IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CCSS NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nobre y estar nuerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y siplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de tinta indeleble. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. ) Desatender las instrucciones puede penalizarse con hasta punto o la anulación en caso de usar tinta corregible. ) Dadas las atrices: A = B = C = resolver la ecuación atricial A X B C = D. D = 7 6 ( puntos) ) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres odalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la atriz P los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las odalidades de cada tipo, y en la atriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final: A B C A B C P: natural Q: natural..7. descafeinado 6 descafeinado..9.6 Efectúe el producto P Q t y explique el significado econóico de cada uno de los eleentos de la diagonal principal de la atriz resultante. ( punto) ) Hallar A 6, siendo A =. ( puntos) ) Clasificar según el núero de soluciones y resolver por el étodo de Gauss en su fora atricial (no es válido ningún otro étodo) el siguiente sistea. Si tuviera ás de una solución, dar dos soluciones concretas: ( puntos) x y z x y z x y z 6 ) Dada la siguiente atriz, hallar los valores posibles para sabiendo que hay una fila es cobinación lineal de otras: ( puntos)
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CCSS SOLUCIONES ) Dadas las atrices: 7 A = B = C = D = 6 resolver la ecuación atricial A X B C = D. ( puntos) A X B C = D A X B C + B C = D + B C A X = D + B C A X = (D + B C) A X = (D + B C) A A X = A (D + B C) X = A (D + B C) Coo A es un producto externo, podeos intercabiar el orden: A = A Por tanto: X = A (D + B C), suponiendo que A. Coo A = = (F + F ) = = =, existe la inversa de A. La calculaos: A t = Adj(A t ) = 6 9 / / / A = Adj(A t ) = = / / / 6 9 / 9/ / Heos coprobado que la solución es correcta, coprobando A A = I. No es iprescindible hacerlo, pero es fácil equivocarse por la cantidad de cálculos que hay que hacer, por lo que sí que es conveniente la coprobación. Por otra parte: B C = = 9 7 D + B C = + = 6 9 6 Y, finalente: X = A (D + B C) = = 6 9 6 IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CCSS = = ) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres odalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la atriz P los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las odalidades de cada tipo, y en la atriz Q los precios a los que vende el kg de cada producto final: A B C A B C P: natural Q: natural..7. descafeinado 6 descafeinado..9.6 Efectúe el producto P Q t y explique el significado econóico de cada uno de los eleentos de la diagonal principal de la atriz resultante. ( punto).. P Q t 9 =.7.9 = 6 7 97..6 9 son los ingresos que obtiene en total por la odalidad natural de café. 97 son los correspondientes a descafeinado. ) Hallar A 6, siendo A =. ( puntos) A = A = = A = A 6 A = = Parece que la fórula que se obtiene es A n n =. Si así fuera, debería cuplirse que A n+ ( n ) =. Supongaos que es cierta la fórula propuesta para A n. Veaos si se verifica la de A n+, con lo cual, coo es cierta para n =, lo será para n = ; y coo será, entonces, cierta para n =, lo será para n = ; y así para todo n N: A n+ = A n A n n ( n ) = = = Por tanto, la fórula es cierta. En consecuencia: A 6 6 = = IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CCSS IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de ) Clasificar según el núero de soluciones y resolver por el étodo de Gauss en su fora atricial (no es válido ningún otro étodo) el siguiente sistea. Si tuviera ás de una solución, dar dos soluciones concretas: ( puntos) 6 z y x z y x z y x Realizaos transforaciones lineales de filas en la atriz apliada con el fin de triangularizar la atriz de los coeficientes (forada por la atriz apliada salvo la últia coluna: A' = 6 F F F F F F Coo la F resultante es nula, la eliinaos. El sistea queda triangularizado. No bastaba con el prier paso, porque hay que dar dos pasos (hay filas). Queda con una ecuación enos que incógnitas, por lo que es un sistea copatible indeterinado. Llaaos y = t y reconstruios el sistea: ª ecuación: z = z = ª ecuación: x t + = x = t x = t Luego las infinitas soluciones del sistea tienen la fora:,, t t. Las soluciones concretas que nos piden las obteneos dando valores (elegidos arbitrariaente) a t. Por ejeplo: t = : ( /,, ) t = : (,, ) ) Dada la siguiente atriz, hallar los valores posibles para sabiendo que hay una fila es cobinación lineal de otras: ( puntos) Una fila es cobinación lineal de otras si, y sólo si el deterinante de la atriz (por ser cuadrada) vale. Obligaos, entonces, a que así suceda: F F = = ( + ) En lugar de Sarrus, heos suado a F una cobinación lineal de F y desarrollado por adjuntos de la coluna. El deterinante vale si, y sólo si ( + ) = (un producto se anula si y sólo si lo hace algún factor) = ó =.
