I. ALGEBRA. NOCIONES DE ALGEBRA 1.- Expresiones algebraicas: Una expresión algebraica es una serie de términos ligados por las operaciones de adición y diferencia. a) 3x y + xy - 7xy 3 b) m - n c) a 3-3ab - 5b - 3.- Partes de un término: En cada término de una expresión algebraica, se distinguen dos partes: a) Factor numérico b) Cantidad literal Ejemplo: En el término -m 3 n, - es factor numérico y m 3 n es cantidad literal De acuerdo con el ejemplo a) Factor numérico es el número que multiplica a la cantidad literal b) Cantidad literal es el conjunto de letras con sus respectivos exponentes. Observación: En álgebra el signo de multiplicación no es necesario indicarlo. Así, la expresión m 3 n equivale a m 3 n (m al cubo por n) 3.- Términos semejantes: Los términos semejantes se caracterizan por tener igual cantidad literal. a) 3 x y, -7 x y son términos semejantes b) 4 a 3 b, 5 a b no son términos semejantes 4.- Reducción de términos semejantes: Para reducir términos semejantes es una expresión algebraica se suman o restan los factores numéricos y se mantiene la cantidad literal. a) 9 a x + 7 a x ( 9 + 7 ) a x 16 a x b) 15 c d + 8 c d + 7 c d - 3 c d ( 15 c d + 7 c d ) + ( 8 c d - 3 c d ) c d + 5 c d 5.- Clasificación de las expresiones algebraicas: Dependiendo de la cantidad de términos reciben su nombre: 5.1: Monomios: Son expresiones que constan de un sólo término a) 70 a 3 b c b) x y c) -p 7
5.: Binomios: Son expresiones que constan de dos términos a) u + v b) 7 - a b c) 3 x y - x 5.3: Trinomios: Son expresiones que constan de tres términos a) 5 a 4-3 a b + b b) x - x y + y c) u + u v + u 5.4: Polinomios: Son expresiones que constan de cuatro o más términos a) x 3 + 3 x y + 5 x y - x - 5 b) m 3-3 m n + 7 m n - n 6.- Valoración de expresiones algebraicas: Consiste en determinar el valor numérico de la expresión algebraica, conociendo los valores de las bases de las potencias que componen las cantidades literales. a) Calcular el valor numérico de la expresión algebraica 4 x - 3xy + x para los valores x -, y 3 Solución: Reemplazando x -, y 3 en la expresión 4 x - 3xy + x se tiene: 4x - 3xy + x 4 (-) - 3 (-) 3 + (-) 4 4 - (-18) + - 16 + 18-3 b) El área de un triángulo equilátero de lado a, se calcula usando la fórmula a 3 4 triángulo equilátero de lado 5 cm.? Qué área tiene un Solución: En la expresión a 3 se reemplaza a 5 cm. y se obtiene el área del triángulo equilátero que 4 es igual a: ( 5cm.) 3 5cm 3 5 3 cm 4 4 4 Triángulo ABC equilátero C a a 5cm A a B 7.- Eliminación de paréntesis en expresiones algebraicas: 73
7.1: Para eliminar paréntesis precedido de un signo positivo (+), se mantiene el signo en cada uno de los términos que se hallan en su interior. Observación: Si al eliminar paréntesis, aparecen términos semejantes, resulta práctico poner alguna señal y proceder a reducirlos. a) 1 + 5x + (4+9x)... eliminando paréntesis 1 + 5x + 4 + 9x... reduciendo términos semejantes 16 + 14x // 7.: Para eliminar paréntesis precedido de un signo negativo (-), se cambia el signo a cada uno de los términos que se hallan en su interior. a) 7m - 4n - (m - 7n + 5)... eliminando paréntesis 7m - 4n - m + 7n - 5... reduciendo términos semejantes 5m + 3n - 5 // b) -5 + 3p - {6-7p - (-4-1p)}... eliminando el paréntesis () -5 + 3p - {6-7p + 4 + 1p}... reduciendo términos semejantes -5 + 3p - {10 + 5p}... eliminando el paréntesis {} -5 + 3p - 10-5p... reduciendo términos semejantes -15 - p // c) Sea R 5x 3 - x y - 4y, S x 3-4x y + 3y Determinar R - S Solución: R - S 5x 3 - x y - 4y - (x 3-4x y + 3y) 5x 3 - x y - 4y - x 3 + 4x y - 3y 3x 3 + x y - 7y // 8.- Multiplicación y División de polinomios: 8.1: Monomio por monomio: Para multiplicar monomios se efectúa el producto de los factores numéricos entre sí y el producto de los factores literales entre sí. a) 4x 6x 3 y (4 6)(x x 3 y) 4 x 5 y // b) 3m 5 m 3 n (-5m n 3 ) (3-5) (m 5 m 3 m ) (n n 3 ) -30 m 10 n 5 // 8.: Monomio por polinomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio, y espués se procede como en el punto 8.1. a) a (a 4 a 3 ) a a 4 a a 3 a 6 a 5 b) m 3 n (m 4 n 3 + m n 5) m 3 n m 4 n 3 + m 3 n m n m 3 n 5 m 7 n 5 + m 5 n 3 5 m 3 n // 8.3: Polinomio por polinomio: Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio. 74
