FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EN PROLEMAS FÍSICOS Taller preparativo para el parcial sobre las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Adrian Montoya Lince (Docente) David Hincapie Garcia (Auxiliar Docente) Alejandro Arias Rodriguez (Monitor)
ENUNCIADOS EJERCICIO 1 El día jueves a las 12:00 m un monitor informa a un estudiante del curso de Ecuaciones Diferenciales que uno de los puntos del primer parcial es un ejercicio de frenado de vehículo, para el día viernes a las 12:00 m la cantidad de estudiantes que saben sobre el rumor son 20. Sabiendