TEMA : Ecuaciones e inecuaciones Tema : Ecuaciones e inecuaciones
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.- Ecuaciones de primer grado..- Ecuaciones de segundo grado completas..- Ecuaciones de segundo grado incompletas...- Caso b...- Caso c. ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Propiedades de las ecuaciones de segundo grado. 5.- Ecuaciones bicuadradas..- Ecuaciones de grado maor que dos. 7.- Ecuaciones con fracciones algebraicas. 8.- Ecuaciones irracionales. 9.- Ecuaciones eponenciales..- Inecuaciones de primer grado con una incógnita..- Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas..- Inecuaciones de segundo grado con una incógnita..- ECUACIONES DE PRIMER GRADO Para resolver las ecuaciones de primer grado se recomienda seguir los siguientes pasos:. Quitar los paréntesis.. Si ha fracciones ponerle a todas el mismo denominador.. Quitar los denominadores teniendo mucho cuidado con los signos.. Pasar todos los términos que contengan la incógnita a la izquierda de la ecuación todos los términos que no la tengan a la derecha. 5. Agrupar en ambos lados de la ecuación.. Despejar la incógnita pasando el número que tiene delante al otro lado de la ecuación DIVIDIENDO. Ejemplos: resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado. a) 7 8 7 8 7 8 7 8 8 8 8 7 7 Tema : Ecuaciones e inecuaciones
b) 5 5 5 8 9 5 5 5 8 9 7 5 5 5 5 8 9 7 8 9 7 5 5.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS Recordatorio: Son ecuaciones de la forma a b c, donde a, b, c son números distintos de cero. Estas ecuaciones se resuelven aplicando la siguiente fórmula: Observaciones: b b a c a Antes de aplicar la fórmula para resolver la ecuación, ha que asegurarse de que todos los términos de la ecuación están a la izquierda, quedando un cero a la derecha. Al aplicar la fórmula no olvidar quiénes son ecuación confundirnos. a, b, c, a que podemos tener desordenada la El radicando de la raíz que aparece en la fórmula ( b ac ) se le llama discriminante se representa con el símbolo. Según sea el discriminante de la ecuación podemos saber, sin resolverla cuántas soluciones tiene la ecuación de segundo grado: Si, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Si, entonces la ecuación solo tiene una solución real (doble). Si, entonces la ecuación no tiene ninguna solución real. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas. a) 7 7 8 8 8 7 8 Tema : Ecuaciones e inecuaciones
b) 9 9 7 7 7 5.- ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS Son ecuaciones de la forma a b c donde " b " o " c" vale cero. Aunque se pueden resolver con la misma fórmula que las ecuaciones de segundo grado completas, ha una forma más rápida de resolverlas...- Caso b = En este caso el término que le falta a la ecuación es la. Se podría resolver siguiendo los siguientes pasos:. Se resuelve la ecuación como si fuera de primer grado; es decir, como si la no estuviera elevada al cuadrado.. Cuando esté despejada la, el cuadrado se pasa al otro lado en forma de raíz cuadrada, sin olvidar que cuando se saca la raíz cuadrada de un número ha dos soluciones, una positiva otra negativa. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. a) 7 7 7 7 9 9 b) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 c) d) 8 8 8 8 9 9 Tema : Ecuaciones e inecuaciones 5
..- Caso c = En este caso el término que le falta a la ecuación es el término independiente. Se podría resolver siguiendo los siguientes pasos:. Se saca factor común.. Se plantean dos ecuaciones, una en la que se iguala a cero lo que ha quedado fuera del paréntesis después de haber sacado factor común, otra igualando a cero lo que ha quedado dentro del paréntesis.. Las soluciones de esas dos ecuaciones serán las soluciones de la ecuación de segundo grado que estamos buscando. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. a) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 b) 7 7 7 c) 7 7 7 d) 8 8 8 8.- PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Si llamamos a las soluciones de una ecuación de segundo grado de la forma a b c, se cumple lo siguiente: La suma de las soluciones vale b ab ; es decir: S a c c El producto de las soluciones vale ; es decir, P a a Tema : Ecuaciones e inecuaciones
