Ecuaciones Diferenciales I (C - piloto) Soluciones del parcialillo (9//8) Sea y = by+t t a] Si b=, hallar su solución general y dibujar isoclinas y curvas integrales b] Discutir la estabilidad de la solución con y()= según los valores de b a] La solución de esta lineal y = y t + es: y = Ct/ + t / t / dt = Ct / + t U homogénea: tz +z = z +, dz z = ln( z)=ln t+c, z = Ct / Sus isoclinas son y = mt K = m + Rectas solución si m +=m m= m =,,,, K =, /,, /, [o de la solución general] Si t =, K = (curva integral vertical) Decrecen entre y = t y t = y = y t y = t y t 9t no hay puntos de inflexión y = t solución El TEyU garantiza única curva integral por cada punto del plano, salvo, quizás, en (, ) Son la recta más los múltiplos de t / b] Lineal con coeficientes continuos en [, ) : e t = t b da la estabilidad de todas las soluciones Si b<, como t b cuando t, la ecuación es AE Si b= es EnoA ( t = ) Y si b> (por ejemplo el caso de arriba) es I por no estar t b acotada Sea y = t y y a] Resolverla hallando un factor integrante g(t) y por otro camino diferente b] Hallar la(s) solución(es), si existe(n), con: i) y()=, ii) y()= a] (y t)+yy = y no exacta Para que (y t)g(t)+yg(t)y = lo sea: yg=yg g(t)=e t e t (y t)+e t yy = U=et y te t +e t +p(y) e t y U=e t y +q(t) e t (y t+) = C, y = Ce t +t También es de Bernouilli con p= : yy = t y y =z z = z+t z = Ce t + e t te t dt b] El TEyU asegura que hay solución única con y(t o )=y o si y o = Para el dato i) por ejemplo: =C, y = e t +t, y = e t +t (la raíz positiva no lo cumple) Para ii) el TEyU no decide Como dt dy = y t y tiene solución única t(y) con t()= (y es t ()= ), sólo pasa una curva integral de pendiente vertical por (, ) y no hay solución que cumpla ii) Lo que sale imponiendo el dato, y = ± t, son dos funciones con derivada infinita en t = Sea y = +y e y a] Probar que tiene una solución constante y, con > b] Precisar la estabilidad de la solución con i) y()=, ii) y()= a] Si ƒ (y)=+y e y, como ƒ ()= e>>7 e = ƒ () e > >7 > con ƒ ()= Dibujamos la gráfica de ƒ que será útil para b] ƒ (y)= e y ƒ crece hasta y = ln y decrece después ƒ ()=, ƒ (ln )=ln, ƒ ()=5 e < e > 5 >5 ; ƒ y ± b] i) La solución y es inestable porque ƒ ()=> [o porque decrece cuando y <, por ser ƒ (y)< ] ii) La que cumple y()= es AE pues ella y todas las que parten cerca están definidas para t y todas tienden hacia la solución constante y
Ecuaciones Diferenciales I (C - piloto) Soluciones del parcialillo (8//8) Hallar la solución de t + t = t que satisface ()= ()= [ puntos] Es una ecuación con b(t) : = y y = t y+ t y = C t + t dt = C t + t = K + C t t Aunque también la podemos mirar como una ecuación de Euler: λ(λ )+λ = λ(λ+) = solución general: = c + c t + p Para hallar la p podemos utilizar la fórmula de variación de las constantes: t t = t ; p = t t dt t t t dt t = t t = t = c + c t t O bien, hay p = Ae s = At (haciendo t = e s quedaría =e s y λ= no es autovalor) p = At, p = At At At = t A=, p = t Imponiendo el dato inicial: c +c = c + = c =, c = = t Sea [e] V + + 6 + + = e t, R [8 puntos] a] Hallar una solución de [e] para todos los valores de b] Para =, hallar la solución general de [e] c] Precisar un para el que [e] sea: i) inestable, ii) asintóticamente estable d] Para =65, razonar si todas las soluciones de [e] tienden a cuando t a] λ= es raíz de P(λ)=λ +λ +6λ +λ+ si 6 + 8+== [y es raíz simple, por ejemplo, porque no anula la derivada: P (λ)=(λ +λ +λ+) ] Por tanto, si = hay p = Ae t A[6 + 8+]e t = e t p = e t Si = : p = Ate t, p = A( t)e t, p = A(t )e t, p = A( 8t)e t, V p = A(6t )e t At[6 + 8]e t + A[ +8 +]e t = Ae t = e t p = te t b] Para = : P(λ)=λ(λ+)(λ +λ+) λ=,, ± = c + c e t + e t (c cos t+c sen t) te t c] Para cualquier < seguro que es I (pues uno de los coeficientes de P(λ) es negativo) O si se prefiere, λ= es autovalor (y, por tanto, la ecuación es inestable) si = 5 Con una mínima vista se observa que si = es P(λ)=(λ+) λ= cuádruple AE Si queremos saber todos lo valores para los que es AE, acudimos a R-H: B = 6 6 >, >, 6(5 )>, > AE <<5 d] Si =65, la ecuación es inestable, según muestra R-H (coeficientes positivos no implica EA), y esto implica que hay alguna solución h de la homogéna que no está acotada en el infinito La solución h + 65 e t de [e] seguro que no tiende a cuando t Con un poco de vista, podemos calcular los autovalores para todo : P(λ) = (λ+) + = λ= + ( raíces reales o complejas) Por ejemplo, si =65, λ= + = ±, ±
Sea = y y = + z z = y a] Discutir la estabilidad según los valores de [9 puntos] Hallar la solución con ()=, y()=, z()= b] Si = : Escribir una matriz fundamental del sistema homogéneo a] λ λ λ = λ +λ λ = λ λ ( ) Si < es I, pues λ= > Si > es EnoA, pues, ± tienen Re = y son simples Si = es λ= triple con un único vector propio li rango / = Es I b] Derivando la segunda ecuación se consigue fácilmente una de segundo orden que sólo tiene y : y = z = y +y y y = y = +c e t +c e t y()=,y ()= y = + e t = e t =c t e t ()= = t e t z = y = t+e t Para hallar una matriz fundamental por este camino, hallamos la solución general del homogéno: y = z = y+y y y = y = c e t +c e t = =c c e t + c e t z = y = c + c e t c W(t)= e t Laplace: e t et e t e t e t et sx = Y X = Y s s s sy =X Z sy Y sz = s Y Z = s + Y s s s = s, Y = s s s s(s+)(s ) = s+ s(s+) = A s + B s+ = A(s+)+Bs s(s+) s= A=, s= B= y = +e t X = s + s(s+) s = s s+ s = t e t z = y =, o siguiendo por Laplace, Z = = s s + s+ z = t+e t Laplace es largo para soluciones generales (resolveríamos con ()=, y()=b, z()=c ) Mediante matrices: λ= : x = P ejt P= v= t 5 + P e J(t s) ; λ= : P = 8 ds = P v= ; λ= : v= 6 e Jt = e t x = f= e t t 8 5e t + e s t ds = P 8t t e t e t e t s 5e t + e t = + e t e t e t t + e t Una W(t) (formada por soluciones del homogéneo) es: W(t) = e t e t e t e t e t e t = Pe Jt [Como λ= es autovalor no funcionaría el atajo de buscar x p constante Inspirándonos en el método de coeficientes indeterminados para las ecuaciones se nos puede ocurrir probar: At+B A=Ct+D B t C=, B=F x p = Ct+D C=At+B Et F A=E=, D= x p = para cualquier B Et+F E= Ct D B t solución general: x = c + c e t + c e t t t di c c +c = t e t c +c = c = c =, c = x = + e t ] c +c c = t + e t
