APUNTES DE HOMOGRAFÍA: HOMOLOGÍA Y AFINIDAD

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1 APUNTES DE HOMOGRAFÍA: HOMOLOGÍA Y AFINIDAD José C. Izquierdo Fitz Catedrático de Dibujo y Artes Plásticas ISBN

2 ÍNDICE HOMOGRAFÍA: HOMOLOGÍA. AFINIDAD Clasificación de la homología propiedades de la homología HOMOLOGÍA PLANA Determinación de las rectas límites Formas de definir una homología Clasificación de la homología plana Determinación de homólogas de figuras que tienen algún elemento en su recta límite Primer caso: Un vértice está sobre la recta límite Segundo caso: Dos lados cortan a la recta límite Determinación de homologías que transforman una figura en otra con elementos prefijados Transformar un triángulo cualquiera en otro que sea equilátero Transformar un cuadrilátero en cuadrado, rectángulo, rombo o romboide Las cónicas como figuras homológicas de la circunferencia Elipse. Diámetros conjugados Parábola Hipérbola Consideraciones a estos cuatro procesos HOMOLOGÍA AFÍN. AFINIDAD Clasificación de la homología afín Formas de definir una afinidad Determinación de afinidades que transforman una figura en otra con elementos prefijados Transformar un triángulo en otro equilátero Transformar un paralelogramo en un cuadrado La elipse como figura afín de la circunferencia Caso nº 1: Elipse. Diámetros conjugados Caso nº 2: Elipse. Ejes Aplicaciones para la construcción de elipses

3 HOMOGRAFÍA: HOMOLOGÍA. AFINIDAD. Figura 1. Dos figuras F y F se dicen homográficas cuando se corresponden elemento a elemento y son homológicas cuando la correspondencia es punto a punto y recta a recta y cumplen con las siguientes condiciones: 1. Un punto A y su homólogo A están alineados con un tercero, O, llamado CENTRO DE LA HOMOLOGÍA. 2. Una recta R y su homóloga R se cortan en un punto perteneciente a otra recta, E, denominada EJE DE LA HOMOLOGÍA. El cumplimiento de una de estas dos condiciones implica el cumplimiento de la otra ya que serían dos secciones planas de un mismo haz. Definida la homología tal y como hemos hecho, se ha establecido una correspondencia biunívoca y completa, no sólo entre los puntos de ambas figuras, sino entre los planos que las contienen incluyendo a los puntos del infinito de ambos planos. Así pues, a cada punto del plano P le corresponde un punto en el plano P y viceversa. Para determinar los homólogos del infinito del plano P bastará con determinar la intersección del plano P con un plano paralelo al P y que pase por O, centro de la homología. Obteniéndose una recta K, lugar geométrico de los puntos buscados. Obsérvese que esta recta se mantiene paralela al eje de la homología y recibe el nombre de RECTA LÍMITE. Análogamente determinaremos los homólogos de los puntos del infinito del plano P, obteniendo otra recta límite L. En la mayoría de los textos que he consultado, a las rectas límites se les denominan L y L (o RL y RL ). La nomenclatura que empleo es L y K, ya que por mi experiencia docente, he observado que cuando mis alumnos ven un punto A (o una recta R), automáticamente dicen que su homólogo es A (o R ), así que cuando ven la recta límite L piensan que su homóloga es L y están cometiendo el error, ya que los homólogos de la recta L son los puntos del infinito del otro plano. Página nº 1

4 Figura 1 Página nº 2

5 Una homología, pues, queda definida por sus ELEMENTOS CANÓNICOS, que son: - O. Centro de la homología. - L. Recta límite. - K. Recta límite. - E. Eje de la homología. Clasificación de la homología. Figura 2. La homología se puede clasificar atendiendo a la posición del centro de la misma y a la posición de los planos que contienen a las figuras: El centro puede adoptar dos posiciones bien distintas: - Que sea un punto propio. - Que sea un punto impropio. Y los planos: - Que no sean paralelos. - Que sean paralelos. Combinando estas cuatro posiciones, se obtienen las distintas homologías y que son: - Centro propio y planos no paralelos. Existen los cuatro elementos canónicos dando lugar a la homología general. - Centro propio y planos paralelos. En este caso no tenemos ni eje ni rectas límites, pues son impropios, sólo nos queda el centro de la homología, esta homología recibe el nombre de homotecia. Como caso particular de la homotecia tenemos la simetría central. - Centro impropio y planos no paralelos. No tendremos ni centro ni rectas límites por ser Página nº 3

