Diplomado Mathematiké

Diplomado Mathematiké Certificación de Profesores de Matemáticas 2017-2018 Módulo IX Volumen de Figuras Sólidas Material de Trabajo Mathematiké Una Forma Integral, Inteligente y Creativa de Aprender Matemáticas

MTK MTK Aritmética Tercer Año MORENO

Figuras Sólidas Definición y Clasificación Las figuras sólidas son aquellas que tienen volumen, es decir, en las cuales podemos medir ancho, largo y alto. Las figuras sólidas están formadas de caras, aristas, vértices. Las caras son las superficies planas de una figura sólida. Las aristas son las rectas en donde se unen las caras. Los vértices son los puntos en los cuales se unen dos o más aristas. A D F B E C G Vértice Cara Vértices: A, B, C, D, E, F, G, H. H Aristas: AB, AD, AF, BC, BG, CD, CH, GF, GH, ED, EF, EH. Arista Caras: ABCD, AFGB, AFED, BGHC, EFGH, CDEH. A Vértice C D Arista Cara B Vértices: A, B, C, D. Aristas: AB, AC, AD, BC, BD, CD. Caras: ABC, ACD, ABD, BCD. Módulo 9 5

Figuras Sólidas Poliedros Todas sus caras son polígonos Poliedros Regulares Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro Cuatro Caras Seis Caras Ocho Caras Doce Caras Veinte Caras Todas Sus Caras Son Iguales Solamente existen cinco poliedros regulares. Poliedros Irregulares Una o Varias Caras Son Diferentes Cilindros Tienen dos bases circulares y paralelas. Conos Tienen una base circular. Esferas Todos los puntos de la superficie están a la misma distancia del centro. Prismas Al menos dos de sus caras son iguales y paralelas. Poliedros Irregulares Pirámides Sólo tienen una base y sus caras son triángulares. Altura Altura Altura Altura Altura Prismas Rectos La altura es la arista que une sus bases. Prismas Oblicuos La altura no es una las aristas. Pirámides Regulares Pirámides Rectas Pirámides Oblicuas El vértice está La altura es una de El vértice no está directamente encima las aristas. directamente encima del centro de la base. del centro de la base. 6 Volumen de Figuras Sólidas

Resumen de la Clasificación de las Figuras Sólidas Figuras Sólidas Poliedros Cilindros Conos Esferas Todas sus caras son polígonos Tienen dos bases circulares y paralelas. Tienen una base circular. Todos los puntos de la superficie están a la misma distancia del centro. Poliedros Regulares Todas sus caras son iguales. Poliedros Irregulares Una o varias caras son diferentes. Prismas Al menos dos de sus caras son iguales y paralelas. Pirámides Sólo tienen una base y sus caras son triángulares. Prismas Rectos La altura es la arista que une sus bases. Prismas Oblicuos La altura no es una de las aristas. Pirámides Regulares El vértice encima del centro de la base. Pirámides Rectas La altura es una de las aristas. Pirámides Oblicuas El vértice no encima del centro de la base. Árbol Genealógico de las Figuras Sólidas Poliedros Regulares Irregulares Prismas Rectos Oblicuos Regulares Pirámides Rectas Figuras Sólidas Oblicuas Cilindros Conos Esferas Módulo 9 7

Volumen Mathematiké Volumen de Figuras Sólidas Definición y Fórmula El volumen de un cuerpo sólido es la cantidad de espacio que hay dentro de él. La unidad para medir el volumen es un cubo, ya que debemos medir largo, ancho y altura. Porque es un cubo lo que usamos, le llamamos unidad cúbica, y la representamos con el exponente. Para crear la unidad cúbica, podemos utilizar metros, decímetros, centímetros o milímetros. Si utilizamos el metro, creamos un metro cúbico, que se representa como m. m = m m m 1 m 1 m 1 m Si usamos el decímetro, tenemos un decímetro cúbico: dm. Con el centímetro y el milímetro, creamos centímetros cúbicos: cm y milímetros cúbicos: mm. 1 dm 1 cm 1 mm 1 m 8 Volumen de Figuras Sólidas

