C a p ít u l o Pr o d u c t o s n o ta bles E l trin o m io c u a d ra d o p e rfe c to sí se denomina al resultado de (a + b)2, que se obtiene mediante un cuadrado d e lado (a + b); a l que conforman dos cuadrados de área a2* y "b2", a sí como dos rectángulos de área "ab ", por tanto, el desarrollo de la expresión (a + b)2 es: A (a + b)2 = a 2 + 2 ab + b2 E l c u b o p e rfe c to Es la denominación del resultado de (a + b); para su desarrollo se propone un cubo de arista (a + b) cuyo volumen será la expresión (a + b). A este cubo perfecto lo conforman dos cubos d e volumen " a " y " b " respectiva mente, tres paralelepípedos con volumen uc? b u y otros tres con volumen " a b 2", lo que da el desarrollo de la expresión: (a + b ) = a + a 2b + a b 2 + b a a+ b b a a+b
C a p ít u l o ÁLGEBRA Definición L os productos notables se o btienen co n un sim ple desarrollo, sin necesidad de efe c tu a r e l producto. C u a d ra d o de un binom io E l d e sa rro llo de la su m a de dos can tid ad es a l cu ad ra d o e s igual a l cu ad ra d o d e l prim er térm in o, m ás e l d oble producto d e l prim er térm ino por e l segundo, m ás e l cu ad ra d o d e l seg u n d o ; e s ta regla g en eral se expresa co n la fórm ula: (a + b f = a2 + l a b + b2 A la expresión resultante s e le conoce co m o trinom io cu ad ra d o perfecto. L a expresión (a + b f e s equivalente a (a + b \ a + b \ e n to n c es a l re aliz a r e l producto de los binom ios, se obtiene: (a + b f = (a + b )(a + b ) = a 2 + a b + a b + b2 = a2 + 2 a b + b 2 S O jd lu S lj E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- * D esarrolla (* + 7 )2. A l a p lic ar la regla general: - E l cu ad ra d o d e l prim er térm ino: (*)2 = x2 - E l doble producto d e l prim er térm in o por e l segundo: 2(x)(7) = 4* - E l cu ad ra d o d e l segundo térm ino: (7)2 = 49 Se su m an los térm inos resultantes y se obtiene: (x + 7)2 = 2 4* + 49 - C u á l e s e l resultado de d e sa rro lla r (m + 5n )2? Se ap lic a la fórm ula co n /w co m o prim er térm in o y 5n c o m o segundo térm ino (m + 5 r i f = ( m f + 2(m )(5«) + (5«)2 = 9m 2 + 0 m n + 2 5 n2 P or tanto, e l resultado e s: 9m 2 + Qmn + 2 5 n 2 D esarro lla ^ a + j. Se sustituyen los térm inos e n la fórm ula y se e fec tú a n la s operaciones, p a ra obtener: ( í fl + ) = ( r ) 4 + 2 ( i a ) ) + ( ) = + 0 + 9 = a2 +a+9 D esarrolla (5m2' " + n * f. E n e s te e je m p lo los exponentes de las bases so n expresiones alg eb raicas, entonces, a l a p lic ar la fórm ula, se obtiene: (5m 2*- + nixf = ( 5 m + 2(5m 2,- )(/i4 ) H ^ f = 2 74 5 lom2*" «* +
C a p ítu lo Productos notables 5 D e s a rro lla ( - 2 * - y)2. E l bin o m io s e expresa de la siguiente m anera: ( - 2 x - y)2 = ( ( - 2 * ) + ( - y ) ) \ s e a p lic a la fórm ula: ( - 2 * - y f = ( ( - 2 * ) + ( - y ) ) 2 = ( - 2*)2 + 2 ( - 2 r X - y ) + ( - y)2 = 4x2 + 2x y + 9y2 P o r tan to : ( - 2 * - y)2 = 4 r + 2x y + E l desarrollo d e l cu ad ra d o de una d ifere n cia de dos c an tid ad e s, e s igual a: (a - b)2 = a2 - la b + b E n e ste de sa rro llo los térm inos se su stitu y en co n signo positivo, c o m o lo ilustran los siguientes ejem p lo s: E JE M P L O S I. C uál es e l resultado de d e sa rro llar (4x4-9 y )2? Solución AJ Se a p lic a la fórm ula anterior y s e obtiene: (4y - 9y)2 = (4x*)2-2(4*4)(9y) + (9 y )2 = 6*8-7 2 * 4y + 8y6 2 D e s a rr o lla ( x * y - 2x5z f. Se a p lic a la fórm ula de la m ism a m anera que e n e l ejem p lo an te rio r y se obtiene: ( * y - 2*r*z)2 = (x y f - 