PRÁCTICAS DE LA ASIGNATURA ECONOMETRIA II. CURSO 2006/2007

PRÁCTICAS DE LA ASIGNATURA ECONOMETRIA II. CURSO 2006/2007 Práctica 3 1. Planteamiento y Objetivos de la Práctica En la presente práctica se propone la modelización univariante por medio del enfoque de Box-Jenkins de tres series temporales con características distintas. En cada uno de los ejemplos propuestos hay distintos pasos a detallar, pero con el fin de ver los tres ejemplos en la sesión práctica, cada profesor puede realizar los que considere más importantes en cada ejemplo y dejar los pasos omitidos para que los cubran los alumnos después por su cuenta Con la presente práctica se intenta que el alumno aprenda a construir modelos ARIMA univariantes para una serie temporal por medio del enfoque de Box-Jenkins. La aplicación de esta metodología conlleva recorrer diversas etapas hasta elaborar el posible modelo generador de los datos, de forma sintética los pasos a realizar son los siguientes: Especificación inicial Estimación Chequeo o validación Utilización del modelo 1 En la etapa de especificación inicial se deberá determinar el orden de integración de la serie temporal, es decir cual es el número de diferencias que se requerirán y si una de ellas debe ser anual (estacional) para convertir en estacionaria a la variable objeto de análisis, Z t (d,s). Z t = (1-B) d (1-B s ) D 1 El modelo puede utilizarse, por ejemplo, para predecir, para describir las propiedades del fenómeno económico en cuestión en cuanto a su tendencia, estacionalidad, oscilaciones (cíclicas) estacionarias, impredictibilidad, etc-, para basar sobre él la extracción de señales como el componente estacional 2

Donde: d es el número de diferencias regulares y D las diferencias de tipo estacional y habitualmente D = 0 ó 1 y se suele cumplir que: 0 d+d 2. Para ello se utiliza tanto el análisis gráfico de la serie, que nos revela determinadas características relevantes de la misma, como sus correlogramas simple y parcial y los tests de raíces unitarias. Una vez decidido el orden d y D, es decir el número de raíces unitarias que tiene la serie temporal, tanto de tipo regular como estacional, habrá que decidir el orden del polinomio autorregresivo (p) y el de medias móviles (q) para lo cual utilizamos como principales instrumentos el correlograma simple y el parcial de la serie. Los criterios generales que deben servir de guía para determinar el orden p del polinomio autorregresivo y el orden q del polinomio medias móviles se recogen en las estructuras de los correlogramas simple (FAC) y parcial (FAP) y que para los casos más sencillos se han visto en las clases teóricas. Un resumen de las características de la estructura del correlograma simple y del parcial se recoge en el esquema adjunto. Características teóricas de la FAC y de la FAP de los procesos estacionarios Procesos FAC FAP AR (p) MA (p) ARMA (p, q) Decrecimiento rápido hacia cero sin llegar a anularse q primeras autocorrelaciones significativas y el resto ceros Decrecimiento rápido hacia cero sin llegar a anularse P primeras autocorrelaciones distintas de cero y el resto ceros Decrecimiento rápido hacia cero sin llegar a anularse Decrecimiento rápido hacia cero sin llegar a anularse Debe quedar claro que la identificación es siempre tentativa por lo que se deben sugerir varios modelos como posibles procesos generadores de datos. Una vez que se han sugerido uno o varios modelos se escoge el que parezca más 3

adecuado y se procede a su estimación, apropiado, usualmente el de máxima verosimilitud pero en Eviews este método no está implementado. Posteriormente se debe realizar el chequeo ó validación de esas estimaciones, es decir, decidir sobre varios criterios la validez de dichas estimaciones. En esta práctica se realiza la modelización de tres series temporales de datos reales y características distintas. El primer caso se refiere a los gastos de publicidad de una empresa con frecuencia anual, el segundo analiza el Índice de Precios de Producción (PPI) de Estados Unidos con frecuencia trimestral y el último modeliza una serie de frecuencia mensual y con estacionalidad, las viviendas de nueva construcción en Estados Unidos. 2.Ejemplo1. Gastos en publicidad de una empresa La serie que se modeliza es la de gastos en publicidad de una determinada empresa. Su periodicidad es anual y el tamaño muestral abarca 54 observaciones que comprenden el periodo 1947-2000; dada su frecuencia anual esta serie no tendrá componente estacional. Los datos de esta variable se encuentran en el Banco de Datos del curso de econometría II. El primer paso que debemos dar para elaborar el modelo univariante de las series es crear en Eviews el workfile con frecuencia anual y tamaño muestral indicado e importamos los datos, tal y como hemos hecho en las prácticas anteriores. La variable en Worfile la denominamos Gpubli Una vez cargados los datos debemos verificar si la serie temporal es estacionaria y en caso de que no lo sea realizar las transformaciones pertinentes hasta convertirla en estacionaria. Para ello en primer lugar graficamos la serie Gpubli, gráfico que se muestra a continuación. La instrucción en Eviews para obtener el gráfico de la serie es: Quik/Graph /gpubli/line Graph 4