Volumen de Un Poliedro. Primer Paso. Volumen de Un Poliedro Primer Paso El volumen de un cubo, se calcula multiplicando el área de la base por su altura. Esta fórmula, la representamos en lenguaje matemático, de la siguiente forma: Volumen Cubo = Área Base x Altura Si la longitud del largo, ancho y alto del cubo la representamos con la letra a, entonces, el volumen se puede representar de la siguiente manera: a a a a a a a a a a a a Área Base = a x a Volumen = Área Base x Altura Volumen = a x a x a = a Ejercicio Con el Material Didáctico. Construye el Cubo del material didáctico. Usando el metro del material didáctico, demuestra la fórmula, utilizando diferentes caras del cubo para calcular el área de la base. a Área Base = a a = a 2 Volumen = Área Base Altura Volumen = a 2 a = a El volumen del cubo es siempre el mismo, sin importar cuál cara utilizamos para calcular el área, que luego multiplicamos por la altura correspondiente. Puedes repetir este experimento con cubos de diferentes tamaños. Módulo 9 9

Volumen de Un Poliedro. Segundo Paso. Segundo Paso El volumen de cualquier prisma se calcula multiplicando el área de la base por la altura. Utilizando lenguaje matemático, la fórmula se escribe la siguiente forma: Volumen Prisma = Área Base x Altura La fórmula es la misma que la que utilizamos para el cubo. No importa cuál cara utilicemos para calcular el área, que luego multiplicamos por la altura correspondiente, el volumen es siempre el mismo. 6 m 4 m 14 m Área Base 1 = 14 4 = 56 m 2 14 m 4 m 4 m 6 m Área Base 2 = 6 4 = 24 m 2 Área Base 6 m 14 m = 14 6 = 84 m2 Volumen = 56 6 = 6 m Volumen = 24 14 = 6 m Ejercicio Con el Material Didáctico. Volumen = 84 4 = 6 m Utilizando las cartulinas Prisma Rectangular Recto 1, 2 y del material didáctico, construye los tres prismas, con los cuales debes demostrar que el volumen de cualquier prisma, sin importar cuál de las caras escogemos como base, se calcula multiplicando el área de la base por la altura. Las diferentes formas en las cuales puedes acomodar los prismas, para hacer la demostración, se muestran en la siguiente figura. Usa el metro del material didáctico, para conocer las dimensiones de las aristas. 10 Volumen de Figuras Sólidas

Calcula el volumen de los prismas, de la forma que se indica. Base 2 Base 12 dm Base 1 16 dm V Prisma = Área Base 1 x Altura = V Prisma = Área Base 2 x Altura = V Prisma = Área Base x Altura = 19 dm Base V Prisma = Área Base 1 x Altura = 18 cm Base 2 Base 1 20 cm V Prisma = Área Base 2 x Altura = V Prisma = Área Base x Altura = 14 cm Módulo 9 11

Volumen de Un Poliedro. Tercer Paso. Tercer Paso Cuando el poliedro está formado de prismas de base rectangular, lo descomponemos y calculamos el volumen de cada uno de los prismas que lo forman. Volumen Poliedro = V Prisma 1 + V Prisma 2 + V Prisma Prisma 1 Base 1 Altura 1 Altura 2 Prisma 2 Base 2 Prisma Base Altura V Prisma 2 = Área Base 2 Altura 2 V Prisma 1 = Área Base 1 Altura 1 V Prisma = Área Base Altura Ejercicio Con el Material Didáctico. Con las cartulinas 1, 2 y del Poliedro Irregular del material didáctico, arma el poliedro irregular. Antes de armarlo, lee las instrucciones que aparecen en este apéndice. Poliedro Irregular

Para conocer el volumen total de este poliedro, lo dividimos en prismas de base rectangular. Las cartulinas 1, 2 y Prisma Recto de Base Rectangular del material didáctico contienen estos prismas. Ármalos siguiendo las indicaciones de las instrucciones. Prisma Recto Rectangular Prisma Recto Rectangular Prisma Recto Rectangular Prisma 1 Prisma 2 Prisma Ejercicio Con el Material Didáctico. Utilizando el metro del material didáctico, mide las dimensiones de las aristas de los prismas y calcula sus volúmenes. V Prisma = Área Base 1 x Altura = V Prisma = Área Base 2 x Altura = V Prisma = Área Base x Altura = El volumen del poliedro, es la suma del volumen de cada uno de los prismas. Prisma Recto Rectangular Prisma Recto Rectangular Prisma Recto Rectangular V Poliedro = Módulo 9 1

Aritmética Cuarto Año MORENO Módulo 9 15

Volumen de Poliedros y Cilindros Prismas Un prisma es una figura sólida en la cual todos sus lados son polígonos y tiene dos caras paralelas a las que llamamos las bases. El nombre del prisma depende del tipo de polígono que forma su base. Por ejemplo, si es un triángulo le llamamos prisma triangular, si es un rectángulo es un prisma rectangular. Base Base Base Base Prisma Rectangular Base Prisma Rectangular Base Base Base Prisma Cuadrangular Prisma Triangular Base Base Base Base Prisma Hexagonal Prisma Octagonal En la figura anterior podemos observar que las bases son paralelas. Módulo 9 17

