UNIDAD 6: Producto vectorial mito. Aplicacione. Superficie eférica ACTIVIDADES INICIALES-PÁG. 4. Halla la ecuación de la recta paralela a 3 4 8 paando por el origen de coordenada. Un vector director de la recta e v ( 3, 7, 8). La recta paralela tiene de ecuacione. 3 7 8. Halla el volumen del cubo do de cua cara etán obre lo plano π 5 π 4 4 4. Lo plano on paralelo por lo que el lado del cubo e la ditancia entre ello. El lado mide 4, el volumen e 64 unidade cúbica. 3. Halla un vector unitario perpendicular a lo vectore v (,, 3) w (,, ). Todo lo vectore perpendiculare on de la forma v ( t, t, t). Obligando a que u módulo ea la unidad obtenemo lo vectore v,, w,, 6 6 6 6 6 6 4. Halla el plano que paa por el punto P (,, 5) e perpendicular a la recta del punto P a la recta. 3. Halla la ditancia El plano pedido tiene por ecuación. Para hallar la ditancia del punto P a la recta, obtenemo el punto de corte del plano anterior con la recta, el punto e B (, 3, ) la ditancia pedida e el módulo del vector PB, que e 5 unidade. ACTIVIDADES de RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS-PÁG. 59. Leche té. Un par de amigo e juntan a merendar uno de ello pide un vao de leche el otro, un vao de de té. Deciden hacer mecla del iguiente modo: toman una cucharada de leche la echan en el té; depué toman una cucharada del té donde puieron una cucharada de leche la echan en la leche. Habrá má leche en el té o má té en la leche? Como comenamo con do vao lleno, el uno de té el otro de leche, al final la leche, al final la leche que ha en el té e la mima cantidad que el té que ha en la leche; como e puede ver en el iguiente dibujo. 3
. Juego para do. Do amiga dicen alternativamente, un número natural del al. La primera dice un número la egunda dice otro, umándole a ete el que dijo la anterior, aí uceivamente. Gana la partida la primera jugadora que coniga llegar a. Encuentra la etrategia ganadora para la primera jugadora para la egunda. Comenando el juego dede el final, obervamo que la ª jugadora (G) ganará iempre cuando deje a la ª jugadora (P) con 89 en la penúltima jugada. Para ello, imulamo una partida. ª jugada: G dice P dice lo que ea de a ª jugada: G, el número neceario para umar o 3 P, el número que ea de a 3ª jugada: G, el número neceario para umar 3 o 34 P, el número que ea de a Aí uceivamente G iempre tiene que decir el número neceario para umar un múltiplo de má :, 3, 34, 45, 56, 78 u 89. Penúltima jugada: G dice el número neceario para umar 89 P, el número que ea de a Última jugada: G ice un número de forma que obtiene Por lo tanto, la etrategia ganadora para el primer jugador e en la ª jugada decir cualquier número del al en la iguiente jugada, a la vita de la uma que haa obtenido el º jugador, el primer jugador debe decir un número de modo que deje la uma en un múltiplo de má, aí uceivamente en la iguiente jugada, hata que en la penúltima deja l º jugador como reultado de la uma 89, de eta forma gana la partida. La etrategia ganadora para el º jugador e la mima: ir diciendo número del al que dejen como reultado de la uma al primer jugador un número que ea múltiplo de má, aí en toda la jugada; en la penúltima debe dejar al primer jugador como reultado de la uma 89 de eta forma ganará la partida. 3. La uceión de Fibonacci la abeja. La abeja macho (ángano) nacen de huevo no fecundado, e decir, ólo tiene madre. La abeja hembra (obrera) nacen de huevo fecundado, e decir, tiene madre padre. Cuánto anteceore tiene un ángano de la décima generación anterior a él?, de eto, cuánto on macho cuánta on hembra? En qué generación anterior a ete ángano tiene 7 7 anteceore? En el iguiente diagrama vemo la genealogía de la abeja. Deignamo con Z a lo ángano con O a la obrera. 33
