Capítulo 4: MODELADO DE PLANTAS INVERSAS

Transcripción

1 Capítulo : MODELADO DE PLANTAS INVERSAS

2 INTRODUCCIÓN.. INTRODUCCIÓN Los conceptos de control mostrados en el primer capítulo implican el uso de plantas inversas adaptativas como controladores en configuraciones de control por. A continuación se van a desarrollar las técnicas generales necesarias para encontrar las inversas de las plantas que van a ser controladas. Se aplicará sólo a plantas estables. Si la planta de interés es inestable, se deberá realiar una realimentación hacia atrás convencional para estabiliarla. La planta generalmente tiene polos y ceros. La inversa de la planta, por lo tanto, debería tener ceros y polos. Si la planta es de fase mínima, tiene todos sus ceros dentro del círculo unidad. Si la planta es de fase no mínima, entonces los polos de la inversa estarán fuera del círculo unidad y la inversa será inestable. En general, no conociendo si la planta es de fase mínima o no, no se sabe si se podrá realiar la inversa. Esta incertidumbre puede ser superada y fabricar excelentes inversas usando las técnicas de modelado inverso adaptativo apropiadas. Se empeará con una discusión sobre el modelado inverso de plantas de fase mínima, y luego las de fase no mínima. El modelo de referencia del modelado inverso será descrito después, y los efectos del ruido de la planta. 5

3 INVERSAS DE PLANTAS DE FASE MÍNIMA.. INVERSAS DE PLANTAS DE FASE MÍNIMA La planta se representa por. La inversa de la planta, que será usada como el controlador, se designará por si es ideal, o por si se obtiene por un camino práctico, y no es suficientemente perfecta. Se asume que la planta es de fase mínima, teniendo todos sus ceros dentro del círculo unidad en el plano. Entonces, podría existir una inversa perfecta: C( ) ) Ésta sería estable y causal. Salida planta y Señal de modelado u Planta ) Inversa planta C () error Figura : Formando la inversa de una planta Un algoritmo adaptativo como el de la Figura proporciona una inversa que se aproximará a, dando al algoritmo suficiente flexibilidad, esto es, suficiente número de grados de libertad. Ajustando para minimiar el error cuadrático medio, el error será próximo a cero, y será casi igual a. Si, por ejemplo, se supone que la planta tiene una función de transferencia: ) 55

4 INVERSAS DE PLANTAS DE FASE MÍNIMA Esta planta es causal y estable, ya que todos sus polos están dentro del círculo unidad en el plano. Es de fase mínima porque sus ceros están también dentro del círculo unidad. La recíproca de esta planta es una inversa perfecta: C( ) ) Esta función de transferencia se puede expandir en fracciones simples: C( ) 8... Se puede ver que es causal. Tomando como referencia la Figura, si el filtro inverso adaptativo tuviera una respuesta impulsiva infinita, podría perfectamente ser. Si tuviera una respuesta impulsiva finita pero muy larga, la diferencia entre y sería insignificante. Se va a hacer un inciso en este punto demostrar que la solución de Wiener para la función de transferencia del filtro adaptativo será igual a la inversa de. La señal de entrada de la Figura será blanca, con potencia unidad. La transformada de la autocorrelación de esta señal es por tanto la unidad. La transformada de la autocorrelación de la salida de la planta es: yy ( ) ) ) Esto es también la transformada de la autocorrelación de la entrada del filtro adaptativo. La respuesta deseada para es la señal de entrada. La transformada de la correlación cruada entre la entrada de y la respuesta deseada es: yu ( ) ) La solución de Wiener para este caso es: yd ( ) ) C' ( ) ( ) ) ) yy ) C( ) Minimiando el error cuadrático medio se encuentra la inversa correcta. 56

