habrá alguna zona de este tramo que puede ser visto), desde b hasta f será visto pues el punto b está situado en una cara vista y el resto hacia la dcha. también es visto; en proyección horizontal tenemos, hasta el punto de corte con la arista básica 14 visto, desde este punto hasta el a, visto, pues a esta situado en una cara vista, desde a hasta b, oculto, es el interior de la pirámide, desde b hacia la dcha. todo visto, pues el punto b está situado en una cara vista. Para saber si un punto está situado en una cara vista tenemos que ver en que línea de la poligonal está situado, así el punto b está en la línea mo y esta pertenece a la cara v12, el punto a está en la línea mn que pertenece a la cara v14. La cara v12 y la v14 son vistas en proyección horizontal y en proyección vertical la v14 es oculta mientras que la v12 es vista. En la figura 159, se ha estudiado la intersección de una pirámide con una recta R estando el vértice de la pirámide mas bajo que la base y no habiendo tapadera en la misma. Obsérvese que un trozo del segmento ab, en proyección horizontal, es visto a través de la base Figura 159 Comparando ambas figuras 157 y 158, observamos que la proyección vertical no ha cambiado pero la horizontal si. Ahora, en proyección horizontal, el punto a que está en la cara V14 y el b que está en V12 ambos son ocultos. Nótese que el punto a es visto interiormente. Página nº 123

13 Otra forma de resolver la intersección de recta y pirámide. Dada una recta R y una pirámide de vértice V existe otra forma de resolver la intersección de la recta R con la pirámide. La recta R y el vértice V de la pirámide determinan un plano P, este plano P corta a la pirámide según dos generatrices V5 y V6 (ya que el plano P pasa por el vértice V), donde estas generatrices se corten con la recta R tendremos los puntos de intersección de la recta R y la pirámide. Figura 160. Figura 160 Tomamos un punto auxiliar X en la recta R y lo unimos con el vértice V obtenemos una recta cuya traza horizontal es el punto M. Calculamos la traza horizontal de R, el punto H; la unión de m y h nos dará la traza horizontal del plano P, plano que pasa por el vértice de la pirámide y la cortará según las generatrices V5 y V6, vemos que estas, en proyección horizontal, se cortan, con R, en los puntos a y b que son los puntos buscados. Si la traza P y la base de la pirámide no se cortan, no hay intersección, si la toca en un vértice es tangente a la pirámide y si coincide con una arista básica, la recta está contenida en una cara de la pirámide. Figura 156 y 157. Página nº 124

14 Desarrollo de la pirámide. Desarrollar una pirámide no es mas que abrirla y extenderla sobre una superficie plana para su posterior plegado y obtener la correspondiente figura en tres dimensiones, ademas sirve para poder realizar los cálculos de las líneas geodésicas 5. Como tenemos que extender la pirámide sobre un plano y teniendo presente que cada cara de la pirámide es un triángulo, tendremos que calcular las dimensiones de los lados de todos los triángulos que forman la pirámide. Hay dos maneras de desarrollar la pirámide: 1). Abatiendo cada cara alrededor de su arista básica hasta quedar el vértice quede abatido sobre PH. (Abriéndola como un plátano). 2). Colocando cada cara una a continuación de la otra, piénsese que cada cara comparte con la siguiente una arista. 1). Abatiendo cada cara alrededor de su arista básica. Figura 161. Procedemos a abatir el plano V12 alrededor del eje 12 para ello obtendremos el abatido del punto V. Una vez obtenido (V) los segmentos (V)1 y (V)2 están en verdadera magnitud por estar en PH, esto nos va a servir para abatir el plano V23 alrededor de 23, con centro en 2 y radio 2(V) describimos un arco de circunferencia hasta encontrar a la perpendicular trazada por v a 23 punto que será (V) correspondiente a la cara V12. Repetiremos este proceso hasta terminar con todas las caras. 5 Se llama línea geodésica, entre dos puntos de una superficie, al camino mas corto entre ambos puntos sobre esa superficie. No siempre la línea geodésica es una recta, puede ser otro tipo de línea. Si trabajamos sobre una esfera, la distancia mas corta entre dos puntos de ella es el arco de circunferencia que pasando por ambos puntos tiene su centro en el centro de la esfera. Página nº 125