Obtenemo la ecuencia:,, 3, 5, 8, 3, que e a uceión de Fibonacci. En la décima generación anterior a él, un ángano tiene 89 anteceore, de lo cuale 34 on macho 55 on hembra. Puede vere en la tabla. Generación ª ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª ª Anteceore 3 5 8 3 34 55 89 Anteceore 3 5 8 3 34 macho Anteceore hembra 3 5 8 3 34 55 Continuando la uceione, obtenemo: En la vigéima generación anterior a él tiene 946 anteceore, de lo cuale 48 on macho 6765 hembra. En la vigéima primera generación anterior a él tiene 7 7anteceore. 34
ACTIVIDADES de NUEVAS TECNOLOGÍAS-PÁG. 6. Halla el área del triángulo de vértice A (,, ), B (, 4, 6) C (5,, - 4). Comenamo por introducir lo punto depué mediante el comando dibujar3d(triángulo(a,b,c)) hacemo el dibujo del triángulo con la epreión área(triángulo(a,b,c)) obtenemo el valor del área que e 7 unidade, como podemo ver en la imágene.. Halla el volumen del tetraedro cuo vértice on el origen de coordenada lo punto en lo que el plano 3 5 4 corta a lo eje coordenado. En primer lugar hallamo lo vértice del triángulo, cortando el plano dado con lo eje coordenado obtenemo lo punto A (- 4,, ), B (, - 4/3, ) C (,, - 4/5). Depué hallamo el volumen del tetraedro, del mimo modo que en la actividad correpondiente del dearrollo, utiliando la fórmula V [ OA, OB, OC] 6 4 4 iendo lo vectore OA ( 4,, ), OB,, OC,, con O el origen de 3 5 coordenada. 3 En la imagen vemo el dearrollo de eta actividad hemo obtenido que el volumen e V unidade 45 cúbica. 35
3. Dada la recta 5 r ; 3 3 4 4 t a) Halla la ditancia entre la recta r. b) Halla la ecuación de la recta que e apoa en la recta t e perpendicular a ella. a) Para empear hemo de etudiar la poición relativa de la recta r. En la imagen hemo hallado u vectore directore v w vemo que on proporcionale, por lo que la recta on paralela. Para hallar la ditancia entre ella tomamo un punto P (- 5,, ) de la recta hallamo u ditancia a la recta r 6 9 mediante la epreión que vemo en la imagen obtenemo que eta ditancia e unidade. 9 36
b) En eta actividad lo que no pide e hallar la recta perpendicular común a t. Procedemo de forma imilar a lo que hemo hecho en la actividad dearrollada obtenemo. Hallamo lo vectore directore de la recta t el determinante formado por eto vectore el vector entre un punto de la recta, por ejemplo P (- 5,, ), un punto de t, por ejemplo O (,, ), obtenemo que ete determinante e no nulo por lo que la recta t e cruan. Hallamo el vector u que e perpendicular a a t, mediante el producto vectorial de lo vectore de de t, en la imagen vemo que ete vector e u (- 3, 5,- 5). Para hallar la recta perpendicular común a la recta dada hallamo: - El plano p que contiene a, u punto P u vector director v el vector u - El plano q que contiene a t, u punto Q, u vector director w, el vector u. - La interección de eto plano (p q) e la recta bucada, en la imagen podemo ver que la recta que 4 7 5 queríamo hallar tiene por ecuación 7 ACTIVIDADES FINALES-PÁG. 64 37
. En R 3 conideramo lo vectore u (,, ), v (,, 3) w ( 3,, ) a) u v b) u La olucione on: a) v. Halla: v c) ( u v) w d) u ( v w) u (, - 7, - 3) c) ( u v) w v (-, 7, 3) d) u ( v w) b) u. Lo vectore u (,, ), v (,, ) (,, ) { u v, v w, w u}.? (- 4, - 3, ) (, - 4, 6) w forman bae de R 3? Y lo vectore Lo vectore dado on linealmente independiente pueto que 4. Hallamo lo otro vectore obtenemo u v (-, - 3, ); v w (- 3, -, ) w u (,, - 4). Eto vectore on linealmente independiente pueto que 3 6 3 4 3. Sean v w do vectore de R 3 tale que v 3, w 4 v w 6. Halla v w. v w v w en α iendo α el ángulo que forman eto vectore. Como v w v w coα, entonce deducimo que co α / que en α v w v w en α 6 3 3 por lo que: 4. Tre vértice de un paralelogramo ABCD on lo punto de coordenada A (,, ), B (-,, ) C (, -, ). Halla la coordenada del vértice D el área del paralelogramo. En un paralelogramo ABCD e verifica que el punto medio de la diagonal AC e el mimo que el de la diagonal BD. De eta forma obtenemo que la coordenada del punto D on (4, -, ). AB AD,, uc El área del paralelogramo e: ( ) 6. 5. El plano de ecuación 3 6 corta a lo eje coordenado en tre punto que on lo vértice de un triángulo. Halla u área. Lo vértice del triángulo on A (- 3,, ), B (,, ) C (,, - 6). 38