Los prismas están formados de: Caras Polígonos que forman el prisma. Lados Las rectas que unen las caras que forman el prisma. Vértices Los puntos en los cuales se unen los lados del prisma. Cara Vértice Arista Cara Vértice Arista Arista Vértice Cara Vértice Arista Cara Los prismas se clasifican en: Prismas Rectos Los lados de las caras son perpendiculares a las bases del prisma. Prismas Oblicuos Los lados de las caras no son perpendiculares a las bases del prisma. Altura Altura Prisma Rectangular Recto Prisma Rectangular Oblicuo Altura Altura Prisma Cuadrangular Recto Prisma Cuadrangular Oblicuo Poliedro Un poliedro es una figura sólida cuya superficie está formada de polígonos. Todos los polígonos que lo forman pueden ser diferentes o iguales, o algunos de ellos pueden ser iguales. Al igual que los prismas, los poliedros están formados de: Caras Polígonos que forman el poliedro. Lados Las rectas que unen las caras que forman al poliedro. Vértices Los puntos en los cuales se unen los lados del prisma.

Ejemplo. Calcular el volumen de un cilindro de 8 centímetros de diámetro y una altura de 10.4 centímetros. d = 8 r = 4 r 2 = 4 4 = 16 cm 2 Área Base = π r 2 10.4 cm 4 8 cm Área Base =.14 16 Área Base = 50.24 cm 2 Volumen Cilindro = Área Base Altura Volumen Cilindro = 50.24 10.4 Volumen Cilindro = 522. 49 cm Ejercicio Calcula el volumen de los prismas y cilindros. Área Base = 12 cm 6.7 m 8 m 11 cm 9.2 m 7 cm Vol Prisma = Área Base = Vol Prisma = 15 dm 8 dm 6 dm Área Base = Vol Prisma = 10 cm 8 cm 5.8 cm Área Base = Vol Prisma = 8 cm 1 cm Área Base = Vol Cilindro =

Ejemplo Calcular el volumen del prisma irregular. 24 cm 24 cm 24 cm 16 cm 8 cm 14 6 4 Para dividir el prisma en varios prismas, primero dividimos la base en un rectángulo y dos triángulos. Calculamos el área de cada uno de ellos. 24 cm 24 cm Área Rectángulo = 24 16 = 84 cm 2 14 6 4 16 cm 8 cm 14 4 16 cm 8 cm 11 7 Área Triángulo 1 = = 8.5 cm 2 2 4 8 Área Triángulo 2 = = 16 cm 2 2 Ahora, dividimos el prisma en tres prismas y calculamos el volumen de cada uno de ellos. Vol Prisma = Área Base Altura 24 cm 24 cm 24 cm Vol Prisma rectangular = 84 24 = 9,216 cm Vol Prisma triangular 1 = 8.5 24 = 924 cm Vol Prisma triangular 2 = 16 24 = 84 cm El volumen del prisma irregular es la suma del volumen del prisma rectangular más el volumen de los prismas triangulares. Volumen Prisma = 9,216 + 924 + 84 = 10,524 cm

Ejercicios con el Material Didáctico Arma el prisma de base irregular de las cartulinas 16 y 17 del material didáctico. Ármalos siguiendo las instrucciones. Para calcular su volumen, debemos dividirlos en un prisma rectangular y dos prismas triangulares. Arma estos prisma, utilizando las cartulinas 18, 19, 20 y 21 del material didáctico. Usando una regla, mide sus dimensiones y calcula el volumen de cada uno de los prismas y el volumen total del prisma de base irregular. Volumen Prisma Rectangular = Volumen Prisma Triangular 1 = Volumen Prisma Triangular 2 = Volumen Prisma Base irregular = Módulo 9 21

MORENO Módulo 9 2

Altura Altura Prisma rectangular recto Prisma rectangular oblicuo Pirámides Una pirámide es un sólido formado de un polígono que es su base, y una serie de triángulos con un vértice común, que son sus caras. Al igual que los prismas, el nombre de la pirámide depende de la forma de su base. Vértice Vértice Vértice Vértice Arista Arista Arista Arista Base Base Pirámide triangular Pirámide cuadrangular Pirámide octagonal Pirámide pentagonal Clasificación de las pirámides Las pirámides se clasifican en: Pirámides rectas Una de sus aristas, es perpendicular a la base. Pirámides oblicuas Ninguna de sus aristas, es perpendicular a la base. Altura de una pirámide La altura de una pirámide es la distancia perpendicular de la base de la pirámide a su vértice. Base Base Para medir la altura debemos usar una escuadra colocándola en la base de la pirámide. Altura Altura Pirámide oblicua Pirámide recta Altura Altura Pirámide oblicua Pirámide oblicua Módulo 9 25

