2º TRIMESTRE ÁLGEBRA Y FUNCIONES LAURA VALLÉS SANT JOSEP DE CALASSANÇ MATEMÁTICAS 2º ESO

Transcripción

1 MATEMÁTICAS º TRIMESTRE ÁLGEBRA Y FUNCIONES LAURA VALLÉS SANT JOSEP DE CALASSANÇ º ESO

2 MATEMÁTICAS º ESO TEMA 8 EXPRESIONES ALGEBRÁICAS Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Reconocer epresiones algebraicas utilizarlas para epresar relaciones entre diferentes magnitudes, calculando el valor numérico de dichas epresiones en caso de que sea necesario. Desarrollar igualdades notables potencias de polinomios de eponente. Calcular sumas, restas, productos cocientes de monomios. Calcular sumas, restas, productos de polinomios cocientes de un polinomio por un monomio. Identificar en un polinomio el grado, el número de términos el coeficiente parte literal de cada término. 1

3 MATEMÁTICAS º ESO INDICE 1. Epresiones algebraicas. Monomios polinomios. Operaciones con monomios.1 Suma resta de monomios. Producto de monomios. Cociente de monomios. Productos notables.1 Cuadrado de una suma. Cuadrado de una resta. Diferencia de cuadrados. Trinomio cuadrado perfecto

4 MATEMÁTICAS º ESO 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS El lenguaje numérico epresa la información matemática a través de los números, pero en algunas ocasiones, es necesario utilizar letras para epresar números desconocidos. El lenguaje algebraico epresa la información matemática mediante letras números. Por ejemplo: Un número cualquiera: (también puede ser otra letra) La mitad de un número: El triple de un número más la quinta parte de otro número: La edad de mi primo Luís hace 9 años: 9 Una epresión algebraica es una combinación de números letras unidos mediante operaciones aritméticas. Ejemplo: Laura tiene tres hermanos sus edades son las siguientes: Pablo tiene dos años menos que ella, Lucas es dos años maor que ella Óscar le dobla la edad. a) Cuántos años tiene cada uno si Laura tiene 10 años? Pablo Lucas Óscar Edad de Laura = 10 años 10 = = 1 10 = 0 b) Podríamos resolver este problema si conocer la edad de Laura? Pablo Lucas Óscar Edad de Laura = X años X X + X

5 MATEMÁTICAS º ESO VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA El valor numérico de una epresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números realizar las operaciones indicadas. Ejemplo 1: Calcular el área del siguiente triángulo: cm Ejemplo : cm Calcular el valor numérico de + z para: a) X =, Y =, Z = = + 0 = 9 La epresión algebraica que define el área del triángulo es: b h A Para obtener el valor numérico del área del triángulo, simplemente debemos sustituir las letras por los números correspondientes: b h A cm b) X = 1, Y =, Z = = = 6-7 = 97. MONOMIOS Y POLINOMIOS La epresión algebraica que sólo tiene un término se denomina monomio, si tiene dos términos binomio, si tiene tres trinomio, en general, si está formada por varios términos, se denomina polinomio. Monomios a, a, b z, - Binomios a + b,, - + ab Polinomios + z,

6 MATEMÁTICAS º ESO Los elementos de los monomios son: Coeficiente z Parte literal Coeficiente Lo forman el signo la parte numérica del monomio. Parte literal Las letras que forman el monomio incluidos sus eponentes. Grado La suma de los eponentes de la parte literal ++1=6 En el caso de los polinomios, el grado coincide con el del término que maor eponente o grado tiene Monomios semejantes El término cuo grado es maor, tiene grado 8. Por lo que este polinomio tiene grado 8. Observa los siguientes monomios: 1 Todos ellos tiene algo en común: la misma parte literal, es decir, las mismas letras con el mismo eponente. Dos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.. OPERACIONES CON MONOMIOS.1 Suma resta de monomios Sólo se pueden sumar restar monomios que tienen la misma parte literal, es decir, entre monomios semejantes. - Se suman o restan los coeficientes +=7 a a a a a a a a a 7a -1= - Se deja la misma parte literal a a ( a a a a) a a Recordar: Cuando la parte numérica de un monomio es 1, no se escribe.

7 MATEMÁTICAS º ESO. Producto de monomios La multiplicación de un número por un monomio o entre monomios, se puede realizar siempre a que NO es necesario que tengan la misma parte literal. MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UN MONOMIO = 8 - Se multiplican los coeficientes ( ) 8 - Se deja la misma parte literal ( ab ) ab ab MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS = 0 - Se multiplican los coeficientes a a ( ) a 0a 1 - Se multiplican las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias. 7 = 1 7 (7 ) 1 1. Cociente de monomios 10 : = - Se dividen los coeficientes 10 : (10 : ) - Se dividen las partes literales teniendo en cuenta las propiedades de las potencias. 9 : = 1 9 : (9 : ) 6

8 MATEMÁTICAS º ESO. FACTOR COMÚN Descomponer un polinomio en factores consiste en epresarlo como una multiplicación de dos o más factores. Cuando en todos los términos de un polinomio aparece un factor común, el polinomio se puede descomponer de la siguiente forma: i. Un factor común. ii. Un polinomio que es el cociente entre el factor común el polinomio inicial. Ejemplo 1: 6 1 tiene como factor común por lo tanto, lo escribiremos de la siguiente forma: 6 1 ( 6 ) = =6 (-6 )=-1. PRODUCTOS NOTABLES Al trabajar con epresiones algebraicas, es frecuente encontrarse con los siguientes productos de binomios, denominados productos notables. (a+b) (a-b) (a+b) (a-b) Por ello, es conveniente conocer su resultado. Este puede obtenerse aplicando la propiedad distributiva, como vemos:.1 Cuadrado de una suma (a+b) = (a+b) (a+b) = a + ab + ba + b = a + ab + b EL cuadrado de una suma es igual al cuadrado de primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. 7

9 MATEMÁTICAS º ESO. Cuadrado de una resta (a-b) = (a-b) (a-b) = a - ab - ba + b = a - ab + b El cuadrado de una resta es igual al cuadrado de primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.. Diferencia de cuadrados (a+b) (a-b) = a - ab + ba + b = a - b El producto de una suma por una diferencia es igual cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo. Ejemplos Calcula los siguientes productos notables: A. (+) = (+) (+) = + + = + + B. (-) = (-) ( -) = () + = C. ( 1 + 7) (1-7) = (1 ) 7 = 1-9. Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio es un cuadrado perfecto cuando coincide con el desarrollo del cuadrado de un binomio, es decir: - Dos de sus términos son cuadrados perfectos. - El otro término, con signo más o menos, es el doble del producto de las bases de los dos cuadrados anteriores: a - ab + b ó a + ab + b Ejemplo: es () 1 es 1 a) es b) es 0 es es 1 8

10 MATEMÁTICAS º ESO A veces, para conseguir en un trinomio un cuadrado perfecto, ha que sacar previamente un factor común. Ejemplo: 6 + = ( + 1) = ( 1) 9

11 MATEMÁTICAS º ESO TEMA 8 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1. Epresa en lenguaje algebraico estos enunciados. a) El doble de un número más. b) El triple de un número menos 6. c) El doble de la suma de un número menos. d) La mitad de la diferencia de un número menos 8. e) el cuadrado de la suma de un número más 7. f) El cubo de la mitad de un número. g) La mitad del cuadrado de un número. h) Un número más su cuadrado. i) El cuádruple del cuadrado de un número. j) La mitad de un número menos tres.. Un recipiente contiene litros de agua, a cada hora se vierten en él 0, litros de agua. Epresa con lenguaje matemático esta información.. La tienda de confección de cortinas cobra,0 por metro de cortina confeccionada. a) Cuánto cuesta confeccionar una cortina de metros? b) Escribe la fórmula que relaciona el número de metros de cortina con el coste de la misma.. Calcula el valor numérico de las siguientes epresiones para = -. a) c) 8 0, e) b) d) 11 f). Indica cuáles de las siguientes epresiones algebraicas son monomios señalando el coeficiente, la parte literal el grado. a) b c) 1 ab c a 9 1 b) b d) 6. Realiza las siguientes operaciones. a) pq pq pq c) e) 1 a : 6 a 10

12 MATEMÁTICAS º ESO b) 7 d) 1 z z f) 7. Opera reduce. a) 1 : 1 : 7 b) 9 : c) 16 : 9 : d) 8. Con estos polinomios, calcula. A 7 B 7 C a b ) A B C c) A B ) B C d) A B C 9. Efectúa las siguientes operaciones. a) ) 10. Efectúa las siguientes divisiones. 1. Etrae factor común en cada caso c e) 6 d) f ) 6 b) a) : c) 9 1 : b ) 7 : d ) 1 : 11. Completa. a) : z z b) : : 6 1 z 18 z z : z 6z 8 c) 10 d) 7 6 a ba : a 1. Desarrolla las igualdades notables. a) ) b) ) a d g) e h) a 6b 11

13 MATEMÁTICAS º ESO c) 1 ) 1. Epresa como diferencia de cuadrados f 1. Epresa estos polinomios como cuadrado de una suma o una diferencia. ) i a) 1 1 c) ab ab e) a b a b b) 7 7 d) a a f ) m n m n a) 0 70ab ) b) 9a b d) g) a a e h) 1 9 c) 1 1 f ) 9 6 i ) Epresa los polinomios como producto de una suma por diferencia. a ) 16 b c) e ) z b ) d) 9 f ) 17. El precio del kilo de naranjas es el de uvas es. Epresa en lenguaje algebraico. a) El precio de 1, kilo de naranjas medio kilo de uvas. b) Las naranjas cuestan el doble que las uvas. 18. Un contenedor pesa 00 kilos, cada una de las cajas que se introducen en él, kg. Epresa con una fórmula el peso del contenedor en función del número de cajas que se introduzcan. 19. Un viajero hace un traecto a una velocidad de 8 km por hora. Epresa con una fórmula la distancia que recorre en función del tiempo. Qué distancia habrá recorrido al cabo de 7 minutos? 0. Un litro de agua de mar contiene 6 gramos de sal. a) Indica con la cantidad de litros de agua de mar epresa la cantidad de sal que contiene. b) Aplica la epresión obtenida para calcular los gramos de sal que ha en 100 litros de agua de mar. 1

14 MATEMÁTICAS º ESO EJERCICIOS DE PRODUCTOS NOTABLES 1. Desarrolla las siguientes epresiones. a) b) 1 c) d) e). Desarrolla las siguientes epresiones. a) b) c) 1 d) e) 7 f ) 7 g) h) d) e) 6. Desarrolla las siguientes epresiones. a) 7 11 b) c) a b d) a 8 b e) 7a b f ) 9. Desarrolla las siguientes epresiones. a) b) c) 1 a 1 a d) a a f ) g) ab ab h) i) 1. Calcula el valor de las siguientes epresiones. a) b) a b c) a b d) e) ab f ) m p nq. Halla el valor de las siguientes epresiones: a b a) b) a c) am b n 1 d) a b e) a b f ) ab 1

