Problema de Dinámica de sistemas. 19 de Septiembre 95 Sea un disco homogéneo de masa m radio R que se mueve en un plano vertical. Sea una referencia cartesiana rectangular del mismo en la que es la vertical ascendente el eje es un suelo rugoso con coeficiente de rozamiento al deslizamiento del disco f. El disco se mueve sobre el suelo sin poderse despegar. Para fijar la posición del mismo se utilizan las siguientes coordenadas generalizadas: i) la coordenada cartesiana de su centro de masas, ii) el ángulo ϕ que forma el radio que inicialmente está en contacto con el suelo con la vertical descendente (VER FIURA 1). Inicialmente el disco se encuentra en reposo en la posición = 0, ϕ = 0 se aplica sobre el punto de coordenada más negativa del mismo una percusión de valor P (cosα ı sinα j) (VER FIURA ). 1) Supongamos que en la etapa de percusión el disco no puede deslizar; se pide: a) Escribir la condición cinemática de no deslizamiento. b) Calcular el estado cinemático a la salida de la percusión: ẋ 0 (α), ϕ 0 (α). c) Hallar las percusiones sobre el disco en el punto de contacto. d) Comprobar cuando es válida la hipótesis de no deslizamiento epresar la misma mediante una relación del tipo f Φ(α). e) Plantear resolver las ecuaciones del movimiento posterior a la percusión. ) Supongamos que en la etapa de percusión ha deslizamiento (f < Φ(α)); se pide: a) Calcular el estado cinemático a la salida de la percusión: ẋ 0 (f,α), ϕ 0 (f,α). b) Calcular la velocidad de deslizamiento del disco a la salida de la percusión comprobar su compatibilidad con el resultado de 1.(d). c) Plantear resolver las ecuaciones del movimiento posterior a la percusión. d) Determinar el instante (t ) en que se termina el deslizamiento. e) Plantear resolver las ecuaciones del movimiento para t > t. 1 ϕ α P
PRBLEMA DE DINÁMICA DE SISTEMAS SEPTIEMBRE 95 SLUCIÓN 1.a) Ver Figura. Se denomina: sólido : al disco sólido 1: al sistema de referencia inercial fijo al suelo. Sean las siguientes coordenadas generalizadas: ξ: la coordenada cartesiana de en 1 ϕ: el ángulo que forma un radio fijo al disco con la vertical descendente. Si llamamos I al punto de contacto de ambos sólidos, la velocidad de deslizamiento del sólido con respecto al sólido 1 es: v I 1 = v 1 + ω 1 I = ξ ı+ ϕ k R j = ( ξ +R ϕ) ı Para que no haa deslizamiento dicha velocidad debe ser nula. Por tanto se tiene: ξ +R ϕ = 0 (1) 1.b) 1.c) Ecuaciones de la Dinámica Impulsiva en Mecánica newtoniana (α ]0, π [): P sinα P cosα H V Figura 1: Esquema de Percusiones sobre el disco Las condiciones iniciales en velocidades generalizadas son nulas (reposo). Pet = m v 1 P cosα H = m ξ 0 () P sinα+v = 0 (3) et MP = H P Rsinα H R = 1 mr ϕ 0 (4) Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1, -4), la primera particularizada a la salida de la percusión, se tiene:
ξ 0 = P 3m (cosα sinα) ϕ 0 = P 3mR (sinα cosα) H = P 3 (cosα+sinα) V = P sinα Si α > π 4 Si α > π 4 Sale para atrás ira a izquierdas 1.d) La hipótesis de Coulomb/Morin para el rozamiento cuando no ha deslizamiento impone la siguiente condición: H f V f sinα+cosα 3sinα α ]0, π [ = 1.e) Planteando las ecuaciones de la Dinámica Newtoniana: 3 + 1 3tanα ξ 1 mg F R N I ϕ Figura : Posición genérica del disco con su esquema de fuerzas Fet = m d v 1 F R = m ξ (5) N mg = 0 (6) MF et = d H F R R = 1 mr ϕ (7) Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1,5-7), con condiciones iniciales en coordenadas generalizadas nulas con las velocidades generalizadas a la salida de la percusión, se tiene: ξ = 0 ξ = ξ 0 ξ(t) = ξ 0 t ϕ = 0 ϕ= ϕ 0 ϕ(t) = ϕ 0 t N(t) = mg F R (t) = 0 < fmg = fn(t)
.a) Ecuaciones para percusiones en Mecánica newtoniana (ver Figura 1): Pet = m v 1 P cosα H = m ξ 0 (8) P sinα+v = 0 (9) et MP = H PRsinα HR = 1 mr ϕ 0 (10) La hipótesis de Coulomb/Morin para el rozamiento cuando ha deslizamiento introduce la ecuación adicional siguiente: H = f V (HIPÓTESIS H > 0,V > 0) H = fv (11) Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (8-11) se tiene: ξ 0 = P (cosα f sinα) m ϕ 0 = P mr (1 f)sinα H = fp sinα > 0 V = P sin α > 0 Si f > cotα Sale para atrás.b) La velocidad de deslizamiento a la salida de la percusión es: ( v I 1 ) 0 = ( ξ 0 +R ϕ 0 ) ı = P m [cosα+( 3f)sinα] ı Para que eista deslizamiento ( v I 1 ) 0 > 0; en nuestro caso, por ser H > 0, debería ser ( v I 1) 0 ı > 0, lo que implica: (0 <)f < 3 + 1 3tanα Lo que significa que tenemos la condición opuesta a la deducida en 1.d)..c) Planteando las ecuaciones de la Dinámica Newtoniana (ver Figura ): Fet = m d v 1 F R = m ξ (1) N mg = 0 (13) MF et = d H F R R = 1 mr ϕ (14) La hipótesis de Coulomb/Morin con deslizamiento es: F R = f N (HIPÓTESIS F R > 0,N > 0) F R = fn (15) Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1-15) se tiene:
ξ = fg ξ = fgt+ ξ 0 ξ(t) = fgt + ξ 0 t ϕ = fg ϕ = fgt R R + ϕ 0 ϕ(t) = fgt R + ϕ 0t N(t) = mg > 0 F R (t) = fmg > 0.d) El instante en el que se termina el deslizamiento será aquel en el que v I 1 (t ) = 0, con lo que se tendrá: v I 1(t ) = ξ(t )+R ϕ(t ) = fgt +ξ 0 fgt +R ϕ 0 = 0 t = ξ 0 +R ϕ 0 3fg = P[cosα+( 3f)sinα] 3fgm (16).e) Las ecuaciones que rigen en esta fase son idénticas a las del apartado 1.e), luego su solución general es la misma lo que varían son las condiciones iniciales. Las condiciones iniciales serán las del instante de no deslizamiento (??): ξ(t ) = fg(t ) + ξ 0 t ϕ(t ) = fg(t ) R + ϕ 0t ξ(t ) = P m [ 3 cosα (1 f)sinα] ϕ(t ) = 4P 9mR (sinα cosα) la solución es: ξ(t) = ξ(t ) (t t )+ξ(t ) ϕ(t) = ϕ(t ) (t t )+ϕ(t ) N(t) = mg F R (t) = 0 < fmg = fn(t)