Álgebra Multilineal sobre R

Álgebra Multilineal sobre R Lección uno álgebra multilineal abstracta por JM Márquez-Bobadilla CUCEI Universidad de Guadalajara Álgebra multilineal -vector o -contra-tensor -covector o -forma o proyector o co-tensor de rango uno o -co-tensor -construcción pullback -dualidad de espacios vectoriales -transformaciones multilineales -transformaciones bilineales y formas cuadráticas -transformaciones trilineales -producto tensorial de transformaciones multilineales -producto tensorial de espacios vectoriales -tensores contravariantes, covariantes, mixtos -álgebra tensorial -producto exterior de tensores -pfafianas, bi-vector, tri-vector -k-formas -álgebra exterior (álgebra de Grassmann) -énfasis cambios de bases y cambios de componentes Espacio dual de un R n El espacio dual de R n se define como el conjunto R n de los funcionales lineales R n R Resulta que R n también es una espacio vectorial El espacio dual se define como R n = Hom(R n, R) es decir como el conjunto de las transformaciones lineales de R n en su campo (cuerpo) de escalares R En el caso de que R n esté generado por la base {b,b 2,, b n } tendremos que cada función lineal R n R está determinada por una matriz renglón [a,a 2,,a n ]:R n R

que mapea vía v v v 2 [a v 2,a 2,, a n ] = a v + a 2 v 2 + + a n v n v n v n v v 2 es decir va, bajo el mapeo [a,a 2,, a n ], al escalar a s v s (convención de v n Einstein-Penrose) El pullback de un covector Si tenemos una transformación lineal L : R n R m y tenemos un covector f : R m R entonces es posible inducir un covector R n R mediante la composición f L L R n R m donde L f = f L L f f R Es decir L : R m R n que también es lineal Si L tiene matriz Lb k = L s kb s, entonces L β k =[L ] s k β s y [L ] s k = L k s Qué sucede si tenemos varias transformaciones lineales con respecto al pullback? Dejemos que los diagramas lo expliquen en si mismos: T S R n R m R l f S f S T R f

R n S T R l f S T R f Si S f = f S entonces T S f = T (f S) =f S T y (S T ) f = f S T para cada f entonces: (S T ) = T S Esto indica que el operador de dualidad de transformaciones lineales es contravariante Cómo cambian de componentes de un covector cuando cambiamos de bases en V? Si C : V V es un cambio de bases en V dado por b i c i = Cb i = C s ib s entonces b i =(C ) s i c i De la construcción pullback deducimos que si las bases covarian con C las correspondientes bases duales β i (b j )=δ i j en V descrito en la base β i y en V descrito en la base γ i C : V b V c entonces C : V γ γ i (c j )=δ i j V β Vamos a demostrar que β i =(C i ) s γ s, Demostración: Supongamos que β i = A i s γ s entonces (ΓB) δ i j = β i (b j ) = A i s γ s (b j ) = A i s γ s ((C ) t j c t) = A i s (C ) t j γs (c t ) = A i s (C ) t j δs t = A i s (C ) s j δ i j = (A ) i s (C ) s j

esta última línea indica que [A] =[C] por lo tanto [A] =[C] y β i =(C ) s i γ s Si β i =(C ) s i γ s entonces también γ i =(C ) s i β s, (ΓB2) Las relaciones (ΓB), (ΓB2) serán utilizadas cuando consideremos el efecto del cambio de bases en un espacio vectorial y con respecto a otras construcciones vectoriales llamadas producto tensorial de transformaciones lineales y producto tensorial de espcios vectoriales en objetos Espacio dual de un espacio vectorial abstracto El espacio dual de V se define como el conjunto V de los funcionales lineales V R Resulta que V también es una espacio vectorial Cuál es una base y la dimensión de este espacio? Considere las transformaciones (una para cada i) β i : V R definida por X β i (X) =X i, donde X = X s b s (convención de la suma de Einstein) Note que esta definición permite asignar β i (b j )=δ i j para la correspondiente base {b,b 2,, b n } Así β i es una función lineal En otras palabras, el funcional β i extrae el i-esimo componente de X y cumple linealidad: β i (ax) =aβ i (X) β i (X + Y )=β i (X)+β i (Y ) para cualesquiera escalar a y vectores X, Y