a) (u v) (x+y) u x + u y + v x + v y ux + uy + vx + vy b) (p + 5) (p 3 p + 3) p p 3 p p + p 3 + 5 p 3 5 p + 5 3 p 4 4p + 6p + 5p 3 10p + 15 p 4 + 5p 3 4p 4p + 15// 8.4: División de Monomios: se dividen sus coeficientes numéricos entre si y sus factores literales entre si, restando los exponentes de las letras iguales. Ejemplo: 1x 3 y : -3x y (1 : -3)x 3- y -1-4xy 8.5: División de un Multinomio por un monomio: se divide cada término del multinomio por el monomio, separando los cuocientes por el sigo correspondiente. Ejemplo: (64x 4 8x 3 + 4x ) : x (64x 4 : x ) (8x 3 : x ) + (4x : x ) 3x 4x + 8.6: División de Multinomios: se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cuociente. Se multiplica todo el divisor por el cuociente parcial y se resta el producto del dividendo. Se divide el primer término del resto por el primer término del divisor para obtener el segundo término del cuociente y así sucesivamente. Igual que en aritmética, debe cumplirse que D dc + R, donde D es dividendo; d es divisor; c es cuociente y R el resto. Si R 0 entonces la división es exacta. Ejemplo: (15a 4 7a 3 b - 6a b + 7ab 3 3b 4 ) : (5a + ab 3b ) Dividendo: D divisor: d (15a 4 7a 3 b - 6a b + 7ab 3 3b 4 ) : (5a + ab 3b ) 3a ab + b -15a 4 3a 3 b + 9a b -10a 3 b + 3a b + 7ab 3 3b 4 primer resto -10a 3 b + a b - 6 ab 3 5a b + ab 3 3b 4 segundo resto - 5a b - ab 3 + 3b 4 0 resto 9.- Operaciones Combinadas con Polinomios: Solución: a) Operar 5 (x+3) + 7 (5x-) Se efectúan primeramente las multiplicaciones: 5 (x + 3) + 7 (5x - ) 10x + 15-35x - 14 45x + 1 b) Si A u + v, B v 5, C u + 7. Determinar A (B + C) Solución: A (B + C)... Reemplazando (u + v) (v -5 + (u+7))... efectuando (u + 7) 75
(u + v) (v - 5 + u + 14)... reduciendo términos semejantes (u + v) (v + u + 9)... multiplicando uv + u + 9u + v + uv + 9v... reduciendo términos semejantes u + 9u + 3uv + v + 9v // 10.- Productos Notables: Algunos productos tienen resultados muy destacados, debido a esto se les llama Productos Notables. 10.1: Cuadrado de binomio: El desarrollo del cuadrado de un binomio le haremos justificando cada uno de los pasos. (a + b)... Definición de potencias (a + b) (a + b)... Multiplicación de binomios a a + a b + b a + b b... Definición de potencia y conmutatividad de la multiplicación a + ab + ab + b... Reduciendo términos semejantes a + ab + b Luego: (a + b) a + ab + b Esta relación dice que: El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Ejemplo: a) Desarrollar (3x + 5) Solución: (3x + 5) (3x) + 3x 5 + 5 9x + 30x +5 // Observación: Si el signo entre los dos términos del binomio es negativo; entonces el desarrollo del cuadrado del binomio (a - b) corresponde a: (a - b) a - ab + b Ejemplo: a) (4xy - 3) (4xy) - 4xy 3 + 3 16x y - 4xy + 9// b) (x + 3) - (x - 5) (x + x 3 + 3 ) - ((x) - x 5 + 5 ) (x + 6x + 9) - (4x - 0x + 5) x + 6x + 9-4x + 0x - 5-3x + 6x - 16// 10.: Producto de la suma de dos términos por la diferencia de ellos: Consiste en determinar el producto de una expresión cualquiera de la forma (a + b) ( a - b), esta expresión se llama suma por diferencia. Al efectuar la multiplicación se obtiene: (a + b) ( a - b) a a - a b + b a - b b a - ab + ab - b a - b // Luego: (a + b) (a - b) a - b Esta relación dice: El producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. a) (3x + 5) (3x - 5) (3x) - 5 9x - 5// b) (x-1) - (x+1) (x-1) (x - x + 1) - (x - 1) 76