6 Figura 2 Página nº 4

7 impropios, pero del centro conoceremos la dirección en la cual se encuentra. Este caso recibe el nombre de homología afín o simplemente afinidad. A la dirección en la cual se encuentra el centro recibe el nombre de dirección de afinidad. - Centro impropio y planos paralelos. En este caso no tenemos ni centro, ni ejes, ni rectas límites, por ser impropios, tan sólo tendremos la dirección en la cual se encuentra el centro. Esta homología recibe el nombre de traslación. Las propiedades de la homología las podemos resumir en los siguientes puntos: 1. A todo punto A le corresponde otro punto A y viceversa, estando éstos alineados con el centro de la homología. 2. A toda recta R le corresponde otra recta R y viceversa, cortándose ambas en un punto perteneciente al eje de la homología. 3. Si un punto A pertenece a una recta R, su homólogo A, pertenece a R, homóloga de R. 4. Las rectas límites se mantienen paralelas al eje de la homología. 5. Si dos rectas R y S se cortan en su recta límite, sus homólogas R y S, son paralelas. 6. La homología conserva las propiedades proyectivas y las de incidencia pero no conserva las métricas, es decir, Conserva: Polaridad, tangencia, incidencia. La razón doble. No conserva: Paralelismo, perpendicularidad, ángulos, distancias, ejes, centro y focos de las cónicas. La razón simple. 7. La homóloga de una circunferencia será una elipse Página nº 5

8 hipérbola o parábola según que su recta límite no corte, corte o sea tangente a la misma. 8. El punto homólogo del centro de una cónica no es el centro de la cónica homóloga. 9. La homóloga de la polar de un punto (polo) de una cónica es la polar de la cónica homóloga y los puntos (polos) son también homólogos. 10. El punto (polo) de la recta límite de una cónica es el centro de la cónica y dicho de otro modo, la polar de un punto (polo) del infinito, pasa por el centro de la cónica. 11. Si una recta es tangente a una curva en un punto, la homóloga de la recta es tangente a la homóloga de la curva en un punto que resulta ser homólogo del punto de tangencia. HOMOLOGÍA PLANA. Cuando los planos que contienen a las figuras son coincidentes estamos ante el caso de la homología plana. Todo lo dicho hasta ahora de la homología espacial sigue siendo válido para la homología plana. A los elementos canónicos de la homología espacial se le añade un cuarto elemento que es la CARACTERÍSTICA. 1 Determinación de las rectas límites. Figura 3. Consideremos la homología definida por el eje, centro y un par de puntos homólogos A y A. Sea el punto D el homólogo de D. Para determinar el punto homólogo del punto del infinito, M4, de la recta AD, procederemos de la siguiente manera: 1 Se llama característica K a la razón doble de cuatro puntos alineados de tal manera que (ABCD) = (ACD) / (BCD) = (AC / AD) / (BC / BD) =K Siendo (ABCD) la razón doble de cuatro puntos y (ACD) la razón simple de tres puntos. Página nº 6