15 MATEMÁTICAS º ESO. Efectúa las multiplicaciones siguientes: a) b) a b a b c) d) ab ab. Aplica la fórmula para hallar el valor de las siguientes epresiones: 1 9 a) a b b) c) 7 ) ) ) d a b e f m 9 1 g) h) i) 0,. Aplica la fórmula para hallar el valor de las siguientes epresiones. a) a a b) a b a b c) a b a b d) b b e) a b a b f ) a 1 a 1 EJERCICIOS DE FACTOR COMÚN + PN 6. Descompón en factores los siguientes polinomios, sacando factor común. a) a a b) a b ab ab c) ab a a 7. Reduce los términos semejantes. a) a b c a b c b a c b ) 1 c) a b a b a b b a b a 8. Simplifica. a a m m a b a) b) c) 1a a a a b 1mn 1m n m m d) e) f ) 1m n 6 a b m mn 7ab 1a b g) b) c) a b m n 1a b 1

16 MATEMÁTICAS º ESO EJERCICIOS DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 9. Descompón en factores (primero saca factor común después aplica la fórmula correspondiente para factorizar) a) 6 b) a b c) a d) 0 0 e) 18 b 10. Descompón en factores. 16 ab a) 16 9 b) c) d) 81 m n e) f ) z 9b Epresa como cuadrado de una suma o de una diferencia o bien como producto de una suma por una diferencia. a b ) 10 ) 16 1 c ) 1 9 d) 9 1 e) 1 1. Factoriza las siguientes epresiones. a) b) 1 c) 6 9 d) e) 9 6 f ) g) h) z 1

17 MATEMÁTICAS º ESO TEMA 9 ECUACIONES Criterios De Evaluación de la Unidad 1 Diferenciar e identificar los miembros los términos de una ecuación. Reconocer si un valor dado es solución de una determinada ecuación. Conocer aplicar las técnicas básicas para la transposición de términos. Resolver ecuaciones del tipo a + b = c + d o similares. Resolver ecuaciones con paréntesis corchetes. 6 Resolver problemas sencillos de números figuras geométricas. 7 Entender cómo se generan reconocer un par de ecuaciones equivalentes. 8 Utilizar las ecuaciones para resolver problemas. 9 Resolver ecuaciones con denominadores 10 Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas 11 Utilizar ecuaciones de segundo grado para resolver problemas 1 Discusión de las soluciones de las ecuaciones de segundo grado 16

18 MATEMÁTICAS º ESO INDICE 1. Igualdad, identidad ecuación. Ecuaciones 1 er grado.1. Resolución de ecuaciones de 1 er grado.. Solución de ecuaciones.. Problemas. Ecuaciones de º grado.1. Clasificación.. Resolución de ecuaciones de º grado.. Epresión en forma general: a + b + c.. Problemas 17

19 MATEMÁTICAS º ESO 1. IGUALDAD, IDENTIDAD Y ECUACIÓN 1.1 Igualdad La siguiente epresión es una igualdad puesto que si realizamos las operaciones del primer miembro, obtenemos como resultado el segundo miembro. (+9) = 11 Una igualdad se compone de dos epresiones numéricas del mismo valor que están unidas por el signo igual (=) 1. Identidad Una Identidad es una igualdad algebraica, esto es, una igualdad en la que aparecen números letras que siempre se cumple, sean cuales sean los valores de las incógnitas. (+) = Ecuación Una ecuación es una igualdad algebraica que es cierta para algunos valores de las incógnitas falsa para otros. Por tanto, la diferencia entre identidad ecuación es que la identidad siempre es cierta, mientras que la ecuación no. El valor o valores de la incógnita que hacen que la igualdad se cumpla se llaman solución de la ecuación 18

20 MATEMÁTICAS º ESO. ECUACIONES DE PRIMER GRADO PARTES DE UNA ECUACIÓN Miembros: son las epresiones que aparecen a cada lado del signo de la igualdad. Términos: son cada uno de los sumandos que forman los miembros. El primer término de izquierda a derecha no lleva signo si es positivo PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO = + 8 TÉRMINOS El primer miembro es todo lo que ha a la izquierda del signo igual(=) El segundo miembro es todo lo que ha a la derecha del signo igual(=) Incógnitas: son las letras que aparecen en la ecuación, se suele emplear la representa un valor desconocido. Normalmente se emplea la pero puede emplearse cualquier letra. = + 8 Coeficientes: son los números que acompañan a la incógnita incluendo su signo. (Como sabemos si no ha se considera que es el 1 ). p.e. en la epresión = + 8 son el el 1; p.e. en la epresión 7 = 10 es el -7; Términos independientes: son los números o fracciones que no acompañan a la incógnita (incluendo su signo) =

21 MATEMÁTICAS º ESO GRADO DE UNA ECUACIÓN Se llama grado de una ecuación al maor eponente al que está elevada la incógnita que aparece en una ecuación. Cuando no aparece eponente el eponente es 1, por eso estas dos epresiones tienen el mismo valor aunque se utilice = 1..1 Resolución de ecuaciones de primer grado Para resolver una ecuación despejamos la incógnita, es decir la dejamos sola en uno de los miembros en el otro miembro dejamos los números. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SENCILLAS 1. Reducir términos semejantes, para ello, agrupamos todos los términos con todos los términos independientes.. Transponer términos. Se colocan todos los términos que llevan incógnita en UNO de los miembros todos los términos independientes en el OTRO miembro, teniendo en cuenta que cuando un término cambia de miembro también cambia de signo.. Si es necesario, se agrupan de nuevo los términos semejantes (reducir términos semejantes).. Despejar la incógnita. Si la incógnita lleva coeficiente, se pasa al OTRO miembro dividiendo, si la división no sale eacta se puede dejar el resultado en forma de fracción. Ejemplo: 1º º 1 6 º 18 º

22 MATEMÁTICAS º ESO RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARÉNTESIS 1. Quitar paréntesis. Para ello aplicamos la propiedad distributiva.. Reducir términos semejantes, para ello, agrupamos todos los términos con todos los términos independientes.. Transponer términos. Se colocan todos los términos que llevan incógnita en UNO de los miembros todos los términos independientes en el OTRO miembro, teniendo en cuenta que cuando un término cambia de miembro también cambia de signo.. Si es necesario, se agrupan de nuevo los términos semejantes (reducir términos semejantes).. Despejar la incógnita. Si la incógnita lleva coeficiente, se pasa al OTRO miembro dividiendo, si la división no sale eacta se puede dejar el resultado en forma de fracción. Ejemplo: 8 6 1º 61 º 6 1 º 6 1 º 6 º 6 1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON DENOMINADORES 1. Quitar denominadores. Para ello calculamos el m.c.m de los denominadores multiplicamos cada uno de los términos por el m.c.m.. Quitar paréntesis. Para ello aplicamos la propiedad distributiva.. Si es necesario, se agrupan de nuevo los términos semejantes (reducir términos semejantes).. Transponer términos. Se colocan todos los términos que llevan incógnita en UNO de los miembros todos los términos independientes en el OTRO miembro, teniendo en cuenta que cuando un término cambia de miembro también cambia de signo. 1

23 MATEMÁTICAS º ESO. Si es necesario, se agrupan de nuevo los términos semejantes (reducir términos semejantes). 6. Despejar la incógnita. Si la incógnita lleva coeficiente, se pasa al OTRO miembro dividiendo, si la división no sale eacta se puede dejar el resultado en forma de fracción. Ejemplo: 1º º º º º 6º 11. Resolución de PROBLEMAS con ECUACIONES DE PRIMER GRADO Para la resolución de problemas de ecuaciones de PRIMER GRADO es conveniente seguir los pasos descritos en este punto. No ha ninguna duda de que es conveniente empezar leendo atentamente el teto de problema distinguir dos cosas: 1. Lo que nos pregunta el problema, es decir el dato que debemos averiguar.. La información que nos da el problema, que aparece en forma de frases en el teto del problema nos debe audar a crear o componer una ecuación.

24 MATEMÁTICAS º ESO Una vez resueltas estas dos cuestiones es conveniente seguir estos pasos llegar a una solución del problema: 1. Se ELIGE la incógnita se nombra con una letra, habitualmente la X. La X es NORMALMENTE el dato desconocido al que se refiere la pregunta del problema que se considera la incógnita. Si ha más datos conocidos se representan según su relación con ella.. Se plantea una ecuación que relacione los datos la incógnita X.. Se resuelve la ecuación planteada (siguiendo los pasos que a hemos eplicado) se obtiene la solución.. Se comprueba si la solución encontrada satisface (hace que se cumpla) el enunciado. Ejemplo La suma de las edades de Carlos Juan es de 7 años, Carlos tiene años menos que Juan. Qué edad tiene cada uno? Las preguntas son Cuál es la edad de Carlos? Y Cuál es la edad de Juan? 1. Elegimos la incógnita Determinamos que será la edad de Carlos. tanto +. Se plantea la ecuación Suma edades Carlos Juan= 7 edad de Carlos + edad de Juan = = 7. Se resuelve la ecuación planteada se obtiene la solución. = 70 = = 7 = 7 La edad de Juan será por = Edad Carlos = =, Edad de Juan = + = 0. Se comprueba la solución + + = 7 si = + + = 7 7=7 se cumple

25 MATEMÁTICAS º ESO. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Las Ecuaciones de segundo grado son aquellas ecuaciones en las que el maor eponente que tienen sus incógnitas es el. En general hablamos de que una ecuación de segundo grado tiene la forma: ECUACIÓN DE º GRADO GENERAL a + b + c = 0 Siempre a 0 a, b, c Son números, en algebra reciben el nombre de coeficientes numéricos, como sabemos será la incógnita. (Como veremos más adelante eisten ecuaciones de segundo grado donde b o c, o incluso ambos pueden ser igual a cero, las llamadas ecuaciones incompletas ) p.e = 0 por lo que a=, b=1, c=1 + = 0, por lo que a=1, b= c= - 1 = 0, por lo que a=-, b=-1 c=-1 TÉRMINOS DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Término LINEAL a + b + c = 0 Término CUADRÁTICO Término INDEPENDIENTE Las ecuaciones de segundo grado que tienen los tres términos se llaman ecuaciones de segundo grado completas.

26 MATEMÁTICAS º ESO.1 Clasificación de ecuaciones de segundo grado CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ECUACIONES COMPLETAS FORMA a + b + c = 0 Los tres coeficientes a, b c 0 - Tiene término cuadrático a - Tiene término lineal b - Tienen término independiente c Ejemplos: a + b +c =0 + + = 0 - +=0 + 1 = 0 FORMA a + b = 0 FORMA a + c = 0 FORMA a = 0 ECUACIONES INCOMPLETAS El coeficiente c =0, los coeficientes a b 0 - Tiene término cuadrático a - Tiene término lineal b - No tiene término independiente c. El coeficiente b =0, los coeficientes a c 0 - Tiene término cuadrático a - No tiene término lineal b - Tiene término independiente c. Los coeficientes b c =0, los coeficientes a 0 - Tiene término cuadrático a - No tiene término lineal b - No tiene término independiente c.. Resolución de ecuaciones de segundo grado Ejemplos: a + b =0 + = 0 + =0 = 0 Ejemplos: a + b =0 + = 0 + =0 + = 0 Ejemplos: a =0 = 0 =0 = 0 ECUACIÓN DE º GRADO COMPLETAS TIPO; a + b + c = 0 Las ecuaciones de segundo grado completas son aquellas que tienen término cuadrático, término lineal término independiente. a + b + c = 0 Estas ecuaciones (normalmente) tienen dos soluciones estas se obtienen aplicando la conocida como Fórmula de Cardano en la que a, b c son los coeficientes numéricos de la ecuación a, b el término independiente c.

27 MATEMÁTICAS º ESO = b ± b ac a Las dos soluciones (también llamadas raíces ) en función del signo + o - que se toma de delante de la raíz serán: 1 = b+ b ac a p.e. Resolver la ecuación + 6 = 0; = b b ac a Como a sabemos a=1, b=-,c=6, por tanto aplicamos la fórmula de cardano respetando las reglas de los signos tenemos = b± b ac a soluciones; ± 1 { 1 = +1 = 1 = ( )± ( ) (1)(6) (1) = ± 1 = + 1 = = ± 1 se obtienen = 6 = 1 = = = = p.e. Resolver la ecuación + 6 = 0; vemos que a=1, b=-,c=6, aplicamos Cardano = b± b ac a = ()± () (1)( 6) () = ± 96 8 = ± 11 8 = ±11 8 Obtenemos también dos soluciones: 1 = = 6 8 = = 11 8 = 16 8 = 6

28 MATEMÁTICAS º ESO POSIBLES SOLUCIONES EN LA ECUACIÓN DE º GRADO COMPLETAS TIPO; a + b + c = 0 Como a hemos mencionado en estas ecuaciones normalmente tienen dos soluciones aplicando la conocida como Fórmula de Cardano. = b± b ac a La cantidad b ac contenida dentro del radicando (raíz), recibe en matemáticas el nombre de Discriminante. La realidad es que en función del valor de este discriminante vamos a tener dos soluciones, una solución (doble) o ninguna solución. Si b ac > 0 Si b ac = 0 = b ± b ac a Obtenemos SOLUCIONES: 1 1 = b + b ac a = b b ac a = b ± 0 a Obtenemos 1 única solución repetida dos veces: 1 = b = a p.e. Resolver 1 = 0 = ( ) ± ( ) 1( 1) (1) = ± + 60 = ± 6 = ± 8 obtenemos las dos soluciones 1 = +8 = = 8 = 6 = p.e. Resolver = 0 = ± ± = 1 1 ± 0 = El resultado es una solución repetida, se le llama solución doble; b 0 = a Lo llamamos SOLUCIÓN DOBLE: 1 = 1+0 = 1 0 1, = b a 1, = 1 7

29 MATEMÁTICAS º ESO Si b ac < 0 = b ± ( ) a = Si el discriminante es negativo, la ecuación de segundo grado NO TIENE SOLUCIÓN REAL a que la raíz cuadrada de números negativos. p.e. Resolver = 0 = 1 ± ± 1 = 1 = 1± = no tiene solución REAL ECUACIÓN DE º GRADO INCOMPLETAS TIPO: a + b = 0 En este tipo de ecuaciones de segundo grado, a las que les falta el término independiente (c = 0) se resuelve sacando FACTOR COMÚN e igualando a cero los dos factores obtenidos. a + b = 0 a + b = 0 sacamos factor común (a + b) = 0 = 0 ; solución 1 = 0 igualar a 0 ambos factores { a + b = 0 = b solución a = b a Se entiende que al menos uno los dos factores; de ambos es igual a 0*. a + b pueden valer 0 si el producto *(si A B=0 puede ser bien porque A= 0 o porque B=0, no?) Al igualar a 0 los factores 1, una de ellas siempre será 0. a + b, obtenemos dos ecuaciones que dan dos soluciones p.e. resolver la ecuación + = 0 (aquí a = b = 1) Etraemos como factor común ( + 1) = 0 8

30 MATEMÁTICAS º ESO ECUACIÓN DE º GRADO INCOMPLETAS TIPOS: a = 0 a + c = 0 Este tipo de ecuaciones de segundo grado, a las que les falta el término de primer grado (es decir que no tienen "b"), se resuelven despejando la averiguando la raíz cuadrada de su valor. a = 0 a = 0 = 0 a = 0 = ± 0 = 0 Estas ecuaciones tendrán una única solución = 0 p.e. resuelve = 0; p.e. resuelve = 0; p.e. resuelve = 0; = 0 = 0 = 0 = ± 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = ± 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = ± 0 = 0 a + c = 0 a + c = 0 a = c = c a = ± c a En este caso para despejar la transponemos primero la c que es un número luego despejamos la pasando la a (también otro número) dividiendo al otro término. Obtenemos averiguando la raíz cuadrada de lo pasado al otro término. Estas ecuaciones tendrán dos soluciones (si c a > 0) las llamaremos 1 o ninguna (si c a < 0) 1 = + c a = c a 9

31 MATEMÁTICAS º ESO p.e. resuelve 8 = 0; 8 = 0 = 8 = 8 = = ± = ± esta ecuación tendrá dos soluciones 1 = + = Igualamos los dos factores a 0 = 0, + 1 = 0 Despejamos obtenemos soluciones 1 = 0 = 1 p.e. resolver la ecuación + 1 = 0 Etraemos como factor común ( + )=0 Igualamos los dos factores a 0 = 0, + = 0 Despejamos obtenemos soluciones 1 = 0 =. Epresar las ecuaciones de segundo grado en la forma general a +b +c=0 p.e. Epresar la ecuación = en la forma a + b + c = 0, indicando los valores de los coeficientes a, b c. Resolución: 1. Se pasan todos los términos al mismo lado del signo =, se reducen los términos semejantes: = = 0 a = es el coeficiente del término en. b = - es el coeficiente del término en. c = -; es el término independiente. La ecuación es completa. Ninguno de sus coeficientes es cero. p.e. Epresar la ecuación (+1) (+1) indicando los valores de los coeficientes a, b c. = (+1) (+) en la forma a + b + c = 0, Resolución: Se quitan paréntesis: + = Se multiplica toda la ecuación por m.c.m. (,, ) = 0 0

32 MATEMÁTICAS º ESO = ( + ) 10 ( ) = 6 ( ) operamos = Trasponemos a un lado e igualamos a 0: = 0 Reducimos términos ordenamos: = 0 Concluimos en que a=-6, b=7 c=, es una ecuación completa. Resolución de PROBLEMAS con ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Para la resolución de problemas de ecuaciones de segundo grado se siguen los mismos pasos que en el caso de los problemas de ecuaciones de primer grado. No ha ninguna duda de que es conveniente empezar leendo atentamente el teto de problema distinguir dos cosas: a) Lo que nos pregunta el problema, es decir el dato que debemos averiguar. b) La información que nos da el problema, que aparece en forma de frases en el teto del problema nos debe audar a crear o componer una ecuación. Una vez resueltas estas dos cuestiones es conveniente seguir estos pasos para llegar a un adecuado tratamiento de la información llegar a una solución del problema: 1. Se nombra con una letra, habitualmente la X, al dato desconocido al que se refiere la pregunta del problema que se considera la incógnita. Si ha más datos conocidos se representan según su relación con ella.. Se plantea una ecuación que relacione los datos la incógnita.. Se resuelve la ecuación planteada se obtiene la solución o soluciones. En este caso especialmente en los problemas de ecuaciones de segundo grado previamente a su resolución habrá que transformar la ecuación obtenida en el punto a su forma general (a + b + c = 0 o a + b = 0 o a + c = 0). 1

33 MATEMÁTICAS º ESO. Se comprueba si la solución encontrada satisface el enunciado. En el caso de varias soluciones puede que alguna de ellas lo satisfaga otra no, o que las dos soluciones sean buenas. p.e. Hallar dos números pares consecutivos cuo producto sea Se nombra con una letra a cualquier número par + al siguiente número par consecutivo al primero.. Se plantea una ecuación; El producto de dos números pares consecutivos=168. Se resuelve la ecuación planteada ( + ) = = = 0 la simplificamos (:) obtenemos + = 0 = 1 ± 1 1 ( ) 1 = { 1 = 6 = 7. Se comprueba la solución, = 1 ± = 1 ± 169 = 1 ± 1 Si = 6, = 1 + = 1, 1 1 = 168, este resultado cumple enunciado Si = 7, = 1 + = 16, ( 1)( 1) = 168, este resultado también cumple enunciado Los números pares consecutivos son 1 1, o bien -1-1.

