UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

FACULTAD DE INFORMÁTICA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID FACULTAD DE INFORMÁTICA TRABAJO FIN DE CARRERA GENERACIÓN DE TESELACIONES PERIÓDICAS: GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS. AUTOR: Marina Rodríguez Silvestre TUTOR: Manuel Abellanas Oar

A Javi por ser mi mano izquierda durante el desarrollo de este proyecto y a lo largo de toda la vida.

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos AGRADECIMIENTOS Agradecimientos a D. Manuel Abellanas por su ayuda, interés, implicación y paciencia en el desarrollo de este proyecto. A mis amigos de la facultad por hacer la carrera más interesante. A mis amigos y compañeros de trabajo de Fujitsu por formarme profesionalmente y aguantarme cada día. A mis padres y hermanas por hacerme como soy. A mis amigas por su apoyo incondicional en todo momento. A mi familia de Albura por recordarme lo importante de la vida y enseñarme lo que valgo. Y a todas las personas a las que he preguntado y que han aportado alguna idea a este proyecto. i

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos ii

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Índice INDICE Agradecimientos i Indice iii Introducción vii capítulo 1 Desarrollo teórico 1 1.1 Introducción matemática 1 1.1.1 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS 1 1.1.1.1 MOVIMIENTOS DEL PLANO 2 1.1.2 GRUPOS ORNAMENTALES DEL PLANO 8 1.1.2.1 Clasificación de los grupos ornamentales 9 1.2 Definición de Mosaico 14 1.2.1 QUÉ ES UN MOSAICO? 14 1.2.2 MOSAICOS NO PERIÓDICOS VS PERIÓDICOS 14 1.2.2.1 MOSAICOS PERIÓDICOS 15 1.2.2.2 MOSAICOS APERIÓDICOS, MOSAICOS DE PENROSE 18 1.3 Grupos Cristalográficos 21 1.3.1 Introducción 21 1.3.1.1 Teorema de Fedorov 21 1.3.1.2 Mosaicos de la Alhambra 21 1.3.2 Nomenclatura de los grupos cristalográficos 23 1.3.3 Clasificación de los grupos cristalográficos 25 1.3.3.1 Grupo cristalográfico p1 29 1.3.3.2 Grupo cristalográfico pm 30 1.3.3.3 Grupo cristalográfico pg 32 1.3.3.4 Grupo cristalográfico cm 33 1.3.3.5 Grupo cristalográfico p2 34 1.3.3.6 Grupo cristalográfico pgg 36 iii

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Índice 1.3.3.7 Grupo cristalográfico pmg 38 1.3.3.8 Grupo cristalográfico pmm 39 1.3.3.9 Grupo cristalográfico cmm 41 1.3.3.10 Grupo cristalográfico p3 42 1.3.3.11 Grupo cristalográfico p3m1 44 1.3.3.12 Grupo cristalográfico p31m 45 1.3.3.13 Grupo cristalográfico p4 47 1.3.3.14 Grupo cristalográfico p4m 49 1.3.3.15 Grupo cristalográfico p4g 50 1.3.3.16 Grupo cristalográfico p6 52 1.3.3.17 Grupo cristalográfico p6m 54 capítulo 2 Desarrollo PRÁCTICO 57 2.1 Introducción 57 2.2 Desarrollo 57 2.2.1 ALGORITMO DE GENERACIÓN GENERAL 57 2.2.1.1 Algoritmo de generación del grupo p1 60 2.2.1.2 Algoritmo de generación del grupo pm 62 2.2.1.3 Algoritmo de generación del grupo pg 64 2.2.1.4 Algoritmo de generación del grupo cm 66 2.2.1.5 Algoritmo de generación del grupo p2 68 2.2.1.6 Algoritmo de generación del grupo pgg 70 2.2.1.7 Algoritmo de generación del grupo pmg 73 2.2.1.8 Algoritmo de generación del grupo pmm 76 2.2.1.9 Algoritmo de generación del grupo cmm 77 2.2.1.10 Algoritmo de generación del grupo p3 80 2.2.1.11 Algoritmo de generación del grupo p3m1 86 2.2.1.12 Algoritmo de generación del grupo p31m 92 2.2.1.13 Algoritmo de generación del grupo p4 96 2.2.1.14 Algoritmo de generación del grupo p4m 100 2.2.1.15 Algoritmo de generación del grupo p4g 103 2.2.1.16 Algoritmo de generación del grupo p6 106 2.2.1.17 Algoritmo de generación del grupo p6m 110 iv

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Índice capítulo 3 TecnologíAs empleadas 117 3.1 Entorno de desarrollo 117 3.2 Lenguaje de programación 118 3.2.1 Uso de Applet firmado 119 3.2.2 Librería de tratamiento de imágenes JAI 120 capítulo 4 MANUAL DE USUARIO 121 4.1 Introducción 121 4.2 Interfaz de Usuario 121 4.2.1 CUADRO DE FUNCIONALIDADES COMUNES 122 4.2.1.1 Área de dibujo 122 4.2.1.2 Cuadro de funcionalidades básicas 123 4.2.1.3 Barra de menú y de estado 126 4.2.2 ÁREA DE GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS 129 4.2.3 EJECUCIÓN GENERAL: Generación de Mosaicos 130 capítulo 5 Resultados y conclusiones 135 5.1 Resultados obtenidos 135 5.2 Conclusiones personales 136 Bibliografía y Referencias 139 v

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Índice vi

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Introducción INTRODUCCIÓN Sin ningún tipo de duda la informática no hubiera existido, ni se hubiera podido desarrollar sin las bases fundamentales de las matemáticas. La informática aparece, pues, ligada a las matemáticas desde los orígenes de la computación. Sin embargo, hoy día se puede utilizar la informática no sólo para hacer cálculos matemáticos imposibles, sino para favorecer la compresión de las mismas. La informática permite ver a las matemáticas de una manera más práctica, más visible, las hace llamativas y más atractivas. Este proyecto es un ejemplo de una aplicación informática al servicio de la matemática. En el se pretende dar a conocer y explicar la teoría matemática de Grupos Cristalográficos planos de una forma sencilla y atractiva. De cómo a base de transformaciones geométricas clasificadas se puede pasar de una imagen a un mosaico gracias a la magia de las matemáticas. Por tanto serán objetivos de este proyecto: La construcción de una aplicación que permita la generación de mosaicos aplicando la teoría matemática de Grupos Cristalográficos. Una interfaz de usuario intuitiva y amigable. Unos tiempos de ejecución aceptables, tiempo de generación de la imagen final del mosaico lo más reducido posible. Que la aplicación este accesible y pueda ser ejecutada desde una página Web. A lo largo de los capítulos de esta memoria se irá desgranando los algoritmos utilizados así como la teoría necesaria consultada para la obtención del resultado final de este proyecto. Así, en el Capítulo 1 se encontrará el lector una fundamentación matemática y una serie de conceptos básicos para situarse en el contexto y facilitar la compresión del desarrollo práctico, desarrollo que se explica en el capítulo 2, donde con detalle se describe los algoritmos de generación de cada mosaico. En el capitulo 3 se describe las tecnologías utilizadas y medios de desarrollo y a continuación en el capítulo 4 se incluye un manual de usuario de la vii

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Introducción aplicación que se quiere sirva de guía de uso de la misma. Por último se recogen los resultados obtenidos y comentarios personales. Los múltiples ejemplos e imágenes que ilustran este documento han sido generados en su mayoría por la aplicación construida a partir de una sencilla imagen inicial o mediante la herramienta de tratamiento y edición de imágenes Snagit Editor. En las imágenes tomadas de otras fuentes se ha especificado en el titulo de la misma una nota entre corchetes, que hace referencia a la nota a pie de página donde se documenta la dirección de Internet o documento de donde se ha extraído la imagen. Para la redacción de este trabajo se han utilizado diferentes fuentes de consulta detalladas en el punto de Bibliografía y Referencias. Entre ellas destacan: http://www.iescomercio.edurioja.org/file.php/1/proyectos/russell_en_%20aten as/teselaciones.htm#indice Grupos de Simetría y Teselaciones del Plano.pd. Juan Tena. Universidad de Valladolid. Febrero 2004 http://geometriadinamica.es/tabla/investigaciones/arte-y-geometria-mosaicos/ Grupos Cristalográficos Planos. Francisco Rivero Mendoza. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana. Vol VI N1.1999 Las frases del texto extraídas literalmente de otras fuentes aparecen entrecomilladas y con la fuente especificada de la misma manera que en las imágenes. viii

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 CAPÍTULO 1 DESARROLLO TEÓRICO 1.1 Introducción matemática Antes de adentrarnos en los algoritmos de generación de mosaicos se expone en este capítulo una breve explicación de términos matemáticos y conceptos que formarán una base fundamental y necesaria para una mejor comprensión de la generación de mosaicos. 1.1.1 TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Las transformaciones geométricas han estado presentes a lo largo de la historia en todas las culturas. Las podemos encontrar en muchas facetas del mundo físico: en la naturaleza (hojas de los árboles, telas de araña, paneles de abeja etc...,), en la arquitectura (fachadas de edificios que presentan simetría axial respecto a un eje, frisos donde se repiten el mismo adorno ornamental...etc.), en la cultura y en muchas creaciones artísticas, (esculturas, pinturas), son muchos los artistas que realizan sus creaciones a base de repeticiones de un mismo elemento o motivo geométrico. En términos matemáticos simples, las transformaciones geométricas las podemos definir como la operación o el conjunto de operaciones geométricas que permiten generar una nueva figura a partir de otra dada u original. Es decir, hacen corresponder a cada punto del plano otro punto del plano y como consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras. A la figura resultante se le denomina homologa. Las transformaciones pueden realizarse de forma encadenada, aplicando una de ellas al resultado de otra. Este encadenamiento de transformaciones se denomina composición o producto. En general el producto de transformaciones no posee la propiedad conmutativa. 1

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Podemos observar dos clasificaciones diferentes de las transformaciones geométricas dependiendo de si se tiene en cuenta el sentido o la forma de la figura homologa con respecto a la figura original. Clasificación teniendo en cuenta el sentido: Directa: cuando la figura resultante conserva el sentido de la figura original en el plano cartesiano. Inversa: el sentido de la figura homóloga y la del original son contrarios. Clasificación según la forma del homólogo con respecto del original. Isométricas: La figura resultante conserva los ángulos y dimensiones. También se llaman "movimientos. Se detallaran en el punto siguiente. Isomórficas: La figura resultante u homóloga conserva la forma de la figura original y los ángulos, pero no las dimensiones, aunque mantienen una relación de proporcionalidad entre las dimensiones del homólogo con el original. Son de este tipo: la homotecia, la semejanza y las isométricas. Anamórficas: cambia la forma de la figura original. Transformaciones de este tipo son la homología, la afinidad y la inversión. 1.1.1.1 MOVIMIENTOS DEL PLANO Las isometrías o movimientos del plano son transformaciones geométricas donde se conservan las distancias. No deforman la figura. Su mismo nombre la define: isometría es una palabra de origen griego donde iso significa igual o lo mismo y metria quiere decir medir, con lo que se podría traducir por igual medida. Realmente podemos tomar la isometría como un cambio de posición de la figura original. Es decir, después de la transformación a la figura lo único que le ha pasado es que esta en otro lugar manteniendo la forma y las dimensiones. En el plano hay cuatro tipos de movimientos, (cinco si contamos con la identidad): traslación, rotación, reflexión y reflexión con deslizamiento. 2

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.1: Esquema de isometrías. Estos cuatros movimientos se pueden clasificar según la siguiente tabla: Movimientos Directos Rotación Traslación Movimientos Inversos Reflexión Reflexión deslizada Figura 1.2: Tabla clasificación de isometrías. 1.1.1.1.1 MOVIMIENTOS DIRECTOS En los movimientos directos no se altera la orientación de la figura, por lo que la figura original y la figura transformada por el movimiento se pueden hacer coincidir sin salirse del plano. 3

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.3: Figura movimiento directo. 1.1.1.1.1.1 ROTACIÓN Para realizar una rotación o giro necesitamos conocer: Un punto denominado centro de rotación. Un ángulo de giro Un sentido de rotación. Matemáticamente podemos definir la rotación de centro O y ángulo α como la transformación que hace corresponder P en P cumpliendo que: La distancia del centro de giro O a P es igual a la distancia del centro O a P Siendo α el ángulo orientado de POP Figura 1.4: Figura movimiento de rotación. 4

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.1.1.1.1.2 TRASLACIÓN Para realizar una traslación necesitamos conocer: Una distancia, longitud. Una orientación Lo que en matemáticas se puede representar con un vector fijo v r. Es decir, un segmento orientado que va desde un punto A (origen) al punto B (extremo). Así para realizar la traslación de una figura aplicaremos a cada punto el vector trasladándolo hasta el extremo, moviendo cada punto de la figura en la misma dirección y la misma distancia sin rotar ni voltear, deslizando. De estar forma el sentido de los vértices de la figura original y la de la transformada es el mismo. Figura 1.5: Figura movimiento de traslación. 1.1.1.1.2 MOVIMIENTOS INVERSOS En los movimientos de tipo inverso no se conserva el sentido, por lo que la figura original y la transformada por el movimiento no puede hacerse coincidir sobre si misma sin salirse del plano 5

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.6: Figura de movimiento inverso. En una simetría respecto a una recta, la figura original se ve como si estuviera reflejada en un espejo. Conserva las distancias y los ángulos, pero no el sentido. 1.1.1.1.2.1 REFLEXIÓN También denominada simetría axial o especular. La figura transformada es la figura vista en un espejo. Elementos característicos de una reflexión: Línea de reflexión o eje de simetría. Dirección de reflexión. En una reflexión cada punto de la figura original X se transforma en un punto X mediante un eje (eje de simetría o espejo), de tal manera que si unimos los puntos X y X el segmento resultante es siempre perpendicular al eje de simetría y ambos puntos X y X son equidistantes del eje. De manera mas sencilla se puede decir que una reflexión es un volteo con respecto a una línea donde independientemente de en que dirección vaya el reflejo la imagen reflejada siempre tiene el mismo tamaño pero en otra dirección. Los vértices de la figura original y de la transformada están en sentido contrario. La reflexión es una transformación involutiva. La aplicación sucesiva de dos simetrías axiales con el mismo centro deja a cualquier figura invariante. 6

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.7: Figura de movimiento de reflexión. 1.1.1.1.2.2 REFLEXIÓN CON DESPLAZAMIENTO Es una combinación, composición, de isometrías. Primero se realiza una reflexión y a continuación una traslación en la dirección del eje de reflexión. Figura 1.8: Figura de movimiento de reflexión con desplazamiento. 7

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.1.2 GRUPOS ORNAMENTALES DEL PLANO Partiendo de un motivo, una figura, por repetición periódica del mismo mediante simetrías de diversos tipos, se obtienen diseños geométricos con los cuales se pueden realizar ornamentaciones, decoraciones,etc. Desde tiempos antiguos han aparecido en las manifestaciones artísticas distintos tipos de ornamentaciones planas caracterizadas por la repetición regular de un motivo formando mosaicos geométricos. Cómo se observa en las decoraciones de la Alhambra, los árabes fueron unos excelentes creadores de mosaicos geométricos. Figura 1.9: Figura de mosaico Nazarí [Fuente 1] La anterior figura, (Figura 1.9), posiblemente sea el mosaico Nazari más conocido. Se obtiene de aplicar traslaciones a la figura original o base (el hueso). En la siguiente figura se puede observar que los huecos que deja la figura original al trasladarse son la misma figura girada. Figura 1.10: Figura de estructura de mosaico Nazarí Estos grupos ornamentales del plano no son más que estructuras algebraicas denominadas grupos de simetrías y construidas con la combinación entre si de las cuatro isometrías explicadas en los puntos anteriores: Fuente 1:[ http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/mosa6.htm] 8

