Lectura 2: Estructuras Básicas de Filtros Digitales
Filtros FIR sencillos Filtro de promedio móvil de 2 puntos (M=1 1er orden): Es el filtro FIR más simple. Note que H(z) tiene un cero en z=-1, y un polo en z=0. Recordemos que para un sistema estable (los filtros FIR son siempre estables), la respuesta en frecuencia puede ser obtenida substituyendo El cero en z=π (suprime la componente de alta frecuencia π), acoplado con el polo en z=0 (amplifica la frecuencia cero), funciona como un filtro pasa bajas.
Filtros FIR sencillos Función que decrece monotonicamente en función de ω. Por lo tanto es un filtro pasa bajas. La ganancia del sistema en una frecuencia ω es: La frecuencia en la cual es de especial interés: La frecuencia de corte de 3-dB:
Frecuencia de Corte Para filtros que son realizables, la frecuencia de corte es la frecuencia en la cual la ganancia del sistema alcanza el valor de 0.707 del valor pico. Para un filtro pasa bajas, la ganancia en la frecuencia de corte es 3 db menor que su ganancia en la frecuencia cero (o 0.707 de su amplitud en la frecuencia cero). Para el filtro de primer orden, esto ocurre en ωc=π/2.
Filtro FIR en cascada Ahora consideremos un FPM de segundo orden, M=3 Así como el orden se incrementa la caída del filtro es mas pronunciada, pero la banda de paso también se decrementa. subplot(121) w=linspace(0, pi, 512); H2=exp(-j*w/2).*cos(w/2).*exp(-j*w/2).*cos(w/2); plot(w/pi, abs(h2)); grid xlabel('frecuencia, \omega/\pi') %(tres secciones) subplot(122) H3=exp(-j*w/2).*cos(w/2).*exp(-j*w/2).*cos(w/2).*exp(- j*w/2).*cos(w/2); plot(w/pi, abs(h3)); grid xlabel('frecuencia, \omega/\pi')
Filtro pasa altas Un filtro pasa altas puede ser fácilmente obtenido de un filtro pasa bajas: simplemente remplazamos z con z. Esto resulta en Notemos ahora que H1(z) tiene un cero en z=1, y un polo en z=0. Por lo tanto, la respuesta en frecuencia tiene un cero en ω=0, que corresponde a z=1. El cero en ω=0 (suprime los componentes de baja frecuencia a 0), hace que funcione como un filtro pasa altas.
Filtros pasa altas en Cascada subplot(121) w=linspace(0, pi, 512); H2=j*exp(-j*(w/2)).*sin(w/2)*j.*exp(-j*(w/2)).*sin(w/2); plot(w/pi, abs(h2)); grid xlabel('frecuencia, \omega/\pi') %(tres secciones) subplot(122) H3=j*exp(-j*(w/2)).*sin(w/2)*j.*exp(- j*(w/2)).*sin(w/2)*j.*exp(-j*(w/2)).*sin(w/2); plot(w/pi, abs(h3)); grid xlabel('frecuencia, \omega/\pi')
Filtro pasa altas Otra forma de expresar un filtro pasa altas de un orden superior es de la forma Al igual que en el filtro anterior, obtenemos esta relación remplazando z con z en la función de transferencia de un filtro promedio móvil.
Filtro IIR pasa bajas Un filtro causal digital IIR, pasa bajas de primer orden tiene una función de transferencia dada por donde α<1 para estabilidad. La función de transferencia tiene un cero en z=-1, es decir en ω=π el cual esta en la banda de rechazo. HLP(z) tiene un polo real en z=α. El máximo valor de la función magnitud es 1 en w=0, y el valor mínimo es 0 en ω=π.
Filtros pasa bajas IIR es una función que decrece monotonicamente en función de ω desde ω=0 hasta ω=π Para encontrar la frecuencia de corte de 3 db, resolvemos para ωc en Encontrar una correspondiente α para una dada frec. de corte de 3 db, ωc.