15 Figura 161 Una aplicación de este método es el siguiente problema, se deja a cargo del lector su resolución. Se tiene una cámara topográfica F colocada sobre un trípode cuyas patas A, B y C tienen las siguientes dimensiones FA=1.04, FB=1.00 y FC=1.02 m., la base del trípode es un triángulo de lados AB=0.50, BC=0.60 y AC=0.70 m. Determinar a que altura del suelo se encuentra la cámara topográfica. La base está apoyada en PH. 2). Figura 162 y 163. Colocando las cara una a continuación de otra. Antes de empezar vamos a determinar las verdaderas magnitudes de todas las aristas de la pirámide. Para ello vamos a girar las aristas laterales hasta Página nº 126

16 convertirlas en rectas frontales. Como todas las aristas tienen un punto en común, el vértice V, vamos a tomar un eje de giro que pase por este punto y giraremos los vértices 1,2 y 3 hasta llegar a 1g, 2g y 3g, obtenidos estos nos permite encontrar los 1g, 2g y 3g que unidos con v nos dan las verdaderas magnitudes de V1, V2 y V3. Las aristas básicas por estar situadas en PH están en verdadera magnitud. Figura 162 Vamos a desarrollar la pirámide empezando por la cara V12. A partir de ahora todas las dimensiones que se citan son en verdaderas magnitudes. Tomamos una recta donde fijaremos un punto V y marcaremos la dimensión de la arista V1, con radio V2 describiremos un arco de centro V y con radio 12 describiremos un arco de centro 1 donde ambos arcos se corten tendremos el punto 2. Con radio V3 y centro V describimos un arco de circunferencia y con centro en 2 y radio 23 otro, donde ambos arcos se corten tendremos el punto 3. Por último tomamos un arco de radio V1 y centro V y otro de radio 13 y centro 3 y describimos sendos arcos de circunferencias donde ambos se corten tendremos el punto 1. Piénsese que si hemos empezado por la arista V1 tenemos que terminar con la misma arista en caso contrario no se podría plegar la figura pues las aristas inicial y final no serían las mismas. Como punto final al estudio de la pirámide vamos a resolver el siguiente problema: Figura 164. El triángulo ABV representado, situado en PH, es una cara de una pirámide recta de base exagonal. Determinar sus proyecciones y calcular su desarrollo. Figura 163 Página nº 127

17 Para resolver el problema vamos a realizar un cambio de plano de manera que la arista ab se vea como una recta de punta. Al verse AB como una recta de punta, el exágono se verá como una recta. Podemos abatir el exágono sobre PH alrededor de la arista ab. En el cambio de plano veremos el arco que describen los vértices 2' y 3' del exágono, por otro lado, las aristas v 2' y v 3' se verán como las aristas v a o v b, describiendo un arco de circunferencia de centro v y radio v a donde se corte con la perpendicular trazada por 2 a la LT nueva, tendremos los vértices 2' y 3' en su lugar, uniéndolos con a y b tendremos la proyección vertical del exágono y de la pirámide. Una vez encontrada la proyección de la pirámide basta con determinar la proyección horizontal y a partir de aquí la vertical, los vértices 2', 3', 1' y 4' tienen las mismas alturas que los 2', 3', 1' y 4'. Para el estudio de la visibilidad se ha tenido en cuenta que no hay tapadera en la base de la pirámide por lo cual, las aristas va y vb se verán en parte a igual que las v 3' y v 4'. Figura 164 Página nº 128

18 Figura 165. Para determinar el desarrollo, dado que la pirámide es recta, solamente necesitaremos conocer una de las aristas laterales y una de las aristas básicas. La arista VA está en verdadera magnitud y el segmento AB también. Colocaremos seis triángulos isósceles de lados iguales VA y desigual AB uno a continuación del otro y tendremos el desarrollo terminado. Figura 165 b). Superficie prismática. El prisma. Un prisma es una pirámide cuyo vértice está en el infinito por tanto, sus aristas son todas paralelas entre si. Figura 166. Llamamos superficie prismática a la superficie engendrada por todas las rectas que apoyándose en una poligonal plana que llamaremos directriz se mantienen paralelas a una dirección dada. Cada una de las rectas que engendran la superficie las llamaremos generatrices y aquellas que pasan por un vértice de la poligonal las llamaremos aristas laterales, cada uno de los segmentos que forman la directriz Figura 166 les llamaremos aristas básicas. De esta definición se desprende que la Página nº 129