9 Figura 3 Página nº 7

10 Si M pertenece a la recta AD, su homólogo M pertenecerá a la recta A D, homologa de la AD; por otro lado, sabemos que M, M y O tienen que estar alineados. Trazando por O una recta paralela a AD donde nos corte a A D obtendremos el punto M, homólogo de M. Por este punto trazaremos una recta K paralela al eje de la homología y tendremos determinada una de las dos rectas límites. Análogamente se determina la otra recta límite L. Hallando el homólogo N del punto N de la recta A D. Obsérvese que en este proceso se ha formado un paralelogramo de vértices O, M, N y el punto de corte de las rectas AD y A D. A su vez, este paralelogramo está cortado por las dos rectas límites L y K, de donde se deduce que la distancia de O a la recta L es igual a la distancia del eje a la recta K. Por tanto, las rectas límites equidistan, respectivamente, del centro y del eje. Las rectas límites pueden adoptar dos posiciones respecto al centro y eje, que son: - O L K E - L O E K Conociendo el eje, centro y una recta límite podemos determinar la otra. Formas de definir una homología. Figura 4. Una homología queda definida conociendo tres de sus elementos canónicos, o sustituyendo alguno de estos por otras condiciones que nos permitan poder determinarlos. Los casos que se pueden dar quedan reflejados en el cuadro adjunto: - Centro, eje y un par de puntos homólogos. - Tres pares de puntos homólogos. - Centro, eje y un par de rectas homólogas. - Centro y las dos rectas límites. Página nº 8

11 Figura 4 Página nº 9

12 - Centro, eje y una recta límite. - Eje, una recta límite y un par de puntos homólogos. - Centro, eje y la característica. - Dos pares de puntos homólogos y la dirección del eje. Hay un caso que no tiene solución y es cuando nos dan el eje y las dos rectas límites, pues el centro estará sobre una recta paralela a estas a la misma distancia que la que hay entre el eje y una recta límite. Clasificación de la homología plana. Figura 5. La homología plana se clasifica atendiendo a la posición del centro y del eje. Las posiciones que pueden adoptar estos elementos son dos: - Que sean propios. - Que sean impropios. Combinando estas condiciones nos lleva a los distintos tipos de homologías. - Centro propio y eje propio. Característica <> -1. Homología general. Existen centro, eje y rectas límites. - Centro propio y eje propio. Característica = -1. Homología involutiva. Existen centro, eje y rectas límites (confundidas en una sóla). Esta homología tiene la siguiente propiedad: Punto A, homólogo A. Si consideramos el punto A como perteneciente a la figura de las primas el homólogo de A coincide con A. Cosa que no ocurre en la homología general. - Centro propio, eje impropio. Homotecia. No existen rectas límites ni ejes. Si la características es > 0. Homotecia directa. Si es < 0. Homotecia inversa. Si es = -1, simetría central. (Homología involutiva). - Centro impropio, eje propio.homología afín (afinidad). Página nº 10

13 Figura 5 Página nº 11

14 No existen rectas límites ni centro pero se conoce la dirección en la que este se encuentra. A esta dirección se le llama dirección de afinidad. Puede ser de dos tipos: Oblicua. Si la dirección de afinidad y el eje forma un ángulo cualquiera. Ortogonal. Si forman ángulo recto. En este caso y si la característica es = -1 estamos ante la simetría axial. - Centro impropio y eje impropio. Traslación. No existen rectas límites, eje ni centro, pero se conoce la dirección en la que se encuentra este último. Determinación de homólogas de figuras que tienen algún elemento en su recta límite. Figura 6. Consideremos la homología definida por el centro O, el eje E y la recta límite L. Nos piden determinar la figura homóloga del triángulo ABC. Primer caso: Un vértice está sobre la recta límite. Por estar el vértice A del triángulo en la recta límite, quiere decir que su homólogo A, estará en el infinito y por tanto, las homólogas de las rectas AB y AC serán paralelas. Prolonguemos los lados AB y AC hasta encontrar los puntos 3 y 1 donde cortan al eje. Por ellos deberán pasar las rectas homólogas A B y A C. Si unimos el centro de la homología O con los de corte de las rectas AB y AC con la recta límite L, obtendremos las direcciones OA y OB que serán paralelas a las rectas A B y A C. Trazando por 3 y 1 paralelas a estas direcciones tendremos las rectas buscadas. Para determinar la recta homóloga de la BC procederemos de la misma manera, determinaremos el punto de corte con el eje, punto 1, y con la recta límite, punto N. Trazando por 1 paralela a la dirección ON tendremos la recta B C homóloga de la buscada. Página nº 12

