IES Salduba MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II CURSO 008/009 PRUEBA ESCRITA DEL BLOQUE DE ÁLGEBRA 9 de diciembre de 008 Bloque I Unidades y Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Ejercicio Sean las matrices A 0 x =, B = x y C = 0 a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B = A b) Igualmente para B+ C = A c) Determine x para que A+ B+ C = 3 I 0 x 0 x x x a) B = A = = x= x x x b) Hallemos en primer lugar A 0 0 0 F F ( F) F F ( F) 0 + 0 + 0 A = Por tanto: 0 x x B+ C = A + = = x = x= 0 x 0 x 0 x 0 3 x 3 0 c) A+ B+ C = 3 I + + = 3 = x= 0 x 0 0 x 3 0 3 Ejercicio 0 4 Dadas la matrices A y C =, 0 3 0 a) Calcule, por el método de Gauss-Jordan la matriz inversa de A b) Halle, si es posible usando el resultado anterior, la matriz B de modo que AB = C c) Qué dos sistemas hemos resuelto simultáneamente? Cuáles son sus soluciones? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a) 0 0 0 3 3 ( ) 0 0 0 0 0 0 F F + F F3 F3+ F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 F F + F F F+ F3 0 0 0 0 Finca El Arquillo, s/n 9670 San Pedro de Alcántara
0 0 0 0 A F3 F3 = 0 0 4 b) A B= C A A B= A C I3 B= A C B= A C = = 3 0 6 3 = 0 0 = 0 0 c) Los sistemas son los que resultan de tomar la igualdad A B = C y dividirla en dos igualdades tomando respectivamente la primera columna de C y la segunda columna de C La solución de cada sistema estará formada, respectivamente, por la primera columna y la segunda columna de la matriz B Es decir, los sistemas con sus soluciones son: 0 x 4 x+ y = 4 x= 3 Primer sistema: 0 y = y+ z = y = 0 z 3 x z 3 + = z 0 x x+ y = x= Segundo sistema: 0 y = y+ z = y 0 z 0 x+ z z = Ejercicio 3 a) Clasifique y resuelva por el método de Gauss el siguiente sistema: 3x 4y+ 3z x 7y + 4z x + y z b) Estudie la posición relativa de los dos planos correspondientes a las dos primeras ecuaciones del sistema a) El sistema propuesto es un sistema homogéneo, por lo que con toda seguridad es compatible Lo único que hay que comprobar es si resulta determinado o indeterminado Para comprobarlo por el método de Gauss, debemos triangularizar la matriz: 3 4 3 0 7 4 0 7 4 0 7 4 0 3 4 3 0 ( 3 ) 0 5 5 0 F F F F + F F3 F3+ ( F) 0 0 0 5 9 0 7 4 0 0 5 5 0 3 F3 F3+ F 5 0 0 0 0
IES Salduba Al quedar la última fila nula y las dos anteriores no, el rango del sistema es Es decir, el sistema es indeterminado con grado de indeterminación Las infinitas soluciones se obtienen 3 dando un valor arbitrario λ a z : x= λ; y = λ; z = λ 5 5 b) De acuerdo a lo que hemos visto en el apartado (a), la triangularización de las dos primeras ecuaciones del sistema quedaría del siguiente modo: 7 4 0, lo que representa a un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas de 0 5 5 0 rango, es decir, un sistema compatible indetermiando con grado de indeterminación Eso significa que el conjunto de puntos que verifican las dos ecuaciones (es decir, el conjunto de puntos que están en los dos planos) es un espacio de dimensión (el grado de libertad), por lo que la intersección de los dos planos es una recta (que tiene dimensión ) Por tanto la intersección de los dos planos es una recta Bloque II Unidades 3 y 4 Determinantes y discusión de sistemas Ejercicio 4 Dado el sistema de ecuaciones: x+ y z = x z y + λz = 4 x y discuta el sistema según los valores de λ Resuélvalo para el caso, si existe, en el que el sistema sea de Cramer, usando dicho método Calculemos el determinante de la matriz ampliada A en función de λ, para luego estudiar cuándo se anula y cuándo no: 4 0 0 0 4 = = λ 4 =4λ 8 + λ+ 8 + 4 = 8λ 8 0 λ 4 F F F 0 λ 4 F4 F4F 3 0 0 0 3 Por tanto A 0 8λ 8 0 λ = = = Es decir, si λ, entonces el rango de A es 4, por lo que, necesariamente, es un rango mayor que el de la matriz de coeficientes A, cuyo rango es a lo sumo 3 En tal caso, por tanto, el sistema es incompatible Si λ =, el rango de A es menor que 4, pero tomando las tres primeras columnas con las tres últimas filas, tenemos el menor: 0 0 4 4 0 = = 0 F F F3 0 0 Luego, con λ =, el rango de A y de A es 3 (puesto que el menor no nulo de orden 3 que hemos encontrado está en ambas matrices) Como coincide el rango de ambas matrices y hay exactamente 3 incógnitas, la conclusión es que con λ = el sistema es compatible determinado o de Cramer Por tanto lo resolvemos para este caso Tomamos para resolverlo precisamente las 3 ecuaciones correspondientes al menor no nulo que hemos encontrado: Finca El Arquillo, s/n 9670 San Pedro de Alcántara