5 INVERSAS DE PLANTAS DE FASE NO MÍNIMA.. INVERSAS DE PLANTAS DE FASE NO MÍNIMA Ahora se va a considerar el ejemplo de la planta cuya función de transferencia es: ) Esta planta es causal y estable, pero no es de fase mínima, ya que su cero cae fuera del círculo unidad. La inversa de esta planta es: C( ) ) Es evidente que es inestable, ya que su polo cae fuera del círculo unidad. Usar como un controlador en lao abierto puede ser desastroso. Pero hay una forma de aliviar esta situación que está basada en la teoría de la transformada de Laplace por dos lados. se puede expandir de dos formas: C( ) C( ) La primera expansión corresponde a una inversa causal pero inestable. La segunda a una no causal, pero al menos estable. en cualquiera de las dos formas podría no resultar de la optimiación de Wiener. La primera forma podría hacer que el error cuadrático medio fuera infinito. La segunda es no causal, y por tanto no es realiable por un filtro causal. De todas formas, los dos primeros términos en esta segunda expansión son causales. Si la repercusión de los demás términos son muy pequeños, la serie se podría aproximar por estos dos primeros términos y se podría realiar un filtro causal útil que se aproximara a la inversa. Este no es el caso del ejemplo actual de todas formas, pero la idea es sugestiva. Seguidamente se muestra cómo sería la solución de Wiener para este ejemplo particular. Se empleará la aproximación de ShanonBode. La Figura ilustra cómo se hace. La señal de 57

6 INVERSAS DE PLANTAS DE FASE NO MÍNIMA 58 modelado se asume que es blanca, de media cero y variana unidad. La inversa causal de la planta es, de acuerdo con ShanonBode, un compromiso entre un filtro blanqueador y un filtro causal optimiado. Filtro blanqueador error Señal de modelado u Planta Filtro causal optimiado Planta causal inversa Figura : Ejemplo de diseño de ShannonBode de una planta inversa causal de Wiener Para este ejemplo, usando una señal de modelado blanca, la transformada de la autocorrelación de la salida de la planta es: ) ( ) ( P P Tras multiplicar y factoriar, la función de transferencia del filtro blanqueador apropiado resulta: 8 Sin considerar la causalidad, la función de transferencia del filtro optimiado se puede obtener como la inversa del producto de la función de transferencia de la planta y el filtro blanqueador, esto es: ) (

7 INVERSAS DE PLANTAS DE FASE NO MÍNIMA El próximo paso es encontrar una respuesta impulsiva estable correspondiente a esta última función y luego borrar la porción no causal. Expandiendo: ) ( La expansión es estable, pero cada término corresponde a una respuesta impulsiva no causal, excepto el primero. Borrando la parte no causal, queda: ( ) La solución causal de Wiener, finalmente, tiene una función de transferencia: Con esto, el mínimo error cuadrático medio será. Esto es un error cuadrático medio muy grande comparado con la unidad, que es el valor cuadrático medio de la señal modeladora. El filtro causal de Wiener no constituirá un buen controlador. La dificultad viene de intentar forar la planta de fase no mínima a responder instantáneamente a los comandos de entrada. En tales casos, las respuestas retrasadas pueden ser utiliadas, con un error mucho más bajo. Las plantas que tienen retraso la propagación de señales, u otras características que caen bajo la descripción general de, no pueden ser foradas a responder de forma instantánea a cambios bruscos en las señales de control. Lo mejor que se puede hacer es adaptar el controlador para que dé una respuesta impulsiva retrasada ante la señal modeladora. La idea se ilustra en la Figura 5. La planta inversa retrasada se busca adaptativamente, así que cuando su función de transferencia se multiplica por la función de transferencia de la planta, el producto tendrá una función de transferencia retrasada unidades. 59

8 INVERSAS DE PLANTAS DE FASE NO MÍNIMA Señal de modelado Planta ) Planta inversa retrasada C () Retraso Figura 5: Formando una planta inversa retrasada Se puede reformular el ejemplo anterior, considerando un retraso según el esquema de la Figura 5. La planta es la misma, la entrada de la planta y la salida también, por lo que el filtro blanqueador será el mismo. Ignorando los requerimientos de causalidad por el momento, la función de transferencia del filtro optimiado se obtiene como la inversa del producto de la planta y el filtro blanqueador, multiplicado por. El resultado es: ) ( Ahora se puede buscar una solución causal. El número de términos causales será igual a por ejemplo, se toma =:. Si, 5 ) 8 6 ( La función de transferencia para el nuevo filtro de Wiener causal, una planta inversa retrasada, es: ( ) ) ( ) ( ) El error cuadrático medio para = es aproximadamente Esto representa un error muy bajo. Este nuevo filtro de Wiener sí podría ser un controlador muy bueno. Cuanto más grande 60