19 superficie prismática es ilimitada y hueca. Llamamos altura a la perpendicular trazada por el centro de la base superior al plano de la base inferior. Generalmente para trabajar con ellas se suelen limitar por dos planos, uno que es el plano que contiene a la directriz y otro plano que puede ser paralelo o no con el que contiene a esta. Clasificación de los prismas. Figura 167 Representación diédrica del prisma. Los prismas se clasifican en dos grupos, regulares o rectos e irregulares u oblicuos. Un prisma es recto cuando la directriz es un polígono regular y la altura del prisma pasa por los centros de ambas directrices y es oblicuo cuando la directriz no es regular o la altura no pasa por el centro de una de las directrices. Figura 167. Figura 168. Consideremos un prisma definido por una poligonal regular de cuatro lados situadas en el PH y dirección paralelas a la recta E. Vemos que el prisma representado es oblicuo al ser la directriz un cuadrado y la altura no pasa por los centros de ambas directrices. Los planos P -P y Q -Q son los planos tangentes al prisma a lo largo de las aristas 1-5 y 3-7 respectivamente, las aristas 1'-5' y 3'-7' se les llaman contornos aparentes verticales. En proyección vertical serán vistas las aristas que se apoyan en la zona de la directriz entre los vértices y serán ocultas las aristas que lo hacen entre los vértices Por tanto la arista oculta será la 4'-8'. En proyección horizontal las aristas 2-6 y 4-8 se le llaman contornos aparentes horizontales y serán vistas las generatrices que se apoyen en los puntos de la directriz comprendidos entre los vértices2-1-4 y ocultos los que lo hacen entre los Los contornos aparentes verticales no tienen por qué coincidir con los contornos aparentes horizontales y viceversa. Página nº 130

20 Obsérvese que la arista 3-7, en proyección horizontal es oculta hasta su intersección con la arista 5-8 de la boca superior, el resto es visto por considerar que no hay tapadera en la boca superior. Situar puntos en el prisma. Figura 168 Para situar puntos en el prisma, distinguiremos tres casos: 1). Punto situado en una arista lateral. Punto A. 2). Punto situado en una arista básica. Punto B. 3). Punto situado en una cara del prisma. Punto C. Figura 169. Punto A situado en arista lateral, nos dan a para encontrar a basta con situar el punto A sobre la arista 3-7. Punto B situado en arista básica, basta situar el punto B en la arista básica 1'-2'. Punto C situado en una cara del prisma, nos dan c. Trazaremos las generatrices que Página nº 131

21 pasan por c, trazamos paralelas a e por c y cortarán a LT en los puntos m' y n', estos dos puntos son de la directriz y lo situaremos en ella obteniéndose los puntos m y n, seguidamente trazamos paralelas a la recta e por los puntos m y n y trazando la perpendicular a LT por c hasta cortar a estas generatrices encontramos los puntos c1 y c2, que son los puntos buscados. Obsérvese que la pareja de puntos c -c1, c es oculto por apoyarse su generatriz en el punto m (zona oculta en PV) y la pareja c -c2, c es visto por apoyarse su generatriz en el punto n (zona vista en PV), en proyección horizontal el punto c1 será visto por apoyarse su generatriz en el punto Figura 169 m (zona vista en PH) y el c2, (se apoya en el punto n), será oculto si consideramos que el prisma tiene tapadera y visto en caso contrario (se vería por estar en el interior de la boca superior). Sección plana de un prisma. En las páginas 103 y siguientes se expusieron la manera de determinar las secciones que los planos producen a las figuras, para el caso que nos ocupa la solución es la misma, siempre que nos den un plano que no sea ni horizontal, ni frontal, ni proyectantes el proceso es realizar un cambio de plano para poder ver la sección como una línea. También se puede realizar por otro método y es el siguiente, determinar la intersección de una de las aristas del prisma con el plano y seguidamente, teniendo en cuenta que, la sección buscada y la base del prisma son figuras afines de eje la traza horizontal del plano y dirección de afinidad la de las aristas del prisma, podemos calcular la sección aplicando los conocimientos de homología. Página nº 132