34 MATEMÁTICAS º ESO TEMA 9 ECUACIONES 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de 1er grado. 1) = - 1 7) 6-6 = - ) 8 - = 8) 10 - = 6 - ) = ) = 6-6 ) - = - 10) = ) + 1 = ) 1-10 = ) = ) = Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis: 1) ( + ) = 0 9) ( + )( - ) = ( - 1)( - 6) ) ( - ) + 6 = 9 10) ( - 8)( + 1) = ( + )( - ) ) ( - ) = ) ( + 1)(6 - ) = ( + )( + ) ) -( + ) + ( - ) = + 1 1) ( - )( + ) - ( + )( - ) = 0 ) ( + ) - (- + ) = 6-6) 8( + ) = ( - ) - 7( + ) 1) (6 + 10)(6-10) = 1 + ( - )(1 + ) 1) ( + )( - ) + 7 = ( + )( - ) +

35 MATEMÁTICAS º ESO. Halla la Obtén la solución de estas ecuaciones.. Resuelve las siguientes ecuaciones.. Resuelve las siguientes ecuaciones. 6. Halla la solución de las ecuaciones. 7. Resuelve las siguientes ecuaciones. 8. Halla la solución de las ecuaciones. 0 1 ) a 16 ) d 6 8 ) b 8 6 ) e 1 8 ) c 8 6 ) f 6 ) a 1 ) d 1 ) b 6 1 ) e 1 ) c 8 ) f ) a ) d ) b 1 1 ) e 9 ) c ) f 7 9 ) a d ) 1 1 ) b ) e ) c ) f ) a 8 ) d 6 ) b 1 ) e 7 1 ) c ) f 0 16 ) a 6 ) d ) b 6 ) d 0 7 ) c 0 8 )8 e

36 MATEMÁTICAS º ESO 9. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 0 b) 10 0 d) 16 e) 9 18 c)7 1 0 f ) Resuelve estas ecuaciones de segundo grado completas, aplicando la fórmula general. a) c) 0 b) 0 d) Obtén la solución de las ecuaciones. a) c) 1 1 b) 1 d) 1 FIJATE COMO SE HACE CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES EN LAS QUE UN PRODUCTO ES IGUAL A UN NÚMERO? Ejemplo: a) 1 0 b) 1 a) Cuando el número es 0. PRIMERO. Se iguala a cero cada uno de los factores SEGUNDO. Se resuelve cada una de las ecuaciones de de primer grado. Estas serán las soluciones de la ecuación de segundo grado b)cuando el producto es igual a un número distinto de cero. PRIMERO. Se realiza el producto se agrupan los términos en el mismo miembro. 1 0 SEGUNDO. Se resuelve la ecuación de segundo grado resultante

37 MATEMÁTICAS º ESO 1. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 0 d) b) e) c) 7 1 f) 0 FIJATE COMO SE HACE CÓMO SE RESUELVEN ECUACIONES DEL TIPO a b? Ejemplo. n a) 9 b) 9 a) Cuando el término de la derecha es negativo, la ecuación no tiene solución. No eiste ningún número que elevado al cuadrado sea un número negativo. b) Cuando el término de la derecha es maor o igual que cero se procede de esta manera: PRIMERO. Se calcula la raíz cuadrada en los dos miembros, teniendo en cuenta el signo positivo negativo de su resultado. 9 9 SEGUNDO. Se resuelve cada una de las ecuaciones de primer grado que resultan Halla la solución de las ecuaciones. a) 0 c) 6 e) 8 0 b) 9 0 d) f ) Determina un número, de forma que la suma de su triple cuatro veces el número sea La suma de dos números es uno de ellos es la cuarta parte del otro. Halla los números. 16. La suma de tres números es 0. El primero es el doble del segundo el segundo es el triple del tercero. Calcula dichos números. 6

38 MATEMÁTICAS º ESO 17. Encuentra dos números sabiendo que suman 0 se diferencian en 6 unidades. 18. La edad de Pablo es doble de la de su hermana María más dos años. La suma de las edades de los dos es de 17 años. Cuántos años tiene cada uno? 19. La suma de tres números consecutivos es igual al doble del maor más 1. Calcula los números. 0. La abuela de Víctor tiene 61 años. Esta edad es el triple de la edad de su nieto más años. Cuál es la edad de Víctor? 1. El doble de un número el triple del siguiente suman. Cuál es el número?. Un traecto en tai cuesta,0 de bajada de bandera 1,0 por cada kilómetro. Si pagamos 1, qué distancia hemos recorrido?. Un poste esta pintado de negro, rojo amarillo. La parte pintada de negro es / del poste, la parte pintada de rojo es ½ de la pintada de negro, los 8 cm restantes están pintados de amarillo. Cuánto mide cada parte?. Para vallar un terreno rectangular se han necesitado 0 metros de valla. Si el ancho del campo es la tercera parte del largo, cuánto miden el ancho el largo?. En la primera quincena del mes, una tienda de cómics vende la mitad de los que tenía a la venta. En la segunda quincena vende la mitad de los que vendió en la primera. Le quedan sin vender 10 cómics. Cuántos cómics tenía a la venta? 6. Si al doble de un número le sumamos su tercera parte, obtenemos el triple de ese número menos 1 unidades. Cuál es ese número? 7. El producto de dos números consecutivos es 1. Cuáles son esos números? 8. Olga tiene cinco años menos que su hermano. Dentro de dos años, la edad de Olga será la mitad de la de su hermano. Cuántos años tiene cada uno? 9. La revista del colegio propone a Nuria escribir un artículo sobre ecología. Le dicen que dispone de páginas con columnas cada una. Nuria decide dedicar a reciclaje el doble de columnas que a la introducción, a las energías renovables, una columna más que a la introducción. Cuántas columnas dedica a cada apartado? 0. Halla tres números impares consecutivos cua suma valga Al dividir un número aumentado en 16 por dicho número se obtiene 9 como cociente eacto. Cuál es dicho número? 7

39 MATEMÁTICAS º ESO. Un viajero hace un traecto en tres etapas. En la primera recorre un cuarto del traecto ; en la segunda, la mitad del traecto que queda, en la tercera, 60 km. Cuántos km tiene el traecto?. Una pastelería quiere preparar pasteles mezclando caramelos de naranja de el kilo con 8 kilos de caramelos de limón de el kilo. Cuántos caramelos de naranja tiene que utilizar para que el kilo de la mezcla salga a?. Un acuario tiene doble capacidad que otro. Están llenos de agua, si se sacan 0 litros de agua de cada uno, en uno queda triple cantidad de agua que en otro. a) Cuál es la capacidad de los acuarios? b) Cuál es la cantidad de agua que queda en cada recipiente?. Mezclamos 0 litros de aceite de,60 el litro con 70 litros de otro aceite de,0 el litro. Qué precio debe tener el litro de la mezcla? 6. En una clase de º de ESO, la cuarta parte de los alumnos cursa recuperación de matemáticas,; la tercera parte, recuperación de lengua, los 10 restantes cursan francés. Cuántos alumnos ha en la clase? 7. El perímetro de la base de un depósito rectangular es de 10 metros. El ancho de la base es la cuarta parte del largo. Cuánto tiene que medir la altura del depósito para que su capacidad sea de 8 metros cúbicos. 8. Un autobús sale de una ciudad con una velocidad constante de 80 km/h. Al cabo de una hora sale desde la misma ciudad en la misma dirección un coche con una velocidad de 100 km/h. Cuándo se juntarán? 9. El suelo de un habitación es rectangular. Un lado del suelo es metros maor que el otro. La altura de la habitación mide, metros, el volumen es de 7, m. Calcula los lados del suelo. 0. Si a un número se le suma 1 el resultado se multiplica por, da 7. Cuál es dicho número? 1. El perímetro de un triángulo isósceles mide 81 cm. Si cada uno de los lados iguales mide el cuádrupleque el lado desigual, cuánto miden los lados del triángulo?. Dos números decimales se diferencian en unidades. Si su producto es 8, Cuáles son esos números? 8

40 MATEMÁTICAS º ESO MÁS ECUACIONES DE 1 ER GRADO 1. Resuelve las siguientes ecuaciones quitando para ello el paréntesis antes: a) ( 7) = ( 1) b) ( ) + ( + 6) = 10 (6 + ) c) + 8 = ( + 6) 7 d) 10( ) = 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) ( ) 10 = c) ( 6) 10 = ( ) d) ( ) 6 ( 1) = ( ). Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 6 b) c) 1 7 d) e) 10 6 f) 9 6 g) 1 h) i) 9 7 j) k) 1 7 m) ñ) p) 1 6. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + 16 = 1 b) = c) + = 9 d) ( ) + 9 = 0 e) = + 1 ( 0) f) + ( + ) = 6 l) n) o) q)

41 MATEMÁTICAS º ESO g) ( ) ( + ) = 8 h) (1 + ) = 1 + i) ( ) ( ) = 17 8 j) (1 ) = k) () ( ) = l) 6 = ( ) 7 ( ) m) ( 6) [( ( 8) + ) 1] = ( ) n) ( ) = ñ) ( + ) = + 8. Resuelve las siguientes ecuaciones (con solución): Nº ECUACIÓN SOLUCIÓN 1 + = - - ( + 1) = ( - 1) + = - = - (1 - ) - (1 - ) = - (1 + ) = = ( - ) (1 - ) + = 1 ( - ) ( - ) (1 - ) - = = (1 - ) - ( + ) ( - ) + - = = ( + 1) + - = - - ((1 - ) + ( - )) = = 1-7 = = -1 9 = 6 1 = 7 = 11 9 = = - 0 = = 0

42 MATEMÁTICAS º ESO ( + ) - ( - 1) = ( + ) 1 = - MÁS ECUACIONES DE º GRADO 6. Resuelve las siguientes ecuaciones (con solución): a) b) c) d) 8 0 e) f) 1 0 g) 7 0 h) i) 10 0 j) 0 k) l) (Sol: a), b) 9 90 l) 1, c) d)no tiene e) f) 1, 1 g) Resuelve las siguientes ecuaciones (con solución): a) 11 1 b) d) 1 1 e) g) 1 1 h) h) i), 1 j), 1 k) c) , 1 f) i) 1 (Sol: a) 7, b) 0 c)11 d) 1 1, e) 1 7 f), g)1, h) 1, i) no tiene) 1

43 MATEMÁTICAS º ESO 8. Resuelve las siguientes ecuaciones (con solución proceso):

44 MATEMÁTICAS º ESO ECUACIONES DE º GRADO INCOMPLETAS 9. Resuelve las siguientes ecuaciones (con solución): a) 0 b) 0 c) 9 0 d) 9 0 e) 0 f) g) 8 h) 9 0 i) 1 0 j) 6 10 k) 1 8 l) 11 0 m) 1 0 n) 77 (Sol: a) 0, 1 b) 0 c) d) / e) 0, f) 0, g) h) 0, 9

45 MATEMÁTICAS º ESO 10. Resuelve las siguientes ecuaciones: i) 1 j) k) / l) 0, 11 m) 0, n) a) - 16 = 0 b) - 17 = 0 c) - 1 = 0 d) 7 = e) = f) - = 10 g) + 1 = 0 h) 7-8 = Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + 7 = 0 b) - 6 = 0 c) - 0 = 0 d) 9 = 0 e) = f) + 7 = 0 g) 7 = h) 6 + = 0 MIX 1) ( ) ( ) = 8 ) ( + )( ) = 11 ) (7 + ) + (7 ) = 10 ) ( )( ) ( 1)( ) = 0 ) ( )( ) ( 7)( ) = 1 6) 8( ) = (8 ) 6 7) 7 8) 9) = 0 10) 6 + = 0 11) + a = 0