Filtros pasa bajas IIR El cuadrado de la magnitud esta dada por La derivada de con respecto a ω esta dado por: en el rango, ya que vimos que la función decrece monotonicamente. Para determinar la frecuencia de corte de 3 db, hacemos que en la expresión del cuadrado de la magnitud, lo cual resulta en:
Filtros pasa bajas IIR O de otra forma Lo cual puede ser resuelto en La ecuación cuadrática superior puede ser resuelta para α, lo cual nos produce las siguientes soluciones, que producen una función de transferencia estable
Filtros IIR pasa altas Un filtro digital IIR pasa altas causal de primer orden tiene una función de transferencia dada por donde α <1 para estabilidad. Debemos notar que podemos obtener un HPF, simplemente remplazando z con z en el LPF. La función de transferencia anterior es ligeramente diferente, sin embargo proporciona un mejor HPF. Esta función de transferencia tiene un cero en z=1 ω=0 lo cual esta en la banda de rechazo
Ejemplo Diseñe un filtro digital pasa altas de primer orden con una frecuencia de corte de 3 db de 0.8π. Entonces: y Por lo tanto Filtros de orden superior pueden ser fácilmente diseñados simplemente conectando en cascada varios filtros de primer orden. Hay que notar que para filtros en cascada, la respuesta al impulso total es la convolución de las respuestas al impulso individuales, es decir: h [n]=(h[n]*h[n] *h[n] *h[n].. *h[n]) o también la respuesta en frecuencia total es: H (ω)=h(ω) H(ω) H(ω).. H(ω)
Filtros IIR pasa banda La función de transferencia de un filtro IIR pasa banda general de 2do orden esta dada por: Está función tiene un cero en z=-1 y z=1, es decir en ω=0 y ω=π. Obtiene su valor máximo en ω=ω0, la cual es llamada la frecuencia central, dada por Este filtro tiene 2 frecuencias de corte, ωc1 y ωc2 donde. Estas frecuencias también son llamadas frecuencias de corte a 3 db. La diferencia entre las dos frecuencias de corte es llamada el ancho de banda de 3 db, dada por
Ejemplo Ejemplo: Diseñe un filtro digital pasa banda de 2do orden con frecuencia central en 0.4π y un ancho de banda de 3 db en 0.1π De esta forma y
Ejemplo - continua La solución de la ecuación anterior nos da los siguientes resultados: Las funciones de transferencia correspondientes son: Los polos de están en z=0.3671712 j1.114256 y tienen una magnitud >1. Por lo tanto los polos de están fuera del circulo unitario haciendo la función de transferencia inestable. En cambio, los polos de están en z=0.2667 j0.809554 y tienen una magnitud de 0.85237. Por lo tanto es estable.
Ejemplo - continua La siguiente figura muestra la grafica de la magnitud de.
Filtro IIR de Rechazo de Banda La función de transferencia de un filtro IIR rechazo de banda general de 2do orden esta dada por: Esta función tiene su máximo valor unitario en, es decir en ω=0 y ω=π. Tiene un cero en ω=ω0, y es llamada la frecuencia notch y esta dada por: Por lo tanto este filtro también es conocido como el filtro notch. Similar al pasa banda, hay dos valores ωc1 y ωc2 llamados las frecuencias de corte de 3 db, donde la respuesta en magnitud de la frecuencia alcanza su valor medio, es decir es igual a ½. La diferencia entre estas dos frecuencias es llamada también el ancho de banda de 3 db y esta dada por:.
Filtro IIR de Rechazo de Banda
Filtros IIR de orden superior Nuevamente, debemos de notar que cualquiera de estos filtros pueden ser diseñados a ser de un orden superior, los cuales proporcionan mejores características de filtrado y bandas de transición más angostas. Simplemente hay que realizar estructuras en cascada, tantas veces como sea necesario para alcanzar el filtro de orden superior que se desea. Por ejemplo, para conectar en cascada K filtros pasa bajas de primer orden: donde puede ser demostrado que
Demostración: El cuadrado de la magnitud de esta función esta dado por Para determinar la relación entre su frecuencia de corte a 3 db ωc y el parámetro α, hacemos que lo cual puede ser resuelto para α y nos proporciona una función de transferencia estable donde
Filtros IIR de orden superior - Ejemplo Se debe de notar que la expresión para α dada anteriormente se reduce a para k=1. Ejemplo: Diseñe un filtro pasa bajos con una frecuencia de corte de 3 db en ωc=0.4π usando a) una sección sencilla de primer orden y b) una cascada de 4 secciones de primer orden, compare sus respuestas en ganancia. A) Para el filtro sencillo pasa bajas de primer orden tenemos que
Ejemplo - Continua Para la cascada de 4 secciones de primer orden, substituimos k=4 y obtenemos: Ahora calculamos α
Ejemplo - continua Las respuestas en ganancia de los dos filtros son mostradas a continuación: Como se puede ver, la conexión en cascada tiene una caída mas pronunciada.