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.-Traslación. Figura desplazada a una nueva posición sin giros de ningún tipo. 2.-Rotación. Figura girada con centro en algún punto determinado y con un ángulo concreto. 3.-Reflexión. La figura es la imagen especular, con un eje de simetría dado. 4.-Simetría con deslizamiento. Resultado de reflexión más traslación en la dirección del eje de reflexión. En términos matemáticos, se denomina grupo de simetría de la figura F al conjunto de movimientos del plano que dejan la figura F invariante. Por lo tanto, un movimiento f está en el grupo de simetría de F si y solo si f(f) = F Para que un conjunto de isometrías sea un grupo G debe cumplir: 1. Contenga la identidad: id G 2. Tenga inversos: f G f 1 G 3. Sea cerrado bajo composición: f, g G go f G La identidad siempre va a pertenecer al grupo de simetría de cualquier figura. Por lo tanto, un grupo de simetría es un conjunto de movimientos distinto del vacío. El número de movimientos que contiene un grupo de simetría puede ser finito o infinito. Un grupo de simetría G se dice que conserva la orientación si no contiene simetrías ni simetrías con deslizamiento. Es decir, sólo puede contener traslaciones o giros. 1.1.2.1 Clasificación de los grupos ornamentales Cuando el grupo de simetría no contiene traslaciones, es decir, esta formado únicamente por la identidad y giros se obtiene los denominados grupos puntuales de Leonardo (en honor a Leonardo da Vinci quien los utilizo en el diseño de las capillas dentro de las iglesias). Son figuras con centro en un punto fijo (rotaciones con centro en ese punto) y reflexiones respecto de ejes que pasan por ese punto. Se conocen con el nombre de rosetas. 9

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.11: Figura de grupo de Leonardo Los grupos de Leonardo contienen un número finito de movimientos. Se denomina Orden al número mínimo de giros o rotaciones necesarias para llegar a la figura original. La figura anterior, (figura 1.8) se dice que es de orden 5 partiendo de un triangulo como figura base. Se necesita 5 giros para llegar de nuevo a la figura origen. Matemáticamente se pueden definir de la siguiente manera: G I T = {id} Siendo T un subgrupo de traslaciones e id la identidad. Los grupos de Leonardo se pueden clasificar en: Grupo cíclico: es el grupo generado por un giro de centro P. C n, grupo cíclico de orden n. Grupo diedral: es el grupo generado por un giro de centro P y una simetría respecto de una recta que pasa por P. Dn grupo diedral de orden n. 10

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.12: Figura de tipos de grupos de Leonardo Cuando el motivo generador se repite a lo largo de una franja, se obtienen los frisos (bandas o cenefas). Contienen sólo una traslación (se pueden observar en numerosas fachadas de templos edificios etc.). Figura 1.13: Figura de friso. Los frisos no están limitados, es decir continúan indefinidamente tanto hacia la izquierda como a la derecha. Expresado de forma matemática se tiene: GI T = r r Tv = { Tnv, n Z} G Es un grupo de un friso si las traslaciones que contiene G son un grupo cíclico infinito, es decir, están generadas por una traslación, donde vr es un vector fijo. Además G ha de dejar invariante una recta, que se denomina recta centro del friso. Los frisos pueden contener únicamente la combinación de los siguientes movimientos: 11

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 La identidad (siempre está presente en un grupo de simetría). Traslaciones en la dirección de la recta centro del friso. Giros con centro un punto de la recta centro del friso y ángulo α La simetría respecto de la recta centro del friso. Simetrías respecto de rectas perpendiculares a la recta centro. Simetría con deslizamiento con eje la recta centro del friso y deslizamiento en la dirección de dicha recta. De la combinación de los anteriores movimientos se construyen los siete grupos de frisos esencialmente distintos que se denotan por la letra F seguida de un subíndice que denota el orden de los giros que aparecen y se añade un superíndice si el grupo no conserva la orientación. Figura 1.14: Figura siete grupos de friso. Y si se recubre una parte del plano sin dejar huecos ni superponerse (bien acoplados), se obtienen mosaicos o teselaciones. Contienen dos traslaciones (no paralelas). En este caso el motivo generador se repite en dos direcciones distintas del plano. 12

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.15: Figura de Mosaico. Estos son los llamados grupos cristalográficos Planos. En 1891, el cristalógrafo E. S. Feodorov demostró que sólo existen básicamente 17 grupos. En los puntos siguientes de esta memoria se estudia en detalle las características de este grupo ornamental. Unicamente se adelanta la definición matemática: GI T r r r r = Tv Tw = { Tnv + Tmw, n, m, Z } El grupo de simetría G de una figura plana se dice que es un grupo cristalográfico plano si las traslaciones que contiene están generadas por dos traslaciones de vectores linealmente independientes, donde los vectores vr y w r son linealmente independientes y siendo T el grupo formado por todas las traslaciones del plano. 13

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.2 Definición de Mosaico 1.2.1 QUÉ ES UN MOSAICO? La palabra mosaico es sinónimo de teselación y ambas se definen como la configuración que se obtiene al acoplar una pieza, (a la que se denomina tesela), entre sí con otras idénticas a ellas sin superponerse y sin dejar huecos ni fisuras hasta recubrir totalmente el plano. Una definición más formal de teselación (mosaico) del plano sería una colección de regiones (compactos con interior no vacío) llamadas teselas tales que: Dos teselas no tienen ningún punto interior en común, es decir, sólo pueden compartir parte de su frontera. La unión de las teselas cubre totalmente el plano. Las teselaciones o embaldosados del plano han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, etc. La diversidad de las formas de las teselas es infinita. El campo de las matemáticas se ha interesado especialmente por las teselaciones poligonales. 1.2.2 MOSAICOS NO PERIÓDICOS VS PERIÓDICOS Los mosaicos se pueden clasificar en: Periódicos: un mosaico se denomina periódico si existe una sección finita de la teselación, (esta sección finita se denomina baldosa y puede estar formada por varias teselas), que permite mediante traslaciones en dos direcciones no paralelas, sin recurrir a giros o reflexiones, crear el mosaico completo. No Periódicos: son mosaicos cubiertos por teselas que no se repiten. Son mosaicos que no coinciden con ninguno de sus trasladados. 14

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.16: Figura mosaico periódico[fuente1] vs no periódico [Fuente2]. Existen teselas que producen tanto mosaicos periódicos como no periódicos. También hay teselas que sólo producen mosaicos no periódicos. En tal caso se habla de mosaicos aperiódicos. 1.2.2.1 MOSAICOS PERIÓDICOS Los mosaicos periódicos se pueden dividir a su vez en: Poligonales: si se utiliza como tesela un polígono. No poligonales: si las teselas que cubren el plano no son polígonos 1.2.2.1.1 TESELACIONES POLIGONALES Se trata de teselaciones que se construyen mediante losetas poligonales. Este tipo de mosaicos poligonales planos ha sido muy estudiado y son comúnmente conocidos. Aparecen en motivos ornamentales de suelos y paredes de múltiples culturas (egipcia, griega, china, árabe..). Una teselación regular es aquella donde se utiliza un único tipo de polígono (un solo tipo de baldosa) y en cada vértice el número de baldosas que lo rodean es el mismo. Se obliga a que polígonos adyacentes tengan vértices comunes. Tales polígonos pueden ser regulares. En este caso se habla de teselación regular mediante polígonos regulares; o puede tratarse de polígonos no regulares; por ejemplo los rombos de un retículo plano. Fuente1:[www.mclibre.org/.../mosaicos/Escher_Fishes.jpg ]. Fuente2:[http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/mosa7.htm] 15

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Las teselaciones regulares de polígonos regulares son muy fáciles de clasificar sólo hay tres polígonos regulares capaces de embaldosar: cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos. En una teselación regular se utiliza la notación {m, n} donde m representa el número de lados del polígono y n el número de polígonos que concurren en cada vértice. Kepler demostró que las únicas teselaciones polígonos regulares eran: {3,6}, {4,4} y {6,3}. Asociada a cada teselación regular se tiene otra obtenida uniendo los centros de polígonos contiguos. Esta nueva teselación es también regular y, por tanto, de uno de los tres tipos anteriores (de hecho la que se obtiene permutando los valores de m, n). Figura 1.17: Figura teselaciones regulares de polígonos regulares. El pentágono regular no embaldosa. Sus ángulos interiores son de 72º y 360º y no es múltiplo entero de 72º. Con tres pentágonos en un vértice no recubrimos un entorno de ese punto y no tenemos espacio para meter otro más. Los polígonos regulares de más de 6 lados tampoco embaldosan. Se puede encontrar teselaciones regulares de polígonos convexos no regulares: todos los triángulos, todos los cuadriláteros, ocho casos de pentágonos y solo tres casos de hexágonos. Hay múltiples métodos para construir teselaciones poligonales con formas irregulares. Uno de ellos consiste en modificar polígonos que teselan el plano de forma que los polígonos resultantes permitan el encaje con otra tesela con igual forma. Se conoce por teselación semi-regular a aquella donde recombinan dos o más polígonos regulares bien acoplados y distribuidos, de tal modo que en todos los vértices aparecen los mismos polígonos. Es decir en cada vértice hay que tener el mismo tipo. La colección de polígonos que concurre en un vértice no sólo es la misma sino que tienen que aparecer en el mismo orden cíclico. Por ejemplo, si un vértice es compartido 16

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 por dos hexágonos y dos triángulos, eso sucederá en todos los demás vértices y además, si en uno aparecen intercalados, es decir, hexágono, triángulo, hexágono, triángulo, esa misma relación tiene que darse en los demás vértices. Se forman utilizando triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, octógonos y dodecágonos. Kepler demostró que hay exactamente ocho tipos de teselaciones más que se añaden a las tres regulares citadas anteriormente. 1.2.2.1.2 TESELACIONES NO POLIGONALES La generación de teselaciones regulares del plano pero no poligonales, es un proceso que lleva desde construcciones sumamente simples, a otras mucho más complicadas y laboriosas. Modificando una pieza inicial que tesele el plano, como se observa en la figura siguiente, con salientes y entrantes no poligonales que encajen con la pieza adyacente, se consigue este tipo de teselados. Figura 1.18: Figura teselaciones regulares de polígonos no regulares. El artista holandés M.C.Escher estudió en profundidad las teselaciones: sus trabajos son bien conocidos, y como muestra de teselaciones del plano obtenidas por este autor, se muestran las siguientes imágenes (Figura 1.19). Inspirado en los mosaicos nazaríes, Escher da un paso más utiliza motivos frecuentemente de un animal y logra mediante los movimientos descritos rellenar el plano. 17

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.19: Figura de mosaicos de Escher.[Fuente1] 1.2.2.2 MOSAICOS APERIÓDICOS, MOSAICOS DE PENROSE Los mosaicos aperiódicos se forman por teselas que pavimentan el plano de forma no periódica, y tal que ninguna subcolección permite pavimentar el plano de forma periódica. Es decir ninguna pieza individual de las que componen el juego, ni ninguno de sus subconjuntos, ni el juego completo, engendran pavimentos periódicos, mientras que utilizándolas todas sí es posible un mosaico no periódico. Los expertos estuvieron convencidos durante decenios de que tales conjuntos no podrían existir, pero sus conjeturas resultaron erróneas. En 1966 Robert Berger demostró su axioma de indecibilidad en el que se establecía que No hay algoritmo fijo que permita decidir si un conjunto de teselas dado será capaz de cubrir el plano o no y llegó a presentar primero un conjunto de 20.426 teselas (en 1964) y posteriormente (1966) uno de 108 teselas que producían mosaicos aperiódicos. De modo que el problema pasó a ser el de conseguir el mínimo número de teselas que generan un mosaico aperiódico. En 1971, Raphael Robinson consiguió un mosaico aperiódico a partir de un conjunto de 6 teselas que eran esencialmente cuadrados con ciertos salientes y entrantes en sus lados de manera que el ensamblaje entre ellos se produjera siguiendo unas reglas concretas que determinan la aperiodicidad. Un poco más tarde Roger Penrose, en 1974, construyó mosaicos aperiódicos usando conjuntos de 2 teselas, como el famoso del dardo y la cometa, términos acuñados por J. Conway, o el de los rombos. Fuente 1: [http://www.mcescher.com/biography/e45.jpg] 18

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.2.2.2.1 MOSAICOS DE PENROSE En 1973, Penrose presentó un mosaico formado a partir de cinco teselas pero pronto quedo eclipsado por la aparición de su famoso mosaico aperiódico de dos teselas denominadas el dardo y la cometa Por si solos, el dardo y la cometa no valen como teselas aperiódicas, pues realmente pavimentan el plano. Figura 1.20: Figura de de cometa y dardo de Penrose. La disposición de cometa y dardo que forma los rombos de los que se pueden extraer, conforma una baldosa que tesela el plano de manera periódica, de modo que la aperiodicidad se fuerza por diversos procedimientos que pueden pasar desde practicar entrantes y salientes en los lados, hasta simplemente, para no complicar el proceso de teselación, establecer unas reglas para ensamblar las teselas en la construcción del mosaico. Estas reglas para construir una teselación aperiódica con las teselas de Penrose (un mosaico de Penrose) tienen que ver con las siguientes condiciones: Sólo son teselas adyacentes en el mosaico, obviamente, si lo son por lados con la misma longitud. Se impone además una condición sobre como unir los lados en función de los vértices, que puede reflejarse con colores de manera que sólo se unan por vértices que tengan el mismo color, curvas dibujadas alrededor de los vértices que deben tener continuidad u otras técnicas. 19

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Con estas condiciones las configuraciones admisibles alrededor de un vértice quedan reducidas a unos pocos casos a los que Conway puso nombres también: estrella, sol, rey, as, deuce, reina y arlequín. Bajo una apariencia de regularidad y simetría, en la estructura de los mosaicos de Penrose hay un gran desorden: no son periódicos. Además, hay un número infinito de mosaicos de Penrose diferentes. Pero quizás la propiedad más significativa de las teselaciones de Penrose es la que tiene dada por el denominado Teorema del isomorfismo local y que dice que : cada región finita de cualquier mosaico está siempre contenida en cualquier otro (infinitas veces). De modo que no hay manera de determinar mediante el examen de una porción finita de un mosaico de Penrose, de qué mosaico se trata. Figura 1.21: Figura Mosaicos de Penrose. J. Conway demostró que si se toma una región de diámetro d de un mosaico de Penrose y se elige un punto P en otro mosaico de Penrose, hay una copia de la primera región en el segundo mosaico a una distancia de P no mayor a 2d. Es más, hay infinitas copias de la región tanto en el mosaico original como en el nuevo, de modo que dos mosaicos de Penrose sólo se podrán diferenciar de manera global. 20

