8. Un examen consta de 0 cuestiones. Cada respuesta correcta se valora con 3 puntos, y por cada cuestión incorrectamente contestada se restan puntos. Si al final de la prueba un alumno consiguió 30 puntos, cuántas cuestiones contestó bien y cuántas mal? Respuestas correctas: x Respuestas incorrectas: y x y 0 y 0 x 3x y 30 3x (0 x) 30 3x 40 x 30 5x 70 x 14 respuestas correctas y 6 respuestas incorrectas 9. Halla dos números consecutivos tales que, añadiendo al mayor la mitad del menor, el resultado excede en 13 unidades a la suma de la quinta parte del menor con la onceava parte del mayor. Dos números consecutivos: x y x + 1 x x x 1 110 ( x 1) 55x x 10 ( x 1) 13110 x 1 13 5 11 110 110 1330 110x 110 55x x 10x 10 1 430 133x 1 330 x 10 133 Los números son el 10 y 11.
30. Dos números que difieren en cinco unidades son tales que la diferencia de sus cuadrados es 95. Cuáles son dichos números? x y 5 y x 5 x y 95 x ( x 5) 95 x ( x 10x 5) 95 95 5 10x 5 95 x 1, y 1 5 7 10 31. Dos números suman 176 y, al dividirlos, se obtiene 6 de cociente y 1 de resto. Indica cuáles son dichos números. x y 176 (6y 1) y x 6y 1 x 6 5 1 151 176 7y 176 1 175 y 175 7 5 3. Si a la raíz cuadrada de un número le sumamos su quinta parte, el resultado es diez. Calcula dicho número. x x 50 x 50 x x 10 x 10 x x 5 5 5 5 500 100xx 5 x 5x 500 100x x x 15x 500 0 15 15 4 500 15 75 x x x 1 100, no es válido 5 33. El precio de un artículo es 1 más barato si se le aplica un descuento del 30 % que si se le aplica un descuento del 5 %. Cuánto cuesta ese artículo? 1 0,75 x 0,70 x 1 0,05 x 1 x 40 0,05 34. La suma de tres números pares consecutivos es 4. Calcula dichos números. Pares consecutivos: x, x, x 4. 36 ( x) (x ) (x 4) 4 6x 4 6 36 x 6 6 Los números son: 1, 14 y 16. 35. La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 65. Calcula dichos números. x x x x x x x ( 1) 65 1 65 64 0 1 1 413 1 3 1 x x 13 0 x x Los números son 11 y 1. x 11 1, no es válida
36. Un padre tiene 48 años, y su hijo, 8. Cuántos años han de pasar Para que la edad del padre sea el triple de la del hijo? Padre: 48 años. Cuando pasen x años tendrá 48 + x años. Hijo: 8 años. Cuando pasen x años tendrá 8 + x años. 48 x 3 (8 x) 48 x 4 3x x 4 x 1 años han de pasar. 37. La suma de un número y su inverso es de 50. Calcula dicho número. 7 1 50 x 1 50 7 ( 1) 50 7 50 7 0 x x x x x x 7 x 7 x1 7 50 50 477 50 48 x 1 14 14 x 7 El número 7. SOLUCIONES PÁG. 55 38. La suma de una fracción que tiene 5 por numerador y su inversa da como resultado 34. Halla dicha fracción. 15 5 x 34 5 x 34 5 x 34 3 (5 x ) 34x x 5 15 5x 15 x 3 34 34 4375 34 16 3x 34x 75 0 x 6 6 x1 3 5 x, no es una solución válida. 3 Solución: 5 3. 39. Una persona emplea el 55 % de su sueldo mensual en el alquiler de su vivienda, y partes del resto, en alimentación y recibos domiciliados de gas, luz 3 y teléfono. Si dicha persona dispone de 10 mensuales para gastos personales, a cuánto asciende su sueldo? 0,55x 0,45x 10 x x 0,55x 0,45x 10 3 3 10 x 1 0,55 0,45 10 0,15x 10 x 1400 3 0,15
40. La población de un cultivo de hongos experimenta un incremento mensual del 15 %. Cuánto tiempo ha de pasar para que la población se triplique? t P ( t ) 1,15 P 0 P ( t ) 3 P 1,15 P 1,15 3 ln 1,15 ln 3 t ln 1,15 ln 3 t t t 0 0 ln 3 t 7,86 meses 8 meses ln 1,15 41. Un campo rectangular de 16 m de área se valla haciendo uso de 60 m de alambrada. Cuáles son las dimensiones que tiene dicho campo? A x y 16 m y 16 x 16 x 16 Per x y 60 m x y 30 x 30 30 x x 30 30 416 30 6 x 16 30x x 30x 16 0 x x1 18 m y1 1 m x 1 m y 18 m 4. Calcula el valor de m para que la solución de la ecuación x + mx + (m 1) = 0 sea única y doble. m m 4 (m 1) x m x (m 1) 0 x 4 16 16 m 4 (m 1) 0 m 4m 4 0 m 43. La suma de dos números naturales es 1, y su producto, 90. Calcula dichos números. x y 1 y 1 x x y 90 x (1 x) 90 1x x 1 x 1 4 90 1 9 x x 1 15 y 6 y 90 x 1 6 15 1x 90 0