46 MATEMÁTICAS º ESO 1) ( )( ) = 6 1) ( )( + ) = ) ( + 6)( 6) = ( + 9)( ) 1) ( + ) 8 9 = 0 16) ( + ) + ( ) = ( + ) 17) ( + 1) = ( + 1) + ( ) 18) 18 19) 0) = 0 1) 96 = 0 ) 17 + = 0 ) 7 10 = 0 ) + 6 = 0 ) = 0 7 6) 10 = 0 7) = 0 1 8) ) 0 0) 1) ) 1 ) + a 1a = 0 ) a + 6a = 0 7 ) 8

47 MATEMÁTICAS º ESO Respuestas: 1) 7-7 ) - ) - ) - ) 6-6 6) - 7) 6-6 8) 1-1 9) 0 10) ) 0 a 1) 0 1) 0 6 1) 0 1) 0 16) ) ) 0 9 1) 1-8 ) 1 ) -8 1 ) - 7) ) a -6a ) 9 19) 0 7 ) ) ) 8) 9) ) 1-6 1) - ) 19 MÁS PROBLEMAS 1. Qué número ha que sumar a 1 para obtener 7?. Averigua un número, sabiendo que si a su triple se le restan 10 unidades se obtiene el número aumentado en unidades.. Se multiplica por al resultado de disminuir un número en unidades, de modo que da 1. De qué número se trata?. Halla dos números sabiendo que uno de ellos es el doble del otro, que entre los dos suman.. Un lápiz un bolígrafo valen juntos 17. Cuánto vale cada uno si el bolígrafo vale 7 más que el lápiz? 6. En una clase los aprobados son 1 más que los suspensos. Si son un total de 1 alumnos en la clase, cuántos aprobados cuántos suspensos ha? 7. Halla el lado de un triángulo equilátero si su perímetro es 7 m. 8. Calcula lo que miden los lados de un triángulo cuo perímetro es de 18 cm, si sabemos que el segundo lado es el doble que el primero, el tercer lado cm menos que el segundo. 6

48 MATEMÁTICAS º ESO 9. Halla las dimensiones (cuánto mide cada lado) de un rectángulo, si su perímetro es de 0 m la base mide 7 m más que la altura. 10. Nerea se sube a una báscula junto con sus dos hijos (Ricardo Juan) marca 87 kg. Averigua el peso de cada uno si sabemos que Ricardo pesa kg más que Juan Nerea el doble que Juan Ricardo juntos. 11. Dos números enteros consecutivos suman 1. Cuáles son? 1. Di tres números consecutivos tales que el maor es el doble del pequeño 1. La suma de tres números pares consecutivos es 7. Calcula dichos números. 1. Al sumar tres números impares consecutivos obtenemos 99. Hállalos. 1. En una reunión se sabe que ha el triple de mujeres que de hombres, cuatro veces más niños que hombres. Cuántos hombres, mujeres niños ha? 16. En un cesto ha 00 piezas de fruta. Se sabe que ha veces más naranjas que manzanas el doble de peras que de manzanas naranjas juntas. Cuántas frutas ha de cada clase? 17. Un padre tiene 6 años su hijo 7. Dentro de cuánto tiempo será la edad del padre el doble de la de su hijo? 18. Halla el área de un triángulo rectángulo sabiendo que su hipotenusa vale 1 cm que la suma de los catetos es 1 cm. 19. Un campo rectangular tiene.00 m de superficie 0 m más de longitud que de anchura. Halla sus dimensiones. 0. El perímetro de un rectángulo es 0 cm su área es 96 cm. Cuáles son sus dimensiones? 1. Halla tres números ENTEROS consecutivos cuo producto sea igual a su suma.. Cuál sería la solución del problema anterior si se pidieran números NATURALES?. Si disminuimos m cada lado de un cuadrado se obtiene otro cuadrado cua área es 6 m más pequeña que la del cuadrado primitivo. Cuáles eran las dimensiones primitivas de este cuadrado?. Al añadir a un número unidades multiplicar por sí mismo el valor resultante, se obtiene 100. Calcula dicho número. 7

49 MATEMÁTICAS º ESO. La diferencia de dos números es la suma de sus cuadrados es 117. Cuáles son esos números? 6. La suma de dos números es 1 su producto es 6. Cuáles son dichos números? 7. La edad de un niño será dentro de años el cuadrado de la que tenía hace años. Halla los años que tiene ahora. 8. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 1 cm uno de los catetos mide cm. Calcula el otro cateto la hipotenusa. 9. Un campo rectangular mide.800 m su perímetro tiene una longitud de 0 m. Halla las dimensiones de la finca. 0. Aumentando un lado de una plaza cuadrada en 8 m el lado contiguo en 1 m, se obtendría una plaza de doble área que la dad. Halla el lado de la plaza. 1. Las medidas de los lados la diagonal de un rectángulo son tres números pares consecutivos. Halla las dimensiones del rectángulo.. Calcula dos números cua suma es 10, la de sus cuadrados es. SOLUCIONES (problemas 18 al ) El área es cm El campo mide 0 m de ancho 60 m de largo Los lados miden 8 cm 1 cm Podrían ser, 1, ó bien, 1 Sólo los números, 1 serían válidos El lado del cuadrado era 1 m El número podría ser el 7 ó el 1 Los números podrían ser el 9 el 6, ó bien, el 6 el 9 Los números son 1 Ahora tiene 6 años El otro cateto mide cm la hipotenusa cm El campo mide 0 m de ancho 70 m de largo El lado de la plaza cuadrada mide m Los lados del rectángulo miden 6cm 8 cm Los números son el el 6 8

50 MATEMÁTICAS º ESO TEMA 10 SISTEMAS DE ECUACIONES Objetivos 1. Conocer, entender emplear con habilidad los métodos de sustitución, igualación reducción en sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.. Planteamiento resolución de problemas empleando como herramientas los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.. Iniciarse de forma intuitiva en las posibles soluciones matemáticas de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas (sistema compatible determinado, sistema compatible indeterminado o sistema incompatible). Criterios De Evaluación de la Unidad 1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales de incógnitas empleando indistintamente los métodos de sustitución, reducción e igualación.. Resolución de problemas de geometría, números, cálculos con costes mercancías, repartos etc empleando los sistemas de ecuaciones como herramientas.. Entender las soluciones de los sistemas de ecuaciones interpretarlas para dar solución a un problema planteado. 9

51 MATEMÁTICAS º ESO INDICE 1. Sistemas de ecuaciones 1.1 La ecuación lineal con dos incógnitas 1. El sistema de ecuaciones. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.1 Resolución por SUSTITUCIÓN. Resolución por IGUALACIÓN. Resolución por REDUCCIÓN. Resolución de problemas por sistemas de ecuaciones 0

52 MATEMÁTICAS º ESO 1 SISTEMA DE ECUACIONES 1.1 La ecuación lineal con dos incógnitas Una ecuación de 1º grado con dos incógnitas, X Y se llama Ecuación Lineal con dos incógnitas tienen la siguiente forma; a + b = c Se le llama ecuación lineal porque una ecuación de primer grado con dos incógnitas es la ecuación general de una recta. a + b = c Coeficientes de las incógnitas Término independiente a b se llaman coeficientes, c es el término independiente - Coeficientes: son los números o fracciones que acompañan a la incógnita incluendo su signo. (como sabemos si no ha se considera que es el 1 ). p.e. en la epresión = 8 son el el p.e. en la epresión 7 = 10 son el -7 el - - Términos independientes: son los números o fracciones que no acompañan a ninguna de las dos incógnitas (incluendo su signo) p.e. en la epresión = 8 es el 8. p.e. en la epresión 7 = 10 es el 10. Una solución para una ecuación con dos incógnitas son dos valores, uno de X uno de Y, para los cuales se cumple la ecuación. p.e. en la epresión + = 1 podemos ver fácilmente que si = 1 = la ecuación se cumple; a que (1) + () = = 1. 1

53 MATEMÁTICAS º ESO Aun así cabe destacar que una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. Es decir para un valor cuales quiera dé eiste otro valor de que cumple la ecuación. 1. Sistemas de Ecuaciones. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por dos ecuaciones lineales donde las dos incógnitas representan los mismos valores. Se suele epresar así; a + b = c { a + b = c Estas dos ecuaciones tienen las mismas incógnitas "" "", cada una tiene diferentes coeficientes términos independientes (por ello los distinguimos como a a, b b, c c ). + = p.e. { + = 6 + = 11 p.e. { + = 0 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES Hasta ahora hemos visto que es una ecuación lineal, que es un sistema ( ecuaciones) que es un par de soluciones de un sistema. Ahora abordaremos la forma de resolver los sistemas obtener los valores. Básicamente dentro del programa de este curso diremos que eisten tres métodos de resolución de sistemas de ecuaciones;

54 MATEMÁTICAS º ESO - Sustitución - Igualación - Reducción.1 Método de resolución por SUSTITUCIÓN Consiste en despejar o calcular el valor de una incógnita, en una de las ecuaciones sustituirla en la otra. Se realiza de la siguiente forma: 1º: Elegimos una de las ecuaciones una de las incógnitas la despejamos. º: En la otra ecuación, sustituimos la incógnita elegida, por lo que nos salió en el paso 1º, nos sale una ecuación con una sola incógnita. º: Resolvemos la ecuación que nos ha salido en el º paso. º: Se sustitue el valor obtenido en una de las ecuaciones iniciales, también podemos sustituir en el resultado del paso 1º, nos sale una ecuación con una incógnita, que se resuelve a tenemos la solución de la otra incógnita. p.e.. Resolver por sustitución + = { 9 = 1º: Elegimos la 1º ecuación escogemos la incógnita, que la despejamos en la 1ª ecuación [1] + = despejamos la [1] = º: Sustituimos en la ª ecuación, la incógnita, por el valor obtenido en el paso [1] = [] 9 = ; 9 ( ) = ahora a no ha incógnitas º: Resolvemos la ecuación que nos ha salido en el paso anterior,

55 MATEMÁTICAS º ESO [] 9 ( ) = [] 9 ( ) = = = = 10 = 10 1 = = a tenemos una solución º: Sustituimos el valor de, en una de las dos primeras ecuaciones la resolvemos (elegimos la ª) [] 9 = ; 9 ( 18 ) = = 6 = 6 = = 6 = = = ; = la otra solución La solución del sistema es: = =, se puede epresar como (, ).. Método de resolución por IGUALACIÓN Este método consiste en despejar el valor de una misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar los resultados obtenidos. Se realiza de la siguiente forma: 1º: Se elige una incógnita se despeja en las dos ecuaciones. º: Si cogemos, como =, o si escogemos, como = ; las dos epresiones que hemos obtenido, son también iguales, por lo tanto, las igualamos nos sale una ecuación con una sola incógnita, que resolvemos a tenemos la solución de la otra incógnita. º: Sustituimos el valor de la incógnita que hemos resuelto en el paso º, en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales, o en el resultado obtenido en el paso 1º,