Los elementos de V también se llaman covectores Todo elemento f V se escribe así ; f = f s β s donde los componentes satisfacen f s = f(b s ) Hemos visto que si f V entonces f : W R, ysit : V W podremos construir V T f R Lo que tenemos es una asignación W T V dada por f T (f) =T f Ahora que si la matriz de T es [T ]=[T i j entonces [T ]=[T] Multilinealidad Mapas bilineales Una función bilineal queda especificada mediante una matriz: Si B : V V R es un mapeo bilineal entonces existe una matriz [B] de n n dimensiones que tienen componentes B ij y con los cuales se determina la forma cuadrática: B(v, w) = v [B]w =[v,, v n ] B B 2 B n B 2 B 22 B 2n B n B n2 B nn = v w B + v w 2 B 2 + v w 3 B 3 + + v n w n B nn = v s w t B st w w 2 z n Observemos que para una forma cuadrática B : R n R n R al evaluar en básicos canónicos B(e i,e j )=e i [B]e j = B ij Para un mapa trilineal T : V V V R tenemos T (u, v, w) =u s v t w r T str Producto tensorial de transformaciones multilineales

Cuando tenemos un par de covectores f,g : V R entonces es posible construir un mapeo bilineal mediante el artificio llamado producto tensorial f g(v, w) =f(v)g(w) donde la expresión a la derecha es el usual producto de números reales Tal construcción es bilineal: f g(kv + lu, w) = f(kv + lu)g(w) = (kf(v) +lf(u))g(w) = kf(v)g(w) +lf(u)g(w) = kf g(v, w)+lf g(u, w) y similarmente para f g(v, kw + lu) =kf g(v, w)+lf g(v, u) Sea bil(v )={B : V V R} el conjunto de todos las funciones bilineales de V Este es un espacio vectorial con las operaciones (B + C)(v, w) =B(v, w)+c(v, w) k(b(v, w)) = kb(v, w) donde B,C bil(v ) y k R A B Con el producto tensorial de covectores duales básicos β i : V R que satisfacen β i (b j )=δ i j, podemos construir mapas bilineales básicos con el producto tensorial y cumplen y que en argumentos arbitrarios β i β j β i β j (b k,b l ) = β i (b k )β j (b l ) = δ i kδ j l β i β j (v, w) = β i (v)β j (v) = β i (v s b s )β j (w t b t ) = v s w t β i (b s )β j (b t ) = v s w t δ i kδ j l = v i w j Es posible demostrar que una base para bil(v ) es {β β,β β 2,β β 3,, β i β j,, β n β n }

y entonces para un B arbitrario en bil(v ) tenemos B = B st β s β t y donde podemos ver que los componentes de esta combinación lineal bi-indexada son B ij = B(b i,b j ) Así dim bil(v )=n 2 Cómo cambian las componentes de una forma bilineal cuando variamos la base de V? Supongamos que V C V es un a cambio de base b i c i = Cb i = C s ib s Cómo cambian de componentes de un mapeo bilineal cuando cambiamos de base en V? Sabemos que si C : V V es un cambio de base b i c i = Cb i = C s ib s entonces entre los componentes de un vector v = v s b s =ṽ t c t de estas dos bases se tiene C v b = v c donde v b = v v n y v c = ṽ ṽ n Ahora v b [B]w b =([C][C ]v b ) [B][C][C ]w b =([C ]v b ) [C] [B][C][C ]w b entonces v b [B]w b =([C ]v b ) [C] [B][C][C ]w b = v c [C BC]w c por lo que la matriz de la misma forma cuadrática -determinada por [B]- en la nueva base es [C BC] En términos biindexados una tenemos v [B]w = v s w t B st, (FC)