Filtro Comb Note que LPF, HPF, BPF y BSF tienen una banda de paso sencilla y/o una banda de rechazo sencilla. Muchas aplicaciones requieren varias de estas regiones de frecuencia, las cuales pueden ser proporcionadas por un filtro Comb. Un filtro Comb, típicamente tiene una respuesta en frecuencia que es una función periódica de ω, con un periodo de 2π/L, donde L indica el número de bandas de paso/bandas de rechazo. Si H(z) es un filtro con una banda de paso sencilla y/o con una banda de rechazo sencilla, un filtro comb puede ser fácilmente generado de esta, remplazando cada retardo en su realización con L retardos que resultan en una estructura con una función de transferencia dada por Si H(ω) exhibe un pico en ωp, entonces exhibirá L picos en ωp k/l donde,en el rango de frecuencia Así mismo, si H(ω) tiene un notch en ω0, entonces tendrá L notchs en ω0 k/l, donde en el rango de frecuencia Un filtro comb puede ser generado ya sea de un filtro prototipo FIR o IIR.
Filtros Comb Comenzando de una función de transferencia pasa bajas:
Filtros Comb Comenzando de una función de transferencia pasa altas:
Filtros de Fase Mínima y Máxima Sin entrar en detalles, veremos las siguientes propiedades y definiciones: Puede ser mostrado que una función de transferencia causal y estable con todos los ceros fuera del circulo unitario tienen un exceso de fase comparado a una función de transferencia causal con magnitud idéntica pero con todos los ceros dentro del circulo unitario. Una función de transferencia causal y estable con todos los ceros dentro del circulo unitario es llamada una función de transferencia de fase mínima. Una función de transferencia estable y causal con todos los ceros fuera del circulo unitario es llamada una función de transferencia de fase máxima. Normalmente, nosotros esteremos interesados en funciones de transferencia de fase mínima.
Implementación de Filtros Debemos de recordar que los filtros en el mundo real son implementados en el dominio del tiempo. Sin embargo, como son implementados en hardware o software? Una representación en diagrama de bloques del filtro, es el primer paso de su implementación. Por ejemplo el filtro IIR Puede ser implementada como sigue Conociendo las condiciones iniciales y[-1], y la entrada x[n] para, podemos calcular y[n],
Ventajas de la implementación por bloques Usando una implementación basada en un diagrama a bloques tiene varias ventajas: Es fácil de escribir el algoritmo computacional por simple inspección del diagrama. Es fácil analizar el diagrama a bloques para determinar la relación explicita entre la salida y la entrada. Facilidad de manipular el diagrama a bloques para poder derivar otros diagramas a bloques equivalentes que conducen a diferentes algoritmos computacionales. Facilidad de determinar los requerimientos de hardware. Es mucho mas fácil desarrollar una representación de diagramas a bloques directamente de la función de transferencia.
Estructuras equivalentes, Canónica y No canónicas A una estructura de un filtro digital se le dice ser Canónica si el número de retardos en el diagrama a bloques es igual al orden de la función de transferencia. De otra forma, es una estructura No Canónica. La siguiente estructura es no canónica, desde que usa 2 elementos de retardo para un filtro de primer orden. Dos estructuras se dicen equivalentes si ellas tienen la misma función de transferencia. Una de varias estructuras equivalentes es obtenida usando la operación de transposición. Invertir las trayectorias. Remplazar los nodos por sumadores. Intercambiar los nodos de entrada y salida.
Estructuras Equivalentes Hay literalmente un número infinito de estructuras equivalentes que realizan la misma función de transferencia. Sin embargo en la practica, debido a las limitaciones de longitud de palabra finita, una realización especifica puede comportarse muy diferente de alguna otra realización equivalente. Por lo tanto es importante elegir una estructura que los efectos de cuantización sean mínimos cuando se implemente usando aritmética de precisión finita. Veremos algunos de los procedimientos de implementación más populares mas adelante.
Estructuras Básicas de Filtros FIR Un filtro FIR causal puede ser representado en el dominio del tiempo con su ecuación de diferencias, la cual es equivalente a su representación de la respuesta al impulso Este filtro de orden N (N+1 coeficientes) puede ser implementado directamente usando N+1 multiplicadores y N sumadores de 2 entradas:
Ejemplo Para un filtro de orden N=4: y su transpuesta esta dada por: Ambas son estructuras canónicas. Estas estructuras también son conocidas como Filtros de estructura transversal.
