Universidad de Managua Curso de Investigación de Operaciones I Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Introducción a la Investigación de Operaciones Estudiantes: Ingenierías Año académico: I Cuatrimestre 2013
Universidad de Managua Curso de Investigación de Operaciones I Profesor: MSc. Julio Rito Vargas Avilés. Metodologías para la Solución de Problemas de Programación Lineal. Estudiantes: Ingenierías Año académico: I Cuatrimestre 2012
INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Actualmente la administración está funcionando en un ambiente de negocios que está sometido a muchos más cambios, los ciclos de vida de los productos se hacen más cortos, además de la nueva tecnología y la internacionalización creciente.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Las raíces de la investigación de operaciones se remonta a cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de esta disciplina se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Con motivo de la revolución industrial, ha ido teniendo cada vez más importancia dado el crecimiento y complejidad de las nuevas organizaciones. Actualmente está cobrando especial importancia con el desarrollo de la informática.
NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo consideración.
EL GRUPO INTERDISCIPLINARIO Una de las principales razones de la existencia de grupos de investigación de operaciones es que la mayor parte de los problemas de negocios tienen múltiples aspectos es perfectamente razonable que las fases individuales de un problema se comprendan y analicen mejor por los que tienen el adiestramiento necesario en los campos apropiados.
QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización.
Aspectos a rescatar de la definición: Una organización es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común. La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través de modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo.
Métodos en Investigación Operativa Métodos determinísticos: Programación lineal, programación entera, probabilidad de transporte, teoría de la localización o redes, programación multicriterio, teoría de inventarios, etc. Métodos probabilísticos: Cadenas de markov, teoría de juegos, líneas de espera, teoría de inventarios, etc. Métodos híbridos: Conjugan métodos determinísticos y probabilísticos. Métodos heurísticos: soluciones basadas en la experiencia.
En que se relaciona la investigación de operaciones con la ingeniería industrial? La esencia de la revolución de la Ingeniería Industrial fue la transferencia o la muestra o experiencia del trabajador a la maquina la necesidad de implementar sistema de organización tales como estudios de tiempo y movimiento, diagrama de flujo de operación y del proceso, son sistemas fácil de interpretar con la investigación de operación, mediante los modelos gráficos y matemáticos, que el ing. Industrial tiene que implementar a diario.
METODOLOGÍA DE LA I.O. 1. Definición del problema Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio.
2. Formulación de un modelo matemático La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.
3. Obtención de una solución a partir del modelo. Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema. La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.
4. Prueba del modelo Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan presentar 5. Validación del modelo Es importante que todas las expresiones matemáticas sean consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean. Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parámetros de entrada y/o de las variables de decisión, y comprobando que los resultados de modelo se comporten de una manera factible.
6. Establecimiento de controles sobre la solución Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del problema. Es necesario generar información adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
7. Implantación de la solución El paso final se inicia con el proceso de vender" los hallazgos que se hicieron a lo largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones.
Fases de un Estudio IO FORMULACIÓN DEL PROBLEMA NECESIDAD DE REORGANIZACIÓN CONSTRUCCIÓN DEL MODELO MODELO DEL SISTEMA REAL SISTEMA DE INTERÉS OBTENCIÓN DE DATOS TOMA DE DECISIONES IMPLEMENTACIÓN Y CONTROL SOLUCIÓN DEL MODELO INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS E IMPLICACIONES VALIDACIÓN DEL MODELO ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
NORMAS PARA LOGRAR ÉXITO EN LA I de O 1. El éxito del empleo de la I de O es el de un enfoque de solución de problemas y no una colección asociada de métodos cuantitativos. 2. La I de O es relativamente costosa, lo que significa que no debe emplearse en todos los problemas, sino tan sólo en aquellos en que las ganancias sea mayores que los costos.
NORMAS... Para llegar a hacer un uso apropiado de la I de O, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problemas, así como los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.
Organizaci ón Aplicaciones de la Investigación de operaciones Naturaleza de la aplicación Año de publicaci ón Capítulos Relacionados Ŧ Ahorros anuales ŧ The Netherland s Rijkswaters tatt Monsanto Corp. Desarrollo de política nacional de administración del agua, incluyendo mezcla de nuevas instalaciones, procedimientos de operación y costeo. Optimización de operaciones de producción para cumplir metas con un costo mínimo. 1985 2-8, 13, 21 $ 15 millones 1985 2, 12 $ 2 millones Weyerhaus er Co. Optimización del corte de árboles en productos de madera para maximizar su producción. 1986 2, 10 $ 15 millones Electrobras /CEPAL, Brasil Asignación óptima de recursos hidráulicos y térmicos en el sistema nacional de generación de energía. 1986 10 $ 43 millones
United Airlines Citgo Petroleum Corp. Programación de turnos de trabajo en las oficinas de reservaciones y en los aeropuertos para cumplir con las necesidades del cliente a un costo mínimo. Optimización de las operaciones de refinación y de la oferta, distribución y comercialización de productos. 1986 2-9, 12, 15, 16, 18 $ 6 millones 1987 2-9, 18 $ 70 millones SANTOS, Ltd., Australia San Francisco police Department Optimización de inversiones de capital para producir gas natural durante 25 años. Optimización de la programación y asignación de oficiales de patrulla con un sistema computarizado. 1987 2-6, 13, 21 $ 3 millones 1989 2-4, 12, 18 $ 11 millones Electric Power Research Institute Administración de inventarios de petróleo y carbón para el servicio eléctrico con el fin de equilibrar los costos de inventario y los riesgos de faltantes. Texaco, Inc. Optimización de la mezcla de ingredientes disponibles para que los productos de gasolina cumplieran con los requerimientos de ventas y calidad. 1989 17, 21 $ 59 millones 1989 2, 13 $ 30 millones
IBM Yellow Freight System, Inc. Integración de una red nacional de inventario de refacciones para mejorar el apoyo al servicio. Optimización del diseño de una red nacional de transporte y la programación de rutas de envío. 1990 1992 2, 17, 21 2, 9, 13, 18, 21 $ 20 millones + $ 250 millones ahorrados en inventario. $ 17.3 millones U.S. Military Airlift Command American Airlines Rapidez en la coordinación de aviones, tripulaciones, carga y pasajeros para manejar la evacuación por aire en el proyecto Tormenta del Desierto en el Medio Oriente. Diseño de un sistema de estructura de precios, sobreventa y coordinación de vuelos para mejorar las utilidades. 1992 10 Victoria 1992 2, 10, 12, 17, 18 $ 500 millones más de ingresos New Haven Health Dept. Diseño de un programa efectivo de intercambio de agujas para combatir el contagio del SIDA. 1993 2 33% menos contagios * Pertenecen a los números de enero-febrero de Interfaces en donde se pueden encontrar los artículos completos. Ŧ Se refiere a los capítulos de este libro que describen las técnicas de 10 empleadas en las aplicaciones. ŧ Cifras dadas en dólares.