Si la ecuación a b c se divide término a término entre a se obtiene lo siguiente: a b c a a b a c a a b a c a b c Pero como S P, la ecuación de segundo grado se puede terminar escribiendo a a también de esta manera: S P 5.- ECUACIONES BICUADRADAS Son ecuaciones de la forma a b c, donde a, b, c son números reales "a" no puede valer cero. Cuando "b" "c" tampoco valen cero, a la ecuación bicuadrada se le llama completa, en el caso de que o "b" o "c" sean cero, se le llama incompleta, al igual que sucede con las ecuaciones de segundo grado. Las ecuaciones bicuadradas ha que transformarlas mediante lo que se conoce como un cambio de variable en una ecuación de segundo grado. Los pasos que ha que seguir para resolverlas, de una manera más detallada, son los siguientes:. Hacer el cambio de variable, quedando así una ecuación de segundo grado. Vamos a verlo: b c cambio de variable a b c a a b c. Resolver la ecuación de segundo grado, obteniendo así el valor de "", que no es la incógnita de la ecuación que tenemos que resolver.. Deshacer el cambio de variable que se hizo en el paso para obtener el valor de "", que es el que nos interesa: Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. a) 5 5 5 5 5 5 9 5 5 8 5 5 5 5 Tema : Ecuaciones e inecuaciones 7
Tema : Ecuaciones e inecuaciones 8 b) 8 8 8 8 No es real c) 5 5 5 5 No es real.- ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS Son ecuaciones en las que la incógnita aparece elevada a un número maor que dos. Para resolverlas se aconseja seguir los siguientes pasos:. Descomponer o factorizar la ecuación.. Igualar a cero cada uno de los factores de la factorización, quedando así tantas ecuaciones como factores tenga la ecuación, pero serán de grados menores que la inicial.. Resolver las ecuaciones planteadas en el paso anterior. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones de grado maor que dos a) 7 Factorización de la ecuación: - -7 - - - - - -8 - -8 8
Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: 8 Igualar a cero cada uno de los factores resolver: 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 b) 5 Factorización de la ecuación: -5 - - - - - Así, la ecuación factorizada queda de esta manera: Igualar a cero cada uno de los factores resolver: Tema : Ecuaciones e inecuaciones 9
7.- ECUACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Son ecuaciones en las aparecen fracciones algebraicas. Para resolverlas se aconseja seguir los siguientes pasos:. Si no lo tienen, ponerle a todas las fracciones el mismo denominador (que será el m.c.m. de todos ellos).. Realizar las operaciones que quedan en los numeradores.. Quitar los denominadores teniendo cuidado con los signos. Recordar que si ha un signo "-" delante de una fracción, al quitar el denominador ha que cambiarle el signo a todos los términos del numerador.. Resolver la ecuación resultante, así se obtendrán POSIBLES soluciones de la ecuación inicial. 5. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son realmente soluciones de nuestra ecuación. Observación: la comprobación es necesaria por aparecer la incógnita en los denominadores de las fracciones, a que sabemos que no se puede dividir entre cero cabe la posibilidad de que al sustituir las posibles soluciones en los denominadores nos dé ese número, en cuo caso el número sustituido no podríamos considerar que es solución de la ecuación. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones a) Posible solución Comprobación: para ver si es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si anula algún denominador. Tema : Ecuaciones e inecuaciones
Tema : Ecuaciones e inecuaciones Como al sustituir la "" de los denominadores por "", no se ha anulado ninguno de ellos, podemos afirmar que SÍ es solución de nuestra ecuación. b) 9 9 9 9 9 Posible solución Comprobación: para ver si es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si anula algún denominador. 9 9 9 Como al sustituir la "" de los denominadores por "", no se ha anulado ninguno de ellos, podemos afirmar que SÍ es solución de nuestra ecuación. c) Posible solución Comprobación: para ver si es solución de nuestra ecuación tenemos que comprobar si anula algún denominador.