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CCSS NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nobre y estar nuerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y siplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de tinta indeleble. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. ) Desatender las instrucciones puede penalizarse con hasta punto o la anulación en caso de usar tinta corregible. ) Considere las atrices: A = y B = 7 6 a) Calcule, si es posible, la inversa de A. (, puntos) b) Halle la atriz X que verifica AX + B = A. ( punto) c) Calcule B y B 6. (,+, puntos) ) Clasificar y resolver el siguiente sistea de ecuaciones. Si tuviese ás de una solución, dar dos soluciones concretas: (Clasif:, + Resol: + Sols concr si bien resuelto: ) x y z x y z x 7y z ) a) Calcular el valor del siguiente deterinante sin aplicar la Regla de Sarrus: 7 (, puntos) b) Hallar los valores de a y b para que se verifique: B C t = A: (, puntos) 6 a A = B = C = b ) Se desea invertir un áxio de en dos productos financieros A y B que tienen una rentabilidad del % y del.% respectivaente. Se sabe que el producto B exige una inversión ínia de y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversión en B supere el triple de lo invertido en A. Cuánto se debe invertir en cada producto para que el beneficio sea áxio y cuál sería dicho beneficio?(, p)
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CCSS IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de SOLUCIONES ) Considere las atrices: A = y B = 6 7 a) Calcule, si es posible, la inversa de A. (, puntos) Coo A = + = A. La calculaos: A t = Adj(A t ) = A = ) ( t A Adj A = b) Halle la atriz X que verifica AX + B = A. ( punto) Coo teneos la inversa de A, procedeos así: AX + B = A (Restando B en abos iebros): AX = A B (Multiplicando por A a la izquierda en abos): X = A (A B). Y coo: A B = 6 7 = Se tiene: X = = 6 9 c) Calcule B y B 6. (,+, puntos) B = 6 7 6 7 = = I Por tanto: B 6 = (B ) = (I ) = I. O sea, la atriz identidad de orden. ) Clasificar y resolver el siguiente sistea de ecuaciones. Si tuviese ás de una solución, dar dos soluciones concretas: (Clasif:, + Resol: + Sols concr si bien resuelto: ) 7 z y x z y x z y x Por el étodo de Gauss, triangularizaos la atriz de los coeficientes, inersa en la atriz apliada:
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CCSS F F F F F F 7 Heos conseguido triangularizar el sistea. Coo ninguna fila es toda de salvo la últia coluna, el sistea es copatible. La últia fila es nula, por lo que prescindios de ella, quedándonos con un sistea triangularizado con enos filas () que ecuaciones (), por lo que se trata de un sistea copatible indeterinado, con infinitas soluciones. Reconstruios el sistea resultante, para resolverlo. A la incógnita que sobra (teneos una incógnita ás que el núero de ecuaciones, ya que heos eliinado la F ), la llaaos t, siendo éste un valor libreente elegido por nosotros (hay infinitas foras de hacerlo: una por cada núero real), y la pasaos al segundo iebro. Debeos elegir, para ello, y ó z, pues si llaáseos t a x, perderíaos la triangularización al pasarla al segundo iebro. Elegios z = t: x y t x y t t (ª ec.) y = y t y t t 9x ( t) Sustituios en la ª: x = + t t t 9x 6 + t = 6 + 9t 9x = 6 + 9t + 6 t x = = 9 El esquea general de las infinitas soluciones, en función de t, es: t t,, t Dando valores a t obteneos las diferentes soluciones. Nos piden. Por ejeplo: t = : (/, /, ) t = : (,, ) ) a) Calcular el valor del siguiente deterinante sin aplicar la Regla de Sarrus: 7 t (, puntos) Aplicareos transforaciones eleentales de filas para siplificarlo y desarrollar por adjuntos de una coluna (tabién podría ser al revés: transforaciones de colunas para desarrollar por una fila). Recordar que si la fila sustituida es ultiplicada por un núero, hay que ultiplicar todo el deterinante por el inverso de