pero c t = C s tb s entonces que después de reindexar s µ implica v µ b µ =ṽ t c t =ṽ t C s tb s v µ b µ =ṽ t C µ tb µ entonces (v µ ṽ t C µ t)b µ = pero si los b µ son linealmente independientes entonces v µ =ṽ t C µ t que sustituyendo en (FC) arriba tenemos vb [B]w b = v s w t B st = ṽ u C s u w r C t rb st = ṽ u w r C s uc t rb st = ṽ u w r C s ub st C t r = ṽ u w r (C s ) u Bst C t r = ṽ u w r [C BC] ur = vc [C BC]w c Las transformaciones trilineales son similarmente tratadas, por ejemplo β i β j β k (v,w,u) = β i (v)β j (v)β k (u) = β i (v s b s )β j (w t b t )β k (u r b r ) = v s w t u r β i (b s )β j (b t )β k (b r ) = v s w t δ i kδ j lδ k r = v i w j u r El conjunto tril(v )={B : V V V R} también es un espacio vectorial, generado por los β i β j β k con todas las combinaciones de i, j, k desde hasta dim V = n, por lo tanto dim tril(v )=n 3

Producto tensorial de espacios vectoriales Sean V,W dos espacios vectoriales sobre los reales R Indicamos con V = {b,, b n } que el espacio V está generado por los vectores básicos b i En otras palabras; si X V entonces X = X s b s es la combinación lineal X = X b + X 2 b 2 + + X n b n Si W = {d,, d m } es otro espacio vectorial, entonces definimos V W = {b d,b d 2,, b n d m, }, esto implica que si B V W entonces B = B st b s d t lo cual es la combinación lineal bi-indexada: B = B b d + B 2 b d 2 + + B nm b n d m Ejemplo: R 2 R 3 es generado por el producto de sus bases ( ) ( ) e =,e 2 = para R 2 y para R 3 ε =,ε 2 =,ε 3 = respectivamente son: ( ) ( ) ( ) ( ) e ε,e ε 2,e ε 3 e 2 ε,e 2 ε 2,e 2 ε 3 (, (, ( ) ) ( ) ) (, (, ( ) ) ( ), )

Así el espacio vectorial R 2 R 3 = gen{e i ε j } donde i =, 2 y j =, 2, 3, por lo que si T R 2 R 3 entonces T = T µν e µ ε ν El espacio R 2 R 3 es de dimensión 6 y es naturalmente isomorfo a R 6 generado por E =,E 2 =,E 3 =,E 4 =,E 5 = Y entonces un isomorfismo es:,e 6 = e ε E e ε 2 E 2 e ε 3 E 3 e 2 ε E 4 e 2 ε 2 E 5 e 2 ε 3 E 6 que sin embargo no es el único Por ejemplo otro pudiera ser e ε E e ε 2 E + E 2 e ε 3 E 3 8E 4 e 2 ε E 4 e 2 ε 2 3E 5 + E 6 e 2 ε 3 E 6 e ε E 9E 2 + E 6 e ε 2 E 3 +5E 4 E 6 e ε 3 E E 2 E 3 +8E 4 E 6 e 2 ε E 2 E 4 E 6 e 2 ε 2 E 3E 5 + E 6 e 2 ε 3 E 6

Los objetos en V V se llaman tensor contravariante de rango 2 en V o bien un 2-contratensor Los objetos en V V se llaman tensor covariante de rango 2 en V o bien un 2-cotensor Los objetos en V V se llaman tensor mixto de rango 2 en V Los elementos básicos de V V pueden ser visualizados como transformaciones bilineales β i β j : V V R mediante la asignación dada por (X, Y ) β i β j (X, Y )=β i (X)β j (Y )=X i Y j Similarmente los elementos básicos de V V pueden ser considerados como mapas bilineales b i b j : V V R mediante la asignación (f,g) b i b j (f,g) =f(b i )g(b j )=f i g j Un elemento básico de V V se puede ver como un mapa bilineal mediante la fórmula V V R (X, f) β i b j (X, f) =β i (X)f(b j )=X i f j Efectivamente estas reglas son bilineales, pues por ejemplo, para cualesquiera escalares a, c R y vectores X,Y,Z V tenemos β i β j (ax + cy, Z) =aβ i β j (X, Z)+cβ i β j (Y,Z) β i β j (X, ay + cz) =aβ i β j (X, Y )+cβ i β j (X, Z) que son respectivamente (ax i + cy i )z j = ax i Z j + cy i Z j X i (ay j + cz j )=ax i Y j + cx i Z j Toda transformación bilineal V V R está generada por los β i β j pues si B : V V R es un mapeo bilineal arbitario, este se expresará como B = B st β s β t