44. Se quiere construir un recipiente con una cartulina rectangular de 14 cm de perímetro; para ello, se recorta en cada esquina un cuadrado de 10 cm de lado. Al doblar las caras de la figura resultante, tal y como se indica en la figura, se obtiene un recipiente cuyo volumen es de 10 30 cm 3. Cuáles son las dimensiones de dicho recipiente? ( x 0) ( y 0) 14 x y 14 40 40 10 x y 10 30 xy 1 03 x y 164 x y 67 y 67 x xy 103 xy 103 x (67 x) 103 67 67 4103 67 19 67x x 103 x 67x 103 0 x x 43 cm y 4 cm 1 1 x 4 cm y 43 cm Las dimensiones son 43 x 4 x 10 cm. 45. El precio de la compra de dos artículos es de 1 575. Tras aplicar un descuento del 16 % al primer artículo y un descuento del 8 % al segundo, el precio queda en 1 383. Cuál es el precio de cada artículo? x y 1575 y 1575 x 0,16x 0, 08y 1 575 1 383 19 0,16x 0, 08 (1 575 x) 19 66 0,16x 16 0, 08x 19 0, 08x 19 16 66 x 85 0,08 y 1575 85 750 El que está rebajado un 16 % vale 85 y el otro, 750.
46. La diagonal de un rectángulo mide 6 5 cm, y uno de sus lados es 6 unidades mayor que el otro. Cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo? 6 5 x ( x 6) 365 x x 1x 36 x 1x 144 0 1 1 4144 1 36 6 x 4 4 1, no es una solución válida. Las dimensiones son 6 x 1 cm. 47. Margarita ha comprado 15 entradas para el cine y 5 para la ópera por un importe total de 95. Por su parte, Pedro ha comprado 6 entradas para el cine y 10 para la ópera, pagando 374. Cuál es el precio unitario de la entrada para el cine? Y de la entrada para la ópera? Cine: x Ópera: y 15x 5y 95 3x y 59 y 59 3x 6x 10y 374 3x 5y 187 3x 5 (59 3x) 187 108 3x 95 15x 187 1x 187 95 108 x 9 1 y 59 3 9 3 El precio de la entrada de cine es de 9, y para la ópera de 3. 48. Determina dos números sabiendo que al dividir el mayor entre el menor se obtiene 4 de cociente y 4 de resto y que la diferencia entre el doble del mayor y el triple del menor es 33. x 4y 4 (4y 4) 3y x 3y 33 5 y 5 x 4 5 Solución: 4 y 5. 33 8y 8 3y 33 5y 33 8
49. La suma de las áreas de dos cuadrados es 113 cm 3, y la suma de sus perímetros, 60 cm. Calcula las dimensiones de cada uno de estos cuadrados. x y 113 x y 113 x (15 x) 113 4x 4y 60 x y 15 y 15 x x 5 30x x 113 x 30x 11 0 x 15x 56 0 15 15 456 15 1 x x x Solución: 7 y 8 cm. 8 cm y 7 cm 1 1 7 cm y 8 cm 50. En un supermercado, una caja de cereales, tres pizzas y dos paquetes de jamón serrano cuestan 0. Calcula el precio unitario de cada producto sabiendo que cinco cajas de cereales cuestan lo mismo que un paquete de jamón serrano, y que diez pizzas valen igual que seis paquetes de jamón serrano. Cereales: x Pizza: y Jamón: z z 3z 3 z 0 z 9z 10z 100 x 3y z 0 5 5 z 5x z x 5 10 6 y z 6z 3z y 10 5 0z 100 z 5 x 1, y 3 Cereales: 1 Pizza: 3 Jamón: 5
51. Un grupo de amigos con gustos dispares ha comprado 7 entradas para el cine, 4 para el teatro y para la pista de patinaje, y ha abonado por todas ellas 86. Calcula el precio de cada entrada sabiendo que cuatro entradas para la pista de patinaje cuestan lo mismo que una entrada para el teatro; y que una entrada para el teatro y otra para la pista de patinaje tienen el mismo precio que seis entradas para el cine. Cine: x Teatro: y Patinaje: z 7x 4y z 86 4z y 6 y z x 6x 4z z 6x 5z 6x z 5 6x 6x 7x 4 4 86 35x 96x 1x 1430 5 5 1430 x 10 143 60 z 1 y 4 1 48 5 Cine: 10 Teatro: 48 Patinaje: 1