2000 Gastos en publicidad de una determinada empresa 1600 1200 800 400 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 GPUBLI Se observa que tiene una tendencia creciente muy acentuada, aproximadamente hasta 1925 y de sentido contrario después, lo que es un claro signo de que la serie no es estacionaria en media, además ese crecimiento muestras signos de regularidad por lo que la varianza aparentemente exhibe cierto grado de estabilidad y no es del todo preciso tomar logaritmos. En segundo lugar obtenemos los correlogramas Instrucciones en Eviews para obtener los correlogramas de esta serie (Gpubli) Quick/Series Statistics/Correlogram/ Gpubli También de forma alternativa en el objeto serie (ventas) View/Correlogram 5

El correlograma simple (AC) confirma la sospecha anterior sobre la no estacionariedad de la variable al mostrar un decrecimiento lento. Adicionalmente llevamos a cabo el test de raíces unitarias de D-F Instrucciones en Eviews para el test D-F: Quick/Series Statistics/unit root/gpubli Null Hypothesis: GPUBLI has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 4 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -2.391303 0.1494 Test critical values: 1% level -3.571310 5% level -2.922449 6

*MacKinnon (1996) one-sided p-values. 10% level -2.599224 Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(GPUBLI) Method: Least Squares Date: 04/14/07 Time: 21:04 Sample (adjusted): 1912 1960 Included observations: 49 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. GPUBLI(-1) -0.213368 0.089226-2.391303 0.0212 D(GPUBLI(-1)) 0.204352 0.145737 1.402200 0.1680 D(GPUBLI(-2)) -0.132356 0.146384-0.904167 0.3709 D(GPUBLI(-3)) -0.000612 0.138474-0.004422 0.9965 D(GPUBLI(-4)) 0.406138 0.138112 2.940633 0.0053 C 207.0751 90.85283 2.279236 0.0277 R-squared 0.349212 Mean dependent var 0.795918 Adjusted R-squared 0.273539 S.D. dependent var 228.9130 S.E. of regression 195.1087 Akaike info criterion 13.49927 Sum squared resid 1636898. Schwarz criterion 13.73092 Log likelihood -324.7321 F-statistic 4.614749 Durbin-Watson stat 2.008555 Prob(F-statistic) 0.001854 El Valor del estadístico t (-2.391) de GPUBI(-1) es inferior a los valores críticos de la distribución DF por lo que no se puede rechazar la hipótesis de la existencia de una raíz unitaria, y por tanto, la serie no es estacionaria Como un primer paso para eliminar la tendencia y convertir la serie en estacionaria se prueba con el ajuste de una tendencia lineal determinística a la serie Gpubli y si es adecuado eliminar la tendencia de la serie original. Para ello, se ajusta una tendencia determinística a la variable ventas del tipo: Gpubli = c +β t + µ t Cuya estimación se presenta a continuación Instrucciones en Eviews para la estimación de la tendencia determinista : Quick /estimate equation 7

Y en la ventana de la ecuación que se abre escribir: Gpubli c @trend+1 El resultado de la estimación es: Dependent Variable: GPUBLI Method: Least Squares Date: 04/15/07 Time: 08:43 Sample: 1907 1960 Included observations: 54 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 896.8644 103.4431 8.670126 0.0000 @TREND+1 1.369240 3.272521 0.418405 0.6774 R-squared 0.003355 Mean dependent var 934.5185 Adjusted R-squared -0.015811 S.D. dependent var 371.8789 S.E. of regression 374.8072 Akaike info criterion 14.72703 Sum squared resid 7304985. Schwarz criterion 14.80070 Log likelihood -395.6299 F-statistic 0.175063 Durbin-Watson stat 0.348633 Prob(F-statistic) 0.677374 Analizando esos resultados podemos observar que la estimación de los residuos presentan un estadístico Durbin- Watson próximo a cero, lo que es indicativo de una fuerte autocorrelación de primer orden y de la existencia una raíz unitaria y que, por lo tanto, no cumplen las condiciones para que sean ruido blanco. El gráfico de los residuos la serie Gpubli, que se muestra a continuación, también muestra esos problemas y nos indica que los residuos se han mantenido por encima y/o por debajo de la media durante un periodo demasiado largo. Por lo tanto, ese ajuste no es adecuado puesto que olvida determinadas propiedades importantes de la serie 8

1200 800 400 0-400 -800 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 GPUBLI Residuals Dado que el procedimiento anterior no es el adecuado, la tendencia es de tipo estocástica y, por tanto, utilizamos a continuación el procedimiento de la diferenciación para convertir a la serie en estacionaria. Tomamos la primera diferencia en la serie Gpubli para lo que generamos la serie de DGpubli =Gpubli- Gpubli (-1), es decir, transformamos la serie de acuerdo con la siguiente expresión: Z t =(1-B)Gpubli La representación gráfica de la serie transformada y sus correspondientes correlogramas se muestran a continuación. 9

600 Primera diferencia de la serie Gpubli 400 200 0-200 -400-600 -800 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 D(GPUBLI,1) 10

Tanto el gráfico de la serie DGpubli como su correlograma indican que la primera diferencia de la serie puede ser estacionaria puesto que oscila en torno a su nivel medio, aunque en el tramo central de la muestra las observaciones tienen una intensa volatilidad, y el correlograma tiende a cero con cierta rapidez. No obstante, se completa este análisis con el test DFA de raíces unitarias que se muestra a continuación Test de D-F Aumentado de DGpubli Null Hypothesis: D(GPUBLI) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -7.301027 0.0000 Test critical values: 1% level -3.565430 5% level -2.919952 10% level -2.597905 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(GPUBLI,2) Method: Least Squares Date: 04/15/07 Time: 09:54 Sample (adjusted): 1910 1960 Included observations: 51 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(GPUBLI(-1)) -1.324626 0.181430-7.301027 0.0000 D(GPUBLI(-1),2) 0.401645 0.131385 3.057006 0.0036 C 0.638946 29.28717 0.021817 0.9827 R-squared 0.557836 Mean dependent var -3.098039 Adjusted R-squared 0.539413 S.D. dependent var 308.1362 S.E. of regression 209.1215 Akaike info criterion 13.58073 Sum squared resid 2099127. Schwarz criterion 13.69437 Log likelihood -343.3086 F-statistic 30.27851 11

Durbin-Watson stat 2.023024 Prob(F-statistic) 0.000000 El test DFA rechaza la hipótesis nula de una raíz unitaria en Dpubli puesto que el valor del estadístico t (7,30) supera el valor de los puntos críticos de la distribución DFA. Este resultado corrobora la estacionariedad de la serie Dpubli que indican el gráfico y el correlograma de la serie Por lo tanto, de estos resultados se deduce que la transformación que convertiría a la serie en estacionaria sería: Z t =(1-B)Gpubli,, Gpubli I(1) Una vez decidido el grado de integración de la serie, es decir, el número de raíces unitarias que tiene, se debe determinar cuales son los posibles procesos ARMA que generan la serie. El análisis de los correlograma de la serie DPubli nos dice que un modelo que puede generar la serie es un AR(2), puesto que el correlograma simple tiende a cero con cierta rápidez, el parcial se anula después del segundo retardo. También se puede sugerir como un modelo alternativo, un AR(4) puesto que el correlograma simple se anula después del cuarto retardo, aunque restringiendo a cero los retardos intermedios. Por otro lado, de la observación del gráfico de la serie que consideramos estacionaria, D(Publi,1), se observa que su media puede que no sea distinta de cero, por lo que no procede en principio la inclusión de un término independiente, el cual es rechazado cuando se incluye en los modelos. Los modelos sugeridos son: 1.1) ARIMA(2,1,0),, (1-φ 1 B- φ 2 B 2 ) (1-B) Gpubli = C+a t 1.2) ARIMA(4,1,0),, (1-φ 1 B- φ 2 B 2 - φ 3 B 3 -φ 4 B 4 ) (1-B) Gpubli = C+ a t El análisis de la estructura del correlograma probablemente sugiera algún modelo adicional pero de momento nos quedamos con los propuestos. 12

Estimación Una vez especificados varios modelos alternativos como posibles generadores de la serie se debe proceder a la estimación de los mismos. Para ello en Eviews se deben dar las siguientes instrucciones para estimar los modelos sugeridos. Modelo 1.1: Quick/Estimate Equation/ LS d(gpubli,1) c ar(1) ar(2) Modelo 1.2: Quick/Estimate Equation/ LS d(gpubli,1) c ar(1) ar(2) ar(3) ar(4) Los resultados de la estimación de estos modelos se presentan a continuación, sin embargo algunos componentes del modelo 1.2 no eran significativos y finalmente se han eliminado figurando en esa ecuación del modelo los componentes cuyos parámetros son significativos, de hecho se han eliminado ar(1) y ar(3) Estimación Modelo1.1 Dependent Variable: D(GPUBLI) Method: Least Squares Date: 04/14/07 Time: 21:16 Sample (adjusted): 1910 1960 Included observations: 51 after adjustments Convergence achieved after 3 iterations Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(1) 0.077068 0.130673 0.589779 0.5580 AR(2) -0.401640 0.130038-3.088634 0.0033 R-squared 0.165609 Mean dependent var 0.686275 Adjusted R-squared 0.148580 S.D. dependent var 224.3115 S.E. of regression 206.9776 Akaike info criterion 13.54152 Sum squared resid 2099147. Schwarz criterion 13.61728 Log likelihood -343.3089 Durbin-Watson stat 2.023100 Inverted AR Roots.04+.63i.04-.63i Estimación modelo 1.2 Dependent Variable: D(GPUBLI) 13