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.3.1 Introducción 1.3 Grupos Cristalográficos 1.3.1.1 Teorema de Fedorov A las teselaciones periódicas del plano les corresponden grupos de simetría mediante traslaciones en dos direcciones distintas de un motivo, denominados grupos cristalográficos planos (Ver punto 1.1.2.1 Clasificación de los grupos ornamentales). De esta manera se obtiene la teselación completa del plano. Dependiendo de las diferentes isometrías que constituyen cada grupo de simetría, Fedorov demostró en el año 1891 que sólo existen básicamente 17 posibles grupos cristalográficos planos. Fedorov llega a este resultado estudiando las formas de cristalizar los cristales naturales. Cada uno de ellos recibe una denominación que procede de la cristalografía, y se pueden clasificar según la naturaleza de sus giros. Los 17 grupos de simetría del plano se pueden agrupar en cinco apartados, según el orden máximo de los giros: Grupos de simetría sin giros: 4 grupos de simetrías. Grupos de simetría con giros de 180º: 5 grupos de simetrías. Grupos de simetría con giros de 120 : 3 grupos de simetrías. Grupos de simetría con giros 90 : 3 grupos de simetrías. Grupos de simetría con giros de 60 : 2 grupos de simetrías. Para conocer y poder generar un mosaico, basta con saber cómo es la baldosa mínima que lo genera por repetición y cuáles son los movimientos necesarios para componerlo. Lo primero que se hace es determinar un paralelogramo, llamado primitivo, que pueda generar el mosaico mediante dos vectores de traslación colocados sobre sus lados (no confundir con la baldosa mínima que puede ser aún más pequeña al poder utilizar isometrías distintas de la traslación). Con rectas paralelas a los lados del paralelogramo se organiza una trama. De todos los paralelogramos posibles, se toma aquel que tenga los vértices sobre centros de rotación de orden máximo. Si no hay centros de rotación (orden 1), hacemos coincidir los ejes de simetría con los lados o con las diagonales 1.3.1.2 Mosaicos de la Alhambra En los adornos ornamentales de suelos y paredes de la Alhambra se pueden encontrar ejemplos de cada uno de los grupos cristalográficos planos. Quizás 21

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 no resulta sorprendente que en la Naturaleza aparezcan los 17 grupos, pero desde luego lo es que en la Alhambra de Granada puedan verse materializados en sus adornos. Los creadores de los mosaicos de la Alhambra de Granada no podían conocer el teorema de clasificación de Fedorov, y por lo tanto no conocían cuántos grupos de simetrías podían usarse para rellenar el plano con baldosas (teselación del plano), por eso resulta impactante que conocieran todos y cada uno de los 17 existentes. El arte morisco, desarrollado por los árabes en la península Ibérica, presenta un gran desarrollo del concepto de simetría, debido a su carácter abstracto. De acuerdo a los principios religiosos les estaba estrictamente prohibido a los artistas musulmanes representar seres vivientes en sus creaciones. Esta limitación, en lugar de empobrecer su creatividad, sirvió de aliciente para estimular sus mentes y lanzarse por caminos de gran belleza y originalidad. Su conocimiento de las simetrías alcanzó tal grado de magnitud que fueron los únicos en descubrir y utilizar sabiamente en sus decoraciones los 17 tipos de simetría plana Este motivo hace que la Alhambra de Granada tenga ese especial interés para los matemáticos, ya que los artistas andalusíes-granadinos pusieron de manifiesto con su trabajo una nueva forma de abordar el trabajo científico buscando nuevas ideas desde el ejercicio libre y audaz del método creativo, basado en hacer variaciones sobre una misma figura. La Alhambra es, actualmente, el único monumento construido antes del descubrimiento de la teoría de grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos cristalográficos planos. Figura 1.22: Figura Mosaicos de la Alhambra. [Fuente 1] Fuente 1:[ Un mosaico para dubai: Jornadas Internacionales de Didáctica de las Matemáticas en Ingeniería. Universidad San Pablo CEU.] 22

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 En efecto, en un deseo de manifestar con el lenguaje de la Geometría su creencia en la existencia de la Unidad (Allah) dentro de la multiplicidad, agotaron las estructuras geométricas planas posibles. Esta es la razón primera de la decoración geométrica de la Alhambra. Al existir la prohibición coránica de hacer figuraciones de Allah, se recurre a un lenguaje abstracto de formas geométricas para la decoración tanto en la arquitectura religiosa como en la del poder, clase a la que pertenece la Alhambra. 1.3.2 Nomenclatura de los grupos cristalográficos La notación establecida por la Unión Internacional de Cristalografía (Comité Español), también conocida como notación de Hermann-Mauguin, consta de cuatro símbolos ordenados: Símbolo 1. Una letra p ó c. Símbolo 2. Un número 1,2,3,4 ó 6. Símbolo 3. Una letra o número: m, g ó 1. Símbolo 4. Una letra o número: m, g ó 1. Para saber qué significan cada letra o número hay que construir un paralelogramo fundamental adecuado. 1. Símbolo 1: denota si el paralelogramo fundamental (primitivo) es centrado o no. Es c ( centrado ) cuando el paralelogramo fundamental es un rombo que se puede enmarcar centrándolo en un rectángulo Es p ( primitivo ) en cualquier otro caso. De los 17 grupos, sólo dos son centrados: cm y cmm. En el caso de un paralelogramo centrado llamaremos célula fundamental al rectángulo que lo enmarca y si el paralelogramo es primitivo entonces la célula coincide con el paralelogramo. 2. Símbolo 2. Representa el mayor orden de rotación que podamos encontrar (número máximos de giros) puede ser: 1 (ángulo de 360º) 2 (ángulo de 180º) 3 (ángulo de 120º) 4 (ángulo de 90º) 6 (ángulo de 60º) 23

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Cuando un mosaico tiene un centro de rotación de un orden determinado, también tendrá otros centros de órdenes divisores. 3. Símbolo 3. Corresponde al tipo de simetría y puede tener tres símbolos: m ( mirror = espejo) simetría especular o axial g ( glide = deslizamiento) cuando tiene simetría con deslizamiento. 1 indica que no existe ninguno de los dos tipos de simetría 4. Símbolo 4. La misma clasificación anterior, respecto a la presencia o no de un segundo tipo de ejes de simetría (m, g ó 1). Aplicando esta notación podemos expresar en notación cristalográfica extendida los 17 grupos: p111 p211 p311 p411 p611 c1m1, p1m1, p1g1 c2mm, p2mm, p2mg, p2gg p3m1, p31m p4mm, p4gm p6mm La notación extendida de cuatros letras se suele simplificar siempre que no de lugar a confusiones entre símbolos quedando de la siguiente manera: p1 p2 p3 p4 p6 cm, pm, pg cmm, pmm, pmg, pgg p3m1, p31m p4m, p4g p6m Existe otra notación para los grupos cristalográficos, que utiliza la letra W seguida de un subíndice, a la que se añade un superíndice si el grupo no conserva la orientación. El subíndice indica siempre el orden máximo de los giros que aparecen en cada grupo. La correspondencia con la notación cristalográfica internacional es la siguiente: 24

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 p111= W 1 p211= W 2 p311= W 3 p411= W 4 p611= W 6 c2mm= c1m1= 1 W 1, p1m1= 1 W 2, p2mm= p3m1= p4mm= 2 W 1, p1g1= 2 W 2, p2mg= 1 W 3, p31m= 1 W 4, p4gm= p6mm= 1 W 6 3 W 1 3 W 2, p2gg= 2 W 3 2 W 4 4 W 2 Las notaciones descritas hasta ahora son las más conocidas y utilizadas con frecuencia. Se muestra a continuación una tabla con diferentes notaciones para grupos cristalográficos y sus correspondencias entre ellas: Figura 1.23: Figura tabla notaciones de grupos cristalográficos. 1.3.3 Clasificación de los grupos cristalográficos Antes de describir el algoritmo de clasificación de los grupos cristalográficos planos vamos a ver algunas definiciones, como la vista en el punto 1.1.2.1 Clasificación de los grupos ornamentales, para una mejor comprensión. El grupo de simetría G de una figura plana, se dice que es un grupo cristalográfico plano si las traslaciones que contiene están generadas por dos traslaciones de vectores, donde los vectores v r y w r son linealmente 25

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 independientes y siendo T el grupo formado por todas las traslaciones del plano GI T r r r Tv, Tw = { Tnv + Tmw, n, m Z} = r Los dos vectores v r y wr al ser linealmente independientes determinan un paralelogramo, que llamaremos paralelogramo fundamental. Como se puede observar en la figura siguiente este paralelogramo fundamental no es único. Figura 124: Figura Paralelogramo fundamental.[fuente 1] Para calcular un paralelogramo fundamental podemos buscar dos vectores vr y wr no nulos y linealmente independientes, de norma mínima tales que las r r v w traslaciones T, T pertenecen al grupo cristalográfico. Otra forma más intuitiva de buscar un paralelogramo fundamental es buscar un paralelogramo, digamos ABCD, de tal manera que si aplicamos a dicho paralelogramo las traslaciones generadas por las traslaciones de vectores y obtenemos la figura completa. Además el paralelogramos ABCD tiene sus lados lo más pequeños posible [Fuente 1] Así aplicando a este paralelogramo fundamental diferentes combinaciones de movimientos tenemos los 17 grupos cristalográficos que se pueden clasificar de la siguiente manera: [Fuente 1: [http://www.math.arq.uva.es/gycga/apuntes/apuntes.pdf] 26

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Grupos de simetría sin giros, orden de giro n= 1: 4 grupos de simetrías: p1: Dos traslaciones cm: Una simetría axial y una simetría con deslizamiento perpendicular pg: Dos simetrías con deslizamiento paralelas pm: Dos simetrías axiales y una traslación Grupos de simetría con giros de 180º, orden de giro n= 2: 5 grupos de simetrías: P2: Tres simetrías centrales (o giros de 180º) cmm: Dos simetrías axiales perpendiculares y una simetría central pmm: Cuatro simetrías axiales en los lados de un rectángulo (p.e. 2 horizontales y 2 verticales) pmg: Una simetría axial y dos simetrías centrales pgg: Dos simetrías con deslizamiento perpendiculares Grupos de simetría con giros de 120, orden de giro n= 3: 3 grupos de simetrías. P3: Dos giros de 120º P31m: Una simetría axial y un giro de 120º P3m1: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo equilátero (ángulos 60-60-60) Grupos de simetría con giros 90, orden de giro n= 4 y 2: 3 grupos de simetrías: P4: Una simetría central (o giro de 180º) y un giro de 90º P4m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 45-45-90 P4g: Una simetría axial y un giro de 90º Grupos de simetría con giros de 60, orden de giro n= 6,3 y 2: 2 grupos de simetrías: P6: Una simetría central y un giro de 120º P6m: Tres simetrías axiales en los lados de un triángulo de ángulos 30-60-90 27

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.25: Figura tabla clasificación grupos cristalográficos. [Fuente 1] En el siguiente diagrama se expone un algoritmo para averiguar a cuál de los 17 grupos corresponde un mosaico. Figura1.26: Figura algoritmo clasificación grupos cristalográficos [Fuente 1] Fuente1: [http://www.ugr.es/~anillos/verano2009/090709_cla.pdf] 28

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.3.3.1 Grupo cristalográfico p1 El denominado grupo p1 es el grupo más sencillo. Sólo contiene giros de orden uno, (no hay movimientos de rotación), no contiene simetrías (reflexiones) ni simetrías con deslizamiento (reflexión con deslizamiento). Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento T p1 r r, w No tiene No tiene No tiene v T Este grupo de simetrías contiene las traslaciones generados por dos vectores que definen un paralelogramo fundamental. Figura 1.27: Figura paralelogramo fundamental p1 Los vectores de traslación pueden formar cualquier ángulo entre ellos. P 1 r r = Tv, Tw En la siguiente figura se muestra un ejemplo de generación de grupo p1, apareciendo marcados los paralelogramos fundamentales. 29

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 0128: Figura mosaico grupo p1 1.3.3.2 Grupo cristalográfico pm El grupo cristalográfico pm contiene simetrías. Los ejes de simetría son paralelos a un vector de traslación y perpendiculares al otro vector de traslación. No hay movimientos de rotación, giros de orden uno, ni simetrías con deslizamiento. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento T T S pm r r v, w, No tiene Paralelos No tiene El paralelogramo fundamental es un rectángulo. Los ejes de simetría son necesariamente paralelos a uno de los lados del rectángulo. 30

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.29: Figura paralelogramo fundamental pm Matemáticamente queda definido por la fórmula: pm = t u r 2 ρ ρ t r w, ρ / ρ = I, tr u = t r w, t r =,, w t r u Se muestra a continuación un ejemplo de mosaico de grupo pm, apareciendo marcados los paralelogramos fundamentales: Figura 0.30: Figura mosaico pm 31

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.3.3.3 Grupo cristalográfico pg Este es el último grupo cristalográfico en el que no hay giros de orden mayor que uno. Tampoco contiene ejes de simetría. Este grupo contiene ejes de simetría con deslizamiento. Las direcciones de los deslizamientos son paralelas a un vector de traslación y perpendiculares al otro vector de traslación. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento T T D pg r r v, w, No tiene No tiene Paralelos El paralelogramo fundamental del grupo pg es un rectángulo y los ejes de simetría con deslizamiento son paralelos a uno de los lados del rectángulo. Figura 1.31: Figura paralelogramo fundamental pg Está generado por dos traslaciones y un deslizamiento. Matemáticamente queda definido por la fórmula: pg = t r u, t ρ ρ, t 2 ρ r w, / = tr u tr u = tr, u, ρ r w = t r w En la siguiente figura se muestra una generación del grupo pg apareciendo marcados sus paralelogramos fundamentales: 32

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.32: Figura mosaico pg 1.3.3.4 Grupo cristalográfico cm Este grupo cristalográfico contiene giros de orden uno (no hay movimientos de rotación), pero en él aparecen simetrías y simetría con deslizamiento con ejes paralelos (de ahí la C de su nombre). Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento T T S cm r r v, w, No tiene Paralelos Paralelos El paralelogramo fundamental es un rombo y una de las diagonales es un eje de simetría. Figura 1.33: Figura paralelogramo fundamental cm 33

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Componiendo la traslación Tv r y la simetría respecto de la diagonal del rombo paralelogramo fundamental obtenemos una simetría con deslizamiento. En la figura anterior (figura 1.33) se puede observar todos los ejes de simetría y simetría con deslizamiento sobre el paralelogramo fundamental de este grupo. Los vectores de traslación pueden formar cualquier ángulo. Matemáticamente este grupo queda definido por la fórmula: cm = t r u, t ρ ρ, t 2 ρ r w, / = I, tr u = tr u, ρ r w = t r w En la siguiente figura se muestra un ejemplo de generación de grupo cm, apareciendo marcados los paralelogramos fundamentales: Figura 1.34: Figura mosaico cm 1.3.3.5 Grupo cristalográfico p2 El denominado grupo p2 es primer grupo que encontramos que contiene giros de orden dos (movimientos de rotación de 180º). No contiene simetrías (reflexiones) ni simetrías con deslizamiento (reflexión con deslizamiento). 34

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento pm r r v w, 2 No tiene No tiene T, T G180 El paralelogramo fundamental de este grupo puede ser en principio lo más general posible y los centros de giro están colocados como en la figura siguiente: Figura 1.35: Figura paralelogramo del grupo p2 Está generado por dos traslaciones y el giro de orden 2. Los ejes de traslación puede formar cualquier ángulo entre ellos. La siguiente formula lo representa matemáticamente: p 2 σ σ 2 = tr u t r w = I tr u = t r u t r,, σ / σ,,, w = En la siguiente figura se muestra una generación del grupo p2 apareciendo marcados sus paralelogramos fundamentales: t r w 35

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.36: Figura mosaico del grupo p2 1.3.3.6 Grupo cristalográfico pgg El grupo pgg queda determinado por contener giros de orden dos y no de orden mayor. No hay ejes de simetría, pero sí aparecen ejes de simetría con deslizamiento. Los centros de giro no están sobre dichos ejes. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento pgg r r v w, 2 No tiene Perpendiculares T, T D,G 1 180 En este caso el paralelogramo fundamental ha de ser un rectángulo, como el de la figura siguiente donde se reprensenta junto con los ejes de simetría con deslizamiento. 36