22 En las figuras 170 y 171 se han calculado la sección plana de un prisma por ambos métodos. Figura 170. Sección plana de un prisma mediante cambio de plano. Figura 170 Página nº 133

23 Hemos realizado un cambio de plano para poner el plano P de canto, de esta manera la sección la veremos como la recta a -b -c -d, situando estos puntos en sus respectivas aristas, tanto en proyección horizontal como vertical, tenemos la sección determinada. Para el estudio de la visibilidad se ha tenido en cuenta la existencia del plano P, observando el cambio de plano vemos que será visto desde la línea de corte hacia arriba, por tanto las aristas del prisma quedan divididas en dos trozos desde el plano P hacia arriba (que será visto) y hacia abajo (que será oculto), en proyección horizontal será visto desde los puntos a, b y c hacia arriba (la izda) y ocultos hacia abajo (la dcha). Análogamente ocurre en proyección vertical desde los puntos a, c y d hacia arriba serán vistos y las partes inferiores ocultas. En alguna ocasión nos pueden pedir calcular la verdadera magnitud de la sección, para ello no tenemos mas que abatir el plano y calcular la sección abatida. El proceso para abatir un plano quedó expuesto en las páginas 41 y siguientes, no obstante en la figura 170 se ha realizado el cálculo de la verdadera magnitud de la misma. Téngase en cuenta que, para realizar el cálculo de la sección, tenemos que hacer un cambio de plano y poner el plano dado en otro de canto y recuérdese que un método para abatir era poner el plano de canto, entonces, aprovecharemos este cambio de plano para determinar la verdadera magnitud de la sección. Con centro en o giraremos los puntos a, b, c y d hasta colocarlos en PH. Figura 171. Sección plana de un prisma mediante afinidad. Hemos calculado la intersección entre una arista cualquiera, se ha elegido la 3-7, y el plano P obteniéndose el punto I. A partir de este momento aplicamos una afinidad de eje la traza horizontal P del plano y dirección de afinidad las aristas horizontales del prisma. Vamos a prolongar los lados, 12, 23, 34 y 41 de la base del prisma hasta cortar a P en los puntos a, d, b, y c respectivamente. Unimos d con i hasta llegar a la arista 26, este punto lo uniremos con a hasta llegar a 15, a continuación uniremos este último punto con c hasta llegar a la arista 48 y este lo unimos con b hasta llegar a 37 (que coincidirá con i) y así tenemos la sección calculada. Seguidamente situaremos estos puntos en sus respectivas aristas en proyección vertical y lo unimos en el mismo orden en que están en proyección horizontal. El estudio de la visibilidad es idéntico al explicando en el ejemplo anterior, es decir, será visto desde el corte hacia arriba y oculta la parte inferior. Página nº 134

24 Figura 171 Veamos la intersección entre plano y prisma si este es un prisma recto. Figura 172. En la figura de la izda se ha resuelto la intersección de un prisma recto con un plano P oblicuo. La intersección es la poligonal 1234, como la intersección pertenece al prisma y al plano al mismo tiempo, basta con situar estos puntos en el plano mediante rectas frontales (u horizontales) y tenemos el problema resuelto. En la figura de la dcha se ha resuelto la intersección de un prisma con un plano P paralelo a LT. Realizamos un cambio de plano para ponerlo de canto para ver la intersección como una recta. Para determinar la intersección en proyección vertical basta con situar los puntos midiendo sus respectivas alturas en el cambio de plano. Página nº 135

25 Figura 172 Otra forma de situar puntos en un prisma. Figura 173. Si nos dan la proyección vertical c de un punto y nos piden que lo situemos en el prisma podemos tomar un plano paralelo al PH y determinar la sección que le produce al mismo, si la directriz esta en PH, la sección y la directriz serán iguales, en caso contrario no y situaremos el punto sobre esta sección. Si nos diera la proyección horizontal de un punto, el plano que tomaríamos sería un plano frontal, una vez determinada la sección, situaremos el punto sobre ella. Página nº 136