Method: Least Squares Date: 04/14/07 Time: 21:26 Sample (adjusted): 1912 1960 Included observations: 49 after adjustments Convergence achieved after 2 iterations Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(2) -0.268970 0.138461-1.942575 0.0581 AR(4) 0.324983 0.138116 2.352971 0.0229 R-squared 0.248989 Mean dependent var 0.795918 Adjusted R-squared 0.233010 S.D. dependent var 228.9130 S.E. of regression 200.4774 Akaike info criterion 13.47924 Sum squared resid 1888986. Schwarz criterion 13.55646 Log likelihood -328.2414 Durbin-Watson stat 1.788707 Inverted AR Roots.67 Una vez estimados los modelos especificados se debe validar dichas estimaciones, es decir, se debe contrastar la adecuación del modelo a los datos, por medio de una batería de tests estadísticos y econométricos vistos en clase y que se encuentran en Eviews en el objeto ecuación. Validación o chequeo En la etapa de validación se presentan tres bloques de análisis: Un primero referente a los resultados de la estimación, un segundo centrado en el análisis de los residuos y, finalmente, un tercero dedicado a la comparación de modelos alternativos. Análisis de la estimación.- Referente a la significatividad individual de los coeficientes por medio del estadístico t de student pone de relieve que todos los coeficientes del modelo 1.2 son altamente significativos y mientras que ar(1) del modelo 1.1 no es significativo. En cuanto a las condiciones de estacionariedad de los modelos estimados, todas las raíces de los polinomios de retardos caen fuera de circulo de radio 14

unidad, ver cuadros anteriores de estimaciones, debe tenerse en cuenta que Eviews muestra la inversa de las raíces, por lo que esas inversas caen todas dentro del circulo de radio unidad. De la observación de los resultados de la estimación se deduce que el modelo 1.2 presenta un error estandar ligeramente más bajo que el del modelo 1.1 y tanto el estadístico de Akaike como el criterio de Schwarz son inferiores en el segundo modelo. En esta etapa también se suele analizar las correlaciones entre los coeficientes estimados para verificar la posible existencia de multicolinealidad en el modelo. La existencia de multicolinalidad indica una falta de precisión en las estimaciones obtenidas y una cierta inestabilidad de los coeficientes estimados. Para obtener las correlaciones entre los coeficientes se acude su matriz de correlaciones que proporciona Eviews, para ello nos situamos en la ecuación estimada y marcamos lo siguiente: View/Correlation Matrix La ejecución de esta instrucción muestra la matriz de coeficientes de la ecuación estimada, para el modelo 1.1 se tiene: Matriz de correlaciones del modelo 1 C AR(1) AR(2) C 0.380682-0.005342-0.015880 AR(1) -0.005342 0.018437-0.011620 AR(2) -0.015880-0.011620 0.016376 Se observa que esa matriz presenta unas correlaciones muy bajas por lo que no muestra indicios de multicolinealidad. Para el modelo 1.2 se puede verificar de la misma forma que tampoco presentan problemas de multicolinelidad. Análisis de los residuos..el siguiente paso dentro del proceso de validación es el análisis de los residuos de ambos modelos. Para ello en el objeto ecuación de Eviews se ofrecen 15

varios contrastes pero nos limitamos al contraste de que los residuos sean ruido blanco, inspeccionando el correlograma de residuos, el estadístico Q de Box- Pierce y el gráfico de residuos. Para ello, en Eviews una vez dentro del objeto ecuación Instrucciones: View/ Residual Tests/Correlogram-Q-Statistics Los resultados para el modelo.1.2 se presenta en la tabla adjunta y se puede contemplar que las autocorrelaciones de los residuos no son significativas y entran dentro de las bandas de confianza, lo que indica que no son distintas de cero. Por su parte, el estadístico Q no muestra indicios de autocorreción global de los residuos, puesto que el valor de Q estimado para los diferentes ordenes de autocorrelación que se muestran en la tabla adjunta es siempre inferior al punto critico de la χ 2 con los correspondientes grados de libertad y los niveles estandar de significatividad utilizados en el trabajo empírico, lo que nos lleva a rechazar la hipótesis nula de autocorrelación global de los residuos. el valor de estimado. Correlograma de los residuos del modelo 1.2 16

Instrucciones Eviews para el gráfico de residuos: View/Actual, Fitted, residuals 800 400 0 400 0-400 -800-400 -800 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Residual Actual Fitted 17

