EJERCICIOS 1. Dada una población finita que tiene cinco elementos A, B, C, D y E seleccione 10 muestras aleatorias simples de tamaño 2. a) Enumere las 10 muestras empezando con AB, AC y así en lo sucesivo. AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. b) Usando el muestreo aleatorio simple, Cuál es la probabilidad que tiene cada muestra de tamaño 2 de ser seleccionada? 1/10 c) Si el número aleatorio 1 corresponde a A, el número 2 corresponde a B y así en lo sucesivo. Enliste la muestra aleatoria de tamaño 2 que será seleccionada al usar los números aleatorios 8 0 5 7 5 3 2. La muestra es: E y C 8 No hay muestra 0 No hay muestra 5 Es la E 7 No hay muestra 5 Es la E pero ya no se puede usar de nuevo 3 Es la C Es la B pero ya está la muestra, y solo se 2 piden 2 63271 59986 71744 51102 15141 80714 58683 93108 13554 79945 88547 09896 95436 79115 08303 01041 20030 63754 08459 28364 55957 57243 83865 09911 19761 66535 40102 26646 60147 15702 46276 87453 44790 67122 45573 84358 21625 16999 13385 22782 55363 07449 34835 15290 76616 67191 12777 21861 68689 03263 69393 92785 49902 58447 42048 30378 87618 26933 40640 16281 13186 29431 88190 04588 38733 81290 89541 70290 40113 08243 17726 28652 56836 78351 47327 18518 92222 55201 27340 10493 36520 64465 05550 30157 82242 29520 69753 72602 23756 54935 81628 36100 39254 56835 37636 02421 98063 89641 64953 99337 84649 48968 75215 75498 49539 74240 03466 49292 36401 45525 63291 11618 12613 75055 43915 26488 41116 64531 56827 30825 70502 53225 03655 05915 37140 57051 48393 91322 25653 06543 06426 24771 59935 49801 11082 66762 94477 02494 88215 27191 20711 55609 29430 70165 45406 78484 31639 52009 18873 96927 41990 70538 77191 25860 55204 73417 83920 69468 74972 38712 72452 36618 76298 26678 89334 33938 95567 29380 75906 91807 37042 40318 57099 10528 09925 89773 41335 96244 29002 46453 53766 52875 15987 46962 67342 77592 57651 95508 80033 69828 90585 58955 53122 16025 84299 53310 67380 84249 25348 04332 32001 96293 37203 64516 51530 37069 40261 61374 05815 06714 62606 64324 46354 72157 67248 20135 49804 09226 64419 29457 10078 28073 85389 50324 14500 15562 64165 06125 71353 77669 91561 46145 24177 15294 10061 98124 75732 00815 83452 97355 13091 98112 53959 79607 52244 63303 10413 63839 74762 50289 TABLA 7.1. 1
EJERCICIOS 3. Fortune publicó datos sobre ventas, valor del activo, valor del mercado y ganancias por acción de las 500 corporaciones industriales más grandes de Estados Unidos (Fortune 500, 2003). Suponga que usted desea seleccionar una muestra aleatoria simple de 10 corporaciones de la lista Fortune 500. Use los tres últimos dígitos de la columna 9 de la tabla 7.1 empezando con 554. Leyendo hacia abajo por esa columna, identifique los números de las 10 corporaciones que se tomarán para la muestra. 13554 40640 36401 74972 08459 40113 56827 75906 60147 27340 25653 29002 13385 23756 88215 80033 68689 64953 18873 25348 Las muestras son: 459, 147, 385, 113, 340, 401, 215, 2, 33 y 348 5. Una organización de estudiantes desean estimar la proporción de estudiantes que están a favor de una disposición de la escuela. Se cuenta con una lista con los nombres y direcciones de los 645 estudiantes inscritos el presente trimestre. Tomando números aleatorios de tres dígitos del renglón 10 de la tabla 7.1 y avanzando por ese renglón de izquierda a derecha, determine los 10 primeros estudiantes que serán seleccionados usando un muestreo aleatorio simple. Los números aleatorios de tres dígitos empiezan con 816, 283 y 610. 