26 Figura 173 Intersección de una recta con un prisma. Las posiciones que una recta puede adoptar con respecto a un prisma son las mismas que con respecto a una pirámide, (ver páginas 121 y siguientes, figuras 156, 157 y 158), así como los métodos expuestos. En la figura 174, se ha resuelto una intersección entre recta y pirámide. Vamos a tomar un plano de canto P que contenga a la recta R y vamos a calcular la sección que el plano P le produce al prisma. El corte es la línea n -m -o -f estos puntos los situamos en sus correspondientes aristas en proyección horizontal, es decir, el punto M sobre la arista 26, el N sobre 15, el O sobre 48 y el F sobre 37, unidos estos puntos ordenadamente nos da, en proyección horizontal, la poligonal n- m-f-o, cuadrilátero que es la sección que el plano P le produce al prisma. Esta poligonal y la recta R se cortan en los puntos A y B puntos de entrada y salida en el Página nº 137

27 prisma. Nos queda determinar las partes vistas y ocultas de la recta. La recta ha quedado dividida en las siguientes partes, en proyección vertical, empezando por la izda, antes del punto n, de n a a, de a a b, de b a f y de f hacia la dcha. y en proyección horizontal desde la izda hasta el corte con la arista básica 12, desde este punto hasta a, desde a hasta b, desde b hasta el corte con la arista básica superior 78 y desde este punto hacia la dcha. Figura 174 Página nº 138

28 Las partes vistas y ocultas quedan así: En proyección vertical, hasta n visto, desde n hasta a, visto, ya que el punto a está situado en una cara vista, desde a hasta b siempre será oculto por estar en el interior del prisma, desde b hasta f será visto pues el punto b está situado en una cara vista y el resto hacia la dcha. también es visto; en proyección horizontal tenemos, hasta el punto de corte con la arista básica 12 visto, desde este punto hasta el a, visto, pues a esta situado en una cara vista, desde a hasta b, en principio sería oculto pero a través de la base superior se ve el interior del prisma, por tanto quedará de la siguiente manera, desde a hasta el corte con la arista 56 oculto, desde este punto hasta b, visto, desde b hasta el corte con 78 oculto y el resto visto. Para saber si un punto es visto u oculto, tenemos que ver en que línea de la poligonal está situado, así el punto b está en la línea mf y esta pertenece a la cara 2367 y el punto a está en la línea mn que pertenece a la cara 1256, viendo la proyección horizontal. La cara 2367 es oculta exteriormente pero vista en parte interiormente, mientras que en proyección vertical, ambas caras son vistas. Veamos el otro método, figura 175. Dada una recta R y un prisma. Si determinamos el plano P que conteniendo a R sea paralelo a las generatrices del prisma, este plano P cortará al prisma según dos generatrices, donde estas se corten con la recta R tendremos los puntos A y B de entrada y salida en el mismo. Nos encontramos con el problema de trazar un plano que sea paralelo a una recta y contenga a otra, para ello, tomaremos un punto X cualquiera de la recta R y por él trazaremos una recta S paralela a las aristas del prisma, calcularemos las trazas horizontales h1 y h2 de ambas rectas R y S (si la base del prisma está en PV calcularíamos las trazas verticales), uniendo los puntos h1 y h2 tendremos la traza horizontal del plano P. Esta traza corta a la base 1234 en los puntos c y d, trazando por ellos paralelas a las aristas tendremos las generatrices intersección del plano P y el prisma, estas generatrices se cortan con la recta R en los puntos A y B puntos de entrada y salida buscados. Las partes vistas y ocultas son las mismas que los de la figura 174 ya que es el mismo problema. Página nº 139

29 Figura 175 Desarrollo del prisma. Al desarrollar la pirámide como todas las caras son triángulos y el triángulo es la única figura indeformable que hay, calculamos las verdaderas magnitudes de cada uno de los lados de cada triángulo y teníamos el problema resuelto. En un prisma, las caras son, en general, trapecios, (si las bases son paralelas serían paralelepípedos), entonces no es suficiente con calcular las verdaderas magnitudes de cada lado pues se pueden obtener infinitos cuadriláteros que tengan iguales los lados y el desarrollo no sería el correcto. Para solucionar este problema vamos a determinar la sección recta de un prisma. Llamamos sección recta de un prisma a la que le produce un plano P que sea perpendicular a las aristas. De esta manera sabemos que la línea intersección entre este plano P y las aristas del prisma son perpendiculares, entonces podremos Página nº 140