Conos Un cono es una figura sólida en forma de pirámide formada de un círculo que es su base, y una superficie plana que forma su cara. El vértice es el punto en el cual se une la superficie que forma la cara del cono. Vértice Vértice Cara Cara Base Cono Cono Clasificación de los conos Las conos se clasifican en: Conos rectos El vértice del cono se encuentra en una línea perpendicular a la base que pasa por el centro del círculo. Conos oblicuos El vértice del cono se encuentra en una línea perpendicular a la base que no pasa por el centro del círculo. Altura de un cono La altura de un cono es la distancia perpendicular de la base del cono a su vértice. Para medir la altura de un cono recto u oblicuo, colocamos una escuadra sobre la base del cono. Altura Altura Altura Cono recto Cono oblicuo Cono oblicuo Figuras geométricas sólidas Figuras geométricas solidas Prismas Poliedros Pirámides Rectos Oblicuos Regulares Irregulares Rectas Oblicuas Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro Prismas Rectos Oblicuos Conos Rectos Oblicuos 26 Volumen de Figuras Sólidas

Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Volumen de pirámides El volumen de cualquier pirámide recta se calcula multiplicando el área de la base por la altura y dividiendo el resultado entre tres. Volumen Pirámide = Área Base Altura Demostración del volumen de una pirámide recta Recorta las cartulinas 14, 15 y 16 del material didáctico complemento del libro. Arma las tres pirámides y utilizando las lengüetas y ranuras únelas para formar un cubo. Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Volumen Cubo = Área Base Altura Para demostrar que el volumen de cada una de las pirámides es un tercio del volumen del cubo, debemos verificar que el área de la base y la altura de las pirámides es la misma. Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Volumen Cubo = Área Base Altura Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Volumen Pirámide = Área Base Altura Pirámide Recta Base Cuadrada Ejemplo Calcular el volumen de la pirámide triangular. Área Base = 10 14 2 = 70 m 2 14 m 10 m 18 m Área Base Altura Volumen Pirámide = Volumen Pirámide = 420 m = 70 18 Módulo 9 27

Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Volumen de pirámides El volumen de cualquier pirámide recta se calcula multiplicando el área de la base por la altura y dividiendo el resultado entre tres. Volumen Pirámide = Área Base Altura Demostración del volumen de una pirámide recta Recorta las cartulinas 14, 15 y 16 del material didáctico complemento del libro. Arma las tres pirámides y utilizando las lengüetas y ranuras únelas para formar un cubo. Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Volumen Cubo = Área Base Altura Para demostrar que el volumen de cada una de las pirámides es un tercio del volumen del cubo, debemos verificar que el área de la base y la altura de las pirámides es la misma. Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Volumen Cubo = Área Base Altura Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Pirámide Recta Base Cuadrada Volumen Pirámide = Área Base Altura Pirámide Recta Base Cuadrada Ejemplo Calcular el volumen de la pirámide triangular. Área Base = 10 14 2 = 70 m 2 14 m 10 m 18 m Área Base Altura Volumen Pirámide = Volumen Pirámide = 420 m = 70 18 28 Volumen de Figuras Sólidas

El volumen de cualquier pirámide es un tercio del volumen del área de la base por la altura. En el sexto nivel de abstracción, haremos la misma demostración utilizando pirámides oblicuas. Ejemplo Calcular el volumen de la pirámide rectangular. 15 cm Área Base = 18 9 = 162 cm 2 Área Base Altura Volumen Pirámide = = 162 15 18 cm 9 cm Volumen Pirámide = 810 cm Ejemplo Calcular el volumen de la pirámide de base irregular. 5 5 Área Base Triángulo = = 12.5 m 2 2 Área Base Cuadrado = 5 5 = 25 m 2 9 m 10 m Área Base = 12.5 + 25 = 7.5 m 2 10 m 5 m 5 m 5 m Área Base Altura Volumen Pirámide = Volumen Pirámide = 112.5 m = 7.5 9 Volumen de conos El cono es una pirámide de base circular, por lo tanto, el volumen del cono también es el área de la base por la altura. Volumen Cono = Área Base Altura Ejemplo Calcular el volumen del cono. Área Base = r 2 =.14 (6) 2 =.14 6 = 11.04 cm 2 12 cm Volumen Cono = Área Altura Base 11.04 12 = Volumen Cono = 452.16 cm Módulo 9 29