9 INVERSAS DE PLANTAS DE FASE NO MÍNIMA sea, más términos se podrían incluir y resultaría una inversa retrasada más perfecta. Pero el retraso en la respuesta de todo el sistema de control podría ser mayor si el filtro inverso se usa como controlador. Con un retraso infinito, la inversa retrasada podría ser perfecta, pero inútil desde un punto de vista práctico. Es claro que aumentando se reduce el error cuadrático medio. Este será el caso general para cualquier planta de fase no mínima. Si la planta es de fase mínima, un igual a 0 será suficiente, excepto cuando la planta tenga más polos que ceros. En ese caso se utiliará =. El análisis anterior se basa en que se asume el hecho de que el filtro inverso adaptativo es causal y tiene una respuesta impulsiva infinita (IIR). Si la respuesta impulsiva es finita (FIR), incrementar más allá del límite de cualquier necesidad raonable podría llegar a ser dañino, puesto que se podría llegar a empujar la respuesta impulsiva fuera de la ventana de tiempo de. Del estudio analítico simple del ejemplo anterior, se pueden ver las posibilidades de encontrar excelentes inversas retrasadas para plantas de fase mínima y no mínima. Se ha usado la aproximación de ShanonBode para determinar la función de transferencia óptima y causal IIR para y para determinar los valores del error cuadrático medio. Esta teoría sólo se puede usar cuando existe una representación de la planta en la forma polocero. En el mundo real, podría no ser conocida. En lugar de usar la teoría de ShanonBode, se podría usar un algoritmo adaptativo simple para determinar el mejor C (). La solución adaptativa se podría aproximar al resultado de ShanonBode. Aunque ShanonBode trabaja con filtros IIR, el filtro inverso adaptativo podría ser un filtro FIR. La arquitectura de filtros FIR permite la adaptación con el algoritmo LMS y, no habiendo polos, no habría problemas de inestabilidad. 6

10 INVERSAS DE MODELOS DE REFERENCIA.. INVERSAS DE MODELOS DE REFERENCIA En la Figura 6 se ilustra un proceso adaptativo para buscar una planta inversa con modelo de referencia,. El propósito de este proceso es obtener un controlador que cuando se use para conducir la planta, resulte un sistema de control cuya función de transferencia pueda seguir de forma muy cerca a la función de transferencia M() del modelo de referencia dado. El esquema de modelado de una inversa retrasada de la Figura 5 es un caso particular, en el que el modelo de referencia es un retraso simple con una función de transferencia de. Señal modeladora Planta ) Inversa de planta con modelo de referencia C () Modelo de referencia M() Figura 6: Buscando una planta inversa con modelo de referencia Para demostrar como trabaja la inversa del modelo de referencia, se hace el siguiente experimento: la Figura 7 muestra la respuesta al escalón de una planta. Es estable, tiene un retraso, y tiene una respuesta oscilatoria amortiguada. La Figura 8 muestra la respuesta del modelo de referencia, diseñado para tener el mismo retraso y una respuesta sobreamortiguada. La Figura 8 también muestra la respuesta al escalón de la cascada de la inversa con modelo de referencia y la planta, mediante asteriscos. Se puede observar que la respuesta del modelo de la cascada es muy parecida a la respuesta del modelo de referencia, por lo que se ilustra la efectividad del proceso del modelo de referencia inverso. 6

11 INVERSAS DE MODELOS DE REFERENCIA.5 Salida del sistema Muestras Figura 7: Respuesta al escalón de la planta usada en el control con modelo de referencia Salida del sistema Muestras Figura 8: Respuesta de la planta controlada (*), superpuesta sobre la respuesta al escalón deseada del modelo de referencia, ilustrando la correcta adaptación 6

12 INVERSAS DE MODELOS DE REFERENCIA Para este experimento la función de transferencia era:. ( 0.8) ) ( 0.6 )( 0.7 ) y el modelo de referencia: M ( ) 0.5 ( 0.5 ) Para que la inversa fuera correcta, era necesario que el modelo de referencia tuviera un retraso al menos tan grande como el de la planta, o que tuviera una respuesta al escalón lenta. Como esta condición se cumple, la respuesta al escalón del controlador y de la planta siguen de forma muy cercana a la del modelo de referencia. 6