30 calcular exactamente el desarrollo del prisma. Figura 176 y 177. En primer lugar trazaremos un plano P que sea perpendicular a las aristas del prisma. Seguidamente calcularemos la intersección de este plano P y el prisma, si el plano P no es de canto tendríamos que hacer un cambio de plano para poder determinar la intersección. Una vez calculada la intersección, determinaremos su verdadera magnitud y la desarrollaremos en una línea. Por cada vértice de está línea, trazaremos las aristas que serán perpendiculares con ella, lo que nos queda es determinar la distancia que hay, para cada arista, entre la sección y las bocas superior e inferior. Figura 176 Veamos el proceso. Trazado el plano P y calculada la intersección ABCED, procedemos a determinar la verdadera magnitud de esta obteniéndose el polígono (A)(B)(C)(E)(D). Seguidamente sobre una línea llevaremos las magnitudes (A)(B), (B)(C), (C)(E), (E)(D) y (D)(A) y por cada uno de los puntos (A), (B), (C), (E) y (D) Página nº 141

31 trazaremos perpendiculares a esta línea. El prisma es frontal, lo cual quiere decir que, las aristas en proyección vertical están en verdaderas magnitudes por tanto iremos tomando las medidas desde 1'a y desde a 6' y lo llevaremos sobre la perpendicular que pasa por (A) hacia abajo y arriba respectivamente, seguimos igual con las demás aristas. Desde 2'b y b 7', desde 3'c y c 8', desde 4'e y e 9' y por último desde 10'd y d 10'. Uniendo los puntos obtenidos 1, 2, 3, 4, 5 y 1 y 6, 7, 8, 9, 10 y 6 respectivamente, obtenemos el desarrollo del prima. Si el prisma tiene tapaderas construiríamos sendos pentágonos a partir de los segmentos, por ejemplo, 67 y 34. Figura 177 Como punto final al estudio del prisma vamos a resolver el siguiente ejercicio. Figura 178. El segmento AB pertenece al plano P y es lado de un exágono regular contenido en P y está en el primer cuadrante. Es sección recta de un prisma. Determinar sus proyecciones y limitarlo por el PH y PV. Página nº 142

32 Figura 178 Página nº 143

33 Como el exágono está situado en el plano P procedamos a abatirlo, lo haremos abatiendo la traza P. Una vez obtenida (P ), el exágono lo veremos como un exágono perfecto ab(c)(d)(e)(f) y obtengamos su proyección horizontal abcdef, aplicando una afinidad, y vertical a b c d e f mediante rectas horizontales del plano P. Este exágono es sección recta del prisma que buscamos, por tanto, las aristas del prisma serán perpendiculares al plano del exágono, como la perpendicularidad entre rectas y planos se conserva, trazaremos perpendiculares a P por los puntos a, b, c, d, e y f y a P por a, b, c, d, e, y f y obtendremos las aristas del mismo. Nos piden que lo limitemos por el PV y PH, lo que tenemos que hacer no es mas que calcular las trazas de estas aristas y uniéndolas tenemos las intersecciones del prisma con el PV y PH, que serán las poligonales 6-7'-11'-10'-9'-8' y a-b respectivamente. Para estudiar las partes vistas y ocultas, marcamos contornos, tanto en proyección vertical como en horizontal, son vistas todas las generatrices que se apoyan en puntos vistos de las poligonales que forman las directrices. c). Superficie cónica. El cono. Figura 179 Consideremos una curva en el espacio, a la que llamaremos directriz, y un punto fijo, V, exterior a la directriz, al que llamaremos vértice, todas las rectas, a las que llamaremos generatrices, que pasando por el vértice V se apoyan en la directriz engendran una superficie a la que llamaremos superficie cónica. De la definición se desprende que la superficie cónica es ilimitada y hueca. Figura 179. Si la directriz es una cónica, la superficie la llamaremos cono. Generalmente para trabajar con él se suele limitarlo por dos planos, uno el que contiene a la cónica y otro el que pasa por el vértice, si no pasase por este, entonces tendríamos un tronco de cono. Llamamos eje del cono a la recta que pasa por el vértice y el centro de la directriz Página nº 144