Filtros FIR con Estructura de Fase Lineal Recordemos que un filtro de fase lineal debe de tener ya sea una propiedad simétrica o antisimétrica, la cual puede ser usada para reducir el número de multiplicadores hasta casi la mitad en la implementación de la forma directa. Consideremos la función de transferencia de un filtro FIR de longitud 7 con una respuesta al impulso simétrica: Por lo que podemos re-escribir esta ecuación como: La cual necesita solo 4 multiplicadores, en lugar de 7
Estructuras FIR de Fase Lineal Aquí mostramos la realización de este filtro
Estructuras FIR de Fase Lineal Similarmente un filtro FIR tipo II (con longitud par, por ejemplo 8) Puede ser implementado con 4 multiplicadores, en lugar de 8. Note sin embargo, que aun necesita 7 elementos de retardo
Estructuras de Filtros IIR Los filtros causales IIR son caracterizados por una función de transferencia racional y real o equivalentemente por una ecuación de diferencias con coeficientes constantes. De la representación de la ecuación de diferencias, puede ser visto que la realización del filtro causal IIR requiere alguna forma de retroalimentación. Además, Una función de transferencia digital IIR de N orden es caracterizada por 2N+1 (a y b) coeficientes únicos, y en general, requiere 2N+1 multiplicadores y 2N sumadores de 2 entradas para implementarlos. Dado el filtro en ecuación de diferencias, podemos implementarlo directamente usando los coeficientes del multiplicador. Esta es llamada la Forma Directa I de implementación.
Estructuras de Filtros IIR Consideremos un ejemplo de 3er orden: La cual puede ser dividida en dos sistemas: H1 (numerador) H2 (denominador).
Estructuras de Filtros IIR Aquí tenemos a H1(z), cuya entrada es x[n] y la salida es w[n]: Y, aquí esta H2(z), cuya entrada es w[n] y la salida es y[n]
Estructuras de Filtros IIR: Forma Directa I Una conexión en cascada de los dos, entonces nos da el total H(z), cuya implementación es conocida como Forma Directa I. Debemos de notar que esta estructura es no canónica desde que emplea 6 retardos para realizar una función de transferencia de 3er orden.
Estructuras de Filtros IIR: Forma Directa IT La transpuesta de esta implementación también puede ser obtenida:
Otras Implementaciones no Canónicas Note que podemos implementar estas estructuras como se muestra:
Implementación de filtros IIR en Forma Directa II Ahora debemos de notar que los puntos indicados como (1) y (1 ), (2) y (2 ), (3) y (3 ) son realmente indistinguibles uno del otro. Por lo tanto los elementos de retardo pueden ser compartidos. Esta particular implementación es llamada la Forma Directa II, y requiere la mitad de los elementos de retardo.
Realizaciones en Cascada Si expresamos los polinomios del numerador y denominador de una función de transferencia, como el producto de polinomios de grado inferior, un filtro digital puede ser realizado como una conexión en cascada de filtros de orden inferior. Considere por ejemplo la cual puede ser implementada en alguna de 36 formas diferentes, basados en la ordenación de polos, ceros y la factorización de estos Si fuéramos a implementar estas estructuras usando componentes de hardware de precisión Infinita, estos deberán resultar en realización de filtros idénticos. Sin embargo, cada una de ellas son filtros diferentes debido a los efectos de longitud de palabra finita.
Realizaciones en Cascada Los polinomios son típicamente factorizados dentro de formas de primer y segundo orden. Donde para forma de primer orden. Entonces, por ejemplo, un sistema de tercer orden puede ser escrito y realizada como Realización en cascada de una función de transferencia IIIR de 3er orden
Ejemplo Realizaciones de la forma directa II y en cascada:
Formas de Realización en Paralelo Podemos realizar filtros IIR a través de una expansión directa de fracciones parciales, donde cada término es entonces implementado separadamente. Si la expansión en fracciones parciales es echo en términos de, entonces una realización paralela forma I es obtenida. Si la expansión en fracciones parciales es echo en términos de z, entonces una realización paralela forma II es obtenida. Como ejemplo, considere la misma H(z) como en el ejemplo anterior:
Realizaciones en forma paralela Para una implementación en forma paralela II:
FIN