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 37 Figura 1.37: Figura del paralelogramo fundamental del grupo pgg El grupo pgg se genera por dos traslaciones, un deslizamiento y un giro de orden 2 (no perteneciente a este eje). Matemáticamente se puede representar de la siguiente manera: w w u u u w w u w u w u t t t t t t t t t I t t t pgg r r r r r r r r r r r r o = = = = = = = = ρ ρ σ σ σ ρ σ ρ σ ρ,,, ),(, /,,,,, 2 2 2, En la siguiente figura se muestra una generación del grupo pgg apareciendo marcados sus paralelogramos fundamentales y los centros de rotación: Figura 1.38: Figura del mosaico pgg

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.3.3.7 Grupo cristalográfico pmg Este grupo cristalográfico contiene giros de orden dos y no hay giros de orden mayor. Hay ejes de simetría, pero son todos paralelos entre sí y ejes de simetría con deslizamiento, también paralelos entre sí y perpendiculares a los anteriores. Los centros de giro no están en los ejes de simetría, pero sí sobre ejes de deslizamiento, perpendiculares a los de simetría. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento pmg r r v w, 2 Paralelos Paralelos T, T S,G 180 En este caso el paralelogramo fundamental ha de ser un rectángulo. En la figura siguiente se representa dicho rectángulo con los ejes de simetría y los ejes de simetría con deslizamiento, que vemos que son perpendiculares entre sí. Figura 1.39: Figura del paralelogramo fundamental mosaico pmg Se observa que todos los centros de orden dos están fuera de los ejes de simetría. Está generado por dos traslaciones, una simetría y un giro de orden 2 (no perteneciente a este eje), aunque además, como se ha dicho tiene ejes de deslizamiento. 38

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Matemáticamente se representa por la siguiente fórmula: pmg 2 2 2 σ σ ρ = tu t r w,, σ / ρ = I, σ = I,( ρ σ ) = I, tr u = t r w, t r w = t r u tr u = t r,,, w, r ρ o, t = t ρ r w r u Una figura con este grupo de simetría es la siguiente: Figura 1.40: Figura del mosaico pmg 1.3.3.8 Grupo cristalográfico pmm Este grupo cristalográfico cuenta con giros de orden dos y no de orden mayor. Contiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí. Todos los centros de orden dos pertenecen a algún eje de simetría. Estos centros de los giros de 180º están en las intersecciones de los ejes de simetría. No se encuentran en este grupo ejes de simetría con deslizamiento Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento Pmm r r v w, 2 Perpendiculares No tiene T, T S,G 180 39

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 El paralelogramo fundamental en este caso es un rectángulo. En la figura siguiente está representado dicho rectángulo junto con los centros de orden dos y los ejes de simetría Figura 1.41: Figura del paralelogramo fundamental pmm Se puede generar por dos traslaciones, una simetría y un giro de orden 2 (perteneciente a este eje): pmm = t 2 2 2 σ σ ρ ρ r u t r w = I = I o = t r w tr u = t r w t r w = t r u tr u tr u t r w t r,, ρ, σ / ρ, σ,( ρ σ ),,,, =,, = w En la figura siguiente se muestra una representación de un mosaico generado a partir de este grupo cristalográfico: Figura 1.42: Figura del mosaico pmm 40

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.3.3.9 Grupo cristalográfico cmm Este grupo contiene ejes de simetría que son perpendiculares entre sí y también giros de orden dos. Los centros de giro que lo generan no están sobre los ejes de simetría, sino sobre ejes de deslizamiento, que también existen (paralelos a los de simetría de ahí la "c" de su nombre). Hay también centros de giro (de orden 2) sobre los ejes de simetría. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento Cmm r r v w, 2 Perpendiculares Perpendiculares T, T S,G 180 El paralelogramo fundamental en este caso es un rombo. En la siguiente figura está representado dicho rombo junto con los centros de orden dos y los ejes de simetría, que son las dos diagonales del rombo. Aparecen también marcados los ejes de simetría con deslizamiento. Se observan que por los centros de orden dos que están en los vértices del rombo y el que está en el centro del rombo pasan ejes de simetría. Pero por los centros de orden dos que están en los puntos medios de los lados del rombo no pasan ningún eje de simetría. Por éstos últimos centros sí pasan ejes de simetría con deslizamiento. Figura 1.43: Figura del paralelogramo fundamental cmm 41

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Está generado por dos traslaciones, una simetría y un giro de orden 2 (no perteneciente a este eje), aunque además, como se ha dicho, tiene deslizamientos. Su formula matemática es la siguiente: cmm = t ρ σ ρ σ ρ σ, 2 2 2 σ σ ρ ρ r u t r w = I = I o = I tr u = t r w t r w = t r u tr u tr u t r w t r,,, /,,( ),,,, =, = w Una figura de un mosaico generado con este grupo de simetría es la siguiente: Figura 144: Figura del mosaico cmm 1.3.3.10 Grupo cristalográfico p3 Este es el grupo cristalográfico más simple con orden máximo de giro de orden tres. Esto implica movimientos de rotación de 120º, no aparecen ejes de simetrías ni ejes de simetrías con deslizamiento. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento P3 r r v w 3 No tiene No tiene T, T,G 120 42

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 El paralelogramo fundamental es un rombo formado por dos triángulos equiláteros y los centros de giro están situados como se muestra en la figura siguiente: Figura 1.45: Figura del paralelogramo fundamental p3 Está generado por dos traslaciones y un giro de orden 2: p 3 σ σ 3 = tr u t r w = I tr u = t r r w u t r,, σ / σ,,, w = t r u Se muestra a continuación una imagen del mosaico de este grupo: Figura 1.46: Figura del mosaico p3 43

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.3.3.11 Grupo cristalográfico p3m1 Este grupo de simetría está determinado por las siguientes condiciones: El orden máximo de los giros es 3 (giros de 120º). Contiene simetrías, de tal forma que todos los centros de orden 3 están en algún eje de simetría (en la intersección de los 3 ejes de simetría). También existen 3 ejes de deslizamiento, paralelos a los de simetría e intercalados por el punto medio a ellos. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento P3m1 r r v w, 3 Forman 60º Forman 60º T, T S,G 120 La siguiente figura representa un paralelogramo fundamental con los centros y los ejes de simetría que aparecen. También están marcados los ejes de simetría con deslizamiento. Figura 1.47: Figura del paralelogramo fundamental p3m1 Se puede observar que por cada centro de orden tres pasan al menos un eje de simetría. De hecho por cada centro de orden tres pasan tres ejes de simetría. Se observa también que la diagonal mayor del rombo es un eje de simetría. 44

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Está generado por dos traslaciones, una simetría y un giro de orden 3. Su formula matemática es la siguiente: p σ ρ ρ σ ρ σ, 2 3 2 σ σ ρ ρ 3 m1 = tr u t r w = I = I o = I tr u = t r r w u t r w t r u tr u tr u t r w tr r,,, /,,( ),,, =, =, = u w La figura siguiente tiene como grupo de simetría a p3m1: Figura 1.48: Figura del mosaico p3m1 1.3.3.12 Grupo cristalográfico p31m Este grupo de simetría está determinado por las siguientes condiciones: El orden máximo de los giros es 3 (giros de 120º). Contiene ejes de simetría (cuyos ejes forman entre sí un ángulo de 60º) Algunos de los centros de giro están sobre ejes de simetría, y otros no. Contiene ejes de simetría con deslizamiento. Los ejes de deslizamiento pasan por los puntos medios entre dos ejes de simetría paralelos y tampoco pasan por los centros de giro. Estos 45

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 ejes de deslizamiento van en tres direcciones como lo hacen los ejes de simetría. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento P31m r r v w, 3 Forman 60º Forman 60º T, T S,G 120 El paralelogramo fundamental de este grupo se representa junto con los centros y los ejes de simetría que aparecen en la siguiente figura. Figura 1.49: Figura del paralelogramo fundamental p31m También están marcados algunos ejes de simetría con deslizamiento. Los ejes de simetría son los lados del paralelogramo fundamental. Está generado por dos traslaciones y un giro de orden 3: p 2 3 2 σ σ ρ 31 m = tu t r w,, ρ / ρ = I, σ = I,( ρ σ ) = I, tr u = t r r w u t r w = t r u tr u = t r,,,, w, r σ o, t = t ρ r w r u En la siguiente figura se representa un mosaico con este grupo cristalográfico: 46

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.50: Figura del paralelogramo fundamental p31m 1.3.3.13 Grupo cristalográfico p4 Es el grupo cristalográfico con giros de orden cuatro (giros de 90º) más sencillo ya que no contiene ni simetrías ni simetrías con deslizamiento. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento P4 r r v w, 4 No tiene No tiene T, T G90 Su paralelogramo fundamental es un cuadrado y los centros de giro están situados como se observa en la siguiente figura: 47

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.51: Figura del paralelogramo fundamental p4 Está generado por dos traslaciones y un giro de orden 4. Su fórmula matemática es la siguiente: p 4 σ 4 = tr u t r w, / σ = I, tr u = t r, w, σ, t Una figura con este grupo de simetría es la siguiente: σ r w = t r u Figura 152: Figura del mosaico del p4 48

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.3.3.14 Grupo cristalográfico p4m Este grupo de simetría está determinado por las siguientes características: Este grupo contiene giros de orden cuatro (giros de 90º). Tiene simetrías de tal forma que los ejes de simetría forma un ángulo de 45º entre sí. Así cuatro ejes de simetría pasan por los centros de giro de orden cuatro. Todos los centros de giro están sobre ejes de simetría. No contiene ejes de simetría con deslizamiento. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento P4m r r v w, 4 Forman 45º No tiene T, T S,G 90 El paralelogramo fundamental de este grupo es un cuadrado como se muestra en la figura siguiente junto con los centros y los ejes de simetría que aparecen. También están marcados algunos ejes de simetría con deslizamiento. Figura 1.53: Figura del paralelogramo fundamental p4m Matemáticamente se puede representar de la siguiente manera: 49

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 p ρ σ ρ σ ρ σ 2 4 2 σ σ ρ ρ 4 m = tr u t r w = I = I o = I tr u = t r w t r w = t r u tr u tr u t r w t r,,, /,,( ),,,, =,, = w A continuación se muestra el mosaico generado a partir de este grupo cristalográfico: Figura 1.54: Figura del mosaico p4m 1.3.3.15 Grupo cristalográfico p4g Este grupo de simetría está determinado por las siguientes características: Este grupo contiene giros de orden cuatro (giros de 90º) y de orden dos (giros de 180º). Contiene ejes de simetría y ejes de simetría con deslizamiento. Los ejes de simetría son perpendiculares entre sí, así como los de deslizamiento. Los centros de giro de orden 4 están en la intersección de los ejes de deslizamiento y los centros de giro de orden 2 están en la intersección de los ejes de simetría. 50

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento P4g r r v w, 4,2 Perpendiculares Perpendiculares T, T S,G 90 En la figura siguiente se representa un paralelogramo fundamental con los centros y los ejes de simetría, junto con algunos ejes de simetría con deslizamiento. Se observa que por ningún centro de orden cuatro pasan nunca un eje de simetría, lo que no ocurre con los centros de orden dos. Figura 1.55: Figura del paralelogramo fundamental p4g Está generado por dos traslaciones, una simetría y un giro de orden 4: p4g = <T1,T2, S1, G90º>. Su formula matemática es la siguiente: p 2 4 2 σ σ ρ ρ 4 g = tr u t r w = tr u = I o = I tr u = t r w t r w = t r u tr u tr u t r w t r,, ρ, σ / ρ, σ,( ρ σ ),,,, =,, = w En la siguiente figura se muestra un mosaico generado por este grupo: 51

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura1.56: Figura del mosaico p4g 1.3.3.16 Grupo cristalográfico p6 Este grupo es el más sencillo con giros de orden seis. Contiene giros de 60º, también posee giros de 120º (orden 3) y de 180º (orden 2), pero no contiene simetrías ni simetrías con deslizamientos. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento P6 r r v w, No tiene No tiene No tiene T, T G60 El paralelogramo fundamental es un rombo formado por dos triángulos equiláteros y los centros de giro están situados como en la figura siguiente: 52

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 Figura 1.57: Figura del paralelogramo fundamental p6 Está generado por dos traslaciones y un giro de orden 6. Matemáticamente se puede representar por: p 6 σ 6 = tr u t r w, / σ = I, tr u = t r, w, σ, t σ r w = t r r w u Una figura con este grupo de simetría es la siguiente: Figura 1.58: Figura del mosaico p6 53

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 1.3.3.17 Grupo cristalográfico p6m Este grupo de simetría está determinado por las siguientes características: En este grupo aparecen giros de 60º (orden 6), de 120º (orden 3) y de 180º (orden 2) Contiene simetrías. Los ejes de simetría pasan por todos los centros de giro. En todos los centros de giro de orden 6 se cortan seis ejes de simetría. También hay deslizamientos en este grupo. Estos ejes de deslizamiento pasan por los puntos medios entre dos ejes de simetría paralelos, es decir, pasan por los centros de las medias vueltas (centros de giro de 180º). Tales ejes son paralelos a seis direcciones como los ejes de simetría. Grupo Generadores de grupo Ordenes de giro Ejes de simetría Ejes de deslizamiento P6m r r v w, 6,3,2 Forma 30º Forman 30º T, T S,G 60 En la siguiente figura se representa el paralelogramo fundamental con los centros y los ejes de simetría que aparecen. También están marcados algunos ejes de simetría con deslizamiento. Figura 1.59: Figura del paralelogramo fundamental p6m. Está generado por dos traslaciones, una simetría y un giro de orden 6: 54

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 55 w u w u u u w w w u w u t t t t t t t t I I I t t m p r r r r r r r r r r r r o = = = = = = = = ρ ρ σ σ σ ρ σ ρ σ ρ,,,, ),(, /,, 6, 2 6 2, Una figura con este grupo de simetría es la siguiente. Figura 1.60: Figura del mosaico p6m.