34 y llamamos altura a la perpendicular trazada por el vértice al plano de la directriz. Clasificación de los conos. Los conos pueden ser conos rectos, es aquel en que la altura pasa por el centro de la directriz (eje y altura coinciden) y cono oblicuo cuando el eje y la altura no coinciden (la altura no pasa por el centro de la directriz). Si el cono está limitado por un plano entonces tenemos el tronco de cono. Un caso particular de los conos rectos son los conos de revolución, estos son aquellos en que la directriz es una circunferencia. Figura 180. Figura 180 Representación diédrica del cono. Consideremos un cono definido por su directriz, circunferencia, y su vértice V. Figura 181. Los planos P -P y Q -Q son los planos tangentes al cono a lo largo de las aristas V1 V2 respectivamente, las aristas v 1 y v 2' se le llaman contornos aparentes verticales. En proyección vertical serán vistas las generatrices que se apoyan en la zona de la directriz entre los vértices 1-2 hacia abajo y serán ocultas las que lo hacen entre los vértices 1-2 hacia arriba. En proyección horizontal por quedar el vértice V dentro de la directriz pueden ocurrir dos cosas, si el vértice es mas alto que la directriz, como es el caso que nos ocupa, todas las generatrices son vistas, mientras que si el vértice es mas bajo que la directriz puede ocurrir que el cono no tenga base, es decir, no hay tapadera, Página nº 145

35 entonces todas las generatrices serán vistas y si consideramos que hay base entonces todas serán ocultas. Veamos el caso con un cono oblicuo. Figura 182. En proyección vertical serán vistas aquellas generatrices que, en proyección horizontal, se apoyen en los puntos comprendidos entre los 1-2 (sentido antihorario) y ocultas las que lo hacen entre los 1-2 (sentido horario). En proyección horizontal serán vistas las generatrices que se apoyan entre los puntos 3-4 (sentido horario) y ocultas las que lo hacen entre los puntos 3-4 (sentido antihorario). Figura 181 Las aristas v 1' y v 2' se les llaman contornos aparentes verticales y las v3 y v4 contornos aparentes horizontales. Los contornos aparentes verticales no tienen por qué coincidir con los contornos aparentes horizontales. Figura 183. Si el vértice del cono queda por encima de la directriz, toda ella será vista y solamente cambiará la visibilidad en la proyección Figura 182 horizontal, siendo vistas las generatrices, si existe tapadera, las que se apoyan entre los puntos 3-4 Página nº 146

36 (sentido antihorario) y ocultas las que los hacen entre los puntos 3-4 (sentido horario). Hay que destacar que si no existe tapadera estas generatrices serán vistas hasta su intersección con el trozo de directriz 3-4. Situar puntos en el cono. Figura 183 Para situar puntos en el cono emplearemos la generatriz que pasa por él. Figura 184. Figura 184 Si nos dan a, situado en la directriz, encontraremos a sobre la LT. Si nos dan b, situado sobre v 1', b estará sobre la generatriz v1, trazaremos una perpendicular a LT por b hasta encontrar a v1. Si nos dan c, trazaremos la generatriz v c, esta corta a LT en 3' y 4', puntos de la directriz, los cuales situaremos sobre la circunferencia, obteniéndose los puntos 3 y 4, trazando una perpendicular a LT por c cortará a las generatrices v3 y v4 en los puntos c1 y c2, solución del problema. El punto c -c1, c es oculto por apoyarse la generatriz v-c1 en el punto 3 (zona oculta en Página nº 147

37 PV) y la pareja c -c2, c será visto por apoyarse la generatriz vc2 en 4 (zona vista en PV), mientras que ambas proyecciones, c1 y c2, serán vistas en proyección horizontal. Otra forma de situar puntos en un cono es seccionándolo por un plano paralelo al plano de la directriz, al estar la directriz en PH, trazaremos un plano P horizontal, este plano corta al cono según una curva homotética con la directriz siendo v el centro de homotecia. Figura 185. Figura 185 Nos dan a. Trazaremos un plano P que pase por a. Este plano produce en el cono una circunferencia de centro C (situado en el eje) y radio C3, describimos la circunferencia y sobre ella situamos el punto, obteniéndose a1 y a2, solución del problema. Obsérvese que el punto 3 se ha situado sobre la generatriz v1 ya que está situado en ella. Planos tangentes a un cono. Figura 186. El plano tangente a un cono en un punto A del mismo, estará determinado por las tangentes a dos curvas que pasen por él. Considerando la generatriz que pasa por A, el plano tangente en el punto dado será tangente a este a lo largo de toda la generatriz que pasa por A. Luego todos los puntos Figura 186 de una generatriz tiene el mismo plano tangente. Todos los planos tangentes a un cono contendrán al vértice de dicho cono, ya que siempre contiene Página nº 148