El gráfico de los residuos también apoya la ausencia de autocorrelación residual, puesto que la gran mayoría de los residuos entran dentro de las bandas de confianza, con excepción de algún residuo anómalo. Por lo tanto, también muestra claramente que los residuos son ruido blanco. De la misma forma que el análisis llevado a cabo para el modelo 1.2 se puede entrar en el objeto ecuación del modelo 1.1 y verificar que si los residuos son ruido blanco. De hecho se observa que tanto el correlograma de residuos y el estadistico Q como el gráfico de residuos no llegan a superar a los del modelo 1.2 Comparación de modelos alternativos. Del análisis que se acaba de realizar en los dos apartados anteriores se deduce que el modelo 1.2 superan el conjunto de pruebas estadísticas para validar sus estimaciones. Además el modelo 1.2 presenta una menor varianza residual y un menor Akaike, por lo que es preferible al 1.1. Por lo tanto, los gastos en publicidad de la empresa, Gpubli, que es la variable que se modelizada, viene explicada de forma satisfactoria por un modelo sencillo ARIMA(4,0,0) restringiendo a cero los componentes AR(1) y AR(3). 3. Ejemplo 2. El Índice de precios Producción de Estados Unidos La serie a modelizar es el Índice Precios de Producción de Estados Unidos de frecuencia trimestral y el periodo muestral abarca 1960:01-2002:01. Una vez creado el el WorKfile y establecido el periodo muestral se deben importar los datos del banco de datos, tal y como se ha hecho en el ejemplo anterior. La serie la denominamos PPI en el Workfile El primer paso en la modelización de la serie es su representación gráfica. Para ello en Eviews, la instrucción es: Quick/ Graph/ Line Graph /PPI 18

El resultado es el gráfico1a en el que se puede contemplar como la serie GDP muestra una tendencia fuertemente creciente a lo largo del tiempo. Se realiza la transformación logarítmica para atenuar la posible no estacionariedad en varianza y se realiza el gráfico de la serie transformada. Para ello, en Eviews GENR LPPI=LOG(PPI) y para su representación gráfica : Quick/ Graph/ Line Graph / LPPI La representación gráfica de esta serie LPPI se muestra en el gráfico 1b en el cual se puede contemplar que la nueva serie exhibe también una clara tendencia creciente lineal, lo que indica que esta serie no es estacionaria en media. Gráfico 1 a. Evolución de PPI Gráfico 1b. Evolución de log(ppi) 120 4.8 100 4.4 80 60 40 4.0 3.6 20 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 PPI 3.2 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 LPPI También se muestra a continuación el correlograma de LPPI En Eviews una vez dentro del objeto serie LPPI: View/Correlogram 19

El correlograma confirma también la no estacionariedad que mostraba el gráfico de nivel de la serie LPPI puesto que tiende muy lentamente hacia cero Se realiza también el test de DFA de raíces unitarias, cuyos resultados se presentan a continuación. Para ello, en Eviews: Quick/ SERIES STATISTIC/ Unit root / LPPI 20

Test D-F aumentado de la serie LPPI.. El test DFA no rechaza la hipótesis nula de la existencia de una raíz unitaria en LPPI puesto que el valor del estadístico t (-1.245) es notablemente inferior a los valores críticos de la distribución DFA Si ajustamos una tendencia temporal lineal simple de tipo determinístico a la serie (LPPI), tal y como hicimos en el capítulo 1 del programa de la asignatura y práctica 1 y en la modelización de la serie ventas que acabamos de realizar, y restamos de LPPI la serie ajustada podremos comprobar que ese no es un procedimiento correcto para convertir a la serie en estacionaria. ( se deja al alumno que lo compruebe). Por lo tanto, es claro que esa tendencia no es determinista sino estocástica y debemos proceder con diferenciaciones para eliminar esa tendencia. Comenzamos tomando una primera diferencia regular en la serie LPPI, cuyo gráfico se muestra a continuación y también su correlograma. 21

Instrucciones en Eviews: Genr DLPPI=D(LPPI,1) Quick/Graph/Line Graph/DLPPI Quick/Series Statistic/Correlogram.08 Primera deferencia de LPPI.06.04.02.00 -.02 -.04 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 D(LPPI) 22

El gráfico de DLPPI muestra que la serie podría ser estacionaria y también en ese sentido apunta el correlograma al mostrar un decaimiento con cierta rapidez. No obstante, se realiza también el test de DFA, cuyos resultados se muestran a continuación, y corrobora también la no existencia de una raíz unitaria en la serie DLPPI y que, por tanto, esa transformación convierte a la serie en estacionaria. Test DFA de la serie DLPPI Null Hypothesis: D(LPPI) has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=13) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -4.511989 0.0003 Test critical values: 1% level -3.469933 5% level -2.878829 10% level -2.576067 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. 23

