REFUERZO ECUACIONES DE PRIMER GRADO. ) Indica el número que falta en estas epresiones: a) + = 6 b) 5 = 9 c) : = d) = 5 ) Encuentra un número que al sustituir la letra se verifique la igualdad: a) + = 6 b) a = 8 c) 5 + = 7 d) + = 0 ) Halla el valor de las letras de las siguientes ecuaciones: i) a) 5 = b) = c) + 0 = 0 d) t = ) Resuelve la siguiente ecuación. i) + 8 = + 5 + 8 ) Haz lo mismo del ejercicio anterior con estos otros ejercicios: a) + = + 59 b) + = 7 c) = + 9 d) 5 0 = ) Resuelve las siguientes ecuaciones: i) a) 5 0 b) = c) 0 5) Plantea ecuaciones correspondientes a las siguientes condiciones: a) El doble de es cuatro b) El triple de es c) Si a se le suma se obtiene d) Si a le restamos 5 se obtiene 6 6) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5 + = + 0 b) + = + 7 c) + 7 = d) 8 = e) 5 = 8 7) Resuelve las siguientes ecuaciones quitando para ello el paréntesis antes: a) ( 7) = 5( ) b) 5( ) + ( + 6) = 0 (6 + ) c) + 8 5 5 = ( + 6) 7 d) 0( ) = 8) Si es un número epresa simbólicamente: a) Su doble. b) Su mitad mas su doble. c) Su cuádruplo. d) El siguiente a. e) El número anterior a. f) Los dos números que le siguen a.
g) El doble del siguiente de. 9) Resuelve estas ecuaciones: i) a) b) ( 5) 0 = 5 c) ( 6) 0 = ( 5) d) 5( ) 6 ( ) = ( ) 0) Resuelve estas ecuaciones con denominadores: i) a) b) 5 ) El doble de la edad de Lucía más 5 años es igual a la edad de su abuelo que es 5 años. Qué edad tiene Lucía? ) Los tres lados de un triángulo equilátero vienen epresados en metros. Si su perímetro es 7 metros, halla la longitud de cada lado. ) Javier tiene 0 años menos que su padre y éste tiene veces los años de Javier. Averigua la edad de cada uno. ) En una caja hay doble número de caramelos de menta que de limón y triple número de caramelos de naranja que de menta y limón juntos. En total hay caramelos. Hallar cuántos caramelos hay de cada sabor. 5) La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble que el primero; el tercero es el doble del segundo, y el cuarto es el doble del tercero. Halla el valor de los cuatro números. 6) En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en la fiesta sabiendo que en total son 56 las personas que hay en ella. 7) El doble de un número menos cinco es nueve. De qué número se trata? 8) La suma de dos números consecutivos es 55. De qué números se trata? 5 7 ) 9) 5 6 8 9 ) 5 0) ) 8 5 0 6 5 8 5 5 5) 5 ) ) 8 6 6 ) ) 6 5 6) 9 9
5 5 7) 8 8) 8 7 8 5 5 0 9) 7 8 9 7 6 0) ) 5 ) 0 8 9 7 ) 5 8 7 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado es una ecuación que puede reducirse a la forma general a b c 0 con a 0 Ejemplos: 5 0 a, b, c 5 ; 0 a, b, c Las soluciones de la ecuación son los valores de que al sustituirlos verifican la igualdad Ejemplo: en la ecuación 5 6 0 el valor no es solución porque 5 6 6 0 6 el valor si es solución porque 5 6 0 6 0 Ejercicios:. Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en forma general identificando los coeficientes a b y c a) 5 0 b) c) 0 d) e) f) ( ) ( ) g) 5 h) i) (Soluciones: a) a, b, c 5 b) a, b, c c) a, b, c d) a, b, c e) a, b, c f) a 5, b 5, c 0 g) a, b 7, c h) a 9, b, c i) a, b 7, c 9. Decir en cada ecuación si los valores que se proponen son solución o no de la ecuación a) 7 0 0 ; 0,,, 5 b) 5 0 ;, /,, c) 5 0 ;,,, (Sol: a) no, si, no si b) no, si, no, no c) si, no, no, no ). En la ecuación 5 c 0, una solución es. Cuánto vale c? (Sol: c 6 ). En la ecuación b 5 0, una solución es 5 Cuánto vale b? (Sol: b 8 ) ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS
Si en la ecuación a b c 0 alguno de los coeficientes b o c es nulo, se dice que es una ecuación incompleta y se pueden resolver directamente: a) si b c 0 entonces la ecuación queda a 0 y la solución es 0 b) si b 0 entonces la ecuación queda a c 0; ejemplo 0 ; ; ; c) si c 0 entonces la ecuación queda b 0 ; Ejemplo 0 se saca factor común ; 0; primer factor cero 0 segundo factor cero 0 ; ; ; Ejercicios: 5. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas a) 0 b) 0 c) 9 0 d) 9 0 e) 0 f) 8 6 0 g) 8 h) 9 0 i) 0 j) 6 0 k) 8 l) 0 77 m) 5 5 0 n) (Sol: a) 0, b) 0 c) d) / e) 0, f) 0, g) h) 0 9, i) j) k) / l) 0, m) 0, n) RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN COMPLETA La ecuación de segundo grado a b c 0 se dice que está completa cuando todos los coeficientes son distintos de cero. En este caso las soluciones se obtienen aplicando la fórmula: b b ac a El valor del radicando de b ac permite saber el número de soluciones sin necesidad de hallarlas. D b ac se llama discriminante. si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -) D b ac si D es cero, tiene una solución (solución doble) si D es negativo, no tiene soluciones Ejemplo: 0 en esta ecuación a, b, c y aplicando la fórmula 9 8 6. Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de las siguientes ecuaciones: a) 7 0 b) 6 6 0 c) 6 0 d) 9 0 e) 5 0 f) 5 0 g) 0 h) 9 0 i) 8 5 0 j) 7 0 k) 5 0 l) 8 0 (Sol: a) b) c)0 d) e) f) g)0 h) i)0 j) k) l)0 )
7. Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) 8 5 0 b) 9 0 c) 9 0 d) 8 5 0 e) 9 0 f) 0 g) 7 0 h) 6 0 i) 0 0 j) 5 0 k) 6 5 0 l) 6 7 0 (Sol: a),5 b) 9 90 l), c) d)no tiene e) f), g) 7 7 h) 6 80 6 i), j), k) 8. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 6 c) 00 b) e) d) g) h) (Sol: a) 7, b) 0 c) d), e) f), 5 i) 7 f), g), h), i) no tiene) 5