15 Figura 6 Página nº 13

16 Obsérvese que una vez determinada las rectas A B y A C podríamos determinar los puntos B y C uniendo, simplemente, B y C con O respectivamente. Hay que destacar que la figura homóloga del triángulo ABC es un paralelogramo que tiene un lado en el infinito. Segundo caso: Dos lados cortan a la recta límite. Observamos que los lados AB y AC cortan a la recta límite en los puntos Q y M, por tanto sus homólogas A B y A C se mantendrán paralelas a las rectas OQ y OM respectivamente, y la prolongación de la recta BC la corta en N, por tanto, su homóloga será paralela a la recta ON. Determinando los puntos 3, 2 y 1 y trazando por ellos rectas paralelas a las OQ, OM y ON tendremos determinadas las rectas homólogas a los lados del triángulo. De la intersección de estas rectas, dos a dos, obtendremos los homólogos de los vértices del mismo, es decir, A, B y C. En principio, parece ser que la figura homóloga del triángulo ABC es el triángulo A B C, pero esto no es cierto ya que, los lados A B y A C tienen que pasar por el infinito por lo que la figura homóloga es el triángulo abierto A B C. Una manera de saber cual es de los dos triángulos es el correcto consiste en determinar el homólogo de un punto cualquiera de una de las rectas AB (o AC) y observar que dicho punto nunca se sitúa sobre el segmento A B (o A C ). Cabe destacar que si el triángulo ABC corta a la otra recta límite K, no representa ninguna particularidad. Determinación de homologías que transforman una figura en otra con elementos prefijados. Consideremos una homología definida por el centro O y un par de rectas homólogas R y S y R y S. Cuando calculamos la recta límite L, trazamos paralelas a las rectas R y S por el centro de la homología. El ángulo que forman R y S se pone de manifiesto en las paralelas trazadas por O. Si conocemos los puntos donde éstas Página nº 14

17 paralelas cortan a la recta límite (punto de corte de sus homólogas R y S con L), podemos determinar el lugar geométrico por donde debe estar el centro de la homología ya que el ángulo es conocido. Y este lugar geométrico será un arco capaz. Basándonos en este planteamiento vamos a resolver los ejercicios siguientes: Transformar un triángulo cualquiera en otro que sea equilátero. Figura 7. La homología queda definida por el eje y la recta límite L y nos piden determinar el centro de la homología para que el triángulo ABC se convierta en equilátero. Sabemos que los ángulos de un triángulo equilátero son de 60º. Pues bien, elijamos un ángulo cualquiera por ejemplo el A, y determinémosle los puntos donde sus lados cortan a la recta límite, obteniéndose los puntos M y N respectivamente. El centro de la homología debe estar sobre el arco capaz, C 2, de 60º para el segmento MN. Si repetimos el mismo razonamiento para otro ángulo, por ejemplo el B, encontraríamos prolongando sus lados, los puntos N y Q y el centro de la homología deberá estar sobre el arco capaz, C 1, de 60º para el segmento NQ. Donde ambos arcos capaces se corten tendremos el centro de la homología buscado. Obsérvese que los homólogos de los lados AB, AC y BC se mantendrán paralelos a las rectas ON, OM y OQ respectivamente. Una vez que determinemos los puntos donde los lados cortan al eje de la homología, 2, 1 y 3, trazando paralelas a éstas direcciones obtendremos la figura homóloga buscada. Si además, nos pidiesen que los lados del triángulo tuvieran dimensiones prefijadas, bastaría con realizar una homotecia de centro O y hallar la nueva posición de uno de los lados, esto afectaría a la homología en que el eje se desplazará paralelamente a sí mismo. Una vez que tengamos determinada la nueva posición del eje bastaría con reconstruir la figura. Página nº 15