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LPPI,2) Method: Least Squares Date: 04/14/07 Time: 18:53 Sample (adjusted): 1960Q4 2002Q1 Included observations: 166 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. D(LPPI(-1)) -0.311506 0.069040-4.511989 0.0000 D(LPPI(-1),2) -0.208661 0.078661-2.652671 0.0088 C 0.002597 0.001046 2.482450 0.0141 R-squared 0.231434 Mean dependent var -1.71E-07 Adjusted R-squared 0.222003 S.D. dependent var 0.012602 S.E. of regression 0.011115 Akaike info criterion -6.143098 Sum squared resid 0.020138 Schwarz criterion -6.086857 Log likelihood 512.8771 F-statistic 24.54160 Durbin-Watson stat 2.051191 Prob(F-statistic) 0.000000 Por lo tanto la serie LPPI tiene una raíz unitaria y la primera diferencia convierte a dicha serie en estacionaria una vez eliminada su tendencia. La serie es del tipo : Z t =(1-B)LPPI,, LPPI I(1) Es decir, es integrable de orden 1 y tiene el siguiente significado: DLPPI= LPPI- LPPI(-1) = log(ppi)-log(ppi(-1)), que es la tasa de variación intertrimestral de PPI o la tasa de inflación de los precios de producción o a la salida de fabrica. Determinado el grado de diferenciación ó de raíces unitarias, pasamos a especificar el orden de los polinomios AR y MA. Del análisis de los correlogramas de DLPPI se deduce que en la FAC existen 2 ó tres ó quizás 4 coeficientes que son distintos de cero y después todos son cero, mientras que en la FAP solo existe un coeficiente significativo, que no es cero, el primero, y después tienden rápidamente a cero. Esto sugiere que la serie (DLPPI) puede ser generada por modelos que puede tener una estructura MA hasta orden 3 y un AR(1). Así, los posibles modelos serian: ARIMA (1,1,3), ARIMA(1;1,2) ó ARIMA(1,1,1). 24

Por otro lado, de la observación del gráfico de la serie DLPPI se deduce que la media de la serie es distinta de cero por lo que debe incluirse el término constante en los modelos especificados Los modelos tentativos serian por tanto: 2.1. ARIMA(1,1,0),, (1- φ 1 B)(1-B)LPPI= µ +a t 2.2. ARIMA(1,1,1),, (1- φ 1 B)(1-B)LPPI= µ +(1- θ 1 B)a t 2.3. ARIMA(1,1,1)x(0,0,1)s,, (1- φ 1 B) (1-B)LPPI= µ + (1- θ 1 B)(1- Θ 12 B 12 ) a t Estimación La estimación de los modelos anteriores en Eviews se hace por medio de las siguientes instrucciones: Quick/ Estimate Equation/ LS DLPPI c ar(1) Quick/ Estimate Equation/ LS DLPPI c ar(1) ma(1) Quick/ Estimate Equation/ LS DLPPI c ar(1) ma(1) sma(4) Los resultados de la estimación de estos modelos se presentan a continuación: Estimacion modelo 2.1 Dependent Variable: D(LPPI) Method: Least Squares Date: 04/14/07 Time: 09:45 Sample (adjusted): 1960Q3 2002Q1 Included observations: 167 after adjustments Convergence achieved after 3 iterations Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 0.008359 0.002213 3.777275 0.0002 AR(1) 0.604968 0.062102 9.741485 0.0000 R-squared 0.365132 Mean dependent var 0.008398 Adjusted R-squared 0.361284 S.D. dependent var 0.014135 S.E. of regression 0.011297 Akaike info criterion -6.116710 Sum squared resid 0.021057 Schwarz criterion -6.079369 Log likelihood 512.7453 F-statistic 94.89653 25

Durbin-Watson stat 2.232988 Prob(F-statistic) 0.000000 Inverted AR Roots.60 Estimacion modelo 2.2 Dependent Variable: D(LPPI) Method: Least Squares Date: 04/14/07 Time: 10:21 Sample (adjusted): 1960Q3 2002Q1 Included observations: 167 after adjustments Convergence achieved after 7 iterations Backcast: 1959Q4 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 0.008092 0.003629 2.229971 0.0271 AR(1) 0.872379 0.058040 15.03057 0.0000 MA(1) -0.457266 0.102635-4.455274 0.0000 R-squared 0.407837 Mean dependent var 0.008398 Adjusted R-squared 0.400615 S.D. dependent var 0.014135 S.E. of regression 0.010943 Akaike info criterion -6.174369 Sum squared resid 0.019640 Schwarz criterion -6.118357 Log likelihood 518.5598 F-statistic 56.47532 Durbin-Watson stat 1.958243 Prob(F-statistic) 0.000000 Inverted AR Roots.87 Inverted MA Roots.46 Estimacion modelo 2.3 Dependent Variable: D(LPPI) Method: Least Squares Date: 04/14/07 Time: 10:26 Sample (adjusted): 1960Q3 2002Q1 Included observations: 167 after adjustments Convergence achieved after 8 iterations Backcast: 1958Q4 1959Q4 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 0.007848 0.003372 2.327825 0.0212 AR(1) 0.814407 0.082838 9.831363 0.0000 MA(1) -0.394349 0.124094-3.177816 0.0018 SMA(4) 0.234611 0.084470 2.777430 0.0061 26