Ejercicios con el material didáctico Recorta las cartulinas 17 y 18. Arma la pirámide de base triangular y la pirámide de base pentagonal. Utiliza una regla para medir las dimensiones de la base y la altura. Calcula el volumen aproximado de las pirámides. Los cuatro lados de la pirámide triangular son iguales, por eso le llamamos tetraedro, que es un poliedro de base regular. Poliedro Regular de Cuatro Caras Tetraedro Área Base = Altura = Volumen Pirámide = Pirámide Base Pentagonal Pirámide Base Pentagonal Pirámide Base Pentagonal Área Base = Altura = Volumen Pirámide = Volumen de poliedros Para calcular el volumen de un poliedro, lo dividimos en prismas y pirámides cuyos volúmenes podemos calcular fácilmente. Ejemplo Calcular el volumen del poliedro. 5 cm 8 cm 5 cm 12 cm 8 cm 4 cm 8 cm 16 cm Dividimos el volumen en un prisma y tres pirámides. 0 Volumen de Figuras Sólidas

5 cm 4 cm 8 cm 4 8 Área Base Triángulo 1 = = 16 cm 2 2 16 5 Volumen Pirámide 1 = = 26.66 cm 8 cm 12 cm 5 cm 12 cm 8 cm 4 cm 4 cm 8 cm Área Base Rectángulo = 4 8 = 2 cm 2 Volumen Prisma = 2 12 Volumen Prisma = 84 cm 8 cm Área Base Rectángulo 2 = 4 12 = 48 cm 2 48 8 Volumen Pirámide 2 = Volumen Pirámide 2 = 128 cm Área Base Rectángulo = 5 8 = 40 cm 2 40 8 Volumen Pirámide = Volumen Pirámide = 106.66 cm Volumen Prisma = Área Base Altura Volumen Pirámide = Área Base Altura El volumen del poliedro es la suma del volumen del prisma y las tres pirámides. Volumen Poliedro = Volumen Prisma + Volumen Pirámide 1 + Volumen Pirámide 2 + Volumen Pirámide Volumen Poliedro = 84 + 26.66 + 128 + 106.66 Volumen Poliedro = 645.2 cm Ejercicios con el material didáctico Recorta las cartulinas 19 y 20. Sigue las instrucciones para armar el poliedro irregular. Imagínate en cuáles prismas y pirámides debes dividir el poliedro para poder calcular su volumen. Recorta las cartulinas 21, 22, 2 y 24. Sigue las instrucciones para armar un prisma y tres pirámides. Haciendo coincidir los números de las ranuras y las lengüetas arma el poliedro. Utilizando una regla mide las dimensiones de la base y la altura del prisma y las pirámides. Calcula el volumen aproximado de cada uno de ellos. Suma sus volúmenes para conocer el volumen aproximado del poliedro. Módulo 9 1

Poliedro Irregular Pirámide Recta Base Triangular Pirámide Recta Base Triangular Área Base Pirámide 2 = Volumen Pirámide 2 = 2 Prisma Triangular Recto Volumen = Área Base Altura 1 Área Base Prisma = Volumen Prisma = Área Base Pirámide = Pirámide Recta Base Triangular Volumen Pirámide = Área Base Pirámide 1 = Pirámide Recta Base Triangular Volumen Pirámide 1 = Volumen Poliedro = + + + Volumen Poliedro = 2 Volumen de Figuras Sólidas

Matemáticas Integración del Conocimiento Geométrico Séptimo Nivel de Abstracción MORENO

Estrategia 8 Descomponer un poliedro irregular que contiene pris-podemomas y pirámides rectas y oblicuas en prismas y pirá-gular. Debemos buscar la mejor forma de descompo- calcular el volumen de cualquier prisma irremides cuyo volumen podemos calcular fácilmente. nerlo en prismas y pirámides, rectos u oblicuos cuyo volumen podemos calcular. Ejercicio Con el Material Didáctico Utilizando las cartulinas 1 y 2 del material didáctico Volumen de un Poliedro Irregular Oblicuo, arma el poliedro irregular oblicuo. Para encontrar el volumen debemos dividir el poliedro en prismas y pirámide cuyo volumen podemos calcular. Arma los tres primas y las tres pirámides de las cartulinas, 4, 5 y 6. Mide sus dimensiones y calcula el volumen de cada una de ellas. En una de las pirámides debes utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar su altura. Sobre la base está marcado el punto de la perpendicular al vértice superior. Suma sus volúmenes para conocer el volumen total del poliedro. d 12 6 a 18 cm b = p = d b = p = 12 a Prisma Irregular Prisma Irregular Área de la superficie de un cilindro La longitud de la base del rectángulo que forma la cara circular del cilindro es el perímetro del círculo. Perímetro del Círculo p = π d Área de la Cara Circular del Cilindro A Cara Circular = b a A Cara Circular = p a A Cara Circular = π d a Área de Cada Uno de los Círculos A Círculo = π r 2 Ejemplo Encontrar el área total de la superficie del cilindro. Perímetro del Círculo p = π d =.14 12 = 7.68 cm Área de la Cara Circular del Cilindro A Cara Circular = b a = p a A Cara Circular = 7.68 18 = 678.24 cm 2 Área de Cada Uno de los Círculos A Círculo = π r 2 =.14 (6) 2 = 11 cm 2 Área de la Superficie del Cilindro A Cilindro = 678.24 + 2 11 = 904.24 cm 2 Módulo 9 5