18 Figura 7 Página nº 16

19 Transformar un cuadrilátero en cuadrado, rectángulo, rombo o romboide. Figura 8. Consideremos el cuadrilátero ABCD. Queremos transformarlo en cuadrado, rectángulo, rombo o romboide. Todas estas figuras son paralelogramos, es decir, tienen sus lados paralelos dos a dos. Determinemos los puntos M y N donde se cortan las prolongaciones de los lados opuestos del cuadrilátero. Los homólogos de estos puntos tienen que estar en el infinito para que las rectas AB, CD y BC, AD sean paralelas respectivamente. Por tanto, la recta límite L tendrá que pasar por estos puntos M y N. Una vez determinada la recta límite trazamos una paralela por cualquier punto para definir el eje. Cuadrado y rectángulo tienen sus lados perpendiculares. Por ello, el centro de la homología deberá estar en el arco capaz, C 1, de 90º para el segmento MN. Rombo y cuadrado tienen sus diagonales perpendiculares. Tracemos las diagonales del cuadrilátero AC y BD. Estas rectas cortan a la límite en los puntos Q y P respectivamente. Por tanto, el centro de la homología deberá estar sobre el arco capaz, C 2, de 90º para el segmento QP. Donde ambos arcos capaces se corten tendremos el centro de la homología que transforma al cuadrilátero en cuadrado. (Podríamos haber realizado otro razonamiento y es que una diagonal y un lado forman un ángulo de 45º y determinaríamos el arco capaz correspondiente). Cualquier centro en el arco C 1, lo transformará en rectángulo. Cualquier centro en el arco C 2, lo transformará en rombo. Cualquier otro punto, lo hará en romboide. Si nos pidiesen que el cuadrado tuviera un tamaño determinado, realizaríamos la homotecia correspondiente de centro O, a igual que en el caso anterior. Las cónicas como figuras homológicas de la circunferencia. Hemos dicho que la figura homóloga de una circunferencia será elipse, hipérbola o parábola según que su recta límite no corte, corte o sea tangente a la misma. Consideremos estos tres casos. Página nº 17

20 Figura 8 Página nº 18

21 Elipse. Diámetros conjugados. Figura 9. Sea la homología definida por el centro O, eje E, y recta límite L, y sea la circunferencia de centro C que no corta a la recta límite. Para determinar un par de diámetros conjugados procederemos de la siguiente manera: El homólogo del centro de la elipse, P, no es el centro de la circunferencia. Previamente tendremos que determinar que punto sería el homólogo de P. Para ello y recordando una de las propiedades de la homología que decía: La polar de un punto del infinito pasa por el centro de la cónica. Vamos a elegir un punto cualquiera de la recta límite como el punto N. Determinémosle la polar respecto a la circunferencia que pasará po P. Trazaremos las tangentes a la circunferencia obteniendo los puntos de tangencias 1 y 2 que, unidos, nos dará la polar buscada. Si a ésta polar le determinamos su punto de corte, M, con la recta límite y calculamos la polar de este punto obtendremos la recta 34 que nos permite encontrar el punto P, homólogo del centro de la elipse. Tenemos dos pares de rectas que pasan respectivamente por M y N y cortan al eje de la homología en los puntos 7, 9, 10, 5, 6 y 8 respectivamente, trazando paralelas por estos puntos a las rectas OM y ON nos determinará un paralelogramo circunscrito a la elipse con sus correspondientes diámetros conjugados. El hecho de que la polar del punto N pase por M y viceversa, hace que los dos diámetros trazados sean conjugados. En efecto, los homólogos, N y M, de N y M son puntos del infinito, las polares trazadas por ellos a la elipse serán rectas que determinan en la misma puntos diametralmente opuestos que, unidos, nos dan diámetros conjugados. Página nº 19