AB AC, 8, 6 El área del triángulo e ( ) 54,. 6. Halla un vector director de la recta que iendo paralela a lo plano 3 5, 3 4 pae por el punto P (,, 3). Ecribe, como interección de do plano, la ecuación de eta recta. i Un vector de la recta viene dado por 3 (7, 7, 7). La ecuación, como interección de do plano, de eta recta e: j k 3 3 3 4 7. Halla la ditancia del punto M (, 4, -) a cada una de la iguiente recta: uc a) 3 r b) 3 5 3 a) Tomamo un punto P (,, ) de la recta uno de u vectore v (, 4, 5). La ditancia del punto M a la recta r viene dada por: PM v 89 d (M, r),46 ul. v 4 b) Tomamo un punto Q (, -, ) de la recta uno de u vectore v ( 3,, ) punto M a la recta viene dada por: QM v 3 6 d (M, ) 4,9 ul. v 4. La ditancia del 8. Halla la ditancia entre la recta de ecuacione: r 4 Eta recta on paralela. Para hallar la ditancia de r a tomamo un punto P (-, - 4, ), por ejemplo, de la recta r hallamo la ditancia a la recta. Para ello tomamo un punto A (,, ) de la recta uno de u vectore v,,. La ditancia del punto P a la recta viene dada por: ( ) PA v d (r, ) d (P, ) ul. v 39
9. Sean lo vectore de R 3 u (, 3, ), v (,, ) w (,, ). Halla: a) ( u v) w b) ( u v) w c) u ( v w) d) ( u v) ( v w) La olucione on: u v 6 (-,, ) (- 6,, ). a) ( ) w b) ( u v) w c) u ( v w) d) ( u v) ( v w) (7, - 5, - 4) (-,, ) - 7. (, 3, - ) ( -, -, 6) - 7. (7, - 5, - 4) (-, -, 6) - 33.. Halla la ecuación de la recta paralela al plano de ecuación que ea perpendicular a la recta r en el punto en el que eta e corta con el plano OYZ iendo: 3 r. 4 4 El vector de la recta pedida lo hallamo por el producto vectorial del vector caracterítico del plano un vector de la recta dada, e decir: i j k v 4 7 (5, 7, ). El punto de interección por el que paa e P (,, -). La ecuación de la recta e. 5 7. El plano mediatri del egmento de etremo A (3,, 5) B (-, 7, 3) corta a lo eje coordenado determinando con el origen de coordenada un tetraedro. Halla u volumen. El plano mediatri del egmento tiene por ecuación 3 6 Corta a lo eje coordenado en lo punto A (- 3,, ); B (,, ) C (,, - 6). 3 El volumen del tetraedro e: 6 unidade cúbica. 6 6. Halla el área del cuadrado que tiene do de u lado obre la recta: 5 r. 4
Eta recta on paralela. El lado del cuadrado erá la ditancia entre ella. Para hallar la ditancia de r a tomamo un punto P (, -, ), por ejemplo, de la recta r hallamo la ditancia a la recta. Para ello tomamo un punto A (,, ) de la recta uno de u vectore v,,. La ditancia del punto P a la recta viene dada por: ( ) PA v 5 d (r, ) d(p, ). v 3 El área del cuadrado e 5/9 u.c. 3. a) Etudia, egún lo valore de a, la poición relativa de la recta de ecuacione: a t r t a t b) Para a 3 halla la ditancia entre ella. 3. a) Tomamo tre vectore, uno de cada una de ella el otro el que va de un punto de una a otro punto de la otra etudiamo u poición: 4a. a a Si a entonce la recta e cruan i a la recta on ecante. b) Para a 3 la recta e cruan. Hallamo la ditancia entre ella aplicando la fórmula de la ditancia entre recta que e cruan: { vr, v, Pr P } 4 d (r, ) 4 unidade. v v 4 r ACTIVIDADES FINALES-PÁG. 65 4. Halla la ecuación de la perpendicular común a la recta r 3 t t. t 4