dicho núero: F F 7 = 9 = 9 = ( ) = F F 7 7 = (9 7) = b) Hallar los valores de a y b para que se verifique: B C t = A: (, puntos) 6 a A = B = C = b Realizaos el producto e igualaos el resultado a A: IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CCSS a B C t a b 6 = = = a b b La igualdad es posible porque tienen la isa diensión. Adeás, los eleentos que ocupan la isa posición en cada atriz deben coincidir, por lo que deben ser cierta, siultáneaente, las siguientes igualdades: a a b 6 b b a a b b Los isos valores de a y b hacen ciertas las cuatro ecuaciones a la vez. Si esto no hubiese sido así, el problea no tendría solución. Por tanto: a = con b = ) Se desea invertir un áxio de en dos productos financieros A y B que tienen una rentabilidad del % y del.% respectivaente. Se sabe que el producto B exige una inversión ínia de y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversión en B supere el triple de lo invertido en A. Cuánto se debe invertir en cada producto para que el beneficio sea áxio y cuál sería dicho beneficio?(, p) Llevaos los datos del problea a una tabla, que nos ayudará a plantearlo: Productos a invertir Rentabilidad financieros A x.x B y.y x ; y Restricciones: y y x F(x, y) =.x +.y x + y Las restricciones proceden de que: a) No podeos invertir una cantidad negativa en ninguno de los productos. b) La inversión en B (y) tiene que ser, coo ínio, de. c) La inversión en B (y) no puede superar el triple de lo invertido en A (x). d) La inversión total es de. En la últia coluna heos puesto la función objetivo, que hay que axiizar. Vaos a dibujar la región factible, trabajando con cada una de las restricciones: x, y nos liitan al prier cuadrante. y es el seiplano que queda a la derecha de la recta vertical y =. x y x Seipl. inferior a la recta y = x. Tabla de valores: y x + y y x + : Seiplano inferior a la recta y = x +, cuya tabla de valores es: x y Por tanto, obteneos el recinto de la figura, donde para cada recta se ha señalado con flechitas el seiplano que resuelve su correspondiente inecuación. Basándonos en ella, calculaos las coordenadas de los vértices que están señalados (no podeos IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Observación evaluable escrita nº º Bach CCSS hacerlo nunca gráficaente, sino resolviendo los correspondientes sisteas de ecuaciones). Teneos que calcular los vértices, lo que no puede hacerse nunca desde el gráfico: y x x x. Luego: A(/, ). y x y x y y = y = 7 Restando : x x Luego: B(, 7). x y y Luego: C(9, ). Restando : x 9 Por últio, evaluaos la función objetivo en cada vértice: F(A) = F(/, ) =. / +. = 9/ = 6.67 F(B) = F(, 7) =. +. 7 =7 F(C) = F(9, ) =. 9 +. = De donde el ingreso áxio es de 7, que se consigue invirtiendo en A y 7 en B. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Recuperación º Bach CCSS NOMBRE: Instrucciones: ) Todos los folios deben tener el nobre y estar nuerados en la parte superior. ) Todas las respuestas deben estar justificadas y siplificadas. ) No se puede usar corrector ni lápiz, y el bolígrafo debe ser de tinta indeleble. Se aconseja no usar borrador. ) Se puede alterar el orden de las respuestas, pero no se puede intercalar la respuesta a una pregunta con las de otras. ) Desatender las instrucciones puede penalizarse con hasta punto o la anulación en caso de usar tinta corregible. ) Sea C la atriz que depende de un paráetro, dada por C = 7 a) Para qué valores del paráetro no tiene inversa la atriz C? ( punto) b) Calcula la atriz inversa de C para = (, puntos) ) Sean las atrices: A, y. B C a) Calcule ( A I ) B, siendo I la atriz identidad de orden. ( punto) b) Calcule la atriz X que verifica A X B C. (, puntos) ) Clasificar y dar todas las soluciones del siguiente sistea, resolviéndolo por el étodo de Gauss. Si tuviera ás de una solución, dar una concreta: x y z x y z (, puntos) x 9y 7z ) Un coerciante quiere dar salida a kg de avellanas, kg de nueces y kg de alendras. Para ello hace dos tipos de lotes: los de tipo A contienen kg de avellanas, kg de nueces y kg de alendras; y los de tipo B contienen kg de avellanas, kg de nueces y kg de alendras. El precio de venta de cada lote es de euros para los del tipo A y de euros para los del tipo B. Cuántos lotes de cada tipo debe vender para obtener el áxio ingreso y a cuánto asciende éste? (, ptos)