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 1 56

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 CAPÍTULO 2 DESARROLLO PRÁCTICO 2.1 Introducción La aplicación presentada en este proyecto ofrece la posibilidad de generar cada uno de los 17 tipos de mosaicos basándose en la teoría matemática de los grupos cristalográficos explicada anteriormente. La aplicación permite al usuario, a partir de una imagen cargada, elegir sobre qué grupo quiere basar su teselación y proceder a su generación mostrando directamente el resultado final o pudiendo realizar el proceso de generación paso a paso, mostrando en la pantalla de dibujo cada uno de los pasos. A continuación se explica el algoritmo de generación de cada uno de los grupos. 2.2 Desarrollo 2.2.1 ALGORITMO DE GENERACIÓN GENERAL Se han realizado 17 algoritmos para la generación de grupos cristalográficos planos, uno por cada grupo de simetría correspondiente. Sin embargo todos los grupos siguen un patrón general de generación. Todos los algoritmos comienzan con la lectura o carga de una imagen en cualquier formato:.jpg,.bpm, etc. A partir de esta imagen el sistema crea la baldosa inicial mediante recortes en la imagen. A esta baldosa inicial que siempre se corresponde con un polígono regular se le aplicarán las transformaciones geométricas necesarias para generar lo que se denominará a partir de ahora Célula Fundamental. Con esta célula fundamental y mediante movimientos de traslación se completará el espacio de dibujado generando el mosaico correspondiente. 57

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Así, cada grupo cristalográfico esta asociado a un polígono regular cuya creación es el punto de salida en la generación de la teselación. En la siguiente tabla se define el polígono o baldosa origen de la que se parte en cada grupo: Grupo p1: Rectángulo Grupo cm: Rectángulo Grupo pm: Rectángulo Grupo pg: Rectángulo Grupo p2: Rectángulo Grupo pgg: Rectángulo Grupo pmg: Rectángulo Grupo pmm: Rectángulo Grupo cmm: Triángulo rectángulo Grupo p3: Rombo de ángulos 60º y 120º Grupo p3m1: Triángulo equilátero Grupo p31m: Triángulo de ángulos 30º,30º y 120º Grupo p4: Cuadrado Grupo p4m: Triángulo rectángulo de ángulos 90º, 45º y 45º Grupo p4g: Triángulo rectángulo de ángulos 90º, 45º y 45º Grupo p6: Triángulo equilátero. Grupo p6m: Triángulo rectángulo de ángulos 90º, 30º y 60º En la generación de todos los grupos se diferencian claramente dos fases: La construcción de la célula fundamental aplicando las transformaciones geométricas necesarias (giros, simetrías, desplazamientos) en cada uno de los 17 grupos. Por tanto ésta fase será diferente para cada uno de los grupo. 58

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Generación de mosaico mediante traslaciones de la célula fundamental según los vectores de traslación correspondientes en cada grupo. El algoritmo general se puede resumir en los siguientes pasos: 1. Leer imagen original. 2. Si la imagen es demasiado grande se reduce. 3. Cortar baldosa inicial. 4. Generar célula fundamental 5. Generar mosaico. Figura 2.1: Figura del algoritmo general de generación de mosaicos. 59

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Se toma la esquina superior izquierda como el punto origen de la zona de dibujo. Si equiparamos el área de dibujo a una matriz de celdas, la celda superior izquierda ocupará la fila cero y columna cero. Los mosaicos se pintarán de izquierda a derecha y de arriba abajo hasta completar todo el área de dibujo. 2.2.1.1 Algoritmo de generación del grupo p1 La baldosa inicial del grupo es un rectángulo. Como se vio en el punto anterior este grupo no contiene ni giros, ni simetrías, ni simetrías con deslizamiento, lo que supone que no hay que realizar ninguna operación sobre la imagen original, por lo que su baldosa inicial coincide con su célula fundamental: Figura 2.2: Baldosa inicial del grupo p1. Para generar el mosaico basta con trasladar la baldosa inicial siguiendo los vectores de traslación que pueden formar cualquier ángulo. Figura 2.3: Vectores de traslación del grupo p1 Algoritmo de traslación del grupo p1 Para generar el mosaico basta con trasladar la baldosa inicial siguiendo los vectores AB y AF, siendo F un punto cualquiera de la recta DC que será seleccionado por el usuario, al especificar a través de pantalla el ángulo que forman los vectores. Para simular el desplazamiento según los vectores de traslación definidos y no dejar espacios en blanco en el área de dibujado, se calcula a partir de la segunda fila que porción de célula no debe aparecer (por quedar fuera al área 60

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 de dibujado). Cómo se puede observar en las figuras siguientes este cálculo se realiza en base al ángulo formado por los vectores de traslación. Figura 2.4: Algoritmo de traslación grupo p1 El cálculo se realiza de la siguiente manera: Figura 2.5: Calculo desplazamiento por traslación grupo p1 x = sen( 90 σ ) * H Siendo X la porción de célula que no debe aparecer y H la altura de la célula. Algoritmo de pintado del mosaico del grupo p1 El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La célula fundamental inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. 2. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma, es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno. 61

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 3. Se repite el paso anterior hasta que se completa la primera fila: para saber si se ha completado una fila se compara el ancho del área de dibujado con el ancho de la célula fundamental multiplicada por el número de repeticiones de la misma. En el momento que esta última cifra es igual o superior a la anterior se incrementa una fila. 4. Al inicio de cada siguiente fila se realiza el cálculo del desplazamiento horizontal explicado anteriormente, pero se tendrá en cuenta que X se debe multiplicar por el número de fila que se este pintando. Así como el desplazamiento vertical correspondiente al número de fila que será la altura de la célula fundamental multiplicada por el número de fila de pintado. 5. Se repiten los pasos 2 a 5 hasta que el alto del área de dibujado es menor o igual a la altura de la célula fundamental por el número de filas pintadas. 2.2.1.2 Algoritmo de generación del grupo pm La baldosa inicial del grupo es un rectángulo. Este grupo contiene ejes de simetría paralelos y como se observa en la figura siguiente sus vectores de traslación son perpendiculares entre sí: Figura 2.6: Baldosa inicial del grupo pm. Para calcular su célula fundamental se realiza un movimiento de reflexión sobre la imagen original tomando como eje el lado derecho del rectángulo que forma la baldosa. Simetría con respecto al eje BC: 62

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.7: Célula Fundamental del grupo pm. Algoritmo de traslación del grupo pm Para generar el mosaico se traslada la Célula Fundamental generada siguiendo los vectores de traslación 2 AB y AD, que en este caso son perpendiculares entre si lo que hace que el algoritmo de traslación sea más sencillo puesto que coinciden con los ejes del área de pintado. Basta con pintar la segunda célula fundamental a continuación de la primera, es decir, traslada 2 veces el ancho de la baldosa inicial. A partir de la segunda fila se calcula que porción de célula, x, no debe aparecer (por quedar fuera al área de dibujado). Cómo se puede observar en la figura siguiente, al ser los vectores de traslación perpendiculares, esta porción coincide con el ancho de la célula fundamental, con lo que no hay que realizar ningún calculo. Basta con tener en cuenta la traslación vertical del vector AD que coincide con la altura de la baldosa inicial. Figura 2.8: Algoritmo de traslación del grupo pm. Algoritmo de pintado del grupo pm El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. 2. Se realiza una reflexión tomando como eje el lado derecho del rectángulo que forma la baldosa inicial construyendo la célula fundamental. 63

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 3. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma (es el doble del ancho de la baldosa inicial), es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno. 4. Se repite el paso anterior hasta que se completa la primera fila: para saber si se ha completado una fila se compara el ancho del área de dibujado con el ancho de la célula fundamental multiplicada por el número de repeticiones de la misma. En el momento que esta última cifra es igual o superior a la anterior se incrementa una fila. 5. Al inicio de cada siguiente fila se tiene en cuenta el desplazamiento vertical a aplicar al número de fila, que será la altura de la célula fundamental (coincide con la altura de la baldosa inicial), multiplicada por el número de fila de pintado. 6. Se repiten los pasos 3 a 5 hasta que el alto del área de dibujado es menor o igual a la altura de la célula fundamental por el número de filas pintadas. 2.2.1.3 Algoritmo de generación del grupo pg La baldosa inicial del grupo es un rectángulo. Este grupo contiene ejes de simetría con deslizamiento. Las direcciones de los deslizamientos son paralelas a un vector de traslación y perpendiculares al otro vector de traslación. Figura 2.9: Baldosa inicial del grupo pg. Para calcular su célula fundamental se realiza una simetría con deslizamiento sobre la imagen original tomando como eje el formado por los puntos YZ que son respectivamente los puntos medios de los segmentos AB y CD. 64

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 En la figura siguiente se muestra el resultado de esta operación: Figura 2.10: Célula fundamental del grupo pg. Algoritmo de traslación del grupo pg Para generar el mosaico se traslada la Célula Fundamental generada siguiendo los vectores de traslación AB y 2 AD. Al ser perpendiculares entre si el algoritmo es análogo que el del grupo Pm, explicado en el grupo anterior. Figura 2.10: Algoritmo de traslación grupo pg. 65

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Algoritmo de pintado del grupo pg El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. 2. Se realiza una simetría con desplazamiento tomando como eje el formado por los puntos Y y Z, puntos medios de los segmentos horizontales del rectángulo que forma la baldosa inicial generando así la célula fundamental. 3. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma, es decir se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno. 4. Se repite el paso anterior hasta que se completa la primera fila: para saber si se ha completado una fila se compara el ancho del área de dibujado con el ancho de la célula fundamental multiplicada por el número de repeticiones de la misma. En el momento que esta última cifra es igual o superior a la anterior se incrementa una fila. 5. Al inicio de cada siguiente fila se tiene en cuenta el desplazamiento vertical a aplicar al número de fila, que será la altura de la célula fundamental (que es el doble de la altura de la baldosa inicial), multiplicada por el número de fila de pintado. 6. Se repiten los pasos 3 a 5 hasta que el alto del área de dibujado es menor o igual a la altura de la célula fundamental por el número de filas pintadas. 2.2.1.4 Algoritmo de generación del grupo cm La baldosa inicial del grupo es un rectángulo. En este grupo aparecen simetrías y simetría con deslizamiento con ejes paralelos. Los vectores de traslación pueden formar cualquier ángulo. Figura 2.11: Baldosa inicial del grupo cm 66

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 La célula fundamental se genera realizando una simetría respecto el eje formado por el segmento BC, lado izquierdo del rectángulo de la baldosa inicial. Figura 2.12: Célula Fundamental del grupo cm Aparece también en este grupo simetrías con deslizamiento con respecto los ejes formados por los segmentos YZ y UV, siendo Y y Z los puntos medios respectivos de AB y CD, y U, V los puntos medios de BE y CF. Algoritmo de traslación del grupo cm Para generar el mosaico basta con aplicar traslaciones de la baldosa inicial siguiendo los vectores 2 AB y AC. El algoritmo de traslación es el mismo que el explicado para el grupo p1, salvo que en este caso el punto F de la recta DC que determina el ángulo formado por los vectores de traslación es un punto fijo y coincide con el punto C (esquina superior derecha del rectángulo formado por la baldosa inicial). No se selecciona por el usuario como en el caso del grupo p1. Figura 2.13: Cálculo traslación del grupo cm Por lo que la porción de célula fundamental que no debe aparecer (por quedar fuera al área de dibujado) coincide con el ancho de la baldosa inicial. 67

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.14: Algoritmo traslación del grupo cm Algoritmo de pintado del grupo cm El algoritmo de pintado del mosaico es análogo a lo descrito en los algoritmos de pintado explicados hasta ahora. 2.2.1.5 Algoritmo de generación del grupo p2 La baldosa inicial del grupo es un rectángulo. Este grupo no contiene ni simetrías, ni simetrías con deslizamiento, pero si giros de orden 2, por lo que a la baldosa inicial se aplicará un movimiento de rotación de 180º sobre uno de sus centros de rotación. Figura 2.15: Baldosa Inicial del grupo p2 Aplicando a la baldosa inicial un giro de 180º sobre el centro de giro O, punto medio del segmento AB, se obtiene la célula fundamental, como se observa en la figura siguiente. 68

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.16: Célula Fundamental del grupo p2 Algoritmo de traslación del grupo p2 Los vectores de traslación pueden formar cualquier ángulo y al igual que en el grupo P1 éste será determinado por el usuario. Al especificar el ángulo quedan definidos los vectores de traslación AB y AF que se deberán seguir para la generación de este mosaico. El algoritmo a seguir es exactamente el mismo a lo definido en el algoritmo de traslación del grupo p1. Figura 2.17: Algoritmo de Traslación del grupo p2 69

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Algoritmo de pintado del mosaico del grupo p2 El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. 2. Se realiza un giro de 180º tomando como centro de giro el punto medio de la base del rectángulo que forma la baldosa inicial, construyendo así la célula fundamental. 3. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma, es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno. 4. Se repite el paso anterior hasta que se completa la primera fila: para saber si se ha completado una fila se compara el ancho del área de dibujado con el ancho de la célula fundamental multiplicada por el número de repeticiones de la misma. En el momento que esta última cifra es igual o superior a la anterior se incrementa una fila. 5. Al inicio de cada siguiente fila se realiza el cálculo del desplazamiento horizontal según lo descrito en el algoritmo de traslación, pero se tendrá en cuenta que X se debe multiplicar por el número de fila que se este pintando. Así como el desplazamiento vertical correspondiente al número de fila que será el doble de la altura de la célula fundamental multiplicada por el número de fila de pintado. 6. Se repiten los pasos 2 a 5 hasta que el alto del área de dibujado es menor o igual a la altura de la célula fundamental por el número de filas pintadas. 2.2.1.6 Algoritmo de generación del grupo pgg En este grupo la baldosa inicial sigue siendo un rectángulo pero en este caso contiene giros de orden do. No hay ejes de simetría, pero sí aparecen ejes de simetría con deslizamiento. Los vectores de traslación son perpendiculares entre sí. 70

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.18: Baldosa Inicial pgg La construcción de la célula fundamental se realiza en dos pasos: primero se aplica una simetría con desplazamiento sobre el eje que forma el segmento YZ donde Y y Z son los puntos medios de los segmentos AB y DC (lados horizontales de la baldosa inicial), como se observa en la siguiente figura: Figura 2.19: Generación célula fundamental paso 1 grupo pgg A continuación al resultado de la operación anterior se le aplica un giro de 180º tomando como centro el punto C. El resultado forma la célula fundamental de este grupo: 71

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.20: Célula Fundamental grupo pgg Algoritmo de traslación del grupo pgg Para generar el mosaico se traslada la Célula Fundamental generada siguiendo los vectores de traslación 2 AB y 2 AD, que en este caso son perpendiculares entre si y coinciden con los ejes del área de pintado. Basta con pintar la segunda célula fundamental a continuación de la primera, es decir, traslada 2 veces el ancho de la baldosa inicial. A partir de la segunda fila se calcula que porción de célula (x) no debe aparecer (por quedar fuera al área de dibujado). Cómo se puede observar en la figura siguiente al ser los vectores de traslación perpendiculares, esta porción coincide con el ancho de la célula fundamental, con lo que no hay que realizar ningún calculo. Basta con tener en cuenta la traslación vertical del vector 2 AD que coincide con la altura de la Célula fundamental. Figura 2.21: Algoritmo de Traslación del grupo pgg Algoritmo de pintado del grupo pgg El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 72

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. 2. Se realiza una simetría con desplazamiento tomando como eje el formado por los puntos Y y Z, puntos medios de los segmentos horizontales del rectángulo que forma la baldosa inicial, generando así la célula fundamental. 3. Sobre el resultado se aplica un giro de 180º tomando como centro el punto C, esquina superior derecha de la baldosa inicial, obteniendo la célula fundamental. 4. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma (2 veces el ancho de la baldosa inicial), es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno. 5. Se repite el paso anterior hasta que se completa la primera fila: para saber si se ha completado una fila se compara el ancho del área de dibujado con el ancho de la célula fundamental multiplicada por el número de repeticiones de la misma. En el momento que esta última cifra es igual o superior a la anterior se incrementa una fila. 6. Al inicio de cada siguiente fila se tiene en cuenta el desplazamiento vertical a aplicar al número de fila, que será la altura de la célula fundamental (que es el doble de la altura de la baldosa inicial), multiplicada por el número de fila de pintado. 7. Se repiten los pasos de 4 a 6 hasta que el alto del área de dibujado es menor o igual a la altura de la célula fundamental por el número de filas pintadas. 2.2.1.7 Algoritmo de generación del grupo pmg La baldosa inicial de este grupo sigue siendo un rectángulo. En este grupo aparecen giros de orden dos. Hay ejes de simetría, pero son todos paralelos entre sí, y ejes de simetría con deslizamiento también paralelos entre sí y perpendiculares a los anteriores. Los vectores de traslación son perpendiculares entre si. 73

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.22: Baldosa Inicial del grupo pmg Como en el caso anterior la construcción de la célula fundamental se realiza en dos pasos. En el paso uno se aplica a la baldosa inicial un giro de 180º tomando como centro de giro el punto O, punto medio del segmento AB (base del rectángulo que forma la baldosa inicial). En la figura siguiente se observa el resultado de este movimiento. Figura 2.23: Generación célula fundamental paso 1 grupo pmg Para concluir la generación de la célula fundamental se realiza sobre el resultado obtenido en el paso anterior una simetría respecto al eje determinado por el segmento BC, obteniendo el siguiente resultado. 74