Hallamo el plano que contiene a r a un vector perpendicular común a r, el plano que contiene a al mimo vector anterior. Amba ecuacione on la recta pedida. 3 4 7 9 5 36. 5 8 5. 4 7 5 9 5 36 Por lo que la recta pedida tiene por ecuación. 8 5 5. Halla la ecuación de la recta que paa por el punto A (3,, ), e paralela al plano 3 e perpendicular a la recta r.. 3 3 El vector de la recta pedida lo hallamo por el producto vectorial de un vector normal del plano un vector de la recta dada, e decir: i j k v 3 ( 3, 9, ). 3 3 3t La ecuación de la recta e 9t. 3t 6. Halla un punto de la recta de ecuación 4t ) un triángulo de área 5 unidade cuadrada. que forme con lo punto B (,, ) C (, -, Un punto cualquiera de la recta tiene la forma P ( 3t, 4t, ). El área del triángulo e: Área BC BP 5 t. Como el área e 5 obtenemo que t t -. Por tanto ha do punto que verifiquen el enunciado on P (7, 9, ) Q (- 5, - 7, ). 7. Dada la recta: 4
a r ) ( : : a a a) Averigua u poición relativa egún lo valore de a. b) Tomando a, determina lo punto P r Q tale que la ditancia entre P Q ea mínima. a) Para el etudio de la poición relativa de la recta r conideramo el itema de ecuacione lineale: : : a a a a r Conideramo la matrice: * a a a a A a a A El determinante de la matri ampliada A* vale: det (A*) a (a ) (a ). Ete determinante e anula para a a -. Etudio: Si a - a, el rango de A e 3 el rango de A* e 4, la recta e cruan. Si a -, el rango de A e 3 el rango de A* e 3, la recta e cortan en el punto (,, ). Si a, el rango de A e el rango de A* e 3, la recta on paralela. b) Para a la recta e cortan u ecuacione on:. : t r Sean P (, t, ) Q (,, ) punto cualequiera de la recta r, repectivamente. Sea ),, ( t PQ el vector que une lo punto P Q. Ete vector tiene que er ortogonal a lo vectore directore de la recta r : ), (, ),, ( r u u. Imponiendo la condición de ortogonalidad, obtenemo: ), (, ),, ( ), (, ),, ( t t t t Lo punto que dan la mínima ditancia on P r (,, ) Q (,, ). La ditancia mínima e: 43
d (, ) ( ) ( ) ( ). P r Q 8. Halla la ecuación de la recta que e apoa en el eje OZ la recta ella. 5 e perpendicular a 3 Hallamo el plano que contiene a r a un vector perpendicular común a r, el plano que contiene a al mimo vector anterior. Amba ecuacione on la recta pedida.. 5 3 3 3 3. Por lo que la recta pedida tiene por ecuación. 3 3 3 9. Halla el volumen del paralelepípedo de bae ABCD EFGH iendo A (6,, ), B (6, 6, ), C(, 6, ) E (6, 6, 6). AB, AC, AE 6 6 El volumen e [ ] 6 6 6 6 unidade cúbica. Un cuadrado tiene do vértice en lo punto P (,, 3) Q (, 3, ); lo otro obre una recta r que paa por el punto R (- 4, 7, - 6). a) Calcula la ecuación de la recta r. b) Calcula la ecuación del plano que contiene al cuadrado. c) Halla la coordenada de uno de lo do vértice. a) La recta r paa por el punto R (- 4, 7, - 6) tiene por vector director PQ (,, ). Su ecuación erá: 4 7 6 b) El plano que contiene al cuadrado viene determinado por el punto R (- 4, 7, - 6) lo vectore PR ( 6, 6, 9) QR ( 5, 4, 7). Su ecuación e: 44
4 6 6 6 6 9 5 4 7 3. c) Uno de lo vértice, X, etá en r u coordenada pueden er epreada en la forma X (- 4 t, 7 t, - 6 t); ademá lo vectore: PX ( t 6, t 6, t 9) PQ (,, ) deben er perpendiculare, por tanto: De la condición PX PQ obtenemo t - 4 para ete valor el vértice bucado e el punto X (, -, ). El otro punto Y (- 4, 7, - 6 - ) cumple XY PQ ; e decir: (- 4, 8, - 8) (-,, - ) - 3. Para - 3 el último vértice e Y (-,, ).. Halla, en cada uno de lo apartado iguiente, la ecuación de la uperficie eférica que: a) Tiene por centro el punto C (-, 3, 5) radio 4 unidade. b) Uno de u diámetro e el egmento de etremo P (7,, ) Q (3,, 6). c) E concéntrica con la de ecuación 4 6 tangente al plano de ecuación 6. d) Paa por lo punto A (5, -, ), B (, -, - 3), C (3, 3, ) D (4, -, - ). a) La ecuación de la efera e ( ) ( 3) ( 5) 6. b) Tiene por centro el punto medio de PQ u diámetro e la ditancia entre P Q. La ecuación que obtenemo e ( - 5) ( ) ( 4) 9. c) La efera concéntrica tendrá el mimo centro (-,, 3) por radio la ditancia del centro al plano tangente, e decir. Su ecuación e ( ) ( ) ( 3). 6 6 d) Hallamo el centro mediante la interección de lo tre plano mediatrice de AB: ; de AC: de BD:. Obtenemo el centro (, -, ). El radio e la ditancia del centro a uno cualquiera de lo punto obtenemo 5 unidade. La ecuación e: ( ) ( ) 5.. Halla el volumen de la efera tangente a lo plano de ecuacione: 45