10.3: Otros productos destacados son: x - x + 1 - x + 1 - x // Producto de binomios con u término en común : (x + a)(x + b) x + (a + b)x + ab Cubo del binomio : (a ± b) 3 a 3 ± 3a b +3ab ±b 3 Cuadrado de un trinomio : (a + b + c) a +b + c + ab + ac + bc Producto que arrojan una suma de cubos perfectos : (a + b)(a ab + b ) a 3 + b 3 Producto que arrojan una diferencia de cubos perfectos : (a - b)(a + ab + b ) a 3 - b 3 11.- Factorización: Factorizar un polinomio es expresarlo en forma de producto, esto se basa en la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la adición: a b + a c a (b + c) 11.1: Factor común: Monomio: En el polinomio existe en cada término un mismo factor numérico o una misma cantidad literal. a) 6m - 6n 6(m - n) c) 1x - 4 4(3x - 1) b) x 4-7x 3 + 4x x (x - 7x + 4) d) m 3 n - 4m n m n (mn - 4) Polinomio: En el polinomio existe en cada término un mismo factor que es polinomio. a) 5(m + ) + 8x(m + ) (m + )(5 + 8x) b) 7(x 4)(x + 7x 3) + y(x + 7x 3) (x + 7x 3)(7x 8 + y) Por Agrupación de Términos: Agrupando convenientemente los términos, ya sea de a pares o en tríos, puede ponerse en evidencia el factor común. Ejemplos. 1) x ax bx + ab (x ax) (bx ab) agrupando en parejas x(x a) - b(x a) sacando factor común (x a)(x b) factor común (x a) ) x 3 3x y + 3xy 9y 3 (x 3 3x y) + (3xy 9y 3 ) agrupando en parejas x (x 3y) + 3y (x 3y) sacando factor común (x 3y)(x + 3y ) factor común (x 3y) 11.: Factorización de una diferencia de cuadrados: En este caso, es un binomio del tipo a - b, se factoriza en (a + b) (a - b). Es decir: a - b (a + b) (a - b) 77
a) m - 5 m - 5 (m + 5)(m - 5) b) 9a - 64b (3a) - (8b) (3a + 8b) (3a - 8b) c) ax - ay a(x - y ) a (x + y) (x - y)// 11.3: Otras factorizaciones comunes: 1. 9p + 60pq + 100q (3p) + 3p 10q + (10q) (3p + 10q) Cuadrado de binomio. x 3 + y 3 (x + y)(x xy + y ) Suma de cubos 3. x 3 - y 3 (x - y)(x + xy + y ) Diferencia de cubos 4. x 5x + 6 (x )(x 3) Prod. de binomios con un término en común 5. 4x 4x 3 (x) - (x) 3 (x 3)(x + 1) Término en común x 6. x 3x + 1? Si este trinomio de segundo grado es factorizable, tendría que serlo en un producto de dos binomios de primer grado, de la forma : (mx + n)(px + q). 1.- Simplificación: Para simplificar una fracción es necesario y suficiente que el numerador y el denominador tengan un factor en común. En el caso de monomios, la simplificación se hace en forma directa; en cambio, si el numerador o el denominador de la fracción tienen dos o más términos, es necesario factorizar primero y luego simplificar. Simplificar las siguientes expresiones ( ) ( ) 1) n + n el factor común es a, por lo tanto al simplificar queda: ( n + ) ( n ) ) ( n + ) ( n ) ( n + ) ( n ) simplificando por dos, queda: ( n + ) ( n ) antes de factorizar directamente, hay que factorizar el numerador 3) ( n + ) ( n ) ( n + ) ( n ) ( ) ( ) simplificando por el factor común (x + ) queda: n + n previa simplificación, hay que factorizar numerador y denominador 78
13. Adición de fracciones algebraicas: Si las fracciones tienen el mismo denominador, entonces se suman los numeradores, conservando el denominador. Si los denominadores son diferentes, se debe buscar el M.C.M. de ellos y amplificar cada fracción por el factor necesario de modo que todas queden reducidas a un denominador común. 1) ( n + ) ( n ) ) ( n + ) ( n ) ( m )( m + 1) m( m + 1) + m( m + ) m( m )( m + ) m + m m m m + m m( m )( m + ) + 4m m + m ( m + )( m 1) m 1 m( m )( m + ) m( m )( m + ) m( m ) 14. Multiplicación y división de fracciones algebraicas: Se multiplican los numeradores entre sí y se realizan todas las multiplicaciones posibles. En el caso de los monomios las simplificaciones pueden hacerse antes o después de multiplicar, en el caso de los polinomios es conveniente hacer todas las simplificaciones primero y luego las multiplicaciones. Para dividir fracciones, multiplicamos la primera por el recíproco de la segunda. 1) ( n + ) ( n ) ) a + b a b a + b 6a b a + b 6a b 3a ab 6a b ab a b ab ( a + b)( a b) a b 79