5. La ecuación de posición de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado responde a la expresión e = e 0 + v 0 t + 1 at, donde e 0 es la posición inicial del móvil respecto al origen del sistema de referencia, v 0 es la velocidad inicial del móvil, y a es la aceleración. Halla la ecuación de la posición de un móvil sabiendo que en t = 1 s se encuentra a 15 m de su posición inicial; en t = 5 s, a 55 m, y en t = 10 s, a 150 m. a 15 e0 1v0 e0 v0 a 30 5a 55 e0 5v0 e0 10v0 5a 110 e0 0v0 100a 300 100a 150 e0 10v0 e0 v0 a 30 e0 v0 a 30 8v0 4a 80 ( E1 E) 8v0 4a 80 18v 99a 70 ( E E ) 360a 70 (18E 8 E ) 0 1 3 3 70 a m/s 360 4 80 v0 4 m/s e 10 4t t 8 30 4 e0 10 m 53. Un cajero automático admite billetes de 50, 0 y 10. Un día se depositan en el cajero 5 billetes por un importe de 7 000. Averigua el número de billetes de cada valor, sabiendo que la suma del número de billetes de 50 y de 10 es el doble que el número de billetes de 0. 50 : x 0 : y 10 : z x y z 5 x y z 5 50x 0y 10z 7 000 50x 0y 10z 7 000 x z y x y z 0 x y z 5 30y 40z 4 50 (50 E1 E) 3y 5 ( E1E) 5 y 75 billetes de 0 3 4 50 3075 z 50 billetes de10 40 x 5 75 50 100 billetes de 50
SOLUCIONES PÁG. 56 54. Tres recipientes, A, B y C, almacenan un total de 7 L de disolvente. El recipiente A contiene la tercera parte de la cantidad que hay en B y C juntos. Por otro lado, si de B se pasan 4 L a C y 6 L a A, se iguala la cantidad de disolvente que hay en los recipientes. Halla la cantidad de disolvente que había inicialmente en cada recipiente. A: x B: y C: z x y z 7 x y z 7 x y z 7 y z 3x y z 0 4y 4z 16 (3 E1 E) x 3 x y 16 y z 88 ( E1 E3) y 10 x 6 z 4 x z y z 74 ( E1 E4) x y z 7 4y4z 16 z 40 ( E E3) 4z 80 ( E 4 E4) 40 z 0 litros 16 40 y 34 litros 4 x 7 34 0 18 litros
55. Un hipermercado inicia una campaña de ofertas por sus tres productos estrella, A, B y C. En la primera de ellas, ofrece un descuento del 4 % en el producto A, del 6 % en el producto B y del 5 % en el producto C. A las dos semanas, pone en marcha la segunda oferta, descontando un 8 % sobre el precio inicial de A, un 10 % sobre el precio inicial de B y un 6 % sobre el precio inicial de C. Si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos productos B y tres productos C, se ahorra 16 ; si adquiere durante la segunda promoción tres productos A, un producto B y cinco productos C, se ahorra 9, y si compra sin descuentos un producto A, uno B y uno C, debe abonar 135. Calcula el precio de cada producto antes de las ofertas. A: x B: y C: z 0,04x 0,06y 30,05z 16 x y z 135 30,08x 0,10y 50,06z 9 4x 1y 15z 1600 x y z 135 4x 10y 30z 900 x y z 135 x y z 135 8y 11z 1 060 (4 E1 E) 8y 11z 1 060 14y 6z 340 (4 E1 E3) 0z 1 10 ( 14E 8 E3) 110 z 60 0 1160 1060 y 50 8 x 135 50 60 5 56. Un padre tiene dos hijos. Dentro de 5 años, el padre doblará en edad a su hijo menor, mientras que hace 5 años doblaba en edad al mayor. Si entre los tres suman actualmente 90 años, halla la edad que tiene cada uno. Padre: x Hijo pequeño: y Hijo mayor: z x 5 ( y 5) x y z 90 x y z 90 x 5 ( z 5) x y 5 3y z 85 ( E1 E) x y z 90 x z 5 y 3z 95 ( E1 E3) x y z 90 3y z 85 8z 00 ( E 3 E3) 00 z 5 años 8 85 5 y 0 años 3 x 90 0 5 45 años
57. Calcula el valor de m para que x + (m + )x + 4m = 0 tenga dos soluciones que difieran en dos unidades. (m ) (m ) 16m x (m ) x 4m 0 x (m ) m 4m 4 16m (m ) m 1m 4 x (m ) m 1m 4 (m ) m 1m 4 m 1m 4 m 1m 4 m 1m 4 4 m 1m 4 m 1m 4 4 m 1m 0 m 0 m (m 1) 0 m 1 58. Dos móviles que se mueven con velocidad constante tardan en recorrer una misma distancia 7 h y 10 h, respectivamente. Calcula el tiempo que tardarían en encontrarse si recorrieran esa misma distancia, pero partiendo cada uno de un extremo y en sentidos opuestos. x x vt 0 d t1 7hv1 7h t d 10 h v 10 h d xa t 7h d d d t t t d t d 1 d 7 10 7 10 xb d t 10 h t t t t 17 70 1 1 t 1 t h 4,1 h 7 10 7 10 70 17