π 3 π 6. Eto plano on paralelo por lo que la ditancia entre ello e el diámetro de la efera. Ete vale 3 3 4 3 9π unidade, por lo que el radio e 3/. El volumen de la efera e π unidade cúbica. 3 3. Sea la efera de ecuación - 4 4 4 El plano de ecuación 7 e tangente, ecante o eterior a la efera? Eta efera tiene por centro el punto (, -, - 3) por radio 3 unidade. Hallamo la ditancia del centro al plano dado obtenemo 4 3 unidade. Como eta ditancia e maor que el radio de la efera entonce el plano dado e eterior a la mima. ACTIVIDADES ACCESO UNIVERSIDAD-PÁG. 66. Halla el valor de m para que el tetraedro de vértice el origen de coordenada lo punto en lo que el plano 6 3 m corta a lo eje coordenado tenga unidade cúbica de volumen. Lo vértice del tetraedro on lo punto A (- m/6,, ), B (, - m/3, ), C (,, - m) O (,, ). El volumen del tetraedro e: 6 m 6 m 3 m 3 m 8. 3 m Reolviendo la ecuación m ± 6. 8. Se conidera el plano de ecuación 3 9 en el un punto P de coordenada (,, -). Sea Q la proección del punto R (,, ) obre el plano dado. Halla el área del triángulo PQR. Hallamo el punto Q, proección de R obre el plano dado. Para ello cortamo el plano con la recta perpendicular a él paando por R obtenemo el punto Q. 3 9 3 4 El área del triángulo PQR e PQ QR uc. Q (, 3, - ). 46
3. Para qué valor de a la recta de ecuación 3 3 etá contenida en el plano? 3 a La recta etá contenida en el plano i el vector de la mima e perpendicular al vector normal al plano, por lo que (3 a, - 4, a - 9) (,, ), de donde a 5. 4. Sea el cuadrado de centro el punto C (,, - ) uno de cuo lado eta en la recta r.. Halla el plano en el que e encuentra el cuadrado el área del mimo. El cuadrado etá en el plano que contiene a la recta al punto dado.,. Para hallar el área hallamo el lado que erá doble de la ditancia de C a la recta. Para hallar la ditancia del punto C a la recta tomamo un punto P de la recta un vector director, por ejemplo P (,, ) v,, ( ) CP v El lado mide d(c, r) 3. v El área del cuadrado e 8 uc. 3 6 5. Sea la recta r el plano π 3. Halla la ecuación de la recta contenida en el plano π dado, que pae por el punto P (,, - ) corte a la recta r perpendicularmente. El vector de la recta pedida lo hallamo por el producto vectorial de un vector normal del plano un vector de la recta dada, e decir: i j k v 3 (,5, 3). t La ecuacione de la recta on 5t. 3t 6. Do vértice de un triángulo ABC on lo punto A (, 3, ) B (-,, ). El vértice C e el punto de corte 4 de la recta que paando por A corta perpendicularmente a r. Halla ete vértice C el área del triángulo. El vértice C e el punto de corte del plano perpendicular a la recta paando por A con la recta dada: 47
4 C (4,, ). El área del triángulo ABC viene dada por. 7 uc AC AB 7. Halla la coordenada del punto B de la recta 3 4 3 3 que equidita del origen de coordenada O del punto A (- 4,, ). El punto B e el punto de corte del plano mediatri de OA con la recta:. 3 4 3 3 6 De aquí obtenemo el punto B (3, 7, 5). 8.a) Etudia, egún lo valore de m, la poición relativa de la recta mt mt t ;. OZ eje t b) Para m halla la perpendicular común a a t. c) Para m - halla la ditancia entre eta recta t. a) Para m on ecante para m la recta e cruan. b) Para m la recta e cruan. Hallamo el plano que contiene a a un vector perpendicular común a t, el plano que contiene a t al mimo vector anterior. Amba ecuacione on la recta pedida.. 5. Por lo que la recta pedida tiene por ecuacione. 5 48