Ejemplo Encontrar el área total de la superficie del cilindro oblicuo. Perímetro del Círculo p = π d =.14 8 = 25.12 dm 8 4 12 dm b = p = 8 Área de la Cara Circular del Cilindro A Cara Circular = b a = p a A Cara Circular = 25.12 12 = 01.44 dm 2 Área de Cada Uno de los Círculos A Círculo = π r 2 =.14 (4) 2 = 50.24 dm 2 Área de la Superficie del Cilindro A Cilindro = 01.44 + 2 50.24 = 401.92 dm 2 Área de la superficie de un cono Cuando desarrollamos la cara de la superficie del La longitud de sus lados es la distancia del vértice a cono, generamos una figura que parece un abanico. cualquier punto que está sobre el círculo. El área de la La longitud de la base del abanico es el perímetro del superficie del cono es un pedazo de círculo cuyo radio círculo. es la longitud del lado del abanico. d l p l d Para conocer el valor del área de la superficie del abanico, aplicamos una de las estrategias que utilizamos para calcular el área de un círculo. Dividimos el área en pequeños triángulos y los acomodamos formando un rectángulo. p = d r l r Ejemplo Encontrar el área total de la superficie del cilindro. Altura del Cono a l = 9 cm Área de la Base del Cono l ( ) ( ) 2 2 a = 9 = 8.48 cm La base del rectángulo es la longitud l que genera la superficie del cono (distancia del vértice a la base). Al armar el rectángulo descubrimos que su altura es π r. Donde r es el radio del círculo que forma la base del cono. El área de la superficie de un cono es igual al área del rectángulo. Área de la superficie de un cono = π r l Área de la Superficie del Cono A Superficie = π r l A Superficie =.14 9 = 84.78 cm 2 Área Total del Cono 6 cm r Volumen del Cono V Cono A = a 28.26 8.48 = = 79.88 cm Base A Total = A Superficie + A Base A Total = 84.78 + 28.26 = 11.04 cm 2 6 Volumen de Figuras Sólidas

La esfera Una esfera se genera rotando un círculo al rededor de un eje que pasa por el centro. El radio r de la esfera, es el radio del círculo que la generó. r r Para encontrar el área y el volumen de una esfera necesitamos usar las herramientas del cálculo diferencial e integral. Utilizando el material didáctico encontramos el número ½ que nos permite conocer el perímetro y el área de un círculo. Área de la superficie de una esfera La esfera, al igual que el círculo, tiene unas características que la hacen un cuerpo geométrico maravilloso. Tiene una superficie cubierta por cuatro áreas iguales al área del círculo que la genera. El número ½ también juega un papel muy importante en la esfera. Es decir, el área de la superficie de la esfera es cuatro veces el área del círculo que la genera. Área del círculo que genera la esfera r Área de la Superficie de la Esfera Área Esfera = 4 Área Círculo Área Esfera = 4 π r 2 Area Círculo = r 2 A 1 Esfera = A Círculo = r 2 4 Ejemplo Calcular el área de la superficie de la esfera. Área del círculo que genera la esfera r = 10 cm Área del Círculo que Genera la Esfera Área Círculo = π r 2 =.14 (10) 2 = 14 cm 2 Área de la Superficie de la Esfera Área Esfera = 4 Area Círculo Área Esfera = 4 14 = 1,256 cm 2 Volumen de una esfera Si colocamos una esfera dentro de un cilindro cuyo diámetro y altura son iguales al diámetro de la esfera, el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro. Volumen del Cilindro Volumen Cilindro = Área Base Altura = π r 2 d d r d d Volumen de la Esfera Volumen Volumen Volumen Esfera Esfera Esfera 2 = Volumen 2 2 = π r d π = 2 2 r d Cilindro Módulo 9 7