56 MATEMÁTICAS º ESO nos sale una ecuación con una sola incógnita, que resolvemos a tenemos la solución de la otra incógnita. + = p.e. Resolver por Igualación { + = 6 1º: Elegimos una incógnita la despejamos en las dos ecuaciones. Elegimos la Despejamos la en la primera: Ahora despejamos la en la º: [1] + = ; [1] [] + = 6; [] = = 6 º: Igualamos las dos epresiones tenemos una ecuación con una sola incógnita, que resolvemos: [1] = [] (por que así decimos que = 6 vale lo mismo en ambas ecuaciones) Despejamos la Y = 6 ( ) = 6 Operamos 1 6 = 6 ; trasponemos 6 = 6 1 Reducimos resolvemos = 6 = 6 tenemos una solución º: sustituimos el valor de en una de las ecuaciones iniciales o en alguno de los resultados del paso 1º. Elegimos el primer resultado del paso 1º: [1] = [1] = = (6) = 8

57 MATEMÁTICAS º ESO La solución del sistema es: = 8 = 6 ó ( 8, 6 ). Método de resolución por REDUCCIÓN El método de Reducción consiste en eliminar una de las dos incógnitas sumando las dos ecuaciones. Se realiza de la siguiente forma: 1º: Se elige una incógnita se multiplican los dos miembros de la 1ª ecuación por el coeficiente que tenga la incógnita escogida en la ª ecuación. Nos sale una ecuación. º: Multiplicamos los dos miembros de la ª ecuación por el coeficiente que tenga la incógnita escogida, en la 1º ecuación, pero cambiando de signo. Nos sale otra ecuación. º: Sumamos las dos nuevas ecuaciones, término a término nos sale una ecuación que sólo tiene una incógnita º: Se resuelve la ecuación obtenida en el paso anterior tenemos el valor de la incógnita. º: Se sustitue el valor obtenido en una de las ecuaciones iniciales volvemos a obtener una ecuación con una sola incógnita. Se resuelve a tenemos la solución de la otra incógnita p.e.. Resolver por reducción: + 9 = 1 { = 1 1º: Elegimos una incógnita para eliminarla: elegimos la. El coeficiente de en la ª ecuación es 6; ahora multiplicamos la 1ª ecuación por 6: 6 [1] 6( + 9 = 1) [1] + = 8 (es equiv) Ahora necesitaríamos que el término de la en la ecuación [] fuera de forma que se anularan. º: El coeficiente de en la 1ª ecuación es, lo empleamos para multiplicar a la ª ecuación. Pero cambiándole el signo:.[] (6 + 9 = 1) [] + 8 = 1 (es equiv) 6

58 MATEMÁTICAS º ESO º: Sumamos las dos nuevas ecuaciones, término a término. + = = 1 + / 8 = 16 Ahora solo ha una incógnita º: Se resuelve; 8 = 16; = 16 = = a tenemos una solución 8 º: Sustituimos en una de las dos primeras ecuaciones el valor de, para resolver la ecuación que sale: [1] + 9 = 1; si = + 9 () = = = 1 = 1 18 = = = 1 La solución del sistema es: = 1 = ó (1, ) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES Para resolver problemas con sistemas, debemos tener en cuenta las siguientes normas: 1ª: Lectura atenta comprensiva del enunciado ª: Determinar las incógnitas, que llamaremos e. (Si ha más datos conocidos se representan según su relación con ellas). ª: Planteamiento del sistema, obteniendo dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, que forman el sistema. 7

59 MATEMÁTICAS º ESO ª: Resolver el sistema por cualquier método. ª: Comprobar que las soluciones obtenidas, cumplen con todas las condiciones del problema. Es mu importante pensar bien las ecuaciones relacionarlas con el enunciado. Habitualmente, aunque no es así siempre, una frase con datos en el problema se corresponde con una ecuación, por lo que es habitual que haa dos frases con datos para generar dos ecuaciones. De todas formas ha que leer con atención pues no ha una regla fija la información puede aparecer salteada, lo primero es comprender luego a buscaremos las ecuaciones. Lo que si es decisivo es que debemos generar ecuaciones lo más sencillas posibles que cumplan o encajen con el enunciado, una ecuación complicada aunque sea válida puede llevarnos a cometer más fallos que otra más sencilla en su resolución. Puede ocurrir que determinados problemas puedan resolverse con un sistema de ecuaciones pero también con una ecuación de primer grado, en ese caso ha que valorar si las ecuaciones planteadas representan las afirmaciones del enunciado en ese caso es conveniente escoger la más sencilla. p.e El doble de un número más la mitad de otro suman 7;, si sumamos 7 al primero de ellos, obtenemos el quíntuplo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones resuélvelo para hallar dichos números. 1. Datos: Toda la primera frase del problema. Incógnitas: Escogemos = primer número ; = segundo números. Planteamiento del sistema: El doble del primero + la mitad del segundo = 7 ; + = 7 El primero +7= El segundo ; + 7 =. Resolver el sistema 8

60 MATEMÁTICAS º ESO [1] la podemos simplificar si la mult por ; + = 7 + = 1 Decidimos resolver por sustitución, despejamos [1] = 1 + = 1 Tendremos por tanto el siguiente sistema { + 7 = Sustituimos la de [1] []; + 7 = + 7 = (1 ) + 7 = (1 ) + 7 = = 6 = 6 1 = =, ahora sustituimos por ejemplo en [1] sacamos ; [1] + = 1 + = 1 = 1 1 = = El primer número será el el segundo el. Comprobar soluciones [1] + = 1 + = 1 1 = 1 cumple! [] + 7 = + 7 = 10 = 10 cumple!! A continuación vemos algunos ejemplos de resolución de problemas: p.e. En un corral ha animales entre conejos gallinas. Sumando en total 170 patas. Cuántas gallinas conejos ha? 6. Datos: Ha animales de (gallinas) de patas (conejos). Suman en total 170 patas 7. Incógnitas: Escogemos = nº de gallinas ; = nº de conejos 8. Planteamiento del sistema: nº de gallinas + nº de conejos = ; + = Nº de patas de gallinas + nº de patas de conejos = 170. Si son las gallinas, sus patas, serán. si son los conejos, sus patas serán, luego: + = 170 9

61 MATEMÁTICAS º ESO + = El sistema es: { + = 170 Resolvemos el sistema (p.e. por sustitución) + = = sustituimos en [] [] [1] + = 170 ( ) + = = 170 = 60 = 60 = 0 = 0 Si = 0 sustituimos en [1]; = = 0 = Respuesta: ha gallinas 0 conejos. Comprobar resultado { + = + 0 = = cumplen!! + = 170 () + (0) = =

62 MATEMÁTICAS º ESO 61 TEMA 10 SISTEMAS DE ECUACIONES 1. Son los valores =-, = -1 solución de estos sistemas de ecuaciones? a) c) b) d). Resuelve por el método de sustitución los sistemas de ecuaciones siguientes. a) d) g) b) e) h) c) f) i). Resuelve por el método de sustitución.. Resuelve por el método de igualación.. Resuelve estos sistemas por igualación ) a 0 6 ) d 1 ) g 1 1 ) b 7 ) e 8 6 ) h ) c ) f ) i 1 ) a 0 7 ) c 1 ) e 8 1 ) b 0 16 ) d ) f

63 MATEMÁTICAS º ESO 6 6. Resuelve por el método de reducción. a) d) g) b) e) h) c) f) i) 7. Resuelve por reducción. 8. Haz las operaciones con las ecuaciones de cada sistema elige el método para resolverlas. 9. Resuelve por el método que prefieras. e) b) d) f) 10. Ana tiene cromos más que Juan entre los dos suman 9 cromos. Cuántos cromos tiene cada uno? 1 7 ) a 7 6 ) c 7 ) e ) b 1 ) d 9 11 ) f ) a 0 ) c ) e 1 ) b 6 ) d 1 6 ) f ) a ) c b 6 ) d 1 9 ) ) a ) c

64 MATEMÁTICAS º ESO 11. En la clase de Alba ha 1 alumnos, siendo 7 chicos más que chicas. Cuántos alumnos alumnas ha en la clase? 1. María lleva en el monedero varias monedas de 0 céntimos. Di cuántas monedas tiene de cada tipo si son doce monedas suman un total 1,0 1. En un taller, el número de coches es igual al doble del número de motos más. Calcula el número de coches motos si en total ha 8 ruedas. 1. Por un desierto avanza una caravana formada por camellos dromedarios, con un total de 0 patas 160 jorobas. Cuántos camellos dromedarios ha en la caravana? 1. Berta recibe el doble de dinero que su hermana como paga semanal, entre las dos suman 0. Cuál es la paga de cada una? 16. Una empresa de refrescos ha envasado.000 litros en.000 botellas de 1, l l. Cuántas botellas ha empleado de cada clase? FIJATE EN EL EJEMPLO CÓMO SE PLANTEAN LOS PROBLEMAS DE EDADES MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES? Ejemplo. Calcula las edades de una madre su hija, sabiendo que hace años la edad de la madre era triple que la de la hija, que dentro de 8 años será el doble. PRIMERO. Se identifican las incógnitas. Edad de la hija Edad de la madre SEGUNDO. Se indican los datos del problema. Hija Madre Hace años Actual Dentro de 8 años 8 8 TERCERO. Se escriben las ecuaciones. -Hace años la edad de la madre era el triple que la de la hija -Dentro de 8 años será el doble 8 8 6

65 MATEMÁTICAS º ESO 17. Halla las edades de dos personas si hace 10 años la primera tenía cuatro veces la edad de la segunda, dentro de 0 años la edad de la primera será el doble que la de la segunda 18. Pablo tiene 8 años su hermana, años. Al cabo de cuántos años la edad de Pablo será el doble que la de su hermana? 19. Tomás es años maor que Elena, dentro de 10 años, La edad de Tomás será / de la de Elena. Qué edad tiene Tomás? 0. En un estante ha 0 CDs de música Rock de música clásica. De los primeros ha 6 discos más que de los otros. Calcula su número utilizando un sistema de ecuaciones. 1. Ana Marta han creado una sociedad de servicios informáticos. En una semana ingresan entre las dos. Ana ha ingresado 10 más que Marta. Cuánto ha ingresado cada una?. Dos recipientes contienen litros de agua entre los dos. Si de uno de ellos se trasvasan 6 litros al otro, ambos llegan a contenerla misma cantidad de agua. Calcula cuántos litros contiene cada recipiente.. La suma de dos números es, su diferencia 19. Cuáles son estos números?. Un eamen consta de varios problemas de álgebra de geometría. Marta resuelve bien problemas de álgebra de geometría, obteniendo una puntuación de 8 puntos. Abel resuelve bien problemas de álgebra de geometría, obteniendo una calificación de 7 puntos. Si los problemas de un mismo tipo tienen la misma puntuación, Cuántos puntos vale cada problema?. En un cajón de una papelería guardan dos tipos de bolígrafos: ha cajas con 1 bolígrafos azules cajas con 16 bolígrafos rojos. En total ha 10 cajas 1 bolígrafos. Cuántas cajas ha de cada clase? 6. En una frutería Fernando ha comprado kilogramos de manzanas de naranjas por 8, mientras que Teresa ha comprado 6 kilogramos de manzanas de naranjas por 18. Cuánto cuesta el kilogramo de manzanas el de naranjas? 7. Un fabricante construe armarios de dos categorías diferentes: de 00 de 600 en una semana construe 16 armarios cuo coste total es de Cuántos armarios construó de cada clase? 6