22 Figura 9 Página nº 20

23 Parábola. Figura 10. Sea la homología definida por el centro O, eje E, y recta límite L, y sea la circunferencia de centro C que es tangente a la recta límite. Vamos a determinar el eje, el vértice y la tangente en el vértice de la parábola, para ello realizaremos el siguiente proceso: El punto de tangencia entre la circunferencia y la recta límite, N, tendrá por homólogo el punto del infinito de la parábola, o lo que es igual, el punto del infinito del eje de la misma. La recta ON es, por tanto, paralela al eje de la parábola. Sabemos que el eje y la tangente en el vértice son rectas perpendiculares, tracemos por O la perpendicular a la recta ON, obteniéndose una recta, OM, paralela a dicha tangente. Esta recta corta a la recta límite en el punto M, desde el cual podemos trazarle la tangente a la circunferencia determinando sobre la misma el punto V, homólogo del vértice de la parábola. Conocemos pues, las rectas MV y VN cuyas homólogas serán la tangente en el vértice y el eje de la parábola. Una vez determinadas estas rectas hallaremos los homólogos de los puntos de la circunferencia que deseemos con sus correspondientes tangentes y tendremos el problema resuelto. Hipérbola. Figura 11. Sea la homología definida por el centro O, eje E, y recta límite L, y sea la circunferencia de centro C que corta a la recta límite. Vamos a determinar las asíntotas, el eje, los vértices y las tangentes en los vértices de la hipérbola, para ello realizaremos el siguiente proceso: Los puntos donde la circunferencia corta a la recta límite, M y N, son los puntos del infinito de la hipérbola o lo que es igual, los puntos del infinito de las asíntotas. Las rectas OM y ON son paralelas a las homólogas de las asíntotas y las tangentes a la circunferencia en estos puntos serán las homólogas de las mismas. Tracémoslas. Observamos que estas últimas cortan al eje de la homología en los puntos 2 y 3, puntos que pertenecen a las asíntotas que vamos buscando. Trazando por ellos rectas paralelas a las direcciones OM y ON las habremos determinado. Página nº 21

24 Figura 10 Página nº 22

25 Sabemos que el eje de una hipérbola es la bisectriz de sus asíntotas. Calculémosle. Vemos que el eje de la hipérbola corta al eje de la homología en el punto 4, que unido con el punto C nos dará la recta homóloga del eje. Vemos que esta recta corta a la circunferencia en los puntos V y W que son, precisamente, los homólogos de los vértices. Situémoslos sobre el eje de la hipérbola y tendremos el problema resuelto. Las tangentes en los vértices son las homólogas de las tangentes a la circunferencia en los puntos V y W. Podemos situar tantos puntos con sus correspondientes tangentes como necesitemos para facilitar el trazado de la curva. Consideraciones a estos cuatro procesos. Es conveniente determinar unos puntos muy especiales, estos son: - Puntos de tangentes paralelas al eje de la homología. - Puntos de tangentes comunes a ambas cónicas. A menudo en geometría descriptiva hay que determinar las proyecciones de una circunferencia que pertenece a un plano. Las proyecciones de esta se verá como una cónica, existiendo una homología afín entre proyección horizontal (o vertical) y circunferencia abatida, cuyo eje es la traza horizontal (o vertical) del plano que la contiene. Pues bien, las rectas tangentes a la circunferencia que sean paralelas a las trazas del plano, van a determinar en el mismo rectas horizontales (o frontales), lo cual se traduce en conocer los puntos más alto y más bajo con respecto al PH (o más cercano y más lejano con respecto al PV). Y aquellas rectas que son tangentes a ambas cónicas nos van a determinar la zona de plano donde tiene que estar la curva, sin pasarnos de ella ni quedarnos corto. Página nº 23

26 Figura 11 Página nº 24

27 HOMOLOGÍA AFÍN. AFINIDAD. Figura 12. Al clasificar la homología, había un caso, (cuando el centro era un punto impropio y el eje una recta propia), que recibía el nombre de HOMOLOGÍA AFÍN o simplemente AFINIDAD. El hecho de que el centro de la homología sea un punto impropio trae como consecuencia que las rectas que unen puntos homólogos sean paralelas y las rectas límites son también impropias por lo que rectas paralelas tienen por homólogas rectas paralelas. A la dirección definida por la unión de pares de puntos homólogos recibe el nombre de DIRECCIÓN DE AFINIDAD. Clasificación de la homología afín. Como quedo expuesto la afinidad puede ser de dos tipos: - Ortogonal. - Oblicua. Y como caso particular de la ortogonal, cuando la característica vale -1, estamos ante el caso de la simetría axial. Las propiedades de la homología afín las podemos resumir en los siguientes puntos: - Si un punto divide a un segmento en una determinada proporción su afín divide al segmento afín en la misma proporción. Como consecuencia inmediata surge la siguiente propiedad. - El punto medio de un segmento tiene por afín el punto medio del segmento afín. - Si dos rectas son paralelas sus afines también son paralelas. - El afín del centro de una cónica es el centro de la cónica afín. - La cónica afín de una circunferencia siempre es una elipse. - La característica se reduce a una razón simple de distancias Página nº 25