13 INVERSAS DE PLANTAS CON PERTURBACIONES.5. INVERSAS DE PLANTAS CON PERTURBACIONES El proceso de modelado inverso llega a ser un poco más complicado cuando la planta está sujeta a alteraciones. El esquema de modelado inverso se muestra en la Figura 9, en su aproximación más simple: Ruido de la planta nk uk Planta ) yk k Inversa de planta con modelo de referencia C () Modelo de referencia M() dk Error ek Figura 9: Método incorrecto de modelado inverso de una planta con perturbaciones Desafortunadamente, esta aproximación no trabaja muy bien con una planta sujeta a perturbaciones. La raón es que la alteración, yendo directamente a la entrada del filtro inverso adaptativo, la solución convergente de Wiener e impide la formación apropiada de la inversa. Sin perturbaciones en la planta, la solución de Wiener sería: C'( ) yd yy ( ) ( ) M ( ) ) Este es el resultado que se debe buscar. Se hace notar que es la salida de la planta sin alteración (como en la Figura 6) y es la salida del modelo de referencia. La situación es diferente en presencia de la distorsión de la planta. En la Figura 9, la salida de la planta distorsionada es. La solución de Wiener se puede escribir: 65

14 INVERSAS DE PLANTAS CON PERTURBACIONES C'( ) d ( ) ( ) Teniendo en cuenta que la distorsión de la planta no está correlada con y, la ecuación anterior se puede escribir como: C'( ) yy ( ) yd ( ) nn ( ) El segundo término en el denominador hace que sea distinta a M ( ). ) Ruido de la planta nk uk Planta ) yk k Modelo de la planta P k() y'k Inversa del modelo de referencia C () Error ek Modelo de referencia M() dk Figura 50: Método adecuado para el modelado inverso de una planta con perturbaciones El esquema de modelado inverso mostrado en la Figura 50 supera el problema anterior haciendo uso de un modelo adaptativo de la planta. En lugar de encontrar una inversa del modelo de referencia de la planta, la inversa del modelo de referencia se toma de. La idea es que tiene esencialmente la misma respuesta dinámica de, pero está libre de alteraciones. 66

15 INVERSAS DE PLANTAS CON PERTURBACIONES La distorsión de la planta no afecta a la solución de Wiener cuando la planta se modela directamente para obtener. Sí afecta en el caso de utiliar el esquema de la Figura 9. El esquema de la Figura 50 ha sido probado con plantas distorsionadas y trabaja muy bien. Se debe tener en cuenta, de todos modos, que la existencia de niveles altos de perturbación en la planta obliga a una adaptación de más lenta, para tratar de mantener bajo el nivel de ruido en los pesos. Y es importante mantener bajo el ruido en los pesos de para que los pesos de también permanecan bajos. El sistema de la Figura 50 adapta los pesos de. La entrada de es u k, la entrada actual de la planta. La salida de guía la entrada de. El proceso adaptativo para la obtención de siempre vendrá retrasado tras la obtención de. Ambos procesos adaptativos trabajan en cascada. Para permitir que el proceso adaptativo de siga los cambios de sin retardo, se propone un esquema, mostrado en la Figura 5. Este esquema emplea uno de los métodos vistos en el capítulo anterior para obtener. Una copia digital exacta de se usa en un proceso para obtener. Una señal modeladora sirve de entrada a la copia de, y su salida pasa por. La misma señal modeladora sirve como referencia para el modelo de referencia, y su salida se compara con para obtener una señal de error. se adapta para minimiar la media cuadrática de este error. El proceso de modelado inverso puede ser ejecutado de forma mucho más rápida que el de tiempo real. Tan rápido, en principio, que para valores instantáneos de obtenidos por el proceso directo de modelado, el proceso de modelado inverso proporciona los correspondientes valores de, básicamente de forma instantánea. La señal modeladora empleada para dirigir el proceso offline de modelado inverso podría ser blanco, o mejor aún, podría ser espectralmente ajustado y diseñado para obtener mejores resultados. 67

16 INVERSAS DE PLANTAS CON PERTURBACIONES Ruido de la planta nk uk Planta ) yk Salida de la planta k Error ek Modelo de referencia de la planta P k() Señal modeladora Copia P k() C k() Modelo de referencia M() Error Figura 5: Proceso offline para el modelado inverso de una planta con perturbaciones 68