y denotaremos con T (2,) V el espacio vectorial generado por los β i β j, en otras palabras T (2,) V = {β i β j } Cómo cambian de componentes de un mapeo bilineal cuando cambiamos de base en V? Si B = B st β s β t y C : V V es un cambio de bases b i Cb i = C µ ib µ o bien b i =(C ) µ i c µ entonces donde B = C BC B = B st β s β t = B st (C µ ) σ (C ν ) ρ γ σ γ ρ = (C ) σ s Bst (C ) ρ t γ σ γ ρ = (C ) σ s Bst C t ργ σ γ ρ = B σρ γ σ γ ρ Similarmente el conjunto de los mapas tri-lineales T (3,) V = {β i β j β k } donde β i β j β k (X,Y,Z)=X i Y j Z k es una construcción tri-lineal básica Así cualquier otro mapa trilineal T : V V V R se escribe conforme a T = T stu β s β t β u No es difícil visualizar lo qué hay en el espacio vectorial T (k,) V y cuál es una base para él puede ud decir cuál es las dimensión de cada uno de estos espacios vectoriales? Espacios de co-tensores T (,) V = R T (,) V = V T (2,) V = V V = bil(v ) T (3,) V = V V V = tril(v ) T (4,) V = V V V V Espacios de contra-tensores

T (,) V = V T (,2) V = V V = bil(v ) T (,3) V = V V V = tril(v ) T (,4) V = V V V V Espacios de tensores mixtos T (,) V = V V = hom(v ) T (2,) V = V V V T (,2) V = V V V T (2,2) V = V V V V El álgebra tensorial El álgebra tensorial de un espacio V es un espacio vectorial de dimensión infinita y está definido como TV = T (k,l) V k=l= TV = T (,) V T (,) V T (,) V T (2,) V T (,) V T,2 V T (3,) V T (2,) V Álgebra de Grassmann Importantes son las transformaciones multilineales que son antisimétricas, es decir transformaciones multilieales que cambian de signo cuando intercambiamos (transponemos) dos de sus argumentos Por ejemplo un mapa bilineal B : V V R es antisimétrico (o alternante) si satisface un trilineal alternante cumple B(X, Y )= B(Y,X) T (X,Y,Z) = T (Y,X,Z) = T (Y,Z,X) = T (Z,Y,X) La construcción β i β j = β β j β j β i define un operador bilineal antisimétrico básico y satisface β i β j (X, Y )=X i Y j X j Y i

Otra notación es β i β j = β [i β j] Estos objetos generan un subespacio de mapas bilineales también llamados bivectores o 2-formas y los simbolizamos con Λ 2 V = gen{β β 2,β β 3,, β n β n } esto implica que si B Λ 2 V entonces B = B st β s β t Observe que β i β i =para cada i Observa que si dim V = 3 entonces β β 2,β β 3,β 2 β 3 son los únicos bivectores básicos por lo tanto dim Λ 2 V = ( 3 2) =3 Ahora que si dim V = 4 entonces β β 2,β β 3,β 2 β 3,β 2 β 4,β 3 β 4 son los únicos bivectores básicos por lo tanto dim Λ 2 V = ( 4 2) =6 Generailzando cuando dim V = n entonces β β 2,β β 3,β 2 β 3,, β n β n son los únicos bivectores básicos por lo tanto dim Λ 2 V = ( ) n 2 El espacio vectorial Λ k V generado por los productos exteriores de k-covectores básicos β i β i2 β ik donde los indices cumplen i <i 2 < <i k, tiene dimensión ( n k) ie ( ) dim V dim(λ k V )= k El espacio Λ n V está generado por la única n-forma β β 2 β n por lo que dim(λ n V )= El álgebra exterior El espacio vectorial ΛV =Λ V Λ V Λ n V Λ n V junto con el producto exterior constituyen un álgebra que recibe el nombre de álgebra de Grassmann (o álgebra exterior) de V