66 MATEMÁTICAS º ESO 8. La suma de dos números es 1. Añadiendo 1 al maor se obtiene el doble del menor. Cuáles son los dos números? 9. La edad de una madre es el cuádruplo de la de su hijo. Dentro de 0 años, la edad de la madre será el doble que la de su hijo. Qué edad tiene cada uno? 0. Ho la edad de un padre es el triple de la de su hija, pero hace 6 años era veces más. Cuántos años tiene ho el padre su hija? 1. Una empresa distribuidora de café mezcla dos variedades: una de 11 /kg otra de 10,0 /kg. Se desea obtener 00 kg de mezcla a 10,0 /kg. Cuántos kilogramos de cada variedad ha que emplear?. Encuentra dos números que cumplan las siguientes condiciones: si se añade al primero, se obtiene el segundo, añadiendo al segundo, se obtiene el doble del primero.. El perímetro de un rectángulo mide 8 cm, el largo es / del ancho. Calcula las dimensiones del rectángulo.. En un garaje ha 7 vehículos entre coches motos, que suman un total de 10 ruedas. Cuántos coches cuántas motos ha en el garaje?. Un grupo de amigos plantea una ecursión a la montaña. Llaman a un albergue para preguntar cuántas habitaciones ha. La persona que les atiende dice que ha 70 camas disponibles repartidas en 9 habitaciones, que las habitaciones son dobles triples. Cuántas habitaciones ha de cada tipo? 6. El largo de un cartel publicitario es de 1, metros maor que su ancho. Si el largo aumentara en 0, metros el ancho en 0,7 el área aumentaría en metros cuadrados. Calcula las dimensiones del cartel. 7. La suma de las tres cifras de un número capicúa es 8. La suma de la cifra de las unidades la de las centenas es igual a la de las decenas. Calcula el número. 8. Las edades de Pablo, Elena Gema suman años. Elena tien 1 años más que Pablo, Gema tiene la tercera parte de los años de Elena. Cuántos años tiene cada uno? 9. Halla dos números tales que la suma del doble del primero aumenttado en el quíntuplo del segundo sea 101, la suma del cuádruplo del primero del triple del segundo sea111. 6

67 MATEMÁTICAS º ESO TEMA 11 FUNCIONES Objetivos 1. Interpretar relaciones funcionales sencillas dadas en forma de tabla, gráfica, a través de una epresión algebraica o mediante un enunciado.. Comprender el concepto de dominio recorrido, continuidad discontinuidad de una función.. Comprender los conceptos de crecimiento decrecimiento, así como de máimo mínimo local.. Reconocer situaciones reales en las que aparezcan funciones de proporcionalidad directa. Identificar funciones lineales, distinguiendo la pendiente la ordenada en el origen. 6. Reconocer las características la gráfica de una función de proporcionalidad inversa Criterios De Evaluación de la Unidad 1. Construir e interpretar gráficas dadas por tablas o fórmulas.. Reconocer e interpretar enunciados que correspondan a funciones sencillas de la vida cotidiana.. Identificar las variables dependiente e independiente.. Describir el dominio el recorrido de una función a través de su gráfica.. Estudiar la continuidad de una función, indicando los puntos de discontinuidad 6. Estudiar el crecimiento decrecimiento de una función a través de su gráfica. 7. Reconocer los máimos mínimos locales de una función a través de su gráfica. 8. Hallar la epresión de una función de proporcionalidad directa identificando la pendiente 9. Calcular los parámetros de una función lineal 66

68 MATEMÁTICAS º ESO 10. Representar funciones lineales 11. Determinar rectas paralelas a una dada 1. Indicar si una función lineal es creciente o decreciente 1. Hallar la epresión de una función de proporcionalidad inversa 1. Representar una función de proporcionalidad inversa 67

69 MATEMÁTICAS º ESO INDICE 1. Coordenadas cartesianas. Fórmulas, tablas gráficas. Funciones, dominio recorrido 1.1 Concepto de función 1. Dominio recorrido. Representación gráfica.1 De la tabla a la gráfica. De la fórmula a la gráfica. Puntos de corte con los ejes Continuidad discontinuidad Crecimiento decrecimiento 6 Máimos mínimos 7 Funciones de proporcionalidad directa 8 Función afín 8.1 Pendiente ordenada en el origen 9 Recta paralelas 9.1 Paralelas a los ejes de coordenadas 10 Funciones de proporcionalidad inversa 68

70 MATEMÁTICAS º ESO 1 COORDENADAS CARTESIANAS Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos rectas perpendiculares numeradas, un horizontal otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. El punto de corte de los ejes se llama origen de coordenadas se representa por O. El eje horizontal se llama eje de abscisas o Eje X. El eje vertical se llama eje de ordenadas o Eje Y. Los puntos del plano se indican dando sus dos coordenadas P(,). La coordenada X, es la abscisa la coordenada Y es la ordenada. FÓRMULAS, TABLAS Y GRÁFICAS Si dos magnitudes son dependientes, las podemos epresar mediante una fórmula, una tabla, /o una gráfica. La magnitud que se fija previamente es la variable independiente. La magnitud que se deduce de la otra es la variable dependiente. Ejemplo: Si consideramos que la tarifa correspondiente al consumo de agua de uso doméstico es de 1,6 por cada m de agua, podemos construir la tabla de valores la gráfica siguientes. 69

71 MATEMÁTICAS º ESO La línea obtenida (en verde) al unir todos los puntos representados es la gráfica de esta dependencia. Como el precio de cada m es de 1,6 / m, si representamos por P el importe por n los m, obtendremos la fórmula de la dependencia estudiada: P = 1,6 n FUNCIONES. DOMINIO Y RECORRIDO.1 Concepto de función Una función es una relación entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la variable independiente le corresponde, como máimo, un único valor de la variable dependiente, que llamamos imagen. La variable independiente se suele denotar con la letra X, la variable dependiente con la letra Y o también f(). Por ejemplo: Un médico dispone de horas al día para atender a sus pacientes el número máimo de pacientes que puede atender en un día es de. Por tanto, el tiempo que puede dedicar a cada paciente depende del número de visitas. Eiste una relación de dependencia entre el número de pacientes el tiempo empleado en atenderlos. Lo vamos a epresar en la tabla de valores: Observa que las magnitudes número de pacientes tiempo de visita varían si valor en cada casilla. Por ello, estas magnitudes se llaman variables. Si llamamos a la variable número de pacientes e a la variable tiempo de visita, tenemos que: La variable puede tomar valores que son los números naturales hasta el. Los valores de la variable dependen de los valores de la variable. 70

72 MATEMÁTICAS º ESO A cada valor de la variable le corresponde un único valor de la variable. Por ello, se denomina variable independiente e es la variable dependiente. Decimos que el tiempo de visita () en minutos está en función del número de pacientes () se puede simbolizar por: = f(). Dominio recorrido El dominio de una función es el conjunto de los valores que toma la variable independiente. Se representa como D(f). El recorrido o imagen es el conjunto de valores que toma la variable dependiente. Se representa como R(f). DOMINIO: Todos los elementos del grupo naranja. D(f)=(1,,,,, 6) 1 6 a b c d e f RECORRIDO: Todos los elementos azules a los que les corresponden un elemento del grupo naranja. R(f)=(a, b, d, e, f) En este ejemplo, podéis ver que a cada elemento del grupo naranja le corresponde un elemento el grupo azul. Pero sin embargo ha un elemento en el grupo azul, que no está en el recorrido porque no es imagen de ningún elemento del grupo naranja. 71

73 MATEMÁTICAS º ESO REPRESENTACIÓN GRÁFICA.1 De la tabla a la gráfica Si la relación entre dos magnitudes viene dada por una tabla, se representa cada par de valores sobre los ejes de coordenadas se obtienen unos puntos con los que se formará la gráfica. Por ejemplo: Lucas tiene en su casa un tortuguita. Todos los meses anota lo que mide en una tabla luego ha dibujado una gráfica.. De la fórmula a la gráfica Para dibujar la gráfica, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Construimos una tabla.. Representamos los puntos obtenidos colocando los valores de la variable independiente sobre el eje de abscisas, los valores de la variable dependiente, sobre el eje de ordenadas.. Estudiamos si tenemos que unir los puntos. 7

74 MATEMÁTICAS º ESO Por ejemplo: Una función f asigna a cada número entero el doble más 1, es decir, =+1. Forma una tabla de valores dibújalos en un eje de coordenadas. No podemos unir los puntos, a que sólo representamos los números enteros.. Puntos de corte con los ejes Para representar la gráfica correctamente es necesario conocer los puntos de corte con los ejes de coordenadas. Los puntos de corte con el eje X tienen la segunda coordenada igual a cero. Son de la forma (a, 0). Los puntos de corte con el eje Y tienen la primera coordenada igual a cero. Son de la forma (0, b). Por ejemplo: Determina los puntos de corte con los ejes de la función =+ 1. Calculamos el punto de corte con el eje de ordenadas. Si 0 Entonces 0 Por lo tanto la gráfica corta el eje de ordenadas en el punto (0,) 7

75 MATEMÁTICAS º ESO. Calculamos el punto de corte con el eje de abscisas. Si 0 0 Entonces 0 1 Por lo tanto la gráfica corta el eje de abscisas en el punto (-1,0) 6. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD Las tarifas del suministro de gas tienen en cuenta la presión proporcionada constan de un importe fijo mensual más un importe variable que depende de los kw h consumidos. La tabla de la derecha muestra las tarifas variables correspondientes a una presión inferior o igual a bares. Consideremos la función que relaciona el importe variable en euros con el consumo anual en kw h para que los usuarios con un consumo anual menor de.000 kw h La epresión algebraica de la función es: f()=0,0 7