28 Figura 12 Página nº 26

29 Figura 13 Página nº 27

30 de los puntos afines al eje. - La afín de la polar de una cónica es la polar de la cónica afín. - Si una recta es tangente a una curva en un punto, la recta afín es tangente a la curva afín en un punto que resulta ser afín del punto de tangencia. Formas de definir una afinidad. Figura 13. Una afinidad queda definida conociendo tres de sus elementos canónicos, o sustituyendo estos por otras condiciones que nos permitan poder determinarlos. Los casos que se pueden dar quedan reflejados en el cuadro adjunto: - Eje un par de puntos afines. - Tres pares de puntos afines. - Dos pares de rectas afines. - Dos pares de puntos afines y la dirección del eje. Determinación de afinidades que transforman una figura en otra con elementos prefijados. Transformar un triángulo en otro equilátero. Figura 14. Sea la afinidad definida por su eje. Nos piden determinar la dirección de la afinidad para que el triángulo ABC se convierta en un triángulo equilátero. Cuando resolvimos este problema en la homología general, aplicamos las condiciones de que los ángulos se transformasen en 60º eligiendo dos ángulos cualesquiera ya que trazábamos paralelas por el centro de la homología. En la afinidad no podemos hacer esto pues, el centro de la homología está en el infinito, por ello tendremos que trabajar directamente con el homólogo de algún elemento, esto implica que, las dos condiciones que impongamos tienen que relacionar al mismo elemento dos veces. Elegimos el ángulo A cuyo afín debe de ser de 60º. Para ello Página nº 28

31 Figura 14 Página nº 29

32 prolongamos los lados AB y AC hasta determinar los puntos 1 y 3 en el eje, lugar por donde deben pasar las afines de estas rectas y formar ángulo de 60º, luego el punto A debe estar sobre el arco capaz de 60º para el segmento 13. Por otro lado sabemos que por las propiedades de la afinidad anteriormente expuestas que, el punto medio de un segmento tiene por afín el punto medio del segmento afín y en un triángulo equilátero medianas, mediatrices, bisectrices y alturas coinciden. Luego trazando la mediana del lado BC, recta A2, se transformará en la bisectriz del ángulo A y formará con los lados del ángulo A ángulos de 30º. Luego el vértice A estará sobre el arco capaz de 30º del segmento 12. Una vez trazado, donde se corten ambos arcos capaces tendremos A, afín del punto A. Uniendo A con los puntos 1 y 3 habremos determinado los lados afines de los AB y AC. La recta AA define la dirección de afinidad. Trazando paralelas a esta dirección por los puntos B y C podremos determinar sus afines B y C quedando el problema resuelto. Transformar un paralelogramo en un cuadrado. Figura 15. Sea la afinidad definida por su eje y el paralelogramo ABCD. Este problema se resuelve de la misma manera que el anterior, es decir, impondremos las condiciones de que un ángulo del paralelogramo se transforme en otro de 90º y el formado por un lado del mismo y la diagonal que concurre con él en otro de 45º. Asi pues, elegido el vértice D, prolongamos los lados DC y DA determinando sobre el eje los puntos 1 y 4. Sobre el arco capaz de 90º para este segmento deberá estar D, afín del punto D. Trazando la diagonal que pasa por D, obligamos a que el ángulo ADB se convierta en otro de 45º, prolongaremos los lados de este ángulo hasta obtener los puntos 4 y 5 y sobre el arco capaz de 45º para este segmento estará el afín del punto D. Por tanto, D, será el punto de intersección de ambos arcos capaces. Una vez determinado D, la recta DD será la dirección de afinidad. La unión del punto D con 1 y 4 nos dará las rectas afines a las CD y DA y trazando paralelas a la dirección de afinidad por A y C obtendremos los afines C y A. Las rectas trazadas por C y A paralelas a las D A y D C nos permiten encontrar el punto B, quedando el problema resuelto. Página nº 30