2( y ) ( 2 + (2*5z)2 = 9x 6y 2 - \2x*yz + 4 * 'V Finalm ente, e l resultado de la operación e s: 9 * y - 2x8yz + 4 r z2 C u a d ra d o de un trinom io E l de sa rro llo de la expresión: (a + b + c f e s igual a la s u m a de los c uadrados de c a d a uno de los térm in o s, m ás los d o b les productos de las com binaciones en tre ellos: (a + b + c )2 = a2 + b 2 + c2 + l a b + 2 a c + 2be L a ex p resió n (a + b + c f es equivalente a l producto (a + b + c ) ( a + b + c), entonces: (a + b + c)2 = (a + b + c )(a + b + c ) = a 2 + a b + ac + a b + b 2 + b c + ac + be + c 2 Al sim plificar los térm inos sem ejantes: (a + b + c f = á 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2 a c + Tbc 75
C a p ít u l o ÁLGEBRA E JE M P L O S ----------------------------------------------------------------------------------- %_ D esarrolla ( x + 2 y + z)2... UJ Se ap lic a la fórm ula y s e obtiene co m o resultado: ( x + 2 y + z f = ( x f + (2y f + (Z)2 + 2 (x ) (2y ) + 2 (x ) (z ) + 2(2y) (Z) = x 2 + 4y2 + 9z2 + 4 x y + 6 x z + 2y z 2 O btén e l resultado de (4rn - I n - 5)2. E l trin o m io s e e x p re sa de la sig u ien te m anera: (4m - I n - 5)2 = (4m + ( - 7 n ) + ( - 5))2 y se a p lic a la fó rm u la para o b ten e r co m o resultado: (4m - l n - 5 )2 = (4 m f + ( - I n f + ( - 5 ) 2 + 2 (4 m )(- 7n ) + 2 (4 m )(- 5 ) + 2 ( - 7w)<- 5) = 6m2 + 49w2 + 2 5-5 6 m n - 4 0 m + 7 0 n D esarro lla I + 2 * "+ * "-' Al a p lic ar la fórm ula s e obtiene: = ^ y * ) + ( 2 i ' ) 2 + ( y l ), + 2 ^ y * ' ^ 2 y ) + 2 ^ * * ' j ( ^ l) + 2 ( 2 x - ) ( y ) = i x!-*! + 4 x 'm + x 2-2 + 2 x 2mtl+ x 2' + 4 x 2-4 Se reducen los térm inos se m ejan te s y s e a co m o d an de form a d ecreciente, resp ec to a los exponentes: = - X 2- ' 2 + 2 x? ~ " + S x 2 + 4 X 24 + x 2^ 2 EJE R C IC IO 4 Desarrolla las siguientes expresiones:. ( r + 8)2 0. (4 - m )2 9. (2 x + y)2 2. (m - 0 )2. ( y + 9)2 20. (jc + 0.2)2. ( a - )2 2. ( x - 2 ) 2 2. (4x + 5y)2 4. ( y + )2. ( p + 5)2 22. (9 a - a 2*»)2 5. (y + 5 )2 4. (2 a - \ f 2. ( 6 /r n 4 + n t p f 6. ( p - 6J2 5. 24-7. 6. ( a * - l)2 25. ^ l - * y 8. ( r - 5 ) 2 7. (m n + 8 a)2 26. ^ - 2 y 9. (2 + n ) 2 8. ( 7 a - b f 27. (l- > )2 76 jc 4y
C a p ítu lo Productos notables 2 8. (Sx2 + 4x y 7)2 8. (ó*" " 2 + 5y4V ) 2 48. (x 2-2 x + l) 2 29. <5ab - x y Y 9. ( ( U t * - 0. 8 / " ) 2 49. ( x + y - 2 f 0. (m9 + 2 y4)2 40. í * *-2 + > ' - J j 50. ( 2 a - 6 + l ) 2. ( r - 9 y ) 2 4. ^ 2. ( - I? ) 2 42. + /- j ( Y*0 /í4*v +l V ± - +^ -2 _ 5. (4 m + 5n + p)! 5 2. ( ^ + 2y2 - l ) 2. (*4-5 + 2y * "? 4. ( x + 2 y + j ) 2 5. ^ i a + i f c + c 4. (m2 *6-4 n )2 44. ( í - 2 y + l) 2 54. 5. ^ a, + i f l V j 45. ( a + 6 f c - 5 c ) 2 55. 2 + 6. ^ < 2- ' - f c ) 46. (a 2 + 5 a + 4 )2 56. ( a '- f r '+ c ') 2 7. <0,6m2' - 0.5n4)2 47. (a 2 + a - 2)2 ~ 57. (a 4* ' - 2 a - a 4- ' ) 2 V erifica t u s r e s u lta d o s a n la sa c c ió n d a s o lu c io n a s c o rra s p o n d ia n ta Binom ios co njug ad o s Son de la form a (a + b )(a - b ) y s u resultado e s la difere n cia de los c uadrados de am bas c an tid ad e s, co m o se ilustra e n la fórm ula: (a + b )( a - b ) = á * - b 2 Se re aliz a e l producto y se obtiene: (a + b )(a - b ) = a 2 - a b + a b - b 2 = a2 - b 2 E JE M P L O S D esarrolla ( x + 6 ) (x - 6). A m bos térm in o s s e e le v an a l cuadrado: - E l cu ad ra d o d e l térm ino que no ca m b ia de signo: ( x f = X - E l cu ad ra d o d e l térm ino que c a m b ia de signo: (6)2 = 6 Finalm ente, se re aliz a la d iferencia y el resultado e s: X - 6 7 7