Como al sustituir la "" de los denominadores por "", se ha anulado uno de ellos, podemos afirmar que NO es solución de nuestra ecuación, como no ha otras posibles soluciones, nuestra ecuación no tiene solución. 8.- ECUACIONES IRRACIONALES Una ecuación irracional es una ecuación en la que la incógnita aparece dentro de una raíz (en nuestro caso siempre serán raíces cuadradas). Para resolver una ecuación irracional se aconseja seguir los siguientes pasos:. Asilar la raíz del resto de la ecuación; es decir, dejar la raíz a un lado del signo "=" el resto de términos de la ecuación al otro lado. Conviene siempre dejar la raíz en el lado donde quede con un signo positivo delante.. En el lado en el que no está la raíz, agrupar todo lo que se pueda de manera que queden, como mucho, dos términos.. Encerrar todo lo que ha a la izquierda del signo "=" en un solo paréntesis, todo lo que ha a la derecha del signo "=" en otro.. Elevar al cuadrado cada uno de los paréntesis, así se irá la raíz quedará una ecuación sin raíces. 5. Resolver la ecuación resultante en el paso anterior, obteniendo así POSIBLES soluciones de la ecuación irracional.. Comprobar si las posibles soluciones obtenidas en el paso anterior son o no soluciones de la ecuación de partida. Ejemplo: resuelve las siguientes ecuaciones irracionales a) 5 5 5 5 5 5 5 8 5 8 Posible solución Comprobación: comprobamos si es solución de la ecuación irracional. 5 5 Tema : Ecuaciones e inecuaciones
Sí es solución b) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Posible solución Comprobación: comprobamos si es solución de la ecuación irracional. 5 5 5 5 5 9 No es solución 9.- ECUACIONES EXPONENCIALES Son ecuaciones en las que la incógnita aparece en el eponente de una potencia. Las ha de dos tipos: Ec. Monómicas son aquellas en las que se pueden epresar los dos términos de la ecuación como una potencia de la misma base. Estas ecuaciones tienen dos términos. Ejemplos: a) 5 7 5 7 Se factorizan las bases (en este caso solo se factoriza el 7): 5 Cuando a ambos lados del "=" queden potencias con la misma base, se "tachan" las bases de manera que quedan igualados los eponentes: 5 Tema : Ecuaciones e inecuaciones
Por último se resuelve la ecuación que queda planteada en el paso anterior (ecuación en la que a no ha potencias). En este ejemplo queda una ecuación de primer grado: 5 5 b) 5 5 Factorización de las bases (en este caso solo se factoriza el número 5): 5 5 Se pasa la potencia 5 al numerador de la fracción (recordar que para pasar una potencia del numerador al denominador o viceversa basta con cambiar de signo al EXPONENTE de la potencia: 5 5 Tachamos las bases resolvemos la ecuación que queda: Ec. Trinómicas son aquellas en las que es necesario hacer un cambio de variable para resolverlas, transformándose la ecuación inicial en otra ecuación no eponencial. Estas ecuaciones tienen más de dos términos. Ejemplos: a) 9 Aplicamos en la segunda potencia la propiedad de la suma de potencias de la misma base: 9 9 9 Hacemos el siguiente cambio de variable: siguiente manera: 9 9, con el que la ecuación queda de la Resolvemos la ecuación cua incógnita es la "": 9 9 9 9 9 Tema : Ecuaciones e inecuaciones
Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación eponencial del tipo anterior): 9 b) 5 5 Aplicamos en la primera potencia la propiedad de división de potencias de la misma base: 5 5 5 Hacemos el siguiente cambio de variable: 5, con el que la ecuación queda de la siguiente manera: 5 Resolvemos la ecuación cua incógnita es la "": 5 5 5 5 5 5 5 Por último deshacemos el cambio de variable (quedando una ecuación eponencial del tipo anterior): 5 5 5 5 5.- INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Una inecuación es una epresión algebraica (al igual que una ecuación) en la que en vez de haber una igualdad (=) ha una desigualdad. Recordatorio: ha cuatro tipos de desigualdades > Maor que < Menor que Maor o igual que Menor o igual que Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven como las ecuaciones teniendo en cuenta que para despejar la incógnita esta debe tener un número positivo delante. Si el número que ha delante de la incógnita justo antes de despejarla es negativo, ha que cambiarle el signo a toda la inecuación incluendo la desigualdad. Ejemplo: resuelve las siguientes inecuaciones a) 9 9 Tema : Ecuaciones e inecuaciones 5