76 MATEMÁTICAS º ESO Observa la gráfica de esta función: Observa que la gráfica de la función es continua porque puede dibujarse de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel. Veamos ahora la función que relaciona el importe variable en euros con el consumo anual en kw h para todos los usuarios. La epresión algebraica de la función es: 0, 0 si , 08 si f ( ) 0, 0 si , 00 si Observa que la gráfica de esta función es discontinua porque no se puede dibujar de un solo trazo. 7

77 MATEMÁTICAS º ESO 7. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Observa esta gráfica veamos como estudiar una gráfica: Si os fijáis en esta gráfica, que representa cómo evoluciona la temperatura ambiente en función del tiempo. Mirando de izquierda a derecha, vemos que a partir de las horas, la gráfica va ascendiendo hasta llegar a las 1h donde empieza a descender. En este periodo, de h a 1h, la gráfica es creciente. Una función es creciente en un intervalo si, al aumentar el valor de la variable dentro de este intervalo, aumenta el valor de la variable. Sin embargo, desde las 0h a las h, la temperatura desciende. Por lo tanto en ese periodo la gráfica es decreciente. Una función es decreciente en un intervalo si, al aumentar la variable dentro de este intervalo, disminue el valor de la variable. Además, si os fijáis en el intervalo desde las 16h a las 0h, la temperatura ni sube ni baja, se mantiene constante. Una función es constante en un intervalo si, para todo valor de la variable dentro de este intervalo, la variable no varía. 76

78 MATEMÁTICAS º ESO 8. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Un punto relativo de una función es un punto en donde dicha función ni crece ni decrece, puede ser de dos tipos; - Máimo relativo - Mínimo relativo Máimo relativo: Una función continua presenta un máimo relativo en un punto si a la izquierda del punto la función crece a la derecha decrece. Máimo Relativo Mínimo relativo: Una función continua presenta un mínimo relativo en un punto si a la izquierda del punto la función decrece a la derecha crece. Mínimo Relativo Una función puede presentar varios máimos mínimos relativos. Los máimos relativos están en este ejemplo en el minuto minuto 1, el mínimo relativo en el minuto 1. (En los minutos 10 no ha ni máimos ni mínimos, porque ninguno tiene decrecimiento a un lado crecimiento al otro). 77

79 MATEMÁTICAS º ESO 9. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, la función que las relaciona recibe el nombre de Función Lineal o de Proporcionalidad Directa. Las funciones Lineales o de Proporcionalidad directa cumplen las siguientes características; - son magnitudes directamente proporcionales ( a más, más a menos, menos ). - Su fórmula o epresión algebraica es = m o lo que es lo mismo f() = m, donde m será un número. - m recibe el nombre de constante de proporcionalidad también el de pendiente de la recta. Si m > 0 la función = m será creciente Si m < 0 la función = m será decreciente - Su representación gráfica es siempre una recta que pasa por el origen de coordenadas (0, 0). Siempre habrá un punto =0 =0 en sus tablas se obtendrá al dar el valor 0 a la. Por ello para hacer la representación gráfica nos basta con un punto, porque el otro punto para obtener la recta es el (0, 0). 78

80 MATEMÁTICAS º ESO Ejemplo 1. Ismael ha ido a comprar huevos para hacer una tortilla de patatas. Se ha encontrado con que se van apuntando cada vez más parejas a la cena. Para una tortilla para una pareja, necesita huevos. Construe la gráfica de este problema. X(Tortillas) 1 6 Y((huevos) Representación gráfica de la función de proporcionalidad directa Otros ejemplos son las funciones =, = 1,6, = 7 en estos casos las pendientes son -, -1,6-7 respectivamente. = = 1,6 = 7 Como vemos cuando el valor de la m es maor la función crece más deprisa. Al aumentar el valor de X el valor de Y aumenta. La gráfica de = 7 tiene una pendiente negativa tan bajita (decreciente) que la gradación del eje de la la hemos dispuesto en otra escala para poder ofrecer el dibujo en un tamaño visible comparable con las otras. 79

81 MATEMÁTICAS º ESO Cómo obtener la constante de proporcionalidad la ecuación (fórmula) a partir de una tabla o gráfica? 1. Comprobar que la función representada por la tabla es una función de proporcionalidad directa (vale comprobar cualquiera de las dos opciones siguientes): Pasa por el punto (0,0) es una recta (esto lo sabemos si representamos los puntos de la tabla). Pasa por el punto (0, 0) al dividir la coordenada entre su correspondiente, siempre da el mismo número, la constante de proporcionalidad.. Obtener la constante de proporcionalidad m: Una vez está claro que se trata de una función de proporcionalidad directa dividiríamos una valor de Y entre el valor de X pareja o correspondiente. Es conveniente hacerlo de valores para comprobar que coincide.. Con el valor de la cte m, se monta una ecuación o fórmula del tipo; = m se pone en lugar de la m el valor obtenido.. Como comprobación final se puede dar valores a la de la fórmula representar los puntos obtenidos para ves que cuadra con una recta que pasa por (0,0). Ejemplo 1: X (Litros) Y (Euros) Sin ponerlo en la tabla se deduce que para 0 litros el coste será 0 euros, en todo caso al representar estos puntos unirlos veremos qué pasa por el (0, 0) es una recta, por lo que ha que representar ES UNA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA. 80

82 MATEMÁTICAS º ESO Pasa por el punto (0, 0) al dividir una coordenada entre su correspondiente, siempre da el mismo número, la cte de proporcionalidad. = m X (Litros) Y(Euros) = m = cte 0,6 1 1,9,,8 9 6,0 10 m=cte=0,6 Ha un punto (0,0) se cumple una constante de proporcionalidad para todas las parejas de valores (el punto =0 =0 se eclue siempre al calcular la cte). º Obtener la constante de proporcionalidad m: Una vez está claro que se trata de una función de proporcionalidad directa dividiríamos una valor de Y entre el valor de X pareja o correspondiente. Vale la pena hacerlo de valores para comprobar que coincide. º Con el valor de la constante m, se monta una ecuación o fórmula del tipo; = m se pone en lugar de la m el valor obtenido. si m=0,6 entonces para una fórmula del tipo general = m tendríamos el caso concreto = 0, 6 Ejemplo : Tabla lado de un cuadrado su área. Sabemos que A=L X Lado (cm) Y Area (cm ) 0 1 1,, 0 1, 6,. En este caso si bien eiste el punto (0, 0) al representar vemos que no obtenemos una recta por lo que NO ES UNA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA 81

83 MATEMÁTICAS º ESO 10. FUNCIÓN AFÍN La Función Afín (también llamada Lineal) relaciona a dos magnitudes que tienen una relación de proporcionalidad ( a más más o a menos, menos ), aunque dicha proporcionalidad no es directa. Su fórmula o epresión algebraica es de la forma = m + n, una recta. Las rectas del tipo = m + n no pasan por el punto (0, 0) u origen de coordenadas. Por esta razón cortan al eje de las Y de la X en otros puntos. Para representar una función afín ha que obtener al menos puntos El valor m indica la pendiente de la recta; Si m > 0 la función = m + n será creciente Si m < 0 la función = m + n será decreciente El valor n indica el punto de corte de la recta con el eje Y o eje de ordenadas; Esto quiere decir que en el punto de corte con el eje Y, el valor de la coordenada es 0 la es n; punto de corte con eje (0, n). p.e. función = +, función tipo = m + n donde m= n= - La recta no pasa por el punto (0, 0). - El valor de n en = + es, por lo que el punto de corte con el eje de la Y será (0, ) - El valor de m es >0, por lo que la función es creciente. 8

84 MATEMÁTICAS º ESO 9.1 Pendiente ordenada en el origen Tal como a hemos avanzado en el punto anterior en las funciones del tipo = m + n las letras m n tienen un papel importante a la hora de realizar el estudio de una función. Pendiente La letra m, o lo que es lo mismo el coeficiente numérico que acompaña a la, recibe el nombre de pendiente. Si m > 0 la función = m + n será creciente Si m < 0 la función = m + n será decreciente Si m=0 se trata de una recta horizontal, = n función constante En la Fig 1 m > 0, vemos que si la (hacia izq) la (hacia arriba), función creciente. p.e. En la Fig tenemos m < 0, vemos que si la (hacia izq) la (hacia arriba), función decreciente. p.e. Figura 8

85 MATEMÁTICAS º ESO Calculo de la pendiente de una recta = m + n Dados dos puntos de coordenadas A(1, 1) B(, ) de una recta r, podemos hallar la pendiente m de la recta r así; Calculando la variación de la variable (aumento o disminución) cuando la variable aumenta al pasar del punto A al punto B. Es decir realizando el cociente de la variación de Y entre la de X en dos puntos de la recta. Este cociente se plantea restando a las coordenadas del punto que tiene la maor las coordenadas del que tiene la menor, e decir restanto las coordenadas de A a las de B, de esta forma; m = pendiente = 1 1 Esta fórmula se emplea cuando nos dan los datos de la función en una gráfica o en una tabla como en este ejemplo: Ejemplo: La siguiente tabla (año edad/ altura de un caballo) representa una función afín, obtén su pendiente. Año X 0 1 Altura(cm) Y Tomamos dos puntos al azar de la tabla. Por ejemplo (, 00) (1, 100). El punto que tienen maor valor de el (, 00) se considera (, ), el punto (1, 100) se considera (, ). Con estos datos obtenemos m; m = = 100 = 0 En función del valor de la pendiente, la gráfica puede ser: Recta creciente En este caso la variación de la variable es un aumento en vertical la pendiente de la recta es positiva: m = 1 1 > 0 8

86 MATEMÁTICAS º ESO Recta decreciente En este caso la variación de la variable es una disminución en vertical la pendiente de la recta es negativa: m = 1 1 < 0 Ejemplo: Tenemos una tabla que epresa el gasto de agua de una vivienda en función de los metros cúbicos consumidos. Comprueba si la función de estas variables es una función afín en caso afirmativo calcula la pendiente de la recta. Obten la Ordenada en el origen. M de agua consumidos (X) Gasto (euros) (Y) No tiene punto (0, 0), si es una recta será función afín. Representamos los puntos para comprobar si se trata o no de una recta. Los puntos escogidos pueden ser dos cualesquiera. Vamos a realizar el cálculo con dos puntos para obtener la pendiente luego escogeremos dos más para demostrar que no importa los puntos escogidos puesto que el resultado es el mismo: Para hallar la pendiente escogemos dos puntos conocidos aplicamos la fórmula: m = 1 1 Vemos que es una función afín, es una recta no pasa por (0,0), tendrá una fórmula del tipo = m + n. 8