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Recuperación º Bach CCSS SOLUCIONES ) Sea C la atriz que depende de un paráetro, dada por C = 7 a) Para qué valores del paráetro no tiene inversa la atriz C? ( punto) Una atriz tiene inversa si, y sólo si su deterinante es distinto de cero. Veaos cuándo ocurre. C +C Adj de F F +F det(c) = = = = 7 = 7 = +7 Se han aplicado propiedades de deterinantes, pero tabién podía haberse desarrollado por la regla de Sarrus. Según eso, el deterinante vale si = 7. Por tanto, no existe atriz inversa si, y sólo si = 7. b) Calcula la atriz inversa de C para = (, puntos) Si = C = 9 y existe C. 9 9 Adj(C) = 9 C t = Adj( C ) = 9 9 9 9 9 ) Sean las atrices: A, y. B C a) Calcule ( A I ) B, siendo I la atriz identidad de orden. ( punto) ( A I ) B = = = = b) Calcule la atriz X que verifica A X B C. (, puntos) A X B C A X = C B A AX = A (C B) I X = A (C B) X = A (C B). Calculeos A. En prier lugar, coprobaos que existe, calculando su deterinante: A =. Coo es no nulo, existe A. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Recuperación º Bach CCSS A t = Adj(A t ) = A = = / / Por tanto: X = A (C B) = / / = = / / / = ) Clasificar y dar todas las soluciones del siguiente sistea, resolviéndolo por el étodo de Gauss. Si tuviera ás de una solución, dar una concreta: x y z x y z (, puntos) x 9y 7z Lo resolveos por Gauss. Escribios la atriz apliada y aplicaos las transforaciones lineales de filas que indicaos: F F 7 6 F F F F 7 6 9 7 7 6 Coo teneos triangularizada la atriz y podeos eliinar la F por ser toda de, nos quedan enos ecuaciones () que incógnitas (), por lo que estaos ante un sistea copatible indeterinado. Lo reconstruios: x y z 7x z 6 Llaaos z = t, siendo t un núero arbitrario (ya no es incógnita), y lo pasaos al segundo iebro (tabién podríaos haber llaado x = t, pero no deberíaos hacerlo con y, porque perderíaos la triangularización): x y t 6 t 6 t (ª ec.): x = = 7x 6 t 7 7 Nunca debe dejarse, en una expresión final, un denoinador negativo, por lo que heos ultiplicado nuerador y denoinador por para evitarlo (al hacerlo, la expresión que teneos tiene el iso valor, pues /( ) =). Sustituios en la ª ec: 6 t y t ( 6 + t) + y = 6 t 7 6 + t + y = 6 t t = 6 + 6 t t 7t 6t y = = 7 6 t 6t Así, la estructura general de las soluciones es:,, t. 7 7 Obtendreos dos soluciones concretas (sólo piden una) dando valores arbitrarios a t. Por ejeplo: IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Recuperación º Bach CCSS t = : (,, ) t = : ( 6/7, /7, ) ) Un coerciante quiere dar salida a kg de avellanas, kg de nueces y kg de alendras. Para ello hace dos tipos de lotes: los de tipo A contienen kg de avellanas, kg de nueces y kg de alendras; y los de tipo B contienen kg de avellanas, kg de nueces y kg de alendras. El precio de venta de cada lote es de euros para los del tipo A y de euros para los del tipo B. Cuántos lotes de cada tipo debe vender para obtener el áxio ingreso y a cuánto asciende éste? (, ptos) Organizaos los datos del problea en una tabla que nos ayude a plantearlo aplicando las técnicas de Prograación Lineal. En prier lugar, decidios las variables. Coo se nos solicita el nº de lotes de cada tipo, ya las teneos claras. Colocareos en filas los datos correspondientes a cada lote. Por otra parte, las restricciones nos vienen dadas porque el núero de lotes no puede ser negativo y por la cantidad de kg disponibles de cada producto (avellanas, nueces y alendras). Por últio, al