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.24: Célula Fundamental grupo pmg Se puede observar que este grupo también posee simetrías con deslizamiento respecto AB, DC y KH. Algoritmo de traslación del grupo pmg El algoritmo de traslación necesario para generar el mosaico del grupo pmg es el mismo que el descrito en el grupo anterior pgg. Figura 2.25: Algoritmo traslación grupo pmg Algoritmo de pintado del grupo pmg El algoritmo de pintado de este grupo es análogo a lo descrito para el grupo anterior pgg salvo en la construcción de la célula fundamental, que se deberá tener en cuenta lo explicado en este grupo. 75

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 2.2.1.8 Algoritmo de generación del grupo pmm Este grupo contiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí. Todos los centros de orden dos pertenecen a algún eje de simetría. Estos centros de los giros de 180º están en las intersecciones de los ejes de simetría. Cómo en el grupo anterior su baldosa inicial es un rectángulo y, cómo se observa en la figura siguiente, sus vectores de traslación son perpendiculares entre si: Figura 2.26: Baldosa Inicial grupo Pmm Para generar la célula fundamental se realiza una simetría sobre el eje formado por el segmento BC y a continuación un giro de 180º sobre el resultado de la simetría. Figura 2.27: Generación célula fundamental paso 1 grupo pmm Figura 2.28: Célula Fundamental grupo pmm 76

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Algoritmo de traslación del grupo pmm El algoritmo de traslación necesario para generar el mosaico del grupo pmm es el mismo que el descrito en el grupo anterior pgg. Figura 2.29: Algoritmo traslación grupo pmm Algoritmo de pintado del grupo pmm El algoritmo de pintado de este grupo es análogo a lo descrito para el grupo anterior pgg salvo en la construcción de la célula fundamental, que se deberá tener en cuenta lo explicado en este grupo. 2.2.1.9 Algoritmo de generación del grupo cmm Este grupo contiene ejes de simetría que son perpendiculares entre sí y también giros de orden dos, es decir, giros de 180º. Los centros de giro que lo generan no están sobre los ejes de simetría, sino sobre ejes de deslizamiento, que también existen. Hay también centros de giro (de orden 2) sobre los ejes de simetría. La baldosa inicial de la que se parte es un triángulo rectángulo. Figura 2.30: Baldosa Inicial grupo cmm 77

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Para cortar la baldosa inicial con forma de triángulo rectángulo a partir de la imagen original rectangular se toma la diagonal del rectángulo como la hipotenusa del triángulo como se observa en la figura siguiente: Figura 2.31: Corte Baldosa Inicial grupo cmm Tenemos entonces que los puntos de corte del triángulo serán: A = (0, h) B = (w, h) C = (w, 0) El primer paso de la construcción de la célula fundamental es aplicar un giro de 180º a la baldosa inicial tomando como centro m el punto medio de la hipotenusa del triángulo (segmento AC). Figura 2.32: Célula Fundamental, paso 1 grupo cmm A continuación se realiza una simetría tomando como eje el lado del triángulo BC obteniendo así la célula rectangular como se puede ver en la figura siguiente: 78

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.33: Célula Fundamental grupo Cmm Algoritmo de traslación del grupo cmm Para generar el mosaico basta con aplicar traslaciones de la baldosa inicial siguiendo los vectores 2 AB y AC. El algoritmo de traslación es el mismo que el explicado para el grupo p1, salvo que en este caso el punto F de la recta DC que determina el ángulo formado por los vectores de traslación es un punto fijo y coincide con el punto C. No se selecciona por el usuario como en el caso del grupo p1. Figura 2.34: Cálculo traslación del grupo cmm Por lo que la porción de célula fundamental que no debe aparecer (por quedar fuera al área de dibujado) coincide con el ancho de la baldosa inicial. 79

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.35: Algoritmo traslación del grupo cmm Algoritmo de pintado del grupo cmm El algoritmo de pintado del mosaico es el mismo que el descrito para el grupo cm. 2.2.1.10 Algoritmo de generación del grupo p3 La baldosa inicial de este grupo es un rombo de ángulo α = 60º, formado por dos triángulos equiláteros, como se aprecia en la figura siguiente (el triángulo formado por los puntos ABD y el triángulo formado por los puntos BCD). Figura 2.36: Baldosa Inicial Como la imagen siempre es rectangular (más ancha que larga), el rombo de la baldosa inicial estará contenido en el rectángulo de la imagen como se muestra en la siguiente figura: 80

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.37: Rombo contenido en la imagen Para hallar los puntos de corte del rombo se realizarán los siguientes cálculos: si denominamos h a la altura del rectángulo (h es la altura de la imagen) y al lado del triángulo a, al estar formado el rombo por triángulos equiláteros, se puede concluir que: a = 2( h a) 2 h 2a = a 2 h = a + 2a 2 h = 3a Figura 2.38: Rombo contenido en la imagen 2 a = h 3 Si denominamos b al ancho del rombo, que coincidirá con la altura de los triángulos que lo forma, y con el que calcularemos el punto C. b se calculará de la siguiente manera: b = a * sen(60º ) b = 2 h * 3 3 2 b = 3 3 h Con el resultado de estos datos tenemos que los puntos del rombo para aplicar a la función de corte serán: 81

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 A = (0, h) B = (b, a) = ( C = (b, 0) = ( D= (0, h-a) 3 2 h, h ) 3 3 3 h, 0) 3 Figura 2.39: Puntos de corte del rombo Generada la baldosa inicial (ver figura 2.29 baldosa inicial), se pasa a calcular la célula fundamental. El grupo P3 es el grupo cristalográfico más simple con movimientos de rotación de 120º. No aparecen ejes de simetrías ni ejes de simetrías con deslizamiento. Su célula fundamental será el hexágono formado al aplicar a la baldosa inicial 2 giros de 120º situando el centro de giro en el punto B del rombo y girando en sentido horario. Así el primer giro será de 120º y el segundo de 240º o lo que es lo mismo de -120º. Figura 2.40: Célula Fundamental Paso 1 grupo p3 82

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Dado que el área de pintado es rectangular, para que sea más sencillo el algoritmo de traslación una vez obtenida la célula hexagonal se aplicaran dos transformaciones para convertirla en rectangular. Figura 2.41: Célula Fundamental Paso 1.1 grupo p3 La primera transformación consiste en cortar el triángulo formado por los puntos KFE, marcado en gris, y trasladarlo al área superior izquierda de la célula de forma que el punto E del triángulo coincida con el punto D de la célula y el punto F coincida con el punto C, como se puede observar en la siguiente figura: Figura 2.42: Célula Fundamental Paso 2 grupo p3 83

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Para cortar el triángulo KFE tenemos que los puntos de corte son: K = (b, F = (2b, E = (b, 2a) a 3a a + ) = (b, ) 2 2 a 3a a + ) = (2b, ) 2 2 De forma análoga en la segunda transformación se cortará el triángulo formado por los puntos KEA (de fondo rallado), y se trasladará al área superior derecha de la célula de forma que el punto A del triángulo coincida con el punto C de la célula y el punto E coincida con el punto G. En la figura siguiente se muestra la célula fundamental resultante. Figura 2.43: Célula Fundamental grupo p3 Para cortar el triángulo KEA tenemos que los puntos de corte son: K = (b, E = (b, 2a) A = (0,h) a 3a a + ) = (b, ) 2 2 84

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Algoritmo de traslación del grupo p3 Para generar el mosaico de este grupo basta con aplicar traslaciones de la baldosa inicial siguiendo los vectores AC y AF. El algoritmo de traslación es el mismo que el explicado para el grupo p1, salvo que, como en el grupo cm, el punto C es fijo y no puede ser especificado por el usuario. Se tiene en cuenta que la distancia de AC es igual a la de AF y se corresponde con la diagonal del rombo cuyo valor 2 b, es decir: AC = AF = 2 b = 2 3 3 h Figura 2.44: Algoritmo de traslación grupo p3 La porción de célula que no aparece coincide con la mitad de la célula si se trata de líneas pares y con la célula entera si se trata de líneas impares. Algoritmo de pintado del mosaico del grupo p3 El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortado el rombo de forma automática (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno). 2. Se gira la baldosa inicial con forma de rombo 120º en sentido de las agujas del reloj. 3. Se gira la baldosa inicial 240º en sentido de las agujas del reloj, formando la célula hexagonal. 4. Se realiza el primer paso para convertirla en célula rectangular cortando el triangulo inferior derecha y colocándolo en el área superior izquierda 5. Se realiza el segundo paso para convertirla en célula rectangular cortando el triangulo inferior izquierda y colocándolo en el área superior derecha. Se obtiene la célula fundamental rectangular. 85

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 6. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma (distancia que coincide con la diagonal del rombo), es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno. 7. Se repite el paso anterior hasta que se completa la primera fila: para saber si se ha completado una fila se compara el ancho del área de dibujado con el ancho de la célula fundamental multiplicada por el número de repeticiones de la misma. En el momento que esta última cifra es igual o superior a la anterior se incrementa una fila. 8. Al inicio de cada siguiente fila se realiza el cálculo del desplazamiento horizontal según lo descrito en el algoritmo de traslación, si la línea es par aparece la mitad de la célula. Si la línea es impar la célula completa. Se tendrá en cuenta el desplazamiento vertical correspondiente al número de fila que será la altura de la célula fundamental multiplicada por el número de fila de pintado. 9. Se repiten los pasos de 6 a 8 hasta que el alto del área de dibujado es menor o igual a la altura de la célula fundamental por el número de filas pintadas. 2.2.1.11 Algoritmo de generación del grupo p3m1 La baldosa inicial de este grupo es un triángulo equilátero, por tanto, de ángulo α = 60º. Figura 2.45: Baldosa Inicial 86

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Para generar el triángulo que forma la baldosa inicial se toma como lado el alto de la imagen (existe la restricción de que la imagen siempre es más ancha que larga): Figura 2.46: Triángulo equilátero contenido en la imagen Sólo será necesario calcular el punto B de corte del triángulo, puesto que los puntos A y B se conocen. tan g(30º ) = h 2 b b = h 2 * tan g(30º ) Con lo que, se tiene que los puntos del triángulo para aplicar a la función de corte serán: A = (0, h) B = ( h 2, C = (0, 0) h ) 2 * tan g(30º ) Generada la baldosa inicial (ver figura 2.45 baldosa inicial), se pasa a calcular la célula fundamental. Para ello se aplica un movimiento de simetría respecto del eje BC, formando un rombo. Ver la siguiente figura: 87

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.47: Generación Célula Fundamental Paso 1 Antes de realizar la simetría se desplaza la baldosa inicial una distancia C hacia abajo para que, al realizar la simetría, el rombo se muestre correctamente en el área de pintado. Para hallar el valor de la distancia C se realizan los siguientes cálculos: h b = Como conocemos el valor de 2 * tan g(30º ) y de h que coincide con la altura de la imagen de la baldosa inicial, tendremos que: 2 h = b + c 2 c = h 2 b 2 Una vez generado el rombo se aplican 2 giros de 120º de forma sucesiva tomando como centro el punto B. Se construye de esta forma la célula hexagonal. 88

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.48: Generación Célula Fundamental Paso 2 Al igual que en el grupo p3, construida la célula hexagonal se le aplican las transformaciones correspondientes para convertirla en una célula rectangular. Figura 2.49: Generación Célula Fundamental Paso 2.1 Las transformaciones son las mismas que en el caso anterior. Se cortan los triángulos inferiores KFE y KEA y se sitúan en la parte superior de la célula al igual que lo descrito en el grupo p3, obteniendo la célula rectangular. Ver figuras 2.50 y 2.51 89

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.50: Generación Célula Fundamental Paso 3 Figura 2.51: Generación Célula Fundamental Algoritmo de traslación del grupo p3m1 Para generar el mosaico de este grupo basta con aplicar traslaciones de la baldosa inicial siguiendo los vectores AC y AF. El algoritmo de traslación es el mismo que el explicado para el grupo p1, salvo que, como en el grupo cm, el punto C es fijo y no puede ser especificado por el usuario. 90

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Se tiene en cuenta que la distancia de AC es igual a la de AF y se corresponde con la diagonal del rombo cuyo valor es 2 veces la altura del triángulo equilátero, es decir: h 2 * b = * 2 = 2* tan g(30º ) h tan g(30º ) Figura 2.52: Algoritmo de traslación grupo p3m1 Algoritmo de pintado del mosaico del grupo p3m1 El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortado el triángulo equilátero de forma automática y desplazada el valor correspondiente (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno). 2. Se realiza la simetría del triángulo sobre su eje para construir un rombo. 3. A partir de aquí el algoritmo de pintado sigue los mimos pasos que los descritos para el grupo p3 a partir del paso 2 91

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 2.2.1.12 Algoritmo de generación del grupo p31m La baldosa inicial es un triángulo isósceles donde los ánulos opuestos de los lados iguales valen 30º, es decir: ˆ = 30º A ˆ = 30º C Figura 2.53: Baldosa Inicial Para generar el triángulo que forma la baldosa inicial, teniendo en cuenta que existe la restricción de que la imagen siempre es más ancha que larga, se realizan los siguientes cálculos: Para hallar el punto de corte C calculamos cuanto vale b b tan g (30º ) = h b = h * tan g(30º ) b = h * 3 3 b = 3 3 h 92

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.54: Triángulo isósceles contenido en la imagen Para calcular el valor de a tenemos: b cos( 30º ) = a 3 h * b 3 2h a = = = cos(30º ) 3 3 2 2 a = h 3 Cortada la baldosa inicial (ver figura 2.53 baldosa inicial), se pasa a calcular la célula fundamental. Para ello se aplica un movimiento de simetría respecto del eje AC, formando un rombo. Ver la siguiente figura: Figura 2.55: Generación Célula Fundamental Paso 1 93

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Una vez generado el rombo se aplican 2 giros de 120º de forma sucesiva tomando como centro el punto B, construyendo de esta forma la célula hexagonal. Figura 2.56: Generación Célula Fundamental Paso 2 Al igual que en el grupo p3, construida la célula hexagonal se le aplican las transformaciones correspondientes para convertirla en una célula rectangular. Figura 2.57: Generación Célula Fundamental Paso 2.1. 94

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Las transformaciones son las mismas que en los casos anteriores: se cortan los triángulos inferiores KFE y KEA y se sitúan en la parte superior de la célula al igual que lo descrito en el grupo p3, obteniendo la célula rectangular. Ver figuras 2.58 y 2.59 Figura 2.58: Generación Célula Fundamental Paso 3 Figura 2.59: Generación Célula Fundamental 95

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Algoritmo de traslación del grupo p31m El algoritmo de traslación de este grupo es exactamente igual que el descrito para el algoritmo p3. Figura 2.60: Algoritmo de traslación grupo p31m Algoritmo de pintado del mosaico del grupo p31m El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya oel triángulo de forma automática (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno siguiendo los cálculos explicados). 2. Se realiza la simetría del triángulo sobre su hipotenusa, o lado más largo del triángulo, para construir un rombo. 3. A partir de aquí el algoritmo de pintado sigue los mimos pasos que los descritos para el grupo p3 a partir del paso 2 2.2.1.13 Algoritmo de generación del grupo p4 La baldosa inicial del grupo es un cuadrado. Este grupo no contiene ni simetrías, ni simetrías con deslizamiento pero si giros de orden 4, por lo que a la baldosa inicial se aplicará un movimiento de rotación de 90º sobre uno de sus centros de rotación. 96