Una vez resuelta una inecuación, ha tres formas diferentes de epresar su solución: - De forma analítica: : - Gráficamente: - En forma de intervalo:, b) 7 7 7 Formas de epresar la solución: - De forma analítica: : - Gráficamente: - En forma de intervalo:,.- INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS Una inecuación de primer grado con una incógnita es una epresión de la forma a b c. Donde a, b c son números reales en la que puede aparecer cualquiera de las desigualdades <, >,,. Ejemplo: resuelve las siguientes inecuaciones a) Se escribe la ecuación asociada a la inecuación: Se representa gráficamente la ecuación anterior (saldrá una recta): Se despeja la : Se hace la tabla de valores: - Tema : Ecuaciones e inecuaciones
Se representa la recta: Se elige un punto del plano que NO esté en la recta se comprueba si cumple la inecuación. En caso afirmativo, la solución es el semiplano que contiene al punto elegido, si por el contrario dicho punto no cumple la inecuación, entonces la solución es el semiplano que no contiene al punto elegido. Elegimos por ejemplo el punto, comprobamos si cumple la inecuación: 8 lo cual no es cierto, por lo tanto la solución es el semiplano que no contiene al punto,. b) 5 Se escribe la ecuación asociada a la inecuación: 5 Se representa gráficamente la ecuación anterior (saldrá una recta): Se despeja la : 5 5 Se hace la tabla de valores: - - Tema : Ecuaciones e inecuaciones 7
Se representa la recta: Se elige un punto del plano que NO esté en la recta se comprueba si cumple la inecuación. En caso afirmativo, la solución es el semiplano que contiene al punto elegido, si por el contrario dicho punto no cumple la inecuación, entonces la solución es el semiplano que no contiene al punto elegido. Elegimos por ejemplo el punto, comprobamos si cumple la inecuación: 5 5 5 5 lo cual es cierto, por lo tanto la solución es el semiplano que contiene al punto,..- INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA Para resolver inecuaciones de segundo grado se recomienda seguir los siguientes pasos:. Escribir resolver la ecuación de segundo grado asociada a la inecuación.. Colocar en la recta real las soluciones obtenidas en el paso anterior, de manera que la recta quedará dividida en varios intervalos.. Sustituir un número de cada intervalo en la inecuación para ver si el resultado que sale al operar es positivo o negativo.. La solución de la inecuación será el intervalo o intervalos en el que el signo coincida con la desigualdad de la inecuación. 5. Los etremos de los intervalos que son solución de este tipo de inecuaciones, entran dentro de la solución si en la desigualdad de la inecuación entra el = ; es decir, si es ó, no entra en la solución si en la desigualdad no aparece el = ; es decir, si es > ó <. Tema : Ecuaciones e inecuaciones 8
Tema : Ecuaciones e inecuaciones 9 Ejemplo: resuelve las siguientes inecuaciones a) Ecuación asociada: Resolución de la ecuación: Colocamos las soluciones de la ecuación en la recta real, señalamos los intervalos en los que queda dividida elegimos un número de cada intervalo: Sustituimos los números elegidos en la inecuación (en ) operamos para ver si nos sale un número positivo o negativo lo indicamos en la recta real: Positivo 8 Negativo Positivo + - + Como en la inecuación que tenemos que resolver la desigualdad que aparece es MAYOR QUE CERO, la solución de la misma es aquel intervalo o intervalos en los que nos haa salido signo POSITIVO. En cuanto a los etremos del intervalo, como en la desigualdad de la inecuación no aparece el IGUAL, no entran en la solución. Solución:,, b) Ecuación asociada:
Tema : Ecuaciones e inecuaciones Resolución de la ecuación: Colocamos las soluciones de la ecuación en la recta real, señalamos los intervalos en los que queda dividida elegimos un número de cada intervalo: - - Sustituimos los números elegidos en la inecuación (en ) operamos para ver si nos sale un número positivo o negativo lo indicamos en la recta real: 5 Negativo Positivo 8 5 Negativo - + - - Como en la inecuación que tenemos que resolver la desigualdad que aparece es MAYOR QUE CERO, la solución de la misma es aquel intervalo o intervalos en los que nos haa salido signo POSITIVO. En cuanto a los etremos del intervalo, como en la desigualdad de la inecuación sí aparece el IGUAL, sí entran en la solución. Solución:, FIN DEL TEMA