33 Figura 15 Página nº 31

34 La elipse como figura afín de la circunferencia. Una de las aplicaciones más importante de la afinidad es la determinación de la elipse como curva afín de la circunferencia. Veamos como podemos determinar una afinidad que nos transforme una circunferencia en elipse. Caso nº 1: Elipse. Diámetros conjugados. Figura 16. Sea la afinidad definida por su eje y un par de puntos afines C y C. Siendo C el centro de la circunferencia. Por las propiedades de la afinidad, C será el centro de la elipse. Tracemos dos rectas que pasando por C se corten bajo ángulo recto, de esta manera, sus afines serán diámetros conjugados en la elipse. Sean estas rectas las CM y CN, uniendo los puntos M y C con C, obtendremos las rectas afines a estas. Para determinar los extremos de los diámetros de la elipse podemos realizarlo de dos formas distintas: - Trazando por los puntos 1, 2, 3 y 4 paralelas a la dirección de afinidad CC, nos permite determinar los puntos 1', 2', 3' y 4'. - Circunscribiendo a la circunferencia un cuadrado de lados paralelos a las rectas CM y CN. La prolongación de los lados del cuadrado determinan en el eje de la afinidad los puntos P, Q, S y T que, trazando por ellos paralelas a las rectas C M y C N respectivamente, nos permiten determinar un paralelogramo circunscrito a la elipse a la vez que determinan los puntos 1', 2', 3' y 4'. Página nº 32

35 Figura 16 Caso nº 2: Elipse. Ejes. Figura 17. Sea la afinidad definida por su eje y un par de puntos afines C y C. Tendremos que elegir los puntos M y N de tal manera que las rectas MC y NC y MC y NC se corten bajo ángulos rectos respectivamente, para poder determinar diámetros conjugados en la elipse que sean ortogonales entre sí. Por tanto, los puntos M y N estarán sobre una circunferencia de centro en el eje de Página nº 33

36 la afinidad y pase por los puntos C y C. Una vez determinado estos puntos podemos continuar el problema como en el caso anterior. Figura 17 Aplicaciones para la construcción de elipses. Vistas estas transformaciones, vamos a determinar procedimientos que nos permitan el trazado de elipses conocidos sus ejes. Página nº 34

37 Sea la elipse definida por sus ejes. Figura 18. Tomaremos como eje de una afinidad el eje mayor (o menor) de la elipse y dirección de afinidad la perpendicular a este eje. Definida la afinidad de esta manera, la curva afín de la elipse será una circunferencia de diámetro el eje mayor (o menor) de la elipse. Situar puntos sobre la elipse resulta muy fácil. Consideremos el punto B sobre la circunferencia, la recta AB corta al eje de la afinidad en el punto N que, unido con A nos va a permitir encontrar B, afín de B, punto de la elipse. Combinando ambos casos nos conduce a un procedimiento para el trazado de la elipse que resulta muy fácil y cómodo. Figura 19. Sea la elipse definida por sus ejes C D y A B. Trazaremos las circunferencias de diámetros los ejes de la elipse respectivamente. Estas circunferencias son homotéticas por ser concéntricas. Trazando una recta cualquiera que pase por el centro de ambas, nos determina en estas circunferencias los puntos F 1 y F 2, puntos que son homotéticos y van a representar al mismo punto en la elipse. Trazando por ellos paralelas a las direcciones de afinidad de los dos casos visto anteriormente, nos determinan el punto F, punto de la elipse. Repitiendo este proceso tantas veces como queramos nos va a permitir obtener puntos de la misma. Para realizar el trazado con mayor exactitud podemos determinar las tangentes en los puntos que calculemos, para ello, consideremos el punto F y su homólogo F, trazaremos la tangente, T1, en F a la circunferencia y determinaremos el punto, N, intersección de T1 con el eje, punto por donde deberá pasar la tangente buscada, basta con unir este punto, N, con el punto de la elipse, F, para obtener la tangente T1'. Página nº 35

38 Figura 18 Página nº 36

39 Figura 19 Página nº 37