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.61: Baldosa Inicial grupo p4 Como la imagen siempre es rectangular (más ancha que larga), se toma como lado del cuadrado la altura de la imagen como se muestra en la siguiente figura: Figura 2.62: Cuadrado contenido en la imagen Así los puntos de corte del cuadrado serán: A = (0, h) B = (h, h) C = (h, 0) D = (0, 0) La construcción de la célula fundamental se realiza aplicando giros consecutivos de 90º sobre el centro B. En el primer paso se gira 90º, en el segundo se aplica un giro de 180º sobre B y en el tercero de 270º. Como resultado final tenemos la célula fundamental como se observa en la siguiente figura: 97

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.63: Generación Célula Fundamental Grupo p4 Algoritmo de traslación del grupo p4 Para generar el mosaico se traslada la Célula Fundamental generada siguiendo los vectores de traslación 2 AB y 2 AD (ver figura 2.61 Baldosa Inicial de P4), que en este caso son perpendiculares entre si y coinciden con los ejes del área de pintado. La distancia de los vectores es la misma y coincide con el valor de h, es decir, con la altura de la imagen. 2 AB = 2 AD = 2h Basta con pintar la segunda célula fundamental a continuación de la primera, es decir, traslada 2 veces el alto de la baldosa inicial, que será el ancho de la célula fundamental. A partir de la segunda fila se calcula que porción de célula (x), no debe aparecer (por quedar fuera al área de dibujado). Cómo se puede observar en la figura siguiente al ser los vectores de traslación perpendiculares esta porción coincide con el ancho de la célula fundamental con lo que no hay que realizar ningún calculo. Basta con tener en cuenta la traslación vertical del vector 2 AD que coincide con la altura de la Célula fundamental. 98

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.54: Algoritmo de Traslación del grupo p4 Algoritmo de pintado del grupo p4 El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortada en forma de cuadrado siguiendo los cálculos descritos (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno). 2. Se gira la baldosa inicial con forma de cuadrado 90º en sentido de las agujas del reloj. 3. Se gira la baldosa inicial 180º en sentido de las agujas del reloj. 4. Se realiza un tercer giro de la baldosa inicial de 270º en sentido de las agujas del reloj, quedando así construida la célula fundamental con forma rectangular 5. Se traslada la imagen de la célula fundamental el ancho de la misma (2 veces el alto de la baldosa inicial), es decir, se pinta en la misma fila a continuación de la anterior, ocupando el espacio fila cero, columna uno. 6. Se repite el paso anterior hasta que se completa la primera fila: para saber si se ha completado una fila se compara el ancho del área de dibujado con el ancho de la célula fundamental multiplicada por el número de repeticiones de la misma. En el momento que esta última cifra es igual o superior a la anterior se incrementa una fila. 7. Al inicio de cada siguiente fila se tiene en cuenta el desplazamiento vertical a aplicar al número de fila, que será la altura de la célula fundamental (que es el doble de la altura de la baldosa inicial), multiplicada por el número de fila de pintado. 99

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 8. Se repiten los pasos de 5 a 7 hasta que el alto del área de dibujado es menor o igual a la altura de la célula fundamental por el número de filas pintadas. 2.2.1.14 Algoritmo de generación del grupo p4m La baldosa inicial del grupo p4m es un triángulo rectángulo ABC donde A ˆ = 90º y B ˆ = Cˆ = 45º. Este grupo además de contener giros de orden 4 (90º) tiene simetrías de tal forma que los ejes de simetría forma un ángulo de 45º entre sí. Figura 2.65: Baldosa Inicial grupo p4m Para cortar la baldosa inicial con forma de triángulo a partir de la imagen original se toma la altura h de la imagen como la distancia de los lados que forman el ángulo recto del triángulo: Figura 2.66: Triángulo contenido en la imagen 100

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Tenemos entonces que los puntos de corte del cuadrado serán: A = (0, h) B = (h, h) C = (0, 0) El primer paso de la construcción de la célula fundamental es aplicar una simetría a la baldosa inicial sobre el lado diagonal del triángulo, es decir, tomando como eje el segmento BC. Como se observa en la siguiente figura el resultado será un cuadrado: Figura 2.67: Generación Célula Fundamental Paso 1 Grupo p4m A continuación se aplicarán, al cuadrado obtenido al aplicar la simetría, tres giros consecutivos de 90º tomando como centro el punto B, de forma análoga a lo explicado en el grupo p4. El resultado de los giros será la célula fundamental. 101

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.68: Generación Célula Fundamental Grupo p4m Algoritmo de traslación del grupo p4m El algoritmo de traslación de este grupo es análogo al descrito para el grupo p4, salvo que aquí los vectores de traslación son 2 AB y 2 AC. Figura 2.69: Algoritmo de Traslación Grupo p4m Algoritmo de pintado del grupo p4m El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortada en forma de triángulo siguiendo las indicaciones explicadas anteriormente. 102

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 2. Se realiza una simetría de la baldosa inicial tomando como eje la hipotenusa del triángulo, lado BC, obteniendo como resultado un cuadrado. El resto del algoritmo es igual que el descrito para el grupo p4 partiendo del paso 2. 2.2.1.15 Algoritmo de generación del grupo p4g La baldosa inicial del grupo p4g es un triángulo rectángulo ABC donde A ˆ = 45º, B ˆ = 90º y C ˆ = 45º este grupo además de contener giros de orden 4 (90º) tiene simetrías y simetrías con deslizamiento. Figura 2.70: Baldosa Inicial grupo p4g Para cortar la baldosa inicial con forma de triángulo a partir de la imagen original se toma la altura h de la imagen como la distancia de los lados que forman el ángulo recto del triángulo, como se muestra en la figura siguiente: Figura 2.70: Triángulo contenido en la imagen 103

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Tenemos entonces que los puntos de corte del cuadrado serán: A = (0, h) B = (h, h) C = (h, 0) El primer paso de la construcción de la célula fundamental es aplicar una simetría a la baldosa inicial sobre el lado diagonal del triángulo, es decir, tomando como eje el segmento AC. Como se observa en la siguiente figura el resultado será un cuadrado: Figura 2.71: Generación Célula Fundamental Grupo p4g A continuación se aplicarán, al cuadrado obtenido al aplicar la simetría tres giros consecutivos de 90º tomando como centro el punto B, de forma análoga a lo explicado en el grupo p4. El resultado de los giros será la célula fundamental. 104

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.72: Generación Célula Fundamental Grupo p4g Algoritmo de traslación del grupo p4g El algoritmo de traslación de este grupo es exactamente igual que el descrito para el grupo p4. Figura 2.73: Algoritmo de Traslación Grupo p4g Algoritmo de pintado del grupo p4g El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortada en forma de triángulo siguiendo las indicaciones explicadas anteriormente. 105

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 2. Se realiza una simetría de la baldosa inicial tomando como eje la hipotenusa del triángulo, lado AC, obteniendo como resultado un cuadra El resto del algoritmo es igual que el descrito para el grupo p4 partiendo del paso 2. 2.2.1.16 Algoritmo de generación del grupo p6 La baldosa inicial de este grupo es un triángulo equilátero, por tanto, de ángulo α = 60º. Como se vio en el punto de teoría, este grupo contiene giros de 60º. También posee giros de 120º (orden 3) y de 180º (orden 2), pero no contiene simetrías ni simetrías con deslizamientos. Figura 2.74: Baldosa Inicial p6 La baldosa inicial coincide con la del grupo p3m1. Como se ha descrito en ese grupo para generarla se toma como lado el alto de la imagen (existe la restricción de que la imagen siempre es más ancha que larga): Figura 2.75: Triángulo equilátero contenido en la imagen 106

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Si se recuerda sólo será necesario calcular el punto B de corte del triángulo puesto que los puntos A y B se conocen. tan g(30º ) = h 2 b b = h 2 * tan g(30º ) Con lo que se tiene que los puntos del triángulo para aplicar a la función de corte serán: A = (0, h) B = ( h 2, C = (0, 0) h ) 2 * tan g(30º ) Al igual que en el grupo p3m1 la baldosa inicial aparece desplazada una distancia C hacia abajo para que al generar la célula fundamental se vea correctamente en el área de pintado. El desplazamiento y los cálculos realizados para obtener su valor son los mismos que los explicados para el grupo p3m1 c = h 2 b 2 Una vez desplazada la baldosa inicial se pasa a calcular la célula fundamental. Para ello se aplican giros de 60º tomando como centro el punto B, formando primero un rombo como se puede ver en la siguiente figura: Figura 2.76: Generación Célula Fundamental Paso 1 Grupo p6 107

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Se sigue aplicando giros de 60º de forma consecutiva hasta forma la célula fundamental hexagonal: Figura 2.77: Generación Célula Fundamental Paso 2 Al igual que en el grupo p3, construida la célula hexagonal se le aplican las transformaciones correspondientes para convertirla en una célula rectangular. Figura 2.78: Generación Célula Fundamental Paso 2.1 Las transformaciones son las mismas que en el caso anterior: se cortan los triángulos inferiores KFE y KEA y se sitúan en la parte superior de la célula al 108

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 igual que lo descrito en el grupo p3, obteniendo la célula rectangular. Ver figuras 2.79 y 2.80 Figura 2.79: Generación Célula Fundamental Paso 3 Figura 2.80: Generación Célula Fundamental Grupo p6 Algoritmo de traslación del grupo p6 El algoritmo de traslación del grupo p6 será análogo al descrito para el grupo p3m1. 109

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.81: Algoritmo de traslación del Grupo p6 Algoritmo de pintado del mosaico del grupo p6 El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortado el triángulo equilátero de forma automática y desplazado el valor correspondiente (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno). 2. Se realizan 5 giros de 60º grados consecutivos hasta formar la célula hexagonal. A partir de aquí el algoritmo de pintado sigue los mimos pasos que los descritos para el grupo p3 a partir del paso 4. 2.2.1.17 Algoritmo de generación del grupo p6m La baldosa inicial de este grupo es un triángulo rectángulo C = 90, B = 30 Figura 2.82: Baldosa Inicial p6m 110

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Para cortar el triángulo de la baldosa inicial se realizan los siguientes cálculos: Figura 2.83: Triángulo rectángulo contenido en la imagen Si w representa el ancho de la imagen y h es el valor, tenemos: Si Si a = tan g(30) * w a < h en ese caso b es igual al ancho de la imagen: b=w a > h entonces se sustituye el valor de a por h, tenemos: a = h b = a tan g(30) Los puntos del triángulo para aplicar a la función de corte serán: A = (0, 0) B = (0, a ) C = ( b, 0) Al igual que en el grupo p6 la baldosa inicial aparece desplazada una distancia d hacia abajo para que al generar la célula fundamental se vea correctamente en el área de pintado. 111

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.84: Desplazamiento baldosa inicial grupo p6m Como se observa en la figura anterior la distancia de desplazamiento d es igual a 2 veces a, entonces: Teniendo en cuenta que: Si a = tan g(30) * w d = 2* a a > h entonces se sustituye el valor de a por h, teniendo: a = h Una vez desplazada la baldosa inicial se pasa a calcular la célula fundamental. Para ello se aplica en primer lugar una simetría tomando como eje el lado de la baldosa inicial CB. Se forma así un rombo como se puede ver en la siguiente figura: 112

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.85: Generación Célula Fundamental Paso 1 Grupo p6m A continuación se aplica giros de 60º tomando como centro el punto B de forma consecutiva, de forma análoga a lo explicado en el grupo p6, hasta formar la célula fundamental hexagonal: Figura 2.86: Generación Célula Fundamental Paso 1.1 Al igual que en el grupo p3, construida la célula hexagonal se le aplican las transformaciones correspondientes para convertirla en una célula rectangular. 113

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Las transformaciones son las mismas que en el caso anterior: se cortan los triángulos inferiores KFE y KEA y se sitúan en la parte superior de la célula (al igual que lo descrito en el grupo p3) obteniendo la célula rectangular. Ver figuras 2.87 y 2.88. Figura 2.87: Generación Célula Fundamental Paso 2 114

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.88: Generación Célula Fundamental Grupo p6m Algoritmo de traslación del grupo p6m El algoritmo de traslación del grupo p6m será análogo al descrito para el grupo p3m1. Se tiene en cuenta que la distancia de AC es igual a la de AF y se corresponde con la diagonal del rombo cuyo valor es 2 veces la altura del triángulo equilátero, es decir, 2b teniendo en cuenta que: Si Si a < h en ese caso b es igual al ancho de la imagen: b=w a > h entonces se sustituye el valor de a por h, teniendo: a = h b = a tan g(30) 115

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 2 Figura 2.89: Algoritmo de traslación del Grupo p6m Algoritmo de pintado del mosaico del grupo p6m El algoritmo de pintado del mosaico será el siguiente: 1. La baldosa inicial estará situada en la fila cero y la columna cero, esquina superior izquierda del área de dibujado. Aparece ya cortado el triángulo de forma automática y desplazado el valor correspondiente (no se considera un paso del pintado del algoritmo la generación de la baldosa inicial, se realiza como un paso interno). 2. Se realiza una simetría tomando como eje el lado del triángulo BC. 3. Se realizan 5 giros de 60º grados consecutivos hasta formar la célula hexagonal. A partir de aquí, el algoritmo de pintado sigue los mismos pasos que los descritos para el grupo p3 a partir del paso 4. 116

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 3 CAPÍTULO 3 TECNOLOGÍAS EMPLEADAS 3.1 Entorno de desarrollo Este proyecto ha sido desarrollado apoyándose en una herramienta especializada para el desarrollo de programas JAVA, es decir, con la ayuda de un IDE ("Integrated Development Environments"). Podría haber sido programando directamente mediante un editor de textos, pero este tipo de herramientas facilitan la programación y el desarrollo de programas Java facilitando en gran medida la tarea del desarrollador, ya que integran entre otros los siguientes componentes: un editor de texto, un compilador, un intérprete, unas herramientas para la automatización, un depurador, un sistema de ayuda para la construcción de interfaces gráficas de usuario y, opcionalmente, un sistema de control de versiones. El IDE seleccionado es la herramienta JBuilder en su versión del 2005 (versión existente al inicio de este proyecto). La herramienta JBuilder es un software creado en 1995 por Borland, muy utilizado hoy en día ya que, por sus características, proporciona una serie de ventajas al programador facilitando el proceso de desarrollo software y permitiendo dotar de mayor calidad al producto final. JBuilder es una excelente herramienta de desarrollo Java. Adecuada tanto para los desarrollos más complejos como para aplicaciones sencillas como la de este proyecto Entre sus características destaca el componente para la construcción de la interfaz gráfica. JBuilder ofrece un cómodo diseñador gráfico en el que se puede insertar componentes gráficos y configurarlos visualmente. De este modo se puede dibujar la aplicación. Desde la paleta de componentes que presenta se puede acceder fácilmente a los controles AWT y Swing, utilizados para el diseño de esta aplicación. 117