Ésta es una manera muy fácil de recordar el volumen de una esfera, ya que primero calculamos el volumen del cilindro cuyo diámetro y altura son iguales al diámetro de la esfera y este resultado lo multiplicamos por 2 y lo dividimos entre. También podemos desarrollar una fórmula para el volumen de una esfera recordando que el radio es la mitad del diámetro y haciendo algunas multiplicaciones de fracciones. 2 Volumen = Área Altura = π r d Volumen = π r 2 r = 2 π r Cilindro Volumen Volumen Cilindro Esfera Esfera Base 2 d 2 = = π r Volumen 2 2 Cilindro 4 π = r Ejemplo Calcular el volumen de la esfera. Volumen del Cilindro Volumen Cilindro = Área Base Altura = π r 2 d Volumen Cilindro =.14 (10) 2 20 = 6,280 cm 20 Volumen de la Esfera d = 20 cm r = 10 10 Volumen Volumen Esfera Esfera 2 = = Volumen 2 6,280 Cilindro = 4,186.66 cm Volumen de la Esfera Usando la Fórmula Volumen Volumen Esfera Esfera π r 4.14 ( 10) 4 = = = 4,186.66 cm Serie de Ejercicios 6 Calcula el área de la superficie y el volumen de las esferas si r es el radio y d el diámetro: 1. r = 5 cm 2. d = 8 mm. d = 10.2 m 4. r = 5.1 m 5. d = 12 m 6. r = 5.4 dm 7. r = 2.8 cm 8. d = 4.6 m 9. d = 12 cm 10. r = 15 mm 11. d = 6 m 12. d = 20 m 1. r = 2.4 dm 14. d = 6 m 15. r = 9 mm 16. d =. cm 17. r = 11 mm 18. d = 4 dm 8 Volumen de Figuras Sólidas

Material Didáctico

El Cubo 5 5 Área Base = a a = a 2 Volumen = Área Base Altura Volumen = a 2 a = a aa Área Base = a a = a 2 1 Área Base = a a = a 2 2 4 5 Módulo 9 41

Prisma Rectangular Recto Cartulina 1 5 5 2 1 4 5 Módulo 9 4

Prisma Rectangular Recto Cartulina 2 5 5 2 1 4 5 Módulo 9 45

Prisma Rectangular Recto Cartulina 5 5 2 1 4 5 Módulo 9 47

Poliedro Irregular Cartulina 1 12 4 6 5 7 8 1 Módulo 9 49

Poliedro Irregular Cartulina 2 18 20 17 2 9 1 11 Módulo 9 51

Poliedro Irregular Cartulina 20 20 19 16 15 Poliedro Irregular 2 14 1 10 Módulo 9 5

Poliedro Irregular Prisma Recto de Base Rectangular. Cartulina 1 1 5 5 Prisma Recto de Base Rectangular 2 1 4 5 Módulo 9 55

Poliedro Irregular Prisma Recto de Base Rectangular. Cartulina 2 2 5 5 Prisma Recto de Base Rectangular 2 1 4 5 Módulo 9 57

Poliedro Irregular Prisma Recto de Base Rectangular. Cartulina 1 1 2 Prisma Recto de Base Rectangular 2 5 5 4 5 Módulo 9 59

Volumen de un Prisma Irregular Cartulina 1 6 7 8 Prisma Recto de Base Irregular 5 Volumen = Área Base Altura Altura Altura Volumen = Área Base Altura 1 Módulo 9 61

Volumen de un Prisma Irregular Cartulina 2 1 Volumen = Área Base Altura Altura Volumen = Área Base Altura Altura 8 2 Prisma Recto de Base Irregular 8 4 Módulo 9 6

Volumen de un Prisma Irregular Cartulina Prisma Rectangular Recto 6 Volumen = Área Base Altura 1 2 Altura 1 Módulo 9 65

Volumen de un Prisma Irregular Cartulina 4 4 6 Prisma Rectangular Recto 2 4 Prisma Triangular Recto 1 6 Volumen = Área Base Altura Altura 1 4 1 Prisma Triangular Recto 4 5 Módulo 9 67

Volumen de un Prisma Irregular Cartulina 5 1 Volumen = Área Base Altura Altura Altura Volumen = Área Base Altura 2 Módulo 9 69

Volumen de un Prisma Irregular Cartulina 6 2 Prisma Triangular Recto 2 Volumen = Área Base Altura Altura Altura Volumen = Área Base Altura Prisma Triangular Recto 1 Módulo 9 71

Volumen de una pirámide recta Cartulina 1 2 1 Pirámide Recta Base Cuadrada Volumen = Área Altura Base 1 Pirámide Recta Base Cuadrada 2 Módulo 9 7