Introducción a la Programación lineal El problema general es asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima). Este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo.
MODELO GENERAL DE PL Los términos clave son recursos y actividades, en donde m denota el número de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el número de actividades bajo consideración. Z =valor de la medida global de efectividad Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n) Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j bi =cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m) aij =cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j
Estructura de un modelo de PL 1. Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza. 2. Variables de decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.
Estructura de un Modelo de pl 3. Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc. 4. Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.
Modelo general de PL Optimizar Z = n j 1 c j x j Sujeta a: n j 1 a ij x j b i i 1,2,..., m x 0 j 1,2,..., j n
Conjunto factible: Región del plano Cerrada (polígono) Abierta Cuál es la región factible x 0 y 0 del sistema x 5 x y 0 x 5 x 0 y 0 x y = 0 x y 0 x = 5
Solución óptima Si la región factible es cerrada la solución óptima está en un vértice del polígono (cuando es única) o todo un lado del polígono (infinitas soluciones) Si la región factible es abierta, puede haber solución única (en un vértice), infinitas soluciones (todo un lado) o no tener solución
Número de soluciones de un problema de programación lineal Para un problema de minimización Solución única Solución de arista: infinitas soluciones No hay mínimo
Para un problema de maximización Solución única Solución de arista: infinitas soluciones No hay máximo
Un problema de máximos de programación lineal Problema 1: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 Kg.. de chocolate, 100 Kg.. de almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos tipos de cajas: las de tipo A contienen 3 Kg. de chocolote, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas; la de tipo B contiene 2 Kg. de chocolate, 1,5 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 y 13,50, respectivamente. Cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para maximizar sus venta? La siguiente tabla resume los datos del problema Designando por x = nº de cajas de tipo A y = nº de cajas de tipo B Función objetivo z = f (x, y) = 13x + 13.5y Con las restricciones: Caja tipo A Caja tip B Disponibles Chocolate 3 2 500 Almendras 1 1.5 100 Frutas 1 1 85 Precio en euros 13 13.50 que hay que maximizar 3x + 2y 500 (por el chocolate almacenado) x + 1.5y 100 (por la almendra almacenada) x + y 85 (por la fruta almacenada) x 0 y 0
En un primer paso representamos la región factible. En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible. R(0, 100/1,5) Finalmente evaluamos la función objetivo z = 13x + 13,50y en cada vértice, para obtener el máximo z(p) = 13. 85+13,50. 0 = 1105 z(q) = 13. 55+13,50. 30 = 1120 z(r) = 13. 0+13,50. 100/1,5 = 900 Q(55, 30) P(85, 0)
Un problema de mínimos de programación lineal Problema2: Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12 horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite diariamente 5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de FM le cuesta al grupo 5000, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta al grupo 4000. Sabiendo que tiene enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de información general, cuántos días deberá emitir con ese material cada una de la emisoras para que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre las dos emisoras han de emitir al menos una semana? La siguiente tabla resume los datos del problema Emisora FM Emisora AM Disponibles Música rock 12 5 120 Designando por Música clásica 6 8 180 Información general 5 10 100 x = nº de días de AM y = nº de días de FM Coste en euros 5000 4000 Función objetivo z = f (x, y) = 5000x + 4000y que hemos de minimizar Con las restricciones: 12x + 5y 120 (por la música rock) 6x + 8y 180 (por la música clásica) 5x + 10y 100 (por la información general) x + y 7 (emitir al menos una semana) x 0 y 0
En un primer paso representamos la región factible. En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible. Finalmente evaluamos la función objetivo z = 5000x + 4000y en cada vértice, para obtener el mínimo. R(0, 10) S(0, 7) Q(7.37, 6.32) z(p) = 5000. 10+4000. 0 = 50000 z(q) = 5000. 7.37+4000. 6.32 = 62130 z(r) = 5000. 0+4000. 10 = 40000 z(s) = 5000. 0+4000. 7 = 28000 z(t) = 5000. 7+4000. 10 = 35000 T(7, 0) P(10, 0)
Resumen Función objetivo Optimizar (maximizar o minimizar) z = a x + by sujeta a las siguientes restricciones a 1x + b 1 y d 1 a 2 x + b 2 y d 2......... a n x + b n y d n Solución posible: cualquier par de valores (x 1, y 1 ) que cumpla todas la restricciones. Al conjunto de soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible. Solución óptima: un par de valores (x 1, y 1 ), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo Tener solución única Tener infinitas soluciones No tener solución Un problema de programación lineal puede:
FIN INVESTIGACION DE OPERACIONES I JRVA