R-squared 0.427921 Mean dependent var 0.008398 Adjusted R-squared 0.417392 S.D. dependent var 0.014135 S.E. of regression 0.010789 Akaike info criterion -6.196898 Sum squared resid 0.018974 Schwarz criterion -6.122216 Log likelihood 521.4410 F-statistic 40.64187 Durbin-Watson stat 1.963251 Prob(F-statistic) 0.000000 Inverted AR Roots.81 Inverted MA Roots.49-.49i.49+.49i.39 -.49+.49i -.49+.49i Validación En cuanto a los coeficientes de los tres modelos son individualmente significativos, según el contraste de la t de student.. Todos los modelos cumplen las condiciones de estacionariedad y de invertibilidad puesto que tanto las raíces de los polinomios autorregresivos como los de media móvil caen fuera del circulo de radio unidad. A su vez, las matrices de correlaciones de los coeficientes de estos modelos no muestran signos de multicolinealidad Desde el punto de vista del error estandar de los modelos estimados el 2.3 es el que presenta un valor menor (0,0108) seguido del 2.2 (0.0109). Desde el punto de vista del criterio de Akaike, el modelo 2.3 presenta un valor inferior (-6.20) seguido del modelo 2.2 (-6.17). El análisis de los residuos de los tres modelos estimados a través de sus correspondientes correlogramas, el estadístico Q y sus gráficos de residuos, que se presentan a continuación para el modelo 2.3, nos indica que todos ellos cumplen las condiciones para ser considerados como ruido blanco, excepto el 2.1. No obstante, el modelo 2.3 es el que cumple esas condiciones con más holgura. Del análisis anterior de los residuos y de la evaluación de las estimaciones de los coeficientes de los distintos modelos el modelo preferido es el 2.3 seguido del modelo 2.2. El modelo 2.1 es desechable desde el punto de vista estadístico dado que sus residuos no son ruido blanco 27

Correlograma de los residuos del modelo 2.3 Grafico de residuos del modelo 2.3.04.02.00.08.06.04.02.00 -.02 -.04 -.02 -.04 -.06 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 Residual Actual Fitted El alumno debe analizar los residuos de los modelos 2.2 y 2.3 a través del correlograma y del gráfico de residuos 28

4. Ejemplo 3. Viviendas de nueva construcción en USA La serie a modelizar es el número de viviendas de nueva construcción en Estados Unidos expresada en miles, la frecuencia es mensual y el periodo muestral comprende 1959:06 1992:04. El objetivo que se persigue con este ejercicio es que el alumno aprenda a construir un modelo univariante de una serie de frecuencia mensual que tiene una marcada tendencia y estacionalidad. Una vez creado el fichero de trabajo en Eviews para esa frecuencia y periodo muestral, de la misma forma como se ha realizado en los dos ejercicios anteriores, se realiza la representación gráfica de la serie objeto de análisis. La serie se denomina HS Instrucciones: Quick/Graph/ HS/Line graph 240 Viviendas de nueva construcción en USA 200 160 120 80 40 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 HS Este gráfico no es muy indicativo sobre la estacionariedad o no de la serie en 29

Como hemos visto en los dos ejemplos anteriores el correlograma es un instrumento útil para verificar la estacionariedad de la serie. A continuación se presenta el correlograma. Instrucciones: Una vez en el objeto serie HS, View/ Correlogram En el correlograma de la serie HS se observa que las autocorrelaciones disminuyen primero, y posteriormente alcanzar un pico relativo en el retardo 12, y disminuyen de forma acusada en los retardos mayores. Por su parte, las autocorrelaciones parciales muestran una punta positiva en el retardo 1 y otra negativa en el retardo 13, lo cual apunta a una posible estacionariedad de la serie en niveles. 30

No obstante, realizamos el contraste de Dickey- Fuller aumentado que se adjunta a continuación: Instrucciones: Quick/series statistic/unit Root/HS Contraste de raiz unitaria (DFA) de la serie HS Null Hypothesis: HS has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 4 (Automatic based on SIC, MAXLAG=4) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -4.969008 0.0000 Test critical values: 1% level -3.446692 5% level -2.868638 10% level -2.570617 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(HS) Method: Least Squares Date: 03/28/07 Time: 18:33 Simple (adjusted): 1959M06 1992M04 Included observations: 395 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. HS(-1) -0.148240 0.029833-4.969008 0.0000 D(HS(-1)) 0.219352 0.049430 4.437661 0.0000 D(HS(-2)) 0.111332 0.049647 2.242480 0.0255 D(HS(-3)) -0.065359 0.049837-1.311461 0.1905 D(HS(-4)) -0.195488 0.049835-3.922725 0.0001 C 18.73706 3.901098 4.803023 0.0000 R-squared 0.198754 Mean dependent var -0.108354 Adjusted R-squared 0.188455 S.D. dependent var 19.94195 S.E. of regression 17.96486 Akaike info criterion 8.629785 Sum squared resid 125544.3 Schwarz criterion 8.690224 Log likelihood -1698.383 F-statistic 19.29878 Durbin-Watson stat 1.956461 Prob(F-statistic) 0.000000 31

La hipótesis de raíz unitaria queda fuertemente rechazada, según los resultados del test DFA de la serie HS, el estadístico t (-4,97) supera ampliamente los valores críticos de la distribución ADF, lo que confirma la estacionariedad de la serie HS en niveles, como ya apuntaba de alguna forma el análisis gráfico y el del correlograma. Para finalizar la etapa de especificación inicial debemos determinar cuales son los modelos estacionales multiplicativos ARMA (p,q) Χ ARMA(P,Q) S que pueden generar la serie. Del análisis del correlograma de la serie HS se deduce que el proceso generador de datos puede tener un componente autorregresivo regular de orden 1 y otro estacional de orden 1, es decir un AR(1,0)xSAR(1,0) 12. Por lo tanto, comenzamos la estimación con este modelo 3.1. ARIMA(1,0) (1,0) 12,, (1- φ 1 B) (1-φ 12 B 12 )HS = c+a t 3.2. ARIMA(1,0,1)x(1,0,1)s,, (1- φ 1 B) (1-φ 12 B 12 ) HS= c + (1- θ 1 B)(1- Θ 12 B 12 ) a t Instrucciones: Quick/ Estimate Equation/ HS c ar(1) sar(12) Estimación del modelo 3.1 Dependent Variable: HS Method: Least Squares Date: 03/28/07 Time: 18:38 Sample (adjusted): 1960M02 1992M04 Included observations: 387 after adjustments Convergence achieved after 7 iterations Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 125.7702 15.81167 7.954265 0.0000 AR(1) 0.855642 0.026422 32.38374 0.0000 SAR(12) 0.684278 0.037380 18.30602 0.0000 32

R-squared 0.861497 Mean dependent var 127.0121 Adjusted R-squared 0.860776 S.D. dependent var 37.98452 S.E. of regression 14.17307 Akaike info criterion 8.148286 Sum squared resid 77136.31 Schwarz criterion 8.178971 Log likelihood -1573.693 F-statistic 1194.255 Durbin-Watson stat 2.299600 Prob(F-statistic) 0.000000 Inverted AR Roots.97.86.84-.48i.84+.48i.48+.84i.48-.84i.00+.97i -.00-.97i -.48+.84i -.48-.84i -.84-.48i -.84+.48i -.97 Grafico residuos del modelo 3.1 60 40 20 0-20 -40-60 1965 1970 1975 1980 1985 1990 HS Residuals Correlograma residuos del modelo 3.1 33

Estimación Modelo 3.2 Dependent Variable: HS Method: Least Squares Date: 03/28/07 Time: 18:43 Sample (adjusted): 1960M02 1992M04 Included observations: 387 after adjustments Convergence achieved after 22 iterations Backcast: 1959M01 1960M01 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 83.11975 184.3502 0.450880 0.6523 AR(1) 0.955059 0.016389 58.27399 0.0000 SAR(12) 0.993375 0.003935 252.4190 0.0000 MA(1) -0.227059 0.053509-4.243383 0.0000 SMA(12) -0.949903 0.012323-77.08240 0.0000 R-squared 0.906416 Mean dependent var 127.0121 Adjusted R-squared 0.905436 S.D. dependent var 37.98452 S.E. of regression 11.68070 Akaike info criterion 7.766589 Sum squared resid 52119.61 Schwarz criterion 7.817731 Log likelihood -1497.835 F-statistic 924.9762 Durbin-Watson stat 2.009647 Prob(F-statistic) 0.000000 Inverted AR Roots 1.00.96.87-.50i.87+.50i.50+.87i.50-.87i.00+1.00i -.00-1.00i 34

-.50+.87i -.50-.87i -.87-.50i -.87+.50i -1.00 Inverted MA Roots 1.00.86+.50i.86-.50i.50+.86i.50-.86i.23.00+1.00i -.00-1.00i -.50+.86i -.50-.86i -.86-.50i -.86+.50i -1.00 Correlograma de los residuos del modelo 3.2 35

40 30 20 10 0-10 -20-30 -40 1965 1970 1975 1980 1985 1990 HS Residuals Validación El modelo 3.1 presenta todos su coeficientes significativos, según el t ratio, la matriz de coeficientes que se puede consultar en la ventana de la ecuación no proporciona coeficientes de correlación elevados por lo que no presentan signos de multicolinealidad. Analizando el correlogramas de los residuos se observa que el estadistico Q presenta autocorrelación global, por lo que los residuos no son ruido blanco. El modelo, en principio, no parece válido y además el coeficiente de AR(1) está próximo a 1 (0,9), lo que puede indicar la necesidad de una nueva diferenciación, en el mismo sentido apunta el valor elevado de la raiz invertida de la parte autorregresiva (0.97), lo que indica que la serie HS puede que no sea estacionaria Los coeficientes del modelo 3.2 son altamente significativos y presenta mejoras sobre el modelo anterior, de hecho el criterio de AIC y el SBC son inferiores y los residuos se parecen a un ruido blanco, tanto de la observación de correlograma de los residuos como el estadistico. Sin embargo, los coeficientes autorregresivos tienen valores cercanos a la unidad, lo que indican la necesidad de una difereciación regular y otra estacional, en el mismo sentido apuntan las raices de los polinomios autorregresivos. A la vista de los problemas anteriores se sugiere al alumno que pruebe diversos esquemas ARMA con una diferenciación regular y otra estacional. 36