81628 36100 39254 56835 37636 02421 98063 89641 64953 99337 Las muestras son: 283, 610, 39, 254, 568, 353, 602, 421, 638 y 164 7. Suponga que se va a tomar una muestra aleatoria simple de 12 de los 372 médicos de una determinada ciudad. Una organización médica le proporciona los nombres de los médicos. De la tabla 7.1 use la columna ocho de los números aleatorios de cinco dígitos para determinar cuáles serán los 12 médicos para la muestra. Ignore los primeros dos dígitos de cada grupo de cinco dígitos de números aleatorios. Este proceso empieza con el número aleatorio108 y continúa descendiendo por la columna de números aleatorios. 93108 26933 49292 69468 61374 63754 70290 64531 29380 09226 26646 55201 91322 96244 06125 16999 72602 02494 95508 00815 21861 89641 52009 84249 63839 Las muestras son: 108, 290, 201, 292,322, 9, 244, 249, 226, 125, 147 y 113. (Las últimas dos muestras las tomé de la columna 9 en orden descendiente ya que no eran suficientes las de la columna 8). 2
EJERCICIOS 9. The Wall Street Journal proporciona el valor activo neto, el rendimiento porcentual en lo que va del año y el rendimiento porcentual en tres años de 555 fondos mutualistas (The Wall Street Journal, 25 de abril del 2003). Suponga que se va a usar una muestra aleatoria simple de 12 de estos 555 fondos mutualistas para un estudio acerca de su tamaño y desempeño. Use la cuarta columna de los números aleatorios en la tabla 7.1 empezando con el número 51102, para seleccionar la muestra aleatoria simple de 12 fondos mutualistas. Empiece con el fondo 102 y use los últimos tres dígitos de cada renglón de la cuarta columna para el proceso de selección. Cuáles son los números de los 12 fondos mutualistas en esta muestra aleatoria simple? 51102 58447 75498 25860 79115 04588 75055 26678 09911 78351 05915 10528 67122 30157 49801 46962 15290 56835 70165 16025 Las muestras son: 102, 115, 122, 290, 447, 351, 157, 498, 55, 165, 528 y 25. 3
< MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO. Los métodos de muestreo probabilísticos son aquellos en donde todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra y, consiguientemente, todas las posibles muestras de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Los métodos de muestreo probabilístico son: MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Es el método donde la muestra es seleccionada de manera que cada elemento o individuo de la población tiene las mismas posibilidades de que se le incluya. Es la técnica de muestreo aleatorio más básica y conforma la base de todas las demás técnicas de muestreo. En el muestreo aleatorio simple, la n se utiliza para representar el tamaño de la muestra y la N para representar el tamaño de la población. El proceso de muestreo dependerá si la población es finita (con un número fijo de la población) o infinita (no es posible determinar un número). Las muestras se seleccionan con reemplazo o sin reemplazo. El muestreo con reemplazo se da cuando tras seleccionar una muestra, se devuelve a la población, donde tiene la misma probabilidad de resultar seleccionado de nuevo. El muestreo sin reemplazo es cuando una vez seleccionada una muestra esta no se podrá seleccionar de nuevo. Aunque el muestreo con reemplazo es una forma válida de identificar una muestra aleatoria simple, el muestreo sin reemplazo es el procedimiento más usado. Procedimiento: 1) Definir la población de estudio. 2) Asignar un número a cada individuo de la población 3) Determinar el tamaño de muestra óptimo o para el estudio. 4) Seleccionar la(s) muestra(s) de manera sistemática por medio de algún medio mecánico (Tablas de números aleatorios, bolas dentro de una bolsa, números aleatorios generados con una calculadora, etc.) 5) Y se eligen tantos individuos como sea necesario para completar el tamaño de muestra que necesitamos. Para obtener una muestra de alumnos de una escuela para aplicarles una encuesta, lo primero que se hace es enumerar a todo el alumnado. Se obtiene una lista de los alumnos matriculados y se le asigna un número a cada uno en orden alfabético y ascendente. Suponiendo que el total de alumnos es de 700 se utilizan los números 001, 002, 003,...,700. Se determina el tamaño de muestra, en este caso es de tamaño 75. Enseguida se utiliza una tabla de números aleatorios formando números de tres dígitos aceptando como unidad de análisis muestral a todos aquellos que estén comprendidos entre el 001 y el 700. 4
MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO. MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO. Es el método donde una población se divide en subgrupos denominados estratos y se selecciona al azar una muestra de cada estrato. Un estrato se define mediante algunas características comunes como son el sexo, la población, la edad, la profesión entre otras que puede decidir la persona que hace la muestra. Este método es más eficiente que el muestreo aleatorio simple y sistemático, porque garantiza el hecho de que cada grupo se encuentre representado en la muestra. El valor del muestreo aleatorio estratificado depende de qué tan homogéneos sean los elementos dentro de cada estrato, es decir que entre más parecidos sean entre sí, es mejor. La distribución de la muestra en función de los diferentes estratos se denomina afijación, y puede ser de diferentes tipos: 1) Afijación Simple: A cada estrato le corresponde igual número de elementos muéstrales. 2) Afijación Proporcional: Cada estrato se encuentra representado en la muestra en proporción exacta al tamaño de la población total. 3) Afijación Óptima: Se tiene en cuenta la previsible dispersión de los resultados, de modo que se considera la proporción y la desviación típica. Tiene poca aplicación ya que no se suele conocer la desviación. Procedimiento: Los pasos para seleccionar una muestra proporcionalmente estratificada son: 1) Definir la población de estudio. 2) Determinar el tamaño de muestra requerido. 3) Establecer los estratos o subgrupos. 4) Determinar la frecuencia relativa del muestreo de cada estrato, dividiendo el tamaño del estrato entre el tamaño de la población de estudio. 5) Multiplicar la frecuencia relativa del muestreo de cada estrato por el tamaño de la muestra total, para obtener de cada estrato la cantidad de individuos que se integrarán a dicha muestra. 6) Seleccionar y extraer de cada estrato la cantidad de individuos que formaran parte de la muestra total aplicando el procedimiento de muestreo aleatorio simple. 5
MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO. Si se tiene que seleccionar una muestra de 20 personas, de una comunidad de 500 habitantes, con el fin de hacerles una encuesta sobre los servicios de salud que reciben. Los habitantes están repartidos en 5 colonias, en donde el tamaño de cada estrato es: Estrato Colonia Tamaño Frecuencia Relativa No. de muestras por estrato 1 San Miguel 100 0.20 8 2 San Rafael 150 0.30 12 3 San Vicente 050 0.10 4 4 San Marcos 125 0.25 10 5 San Pedro 075 0.15 6 TOTAL 500 1.00 40 Los habitantes de cada colonia están registrados y se les asignará un número, por ejemplo, en el estrato 1 hay 100 habitantes entonces se numerará de 001 a 100, en el estrato 2 hay 150 y se numerará de 001 a 150 y así sucesivamente se hará con los demás estratos. Y del tamaño de cada estrato se sacaran el número de muestras que se obtuvieron, por medio del método de muestreo aleatorio simple con la tabla de números aleatorios siguiente. 58 144 147 94 40 26 135 9 2 16 129 42 5 150 22 126 149 69 109 19 51 3 4 39 11 114 116 79 50 146 104 87 33 83 126 71 68 53 41 122 62 6 144 8 149 111 98 31 146 2 70 5 36 55 148 141 81 144 112 99 36 107 104 145 95 43 95 73 39 52 30 131 140 88 60 52 118 110 33 144 15 25 58 76 29 49 108 67 34 88 38 129 4 101 72 105 144 59 132 51 137 106 41 113 39 139 128 55 17 16 105 116 96 45 86 71 96 129 94 118 40 68 9 9 16 131 35 68 69 61 42 35 9 116 108 2 145 80 27 121 13 116 94 49 121 11 47 62 64 103 Del estrato 1 (1 a 100) se tomarán las 8 muestras de la fila 1 de izquierda a derecha Las muestras son: 58, 94, 40, 26, 9, 2, 16 y 42 Del estrato 2 (1 a 150) se tomarán las 12 muestras de la fila 2 de izquierda a derecha Las muestras son: 114, 116, 79,50, 146, 104, 87, 33, 83, 126, 71 y 68 Del estrato 3 (1 a 50) se tomarán las 4 muestras de la fila 3 de izquierda a derecha Las muestras son: 5, 36, 43 y 39 Del estrato 4 (1 a 125) se tomarán las 10 muestras de la fila 4 de izquierda a derecha Las muestras son: 52, 118, 110, 33, 15, 25, 58, 76, 29 y 49 Del estrato 5 (1 a 75) se tomarán las 6 muestras de la fila 5 de izquierda a derecha Las muestras son: 41, 39, 55, 17, 16 y 45 6
MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO. MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO. Es el método donde se selecciona un punto aleatorio de inicio y posteriormente se elige cada k-ésimo miembro de la población. Para realizar muestreos en poblaciones muy grandes, el método de muestreo aleatorio simple resulta complicado y difícil para aplicar, en estos casos se utiliza el muestreo sistemático. En una muestra sistemática, los N elementos de la población se dividen en n grupos de k elementos. Un k-ésimo caso representa el intervalo de selección de unidades de análisis que serán integradas a la muestra, se obtiene mediante la expresión: k = El resultado de k se redondea al entero más cercano. Este procedimiento se hace más sencillo porque en lugar de extraer n números aleatorios sólo se extrae uno. Y porque es fácil si al igual que el muestreo aleatorio simple, se tienen enumerados todos los elementos de la población, o si de lo contrario no se tienen enumerados de todos modos se puede realizar pero se debe observar el orden físico de los elementos de la población. Cuando el orden físico de la población se relaciona con la característica de la población no se debe aplicar el muestreo aleatorio sistemático. El riesgo de este tipo de muestreo está en los casos en que se dan periodicidades en la población ya que al elegir a los miembros de la muestra con una periodicidad constante podemos introducir una homogeneidad que no se da en la población. Procedimiento: 1) Definir la población de estudio. 2) Determinar el tamaño de muestra requerido. 3) Se calcula la muestra sistemática dividiendo la población entre el tamaño de la muestra. 4) El valor de k es el intervalo de selección que indica cada k de veces que un elemento de la población se integrará a la muestra (en el caso de no estar enumerados los elementos). Y también es el intervalo de selección del cual se escogerá un número aleatoriamente dentro de este intervalo (en caso de que los elementos estén enumerados), y de ahí se parte para seleccionar las muestras en los demás grupos o intervalos de selección. Cuando los elementos no están enumerados. Si se va a probar una muestra de 50 de una población de 500 pelotas, k =, k=10. Ya que ninguna pelota tiene un número específico, este intervalo de selección indica que cada 10 decima pelota que contemos se integrará a la muestra. La primera muestra es la décima pelota que 7
MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO. saquemos de una bolsa, la segunda muestra es la vigésima, la tercera la trigésima y así de diez en diez hasta completar las 50 muestras que se piden. Cuando los elementos están numerados. Si la población se compone de una lista de cheques pre numerados N=800 y se quiere extraer una muestra sistemática de n=40, se aplica la formula k =, k =, k =20. De este intervalo selecciona un número aleatorio entre 1 y 20, y se incluye cada vigésimo elemento tras la primera selección de la muestra. Supongamos que el primer número seleccionado es 8, sus selecciones subsiguientes