final colocaos una coluna correspondiente a los datos econóicos: se trata de axiizar los ingresos. Se hace teniendo en cuenta el ingreso que reporta cada unidad vendida de cada lote. Se supone que se venden los x lotes confeccionados del tipo A y los y del tipo B. Por tanto: Nº de lotes Contenido en Contenido en Contenido en Avellanas (kg) Nueces (kg) Alendras (kg) Ingresos Lotes tipo A x x x x x Lotes tipo B y y y y y Restricciones: x ; y x + y x + y x + y F(x, y) = x + y Maxiizar Seguidaente, dibujaos un gráfico con las restricciones. Cabiaos en cada una de las cinco inecuaciones el signo de desigualdad por un igual, obteniendo así la ecuación de una recta. Trazaos dichas rectas. x = e y = son los ejes OY y OX respectivaente x e y nos restringen, pues, al prier cuadrante, que es donde se verifican abas inecuaciones a la vez. Para x + y =, haceos x = y = /. Y tabién y = x =, Luego pasa por (, /) y (, ). Esta recta divide al plano en dos seiplanos. Para decidir cuál de ellos verifica la inecuación x + y x podeos optar por despejar y en la inecuación: y, con lo que sabeos que, coo los puntos que están sobre la recta verifican la isa expresión, pero con el signo =, los puntos cuya y es inferior a los que están sobre la recta, esto es, aquellos que quedan por debajo de la isa, son la solución de la inecuación. Pero otra opción para decidir cuál es el seiplano solución es toar un punto que no esté en la recta, por ejeplo, el (, ), y sustituirlo en la inecuación, a ver si lo verifica: + que resulta cierto. Por tanto, de los dos seiplanos, la solución es el que contiene al punto (, ). Señalaos dicho seiplano con unas flechitas sobre la recta x + y =. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Recuperación º Bach CCSS Repetios cálculos siilares para las otras dos inecuaciones. El gráfico, en el que se han destacado los vértices de la región factible, es el siguiente: Para optiizar la función objetivo, podeos optar por un étodo gráfico, consistente en dibujar las funciones de la fora x + y = c. Son rectas paralelas. Para un c deterinado, todos los puntos (x, y) de la recta proporcionan los isos ingresos. Coo el coeficiente de y es positivo:, de entre todas estas paralelas, cuanto ás alta esté la recta en el gráfico, ayor es el c que le corresponde. Heos de elegir la ás alta posible que contenga algún punto de la región factible. Trazaos x + y =, y la recta que buscaos es paralela a ella. Por tanto, se trata de la que pasa por C o por D (es dudoso). Lo veos en el gráfico adjunto. Para decidir la solución, evaluaos la función objetivo en C y en D y, coparando los resultados, decidios en cuál de ellos está la solución. La otra opción, que es la que vaos a desarrollar, consiste en calcular las coordenadas de los cinco vértices y coparar los resultados de la función objetivo en cada uno de ellos. Sabeos que la solución óptia estará sobre un vértice o sobre el segento que une dos consecutivos. Por tanto, de estos resultados obtendreos la solución. Calculeos los cinco vértices: A(, ), pues es la intersección de los ejes. B es la intersección de la recta x + y = con el eje OY, cuya ecuación es x =. Sustituyendo este valor en la ecuación de la otra recta: + y = y =. Luego B(, ). Análogaente: x y x y ( ) : x y x y y y Sustituyendo en la priera: x + = x = =. Luego C(, ). IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de
IES Fernando de Herrera Curso 6 / 7 Prier triestre Recuperación º Bach CCSS ( ) : x y x y x y x y y y Sustituyendo en la priera: x + = x = / =. Con lo que D(, ). Haciendo y = en x + y = : x = x = E(, ). Calculaos la función objetivo en cada uno de los vértices: F(A) = F(, ) = + = F(B) = F(, ) = + = F(C) = F(, ) = + = F(D) = F(, ) = + = F(E) = F(, ) = + = La solución está en C, y consiste en preparar unidades de cada lote, obteniendo unos ingresos de. IES Fernando de Herrera Prof. R. Mohigefer Página de