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 3 Lo más interesante es que se puede trabajar sobre los componentes de forma visual. Se puede cambiar el tamaño, la posición y la apariencia de sus controles con el ratón. A la derecha del área del diseñador, aparece el Inspector de Objetos que permite seleccionar un componente y variar sus propiedades visualmente desde él: color, texto, tamaño preferido, restricciones de layout, etc.. Desde el Inspector también se puede acceder a la gestión de eventos. JBuilder ofrece un listado de los eventos disponibles para el objeto seleccionado. Con un doble clic, JBuilder creará de forma automática el código y métodos necesarios, de modo que sólo sea necesario rellenar el método que recoge el evento. 3.2 Lenguaje de programación Al inicio del desarrollo de este proyecto se acordó con la persona que ha desarrollado las funcionalidades de la aplicación correspondiente a frisos y rosetas (que constituyen otro proyecto de fin de carrera), que para la realización de la aplicación completa se utilizaría el lenguaje orientado a objetos JAVA. Los motivos de esta decisión, además de por sus características, fueron principalmente tres: 1. Es un lenguaje Multiplataforma. Es decir, pueden ejecutarse en cualquier plataforma Windows, Unix (Solaris, Silicon Graphics) y Power/Mac. 2. Es uno de los lenguajes mas usados y con la mayor comunidad alrededor del mundo, con lo que nos pareció útil y atractivo aprender este lenguaje. 3. Existen abundantes librerías para el tratamiento y manipulación de imágenes. En concreto, para la realización de esta aplicación nos hemos basado en la utilización de la librería JAI (Java Advanced Imaging), además de la librería Java2d. Otras características importantes de este lenguaje son: Confiable: Minimiza los errores que se escapan a la fase de prueba. Sencillo, orientado a objetos: Sencillo, para que no requiera grandes esfuerzos de entrenamiento para los desarrolladores. Orientado a objetos, porque la tecnología de objetos se considera madura y es el enfoque más adecuado para las necesidades de los sistemas distribuidos y/o cliente/servidor y beneficioso para el programador. Se acerca a la forma de pensar de la mente humana. 118

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 3 Es un lenguaje seguro: La máquina virtual, al ejecutar el código java, realiza comprobaciones de seguridad. Además el propio lenguaje carece de características inseguras, como, por ejemplo los punteros. Robusto: permite detectar los errores en el momento de producirse, lo que facilita la depuración. Integración con páginas Web: Fácil integración con páginas web, Applets, servlets. 3.2.1 Uso de Applet firmado Uno de los fines de este proyecto era que la aplicación resultante estuviera disponible y ejecutable desde una página Web. Se decidió así, realizar la aplicación como un applet. Una definición sencilla de applet sería: un programa embebido en un navegador Web. Según la Wikipedia en Java, un applet (Subprograma) es un programa que puede incrustarse en un documento HTML, es decir, en una página Web. Cuando un Navegador carga una página Web que contiene un Applet éste se descarga en el navegador Web y comienza a ejecutarse. Esto nos permite crear programas que cualquier usuario puede ejecutar, con tan solo cargar la página Web en su navegador. La principal ventaja de manejar applets es la interacción que brindan en sus interfaces, ya que permiten la dinámica de eventos y la edición gráfica sobre un entorno Web. Hace tareas que no son posibles con HTML. Proporciona componentes para el interfaz de usuario (cómo botones, cajas...) en páginas Web. Por este motivo se tomaron como opción de desarrollo de esta aplicación. Los applets tienen limitada compatibilidad en multiplataforma y diferentes versiones del navegador, pero en el desarrollo de esta aplicación se utilizaron librerías de Java que cualquier navegador puede reconocer. Por qué firmado? Un Applet por defecto no puede acceder a los recursos del ordenador donde se está visualizando: ni disco duro, ni impresora ni ninguna otra cosa, por lo que muchas de las funcionalidades desarrolladas en este proyecto no funcionarían. El motivo de esto es sencillo: por seguridad. Por ello, el navegador, que es donde se ejecuta el applet, restringe mucho los permisos del applet. 119

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 3 Para dar funcionalidad al applet y que este pueda acceder al disco duro e interactuar así con la aplicación es necesario que este firmado digitalmente. Así, antes de ejecutar el applet firmado el navegador mostrará un mensaje al usuario de confirmación informándole de la entidad o persona que firma el applet, para que sólo si confía en él pulse aceptar y se ejecute la aplicación ya con los permisos de acceso al disco duro, a la impresora y lo demás. 3.2.2 Librería de tratamiento de imágenes JAI En el desarrollo de este proyecto se han utilizado diferentes librerías de JAVA: Swing, AWT, java.io.file, java2d, etc. Sin embargo, se quiere destacar el uso de la librería JAI, Java Advanced Image (en su versión jai-1.1.2), ya que la parte central de este proyecto se basa en el tratamiento y transformaciones a realizar sobre imágenes y esta librería proporciona un conjunto de interfaces para el tratamiento avanzado de imágenes incluyendo distintas operaciones de procesamiento de una manera sencilla y cómoda. Contiene una gran cantidad de métodos relacionados con el tratamiento de imágenes entre los que se pueden mencionar: métodos de área, de color, métodos geométricos, de extracción de bordes etc. Así, con pocas líneas de código se puede aplicar las transformaciones necesarias directamente a la imagen, sin tener que realizar operaciones matriciales. Por ejemplo se permite rotar una imagen con métodos directos, como: imageoriginal2 = JAI.create("Rotate", pb, null); definiendo los valores de rotación previamente en el parámetro pb. 120

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 CAPÍTULO 4 MANUAL DE USUARIO 4.1 Introducción En este capítulo se describirá de forma detallada el funcionamiento de la aplicación. La aplicación global genera tres tipos de teselaciones periódicas del plano: Frisos Rosetas Mosaicos La implementación de frisos y rosetas no forma parte de este proyecto. Fueron desarrolladas dentro del trabajo de fin de carrera Generación de Teselaciones Periódicas: grupos de friso y de roseta realizado por Javier Pina Chavero, por lo que, aunque forman parte de la aplicación global no se explicará su uso en este manual de usuario. Este manual se centrará en el uso del área de grupos cristalográficos, que es la que nos permite generar los mosaicos, objeto de estudio de este trabajo y se explicará brevemente las funcionalidades comunes o básicas. 4.2 Interfaz de Usuario El interfaz de la aplicación se ha desarrollado con dos objetivos: que sea atractivo y fácil de utilizar. Se ha pretendido que el diseño no solo sea atrayente sino funcional, es decir, fácil de utilizar para el usuario de forma intuitiva. Con esa idea de pragmatismo, la aplicación se estructura en un área común donde se puede distinguir: Área de dibujo. Cuadro de funcionalidades básicas. Barra de menú y de estado. 121

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 Y tres pestañas, una por cada uno de los tipos de teselaciones periódicas planas: Grupos de Friso Grupos de Roseta Grupos Cristalográficos Figura 3.1: Interfaz Generador de Teselaciones Periódicas 4.2.1 CUADRO DE FUNCIONALIDADES COMUNES 4.2.1.1 Área de dibujo Dentro de las funcionalidades comunes destaca el área de dibujo que es la parte central de la aplicación (el área de trabajo donde se muestra las teselaciones generadas). 122

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 Figura 3.3: Interfaz Área de Dibujo Es un área rectangular que tiene unas dimensiones de 800 x600. Como se puede observar en la imagen anterior aparece dividida por dos ejes perpendiculares de color gris que la divide en cuatro partes iguales Inicialmente al entrar en la aplicación el área muestra una imagen inicial cargada por defecto que será el motivo a partir del cual se generará la teselación seleccionada por el usuario. Este motivo generador inicial se podrá sustituir por la imagen que seleccione el usuario mediante la funcionalidad Abrir, como se verá más adelante en el punto de Funcionalidades básicas. Por defecto el fondo del área de dibujado es blanco, aunque la aplicación ofrece al usuario la posibilidad de cambiar el color del fondo mediante la funcionalidad Color Fondo descrita más adelante en el punto Barra de menú de de estado. 4.2.1.2 Cuadro de funcionalidades básicas El cuadro de funcionalidades básicas está situado debajo del área de dibujado. Agrupa las funcionalidades generales de la aplicación. 123

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 El usuario también podrá acceder a estas funcionalidades a través de las opciones de menú de la barra de menú. Se ha decidido sacarlas del menú y presentarlas también de esta forma por facilitar su uso y dar agilidad a la aplicación dado que son funcionalidades que se utilizarán frecuentemente. Figura 3.4: Interfaz Funcionalidades Básicas Estas funcionalidades básicas las podemos dividir en dos grandes grupos: 1. Funcionalidades Generales. 2. Funcionalidades de Ejecución. 3.2.1.2.1 Funcionalidades Generales: Dentro de estas se presentan: Abrir Mediante esta funcionalidad se da la opción al usuario de seleccionar el motivo generador, la imagen inicial a partir de la cual se va a generar la teselación aplicando sobre la misma las transformaciones y simetrías correspondientes. Al pulsar el botón se abre un dialogo de Windows que permite seleccionar el archivo de tipo imagen a cargar en el área de dibujo. Si la imagen es demasiado grande, se muestra un mensaje informando al usuario que esta se reducirá si continua con la acción. 124

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 Figura 3.5: Mensaje al abrir imagen si excede en tamaño La imagen se reduce dando como resultado la misma imagen pero con unas dimensiones rectangulares de 119 x 85, por lo que la imagen inicial siempre es más ancha que alta. Guardar Pulsando el botón de guardar se abre un dialogo que permite al usuario almacenar en el sistema de archivos local lo que en ese momento este representado en el área de dibujo. Se guarda como imagen con formato.jpg. Imprimir A través del botón de imprimir se accede al dialogo que permite seleccionar la impresora para mandar a imprimir la imagen que esté representada en ese momento en el área de dibujo. Salir El botón salir simplemente cierra la aplicación. 3.2.1.2.2 Funcionalidades de Ejecución: Dentro de éstas se encuentran: Generar Al pulsar este botón se generará el mosaico correspondiente al grupo cristalográfico que el usuario haya seleccionado, a partir de la imagen inicial cargada. Si se pulsa el botón generar y no hay ningún motivo generador (ninguna imagen inicial cargada), se muestra un mensaje informando al usuario que no es posible llevar a cabo la acción si no se carga una imagen. 125

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 Figura 3.6: Mensaje al generar sin imagen cargada Opción paso a paso: si al generar se encuentra marcada la opción paso al pulsar el botón no se genera el mosaico de forma completa, si no que se realiza un paso del mosaico cada vez que se pulsa el botón generar. Zoom+/Zoom- Los funcionalidades Zoom+/Zoom- permiten aumentar o disminuir respectivamente la imagen representada en el área de dibujo. El usuario debe tener en cuenta que como consecuencia de la variación del tamaño de la imagen se produce una perdida de definición dentro de la misma. Limpiar Esta funcionalidad permite limpiar el área de dibujo. Borra toda imagen o mosaico que haya representado en la misma. Elimina incluso la imagen original de partida quedando el área de dibujo vacía. Baldosa Este botón restablece la imagen inicial (el motivo generador), eliminando la representación anterior para que el usuario pueda empezar de nuevo la generación de un nuevo mosaico. Dependiendo del grupo cristalográfico que este seleccionado al pulsar este botón, la imagen inicial tendrá una forma geométrica especifica. 4.2.1.3 Barra de menú y de estado La barra de menú se presenta justo encima de la zona de dibujo. Muestra un menú en el que seleccionar las funciones que puede realizar el programa. 126

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 La barra de estado esta situada en la parte inferior de la aplicación. Se dividide en dos secciones, en la cuales se muestran mensajes que indican el estado de la aplicación. Mensajes de información al usuario, como la ruta y el nombre de la imagen que se ha cargado o si la forma de ejecución que ha elegido el usuario es paso a paso o completa. Figura 3.7: Interfaz barra de menú y de estado La barra de menú se compone de los siguientes submenús: Archivo: se encuentran las siguientes opciones: o Nuevo: limpia la superficie de dibujado dejando solamente la imagen inicial. Se corresponde con la funcionalidad baldosa del cuadro de funcionalidades básicas. El resto de funcionalidades se corresponden, incluso hasta la denominación, a las descritas en el punto de funcionalidades básicas. o Abrir o Guardar o Imprimir o Salir 127

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 Edición: submenú con todas las opciones del área de dibujo: o Color de fondo: Por defecto el fondo del área de dibujo es blanco. Mediante esta opción se da la posibilidad al usuario de cambiar el fondo de color. Esta opción abre una nueva ventana de dialogo, como se muestra en la figura siguiente, que permite al usuario seleccionar el nuevo color que quiere fijar en el fondo del área de dibujo. Figura 3.8: Interfaz cambio color fondo o Aumentar: aumenta el tamaño de las imágenes dibujadas en el área de dibujo. Se corresponde con la funcionalidad ofrecida por el botón Zoom+, descrita en el punto Cuadro de funcionalidades básicas. o Reducir: reduce el tamaño de las imágenes dibujadas en el área de dibujo. Se corresponde con la funcionalidad ofrecida por el botón Zoom-, descrita en el punto Cuadro de funcionalidades básicas. Opciones: submenú con las opciones de ejecución de la aplicación: o Paso a paso: si esta opción esta activada la aplicación ejecutará las transformaciones sobre la imagen inicial para la generación del mosaico de una en una, es decir, llevará a cabo un paso cada vez que se pulse el botón generar. 128

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 Ayuda: submenú de ayuda: o Acerca de: muestra un cuadro de diálogo con el nombre de la aplicación y los autores de la misma. 4.2.2 ÁREA DE GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS El área de grupos cristalográficos se presenta como una pestaña donde el usuario puede seleccionar que grupo quiere utilizar para la generación del mosaico. Figura 3.9: Interfaz área grupos cristalográficos Cada botón se corresponde con uno de los 17 grupos. Para su mejor identificación se ha representado cada botón con un icono de mosaico creado a partir de este grupo. Además, si se pasa con el ratón por encima de cada botón aparece un mensaje emergente con el nombre del grupo correspondiente. Al seleccionar un grupo pulsando el botón este cambia de aspecto mostrándose en blanco y negro y hundido. 129

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 Figura 3.10: Interfaz botones de grupos cristalográficos 4.2.3 EJECUCIÓN GENERAL: Generación de Mosaicos El acceso a la aplicación se realiza a través de una pequeña ventana en la que se puede leer un pequeño mensaje de introducción e información junto con tres botones: uno de entrar, otro de salir y otro de ayuda. Los botones de salir y de ayuda se corresponden con las acciones descritas en puntos anteriores. El botón da acceso a la aplicación mostrando la ventana principal del programa. 130

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 Figura 3.11: Interfaz de acceso a la aplicación En la pantalla principal aparece cargada en el área de dibujo una imagen por defecto con la que el usuario ya puede comenzar a trabajar y generar mosaicos. Si se desea cargar una imagen nueva se realizará mediante la funcionalidad de Abrir, como se explico en puntos anteriores. Cargada la imagen, el usuario debe seleccionar la pestaña Grupos Cristalográficos. Por defecto aparece siempre en primer plano la pestaña de Grupos de Friso, por lo que para la generación de un mosaico es necesario pulsar con el ratón sobre la pestaña titulada Grupos Cristalográficos, para tener acceso a los botones que dan lugar a este tipo de teselaciones. La generación de un mosaico es muy sencilla. Basta con pulsar el botón del grupo que se quiere representar y pulsar el botón generar. Automáticamente aparecerá un mosaico completo en el área de dibujo. Este mosaico habrá sido generado aplicando las transformaciones del grupo especificado. 131

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 Figura 3.12: Generación mosaico completo En la generación del mosaico se da la posibilidad al usuario de ver una a una las transformaciones que se aplican sobre la imagen hasta generar el mosaico completo. Esta opción se denomina paso a paso y se puede especificar de dos maneras: bien seleccionando de la barra de menú la opción Opciones/Paso a paso o marcando directamente el check Paso del cuadro de funcionalidades básicas. 132

Generación de teselaciones periódicas: Grupos Cristalográficos Capítulo 4 Figura 3.13: Selección de generación paso a paso Marcada la opción paso a paso se deberá pulsar el botón Generar cada vez que se quiera ver un paso de las transformaciones que se van generando. Figura 3.14: Generación mosaico paso a paso 133