son 28, 48, 68, 88, 108, 128, 148, 168, 188, 208, 228, 248, 268, 288, 308, 328, 348, 368, 388, 408, 428, 448, 468, 488, 508, 528, 548, 568, 588, 608, 628, 648, 668, 688, 708, 728, 748, 768 y 788. MUESTREO POR CONGLOMERADOS. Es el método donde una población se divide en conglomerados partir de los límites naturales geográficos o de otra clase. A continuación se seleccionan los conglomerados al azar y se toma una muestra de forma aleatoria de uno de los elementos de cada grupo. En una muestra de conglomerados, se divide N elementos de la población en varios grupos de tal manera que cada uno sea representativo de toda la población. Este procedimiento tiende a proporcionar mejores resultados cuando los elementos dentro de los conglomerados no son semejantes. Lo ideal es que cada conglomerado sea una representación, a pequeña escala, de la población. Se aplica en el muestreo de áreas, en la que los conglomerados son manzanas, ciudades, distritos electorales, países, etc. En este tipo de muestreo es imprescindible diferenciar entre unidad de análisis entendida como quiénes va a ser medidos y unidad muestral que se refiere al conglomerado a través del cual se logra el acceso a la unidad de análisis. Procedimiento: 1) Dividir la población en conglomerados. 2) Seleccionar al azar el número de conglomerados que desee. 3) Tomar una muestra aleatoria simple de uno de los elementos de cada conglomerado. Si se va a realizar una encuesta sobre las políticas y leyes del municipio, se podría dividir el municipio en distritos, por ejemplo en 13 distritos, de esos tres se toma al azar el 4, 5, 9 y 11, y solo concentrándonos en estos distritos, tomamos una muestra aleatoria de habitantes de cada uno de esos distritos, para entrevistarlos. 8
MUESTREO DE CONVENIENCIA. Los elementos se incluyen en la muestra sin que haya una probabilidad previamente especificada o conocida de que sean incluidos en la muestra. MÉTODOS DE MUESTREO Y SU PROCEDIMIENTO. Es el método no probalístico en el que la selección de los elementos para la muestra es de acuerdo con la conveniencia. Un profesor que realiza una investigación en una universidad puede usar estudiantes voluntarios para que constituyan la muestra, existe alguna razón? Sí, los tiene al alcance y participarán como sujetos a un costo bajo o sin ningún costo. De manera similar, un inspector puede muestrear un cargamento de naranjas seleccionando al azar naranjas de varias de las cajas. Marcar una naranja y usar un método probalístico de muestreo puede no resultar práctico. Tiene la ventaja de ser relativamente fáciles, pero es imposible evaluar la bondad de la muestra en términos de su representatividad de la población. Y puede dar o no buenos resultados. Pero no tiene un fundamento. MUESTREO SUBJETIVO. Es el método no probalístico en el que la selección de los elementos para la muestra es de acuerdo con la opinión de la persona que hace el estudio. Este método suele ser una manera fácil de seleccionar una muestra. Sin embargo la calidad de los resultados muéstrales depende de la persona que selecciona la muestra. Se debe tener mucho cuidado al hacer inferencias acerca de las poblaciones a partir de muestreos subjetivos. Un reportero puede seleccionar dos o tres senadores considerando que estos senadores reflejan la opinión general de todos los senadores. 9
BIBLIOGRAFÍA Anderson, D. R., D. J. Sweeney y T. A. Williams. (2008). Estadística para la administración y la economía. (10 a Ed). México: CENGAGE Learning. 260-262. Levine, D. M., T. C. Krehbiel y M. L. Berenson. (2006). Estadística para la administración. (4 ta Ed). México: Pearson Prentice Hall. 221. Lind, D. A., W. G. Marchal, y S. A. Wathen. (2008). Estadística aplicada a los negocios y a la economía. (13 a Ed). México: McGraw-Hill. 262, 265, 266. 10