c) Para m - la recta e cruan d(, t) [ v, vt, P Pt ] v v t 4 8 unidade 9. Halla la ecuación de la recta que paa por el punto A (,, ) corta perpendicularmente a la recta: 3 Hallamo el plano que paa por A e perpendicular a la recta dada, lo cortamo con la recta obtenemo el punto B. La recta que bucamo e la que paa por A B. 4 3 La recta AB tiene por ecuacione. B (,, ).. Sean lo vectore u ( b,, 4) v (, 3, a). a) Halla a b para que eo vectore ean ortogonale el módulo del primero ea 4. b) Para a b 5 halla el área del paralelogramo que tiene eto vectore por lado. ( b, a) Se ha de verificar: b, 4) (, ( 3, a). ) 4 4 Obtenemo do olucione: a - / b 5; a b - 5. b) Área ( 5,,4) (,3,) 4 uc.. Halla el área del tetraedro de vértice A (, 3, 3), B (3,, 3), C (3, 3, ) D (3, 3, 3). Ete tetraedro tiene tre cara triángulo rectángulo la cuarta cara ABC que e un triángulo equilátero. El área de cada uno de lo triángulo rectángulo e 9/ la del 9 3 equilátero e. Por tanto el área total del tetraedro e 7 9 3 uc. 49
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN-PÁG. 67 La cuádrica Conocemo alguno cuerpo geométrico: el cilindro, el cono la efera, pero ha otro cuerpo como el balón de rugb, la chimenea de la centrale térmica, lo radiotelecopio alguna obra arquitectónica que etán limitado por uperficie diferente a lo anteriore. Eta uperficie on la cuádrica etán engendrada por la cónica. La cuádrica on uperficie que e pueden repreentar en un itema carteiano OXYZ mediante una ecuación de egundo grado de la forma: a a a 33 a a 3 a 3 a a a 3 a La cuádrica on en el epacio lo que la cónica en el plano. Son uperficie cua interección con lo plano coordenado on cónica: elipe, hipérbola o parábola. Una de la cuádrica e el hiperboloide de una hoja que e la uperficie de ecuación. a b c Como puede vere en el dibujo corta al eje OX en ± a, al eje OY en ± b no corta al eje OZ. Ademá u interección con lo plano coordenado OYZ OXZ da lugar a hipérbola con el plano OXY a elipe. Invetiga obre otra cuádrica, apecto como: claificación, ecuacione reducida, eccione, punto, recta plano notable aociado (centro, eje, vértice ), decripción, aplicacione en la arquitectura, ingeniería, etc. Motramo alguno de lo apecto má reeñable de la principale cuádrica. El elipoide e la uperficie de ecuación. a b c Como puede vere en el dibujo corta al eje OX en ± a, al eje OY en ± b al eje OZ en ± c. Ademá u interección con lo plano coordenado OYZ, OXZ OXY da lugar a elipe. 5
El hiperboloide de do hoja e la uperficie de ecuación. a b c Como puede vere en el dibujo corta al eje OX en ± a no corta al eje OY ni al eje OZ. Ademá u interección con lo plano coordenado OXY OXZ on hipérbola con OYZ on elipe. El cono cuadrático e la uperficie de ecuación. a b c Como puede vere en el dibujo corta a lo eje coordenado en el origen de coordenada. Ademá u interección con plano paralelo a OXY da lugar a elipe con plano paralelo a OYZ da lugar a hipérbola. 5
El paraboloide elíptico e la uperficie de ecuación c. a b Como puede vere en el dibujo corta a lo eje coordenado en el origen de coordenada. Ademá u interección con plano paralelo a OXY da lugar a elipe, con plano paralelo a OYZ a OXZ da lugar a parábola. El paraboloide hiperbólico e la uperficie de ecuación c. a b Como puede vere en el dibujo corta a lo eje coordenado en el origen de coordenada. Ademá u interección con plano paralelo a OXY da lugar a hipérbola con plano paralelo a OYZ a OXZ da lugar a parábola. 5
El cilindro elíptico e la uperficie de ecuación. b a Su eccione con plano paralelo al plano OXZ on elipe. También tenemo el cilindro circular, cilindro hiperbólico cilindro parabólico. 53