Volumen de una pirámide recta Cartulina 2 2 Pirámide Recta Base Cuadrada Volumen = Área Altura Base 1 Pirámide Recta Base Cuadrada 1 Módulo 9 75

Volumen de una pirámide recta Cartulina 2 2 Pirámide Recta Base Cuadrada Volumen = Área Altura Base 1 Pirámide Recta Base Cuadrada Módulo 9 77

Volumen de una pirámide triangular Cartulina 1 2 Poliedro Regular de Cuatro Caras Tetraedro Poliedro Regular de Cuatro Caras Tetraedro Volumen = Área Altura Base Poliedro Regular de Cuatro Caras Tetraedro 2 1 Módulo 9 79

Pirámide Base Pentagonal Volumen de una pirámide pentagonal Cartulina 1 2 Pirámide Base Pentagonal Pirámide Base Pentagonal Volumen = Área Altura Base 4 Pirámide Base Pentagonal 1 Pirámide Base Pentagonal 4 Módulo 9 81

6de un poliedro irregular Cartulina 1 6Volumen 6Poliedro Irregular25 Módulo 9 8

54Volumen de un poliedro irregular Cartulina 2 1Poliedro Irregular Módulo 9 85

2 Volumen de un poliedro irregular Cartulina 4 Prisma Triangular Recto Prisma Triangular Recto 4Volumen = ÁreaBase Altura 4 Módulo 9 87

Volumen de un poliedro irregular Cartulina 4 2 Pirámide Recta Base Triangular 2 Pirámide Recta Base Triangular 2 1 Volumen = Área Base Altura Prisma Triangular Recto121 Volumen = ÁreaBase Altura Módulo 9 89

90 Volumen de Figuras Sólidas

Volumen de un poliedro irregular Cartulina 5 1 2 2Pirámide Recta Base Triangular Pirámide Recta Base Triangular Volumen = Área Altura Base Módulo 9 91

Volumen de un poliedro irregular Cartulina 6 Volumen = Área Altura Base 221 Pirámide Recta Base Triangular Pirámide Recta Base Triangular Módulo 9 9 1

1 1 2 Prisma Triangular Oblicuo Prisma Triangular Oblicuo Volumen de un Prisma Triangular Oblicuo Cartulina 1 Módulo 9 95

1 2 Prisma Triangular Oblicuo 1 2 Prisma Triangular Oblicuo Volumen de un Prisma Triangular Oblicuo Cartulina 2 Módulo 9 97

1 2 Volumen de un Prisma Triangular Oblicuo Cartulina Prisma Triangular Recto 2 Módulo 9 99

2 2 Pirámide Oblicua 1 Pirámide Oblicua Pirámide Oblicua Volumen de una Pirámide Oblicua Cartulina 1 Módulo 9 101

1 Pirámide Oblicua 1 Pirámide Oblicua 2 Pirámide Oblicua Volumen de una Pirámide Oblicua Cartulina 2 Módulo 9 10

2 2 1 1 Pirámide Oblicua Pirámide Oblicua Pirámide Oblicua Volumen de una Pirámide Oblicua Cartulina Módulo 9 105

Volumen de un Poliedro Irregular Oblicuo Cartulina 1 1 4 8 Prisma Irregular Oblicuo 7 6 Prisma Irregular Oblicuo 5 9 11 10 Módulo 9 107 12

1 Volumen de un Poliedro Irregular Oblicuo Cartulina 2 1 2 1 Prisma Irregular Oblicuo Prisma Irregular Oblicuo 5 Prisma Irregular Oblicuo Módulo 9 109

Volumen de un Poliedro Irregular Oblicuo 1 Cartulina Prisma Rectangular Recto 2 Prisma Rectangular Recto 1 2 5 1 4 5 Prisma Rectangular Recto 1 2 Prisma Rectangular Recto 4 5 Módulo 9 111

Volumen de un Poliedro Irregular Oblicuo Cartulina 4 1 Prisma Triangular Recto Prisma Triangular Recto 2 Pirámide Oblicua 1 2 Pirámide Oblicua 2 Módulo 9 11

2 Volumen de un Poliedro Irregular Oblicuo Cartulina 5 Pirámide Triangular Oblicua 5 Pirámide Triangular Oblicua Vértice 2 Pirámide Triangular Oblicua 1 Módulo 9 115

Volumen de un Poliedro Irregular Oblicuo Cartulina 6 2 1 4 Pirámide Triangular Oblicua 5 2 Pirámide Triangular Oblicua Módulo 9 117