Ecuaciones Diferenciales I (C - piloto) Soluciones del parcialillo (//9) Sea = y y = +y a] Hallar sus órbitas y dibujar el mapa de fases b] Decidir si es periódica la solución del sistema que satisface ()=, y()=, para: i) =, ii) =, iii) = [6 puntos] a] dy d = y y Puntos críticos: z= dz d = z z = C d = C + = y (cónicas) = +y =, y = = y = y (,) Como ƒ es impar en y y g par en y (o como se ve en la expresión recuadrada de arriba), las órbitas son simétricas respecto a y = y el centro lo es también de nuestro sistema no lineal Campo horizontal: Campo vertical: =+y (parábola) = (órbita) e y = y y v(, y) = +y, v(, y) = y, v(, y) = +y b] Para = es claro por el campo que la órbita no es cerrada (solución no periódica) En concreto, es la de C= (y, por tanto, se trata de una hipérbola) λ=±, centro de la AL La órbita para = es la de C=, o sea, la parábola =+ y solución no periódica A = le corresponde la de C= 9 y + 9 9 = elipse (solución periódica) [También se deduce del mapa: desde (, ) sigue, luego, debe cortar el eje, y es simétrica] Sea = 9 y y = 6 y a] Dibujar su mapa de fases b] Hallar la solución del sistema que cumple ()=, y()= [7 puntos] a] y = =, y = 9 (,), ; M= 6 y (,) λ=, 6 con [tangencia] y y λ=9, [evidente!!] con nodoi silla Campo horizontal: Campo vertical: y = (órbita) y = y = v(, ) =, v(, y) = ( y) La recta que contiene a la separatriz estable de la aproximación lineal es y = v, = ( ) [si > su pendiente es mayor que la de la recta] La separatriz, pues, se curva y, como las demás órbitas (menos ) sale del nodo con pendiente La otra separatriz, como vimos, se mantiene recta v(, ) =, v(, ) = 6 d Haciendo y = se obtiene y = y la curva de inflexión y y+ =, y = d ± +8 b] La órbita por (, ) es la recta y = = 9 9 =+Ke 9t +e 9t ()= =+e9t, x=
Sea (t ) t + 6 = a] Hallar la solución que satisface ()=, ()= b] Hallar, utilizando Frobenius, una solución que se anule en t = c] Estudiar si existen soluciones no triviales que tiendan a cuando t [ puntos] a] Como t = es regular ( y b son analíticas para t < ), probamos: k= c k t k k= [k(k )c k t k k(k )c k t k ] + kc k t k + 6c k t k = k= t : c +6c = c = c = c = () ; t : 6c c +6c = c = c = c = () ; t k : (k 5k+6)c k (k+)(k+)c k+ = c k+ = (k )(k ) (k+)(k+) c k c = =c 6 =, c 5 = =c 7 = = +t t +t = (t ) De otra forma: ()+6()= ()= 6 (t ) t + = ()= ()=6, (t ) V = V = V = V = = k= Y derivando: b] Haciendo t = s+ obtenemos (s+s ) (+s) +6=, s s (+s) +s + 6s +s = singular regular con r =, se anula en s= la = s c k s k = c s +c s + (Debe salir = s según el apartado a]) (k+)(k+)c k s k+ +(k+)(k+)c k s k+ (k+)c k s k+ (k+)c k s k+ +6c k s k+ k= k= = k= k(k+)ck s k+ +k(k+)c k s k+ = s k+ : k(k+)c k +(k )kc k = c k = k (k+) c k, k A partir de la serie inicial: s : c = c indeterminado; s : 8c +c = c = [coincide con la regla de recurrencia] Como cada c k queda en función del anterior, c = c = = = s = (t ) c] Como, a la vista de a], la solución general es = c + t + c t + t, es claro que no hay soluciones no triviales que tiendan a si t, pero lo podemos ver directamente analizando el punto del infinito: t = s s s +s s s +6 = s s + s 6 s + 6 =, ecuación para la que s= es singular regular con r =, r =, por lo que sus soluciones = s y = s + d ln s se van al infinito cuando s +, o sea, cuando t Si, haciendo b], hemos llegado a = s, podríamos hallar la solución general calculando = s e s+ s +s s 6 = s (s+) s = s s s s = k s + k +s+s