38 a una generatriz y estas pasan todas por el vértice. Si el punto fuese exterior al cono, el plano tangente contendrá a la recta que pasa por el vértice y por el punto A, recta intersección de los dos posibles planos tangentes al cono. Figura 187. Para determinar el plano tangente a un cono en un punto A, trazaremos la generatriz que pasa por A, el plano P buscado contendrá a esta generatriz y por tanto pasará por su traza horizontal H (si la directriz del cono está en PH, en el caso de que la directriz esté en PV, pasará por la traza vertical). Conocida la traza horizontal h, trazaremos la tangente a la directriz en ese punto que será la traza horizontal del plano P buscado. Para determinar la traza vertical del plano, basta con situar el punto A o el V en él o determinar la traza vertical de la recta AV. Figura 188. Si nos dieran un punto A exterior al cono, trazaríamos la recta R definida por el vértice V y el punto A, determinaríamos la traza horizontal H de R y por h trazaríamos las dos tangentes a la directriz que serán las dos posibles trazas de los planos tangentes P1 y Figura 187 P2 a lo largo de las generatrices V2 y V1 respectivamente (si la directriz del cono está en PH, en el caso en que estuviese en PV, determinaríamos la traza vertical). Una vez determinada las dos trazas de los planos situaríamos el punto A o el V en estos planos y calcularíamos las trazas verticales P1' y P2' de los mismos o bien calculando la traza vertical G de la recta R, por este punto pasarán las dos trazas de los planos buscados. Si nos pidiesen trazar los planos tangentes al cono y que sean paralelos a una dirección dada E, trazaríamos una recta R paralela a la dirección E por el vértice V del cono y los planos buscados deberán de contener a esta recta R con lo cual hemos reducido el problema al caso que acabamos de exponer. Página nº 149

39 Figura 188 Intersección de recta y cono. Una recta R y un cono pueden adoptar tres posiciones en el espacio que son, figura 189: a). Que tenga dos puntos en común con el cono, punto de entrada y punto de salida. b). Que sea tangente al cono en un punto. c). Que sea exterior al cono, es decir, no lo toca. Para resolver este problema podemos emplear el primer método empleado en la intersección de recta y pirámide o prisma (ver páginas 121 y siguientes, figura 156, 157 y 158). Pero al resolver la intersección entre el plano de canto y el cono obtendremos una cónica, la cual hay que trazarla a mano alzada y esto es bastante Página nº 150

40 impreciso, por tanto, vamos a emplear el segundo método (ver página 124, figura 160), que consiste en trazar un plano P que contenga a la recta R y pase por el vértice del cono. Este plano cortará al cono según dos rectas que pasan por el vértice del mismo, donde estas rectas se corten con la dada tendremos los puntos de entrada y salida en el cono. Veamos la resolución, figura 190. La traza horizontal del plano P determinado por el vértice V del Figura 189 cono y la recta R pasará por la traza horizontal h1 de la recta R. Elegimos un punto auxiliar X de la recta R y trazamos la recta VX que también pertenecerá al plano P, por tanto, P pasará por su traza horizontal h2. Una vez calculado h1 y h2 uniéndolos tendremos la traza horizontal del plano P y vemos que corta a la directriz en los puntos 1 y 2, la intersección de la recta r y las generatrices v1 y v2 nos darán los puntos de entrada y salida a y b en el cono respectivamente. Conocidos a y b determinamos a y b y procedemos al estudio de la visibilidad. En la figura observamos que los puntos A y B son vistos por apoyarse sus generatrices sobre los puntos 1 y 2 (zona vista en PH y zona vista en PV), por tanto, solo será oculto las zonas a b y ab por estar en el interior del cono. Figura 190 Si el cono tuviera el vértice mas alto que la directriz y no existe tapadera, el trozo de recta que se ve a través de Página nº 151