George Bernard Dantzig

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACION LINEAL George Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914 13 de mayo de 2005) fue un matemático reconocido por desarrollar el método simplex y es considerado como el "padre de la programación lineal". Recibió muchos honores, tales como la Medalla Nacional a la Ciencia en 1975 y el premio de Teoría John von Neumann en 1974. Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias, la Academia Nacional de Ingeniería y la Academia Americana de Artes y Ciencias. Obtuvo su grado de bachiller en matemáticas y físicas en la Universidad de Maryland en 1936, su grado de magister en matemáticas en la Universidad de Míchigan, y su doctorado en Berkeley en 1946. Recibió además un doctorado honorario de la universidad de Maryland en 1976. El padre de Dantzig, Tobías Dantzig, fue un matemático ruso que realizó estudios con Henri Poincaré en París. Tobías se casó con una estudiante de la universidad de Sorbonne, Anja Ourisson, y la pareja inmigró a los Estados Unidos. Página1

Problema 1) Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 y el de la chaqueta en 40. Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? 1. Elección de las incógnitas. 2. Función objetivo 3. Restricciones RESOLUCIÓN x = número de pantalones y = número de chaquetas f(x,y)= 50x + 40y Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones chaquetas disponible algodón 1 1,5 750 poliéster 2 1 1000 x + 1.5y 750 2x+3y 1500 2x + y 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: 4. Hallar el conjunto de soluciones factibles x 0 y 0 Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes. Página2

Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 2 0 + 3 0 1 500 Como 0 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. De modo análogo resolvemos 2x + y 1000. 2 0 + 0 1 00 La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles. 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. Página3

La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. Éstos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250) 6. Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = 50 0 + 40 500 = 20000 f(500, 0) = 50 500 + 40 0 = 25000 f(375, 250) = 50 375 + 40 250 = 28750 Máximo La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750. Problema 2) Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L 2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para el L 2 ; y un trabajo de máquina para L 1 y de 10 minutos para L 2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L 2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. RESOLUCIÓN Página4

1. Elección de las incógnitas. PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL x = nº de lámparas L 1 y = nº de lámparas L 2 2. Función objetivo f(x, y) = 15x + 10y 3. Restricciones Pasamos los tiempos a horas 20 min = 1/3 h 30 min = 1/2 h 10 min = 1/6 h Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: L1 L2 Tiempo Manual 1/3 1/2 100 Máquina 1/3 1/6 80 1/3x + 1/2y 100 1/3x + 1/6y 80 Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x 0 y 0 4. Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes. Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 1/3 0 + 1/2 0 100 1/3 0 + 1/6 0 80 Página5

La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles. 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. Éstos son las soluciones a los sistemas: 1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200) 1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60) 6. Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. Página6

f(x, y) = 15x + 10y PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL f(0, 200) = 15 0 + 10 200 = 2 000 f(240, 0 ) = 15 240 + 10 0 = 3 600 f(210, 60) = 15 210 + 10 60 = 3 750 Máximo La solución óptima es fabricar 210 del modelo L 1 y 60 del modelo L 1 para obtener un beneficio de 3 750. Problema 3) Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m 3 y un espacio no refrigerado de 40 m 3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m 3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m 3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 y el B de 40. Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? RESOLUCIÓN 1. Elección de las incógnitas. x = camiones de tipo A y = camiones de tipo B 2. Función objetivo f(x,y) = 30x + 40y 3. Restricciones A B Total Refrigerado 20 30 3 000 No refrigerado 40 30 4 000 20x + 30y 3 000 40x + 30y 4 000 x 0 y 0 4. Hallar el conjunto de soluciones factibles Página7

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6. Calcular el valor de la función objetivo f(0, 400/3) = 30 0 + 40 400/3 = 5 333.332 f(150, 0) = 30 150 + 40 0 = 4 500 Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y. f(50, 67) = 30 50 + 40 67 = 4 180 Mínimo El coste mínimo son 4 180 para A = 50 y z B = 67. Página8

Problema 4) En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30. Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? RESOLUCIÓN 1. Elección de las incógnitas. x = X y = Y 2. Función objetivo f(x,y) = 10x + 30y 3. Restricciones X Y Mínimo A 1 5 15 B 5 1 15 x + 5y 15 5x + y 15 x 0 y 0 4. Hallar el conjunto de soluciones factibles Página9

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6. Calcular el valor de la función objetivo f(0, 15) = 10 0 + 30 15 = 450 f(15, 0) = 10 15 + 30 0 = 150 f(5/2, 5/2) = 10 5/2 + 30 5/2 = 100 Mínimo El coste mínimo son 100 para X = 5/2 e Y = 5/2. Problema 5) Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7, respectivamente. Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? RESOLUCIÓN 1. Elección de las incógnitas. x = P 1 2. Función objetivo y = P 2 Página10

3. Restricciones PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL f(x, y) = 6.5x + 7y P1 P2 Disponibles Cuadernos 2 3 600 Carpetas 1 1 500 Bolígrafos 2 1 400 2x + 3y 600 x + y 500 2x + y 400 x 0 y 0 4. Hallar el conjunto de soluciones factibles 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. Página11

6. Calcular el valor de la función objetivo f(x,y)= 6.5 200 + 7 0 = 1300 f(x,y)= 6.5 0 + 7 200 = 1 400 f(x,y)= 6.5 150 + 7 100 = 1 675 Máximo La solución óptima son 150 P 1 y 100 P 2 con la que se obtienen 1 675 Problema 6) Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 ; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? RESOLUCIÓN 1. Elección de las incógnitas. x = nº de lotes de A y = nº de lotes de B 2. Función objetivo f(x, y) = 30x + 50y Página12

3. Restricciones A B Mínimo Camisas 1 3 200 Pantalones 1 1 100 x + 3y 200 x + y 100 x 20 y 10 4. Hallar el conjunto de soluciones factibles 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. Página13

6. Calcular el valor de la función objetivo f(x, y) = 30 20 + 50 10 = 1100 f(x, y) = 30 90 + 50 10 = 3200 f(x, y) = 30 20 + 50 60 = 3600 f(x, y) = 30 50 + 50 50 = 4000 Máximo Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000. Problema 7) Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 y la pequeña de 1. Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? RESOLUCIÓN 1. Elección de las incógnitas. 2. Función objetivo x = Pastillas grandes y = Pastillas pequeñas f(x, y) = 2x + y 3. Restricciones 40x + 30y 600 Página14

4. Hallar el conjunto de soluciones factibles x 3 y 2x x 0 y 0 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6. Calcular el valor de la función objetivo Página15

f(x, y)= 2 3 + 16 = 22 f(x, y)= 2 3 + 6 = 12 PROBLEMAS RESUELTOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL f(x, y)= 2 6 + 12 = 24 Máximo El máximo beneficio es de 24, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas. Problema 8) Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 y el de uno pequeño 600. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. RESOLUCIÓN 1) Elección de las incógnitas. x = autobuses pequeños y = autobuses grandes 2) Función objetivo f(x, y) = 600x + 800y 3) Restricciones 40x + 50y 400 x + y 9 x 0 y 0 4) Hallar el conjunto de soluciones factibles Página16

5) Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6) Calcular el valor de la función objetivo f(0, 8) = 600 0 + 800 8 = 6 400 f(0, 9) = 600 0 + 800 9 = 7 200 f(5, 4) = 6 00 5 + 800 4 = 6 200 Mínimo El coste mínimo es de 6 200, y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeños. Página17