0 x 0 0 y = 4 0 z 0 Sabemos ya que la matriz de coeficientes tiene determinante igual a (lo vimos antes cuando comprobamos que ese menor era no nulo), por lo que, usando el método de Cramer: 0 0 0 0 0 4 0 4 0 4 0 0 8 0 0 4 0 x= = = 4; y = = = ; z = = 6 = 8 Ejercicio 5 a) Clasifique el siguiente sistema según los valores de a y b : 3x + y z = b x + ay z 5x + ay 5z = b) Resuelva el sistema, si es posible, para el caso en el que a y b = a) Cuando el rango de la matriz A de coeficientes sea 3 el sistema será compatible determinado, puesto que el rango de la matriz A ampliada es a lo sumo también 3 y el sistema consta de 3 incógnitas El rango de A será 3 cuando su determinante sea no nulo Veamos por tanto en qué caso ocurre tal cosa: 3 A = a =5a0 a+ 5a+ 6a+ 0 =5a0 5 a 5 Luego, A 5a 0 a = Por tanto, si a, el determinante de A es no nulo, y el sistema es compatible determinado Discutamos el sistema para el caso a = Para este caso el rango de A es menor que 3 y como en A tenemos el menor 3 8 0 =, podemos decir que el rango de A es exactamente Veamos el rango de la matriz ampliada en función de b Para ello calculemos los menores de orden 3: 3 b C C B = 0 =6 b+ 0b = 8b8 3 5 3 b C C B = 0 =6 5b+ 0b+ = 5b5 5 5
IES Salduba 3 b C C B = 0 = 4+ 0b4b = 6b6 5 Está claro que tales menores de orden 3 son todos iguales a cero si y sólo si b = Por tanto, en tal caso el rango de la matriz ampliada es también, y como el sistema tiene 3 incógnitas, el sistema sería compatible indeterminado con grado de indeterminación Si b, los menores anteriores de orden 3 son no nulos, por lo que el rango de la matriz ampliada sería 3, mayor por tanto que el de la matriz de coeficientes (no olvidemos que en todo momento la discusión según los valores de b la hacemos bajo la suposición de a =, que implica que el rango de A es ), y, concluimos entonces que el sistema es incompatible En resumen: a, ( b puede tomar cualquier valor) Sistema compatible determinado b Sistema incompatible a = y b = Sistema compatible indeterminado con grado de indeterminación b) Para el caso a y b =, el sistema queda del siguiente modo: 3x + y z = x z 5x 5z = Como a, sabemos, por el apartado anterior, que este sistema es compatible determinado, o sea, de Cramer, por lo que podemos resolverlo por dicho método (sabiendo ya, también por el apartado anterior que A = 5a 0= 0): 3 3 0 0 0 0 0 0 5 5 5 0 5 0 x= = = ; y = = ; z = = = 0 0 5 0 0 0 0 5 Ejercicio 6 Dada la matriz A = 3 a 4 a 3 a) Determine el valor o valores de a para los que la matriz A no posee inversa b) Halle, por medio de la matriz adjunta, la inversa de A, si existe, para a = a) A no posee inversa A 3 a 9 4a+ a+ + a 6 4 a 3 a a 3 0 a = = o a = 3 Por tanto la matriz A es singular (es decir, no regular) si a = o a = 3 b) Sabemos, por el apartado anterior, que, para a =, A = a a 3= 3= 4 Finca El Arquillo, s/n 9670 San Pedro de Alcántara
Además, la matriz adjunta es: 3 3 3 4 3 4 8 0 4 Adj( A) = = 3 3 4 3 4 3 5 3 3 8 t 5 3 Luego A = Adj ( A) = 0 3 A 4 = 4 4 4 3 5 7 3 5 4 4 Bloque III: Unidad 5 Programación lineal Ejercicio 7 a) Represente gráficamente la región determinada por las siguientes restricciones: x+ y 6; 4x+ y 0; x+ y 3 ; x ; y y determine sus vértices f xy, = 4x+ y 3 en el recinto anterior e b) Calcule el máximo de la función ( ) indique dónde se alcanza a) La región del plano factible para las restricciones indicadas se halla tomando los puntos del plano que verifican todas las desigualdades Para hallar tales puntos despejamos en cada inecuación una de las incógnitas y luego representamos los puntos correspondientes del plano que verifican todas las desigualdades: x + y 6 y x+ 6 4x+ y 0 y 4x+0 x + y 3 y x+ 3 x e y Los vértices son los puntos de corte siguientes: x = A A(, ) ; y = y = 4x+ 0 B B, y ; = 4 y = 4x+ 0 C C( 4, ) ; y = x + 6 y = x+ 3 y = x+ 3 D D(, 4) ; E E(, ) y = x + 6 x =
IES Salduba b) Como el recinto limitado por las restricciones es acotado y convexo, podemos determinar el valor f xy, = 4x+ y 3 por el método analítico, es decir, sabiendo que se alcanza máximo de ( ) en los vértices Sustituimos por tanto los vértices en f : f, = 3 = 6 ; f ( 4, ) = 6 4 3 = 9 ; 4, 4 4 8 3 9 ; f, = 4 + 4 3 =3 f (, ) =4 3 = 9 ; f ( ) = + = ( ) El valor máximo de la función f en el recinto limitado por las restricciones es, por tanto, 9, y se alcanza en todos los puntos del segmento que une los vértices C y D Ejercicio 8 Un Ayuntamiento concede licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 0 viviendas, de dos tipos A y B Para ello la empresa constructora dispone de un capital máximo de 5 millones de euros, siendo el coste de construcción de la vivienda de tipo A de 00000 euros y la de tipo B 300000 euros Si el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 0000 euros y por una de tipo B a 40000 euros, cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para obtener un beneficio máximo? Llamemos a y b al número de viviendas respectivamente de tipo A y de tipo B Como la urbanización tiene a lo sumo 0 viviendas, entonces a+ b 0 Como el coste de la vivienda de tipo A es de 00000 euros y el de las de tipo B es 300000 euros, con un presupuesto de 5 millones, tenemos que 00000a+ 300000b 5000000, es decir, dividiendo ambos miembros de la desigualdad entre 00000: a+ 3b 50 Como el número de viviendas construidas de cada tipo no puede ser negativo, debemos asumir que a 0 y b 0 Por tanto las restricciones que nos impone el enunciado son: a+ b 0 ; a+ 3b 50; a 0 ; b 0 Despejando una de las variables en cada inecuación, obtenemos: a 0 b; a 50 3b; a 0 ; b 0, y representado en el plano los puntos que verifican tales desigualdades obtenemos lo siguiente: La función del beneficio es: Bf a, b = 0000a+ 40000b= ( ) ( a b) La región obtenida es acotada y convexa, por lo que el beneficio máximo se obtiene en uno o varios vértices = 0000 + Los vértices se hallan calculando los puntos de corte de las rectas que limitan la región factible: Finca El Arquillo, s/n 9670 San Pedro de Alcántara
a= 0 b a= 0 b a= 50 3b A ( 0,0) ; B B( 0,0) ; C C( 05,5) ; D D( 0,50) b a = 50 3b a La función del beneficio tiene los siguientes valores en los vértices: Bf 0,0 ; 0,0 0000 0 0 400000 ; Bf 05,5 = 0000 05 + 30 = 700000 ; ( ) Bf ( ) = ( + ) = ( ) ( ) ( 0,50) 0000( 0 00) 000000 Bf = + = Es decir, el beneficio máximo que se puede obtener es de 700000 euros, construyendo 05 viviendas de tipo A y 5 viviendas de tipo B Ejercicio 9 Un deportista debe tomar mensualmente al menos 8 unidades de una proteína A, 7 unidades de una vitamina B y 3 unidades de un aminoácido C Hay dos productos en el mercado, Culturismín y Musculín que contienen tales sustancias Un bote de Culturismín contiene 3 unidades de A, de B y de C y cuesta 6 euros Un bote de Musculín cuesta 4 euros y contiene 4 unidad de A, de B y de C Cuántos botes se deben comprar de cada tipo para tener las necesidades cubiertas y el coste sea mínimo? Sea x el número de botes de Culturismín e y el de Musculín El contenido de un bote de cada tipo de compuesto y las necesidades viene reflejado en la siguiente tabla: Proteína A Vitamina B Aminoácido C Culturismín 3 Musculín 4 Necesidades 8 7 3 Las restricciones vienen dadas por las necesidades: 3x+ 4y 8; x+ y 7; x+ y 3 ; x 0 ; y 0 Como en los ejercicios anteriores, despejando una incógnita en cada desigualdad y representando los puntos del plano correspondientes obtenemos: 3x + 8 y ; y x+ 7; y x+ 3 ; x 0 ; y 0 4 Como la región factible no es acotada, debemos usar el método gráfico para hallar el coste mínimo, cuya función viene dada por Cs( x, y) = 6x + 4y Esta función, para cada valor de coste, viene representada por rectas paralelas al vector v = ( 4,6), que en la gráfica están representadas por las líneas de puntos Si nos fijamos en el punto de corte con el eje Y (en cuyo caso, x ), el coste en ese caso es 4y, por lo que será la recta de un coste mínimo si y toma un valor mínimo en dicho eje Y Desde luego, únicamente podemos tener en cuenta las rectas que contengan al menos un punto en la región factible
IES Salduba Como se puede ver en la gráfica, ese hecho ocurre en la recta que pasa por el vértice A Este vértice es 3x + 8 el punto de corte de las rectas y = y y = x+ 7 4,3 Por tanto el vértice A tiene coordenadas ( ) Luego el coste mínimo se obtiene comprando cajas de Culturismín y 3 cajas de Musculín, con un coste de Cs,3 = 6 + 4 3 = 4 euros ( ) Finca El Arquillo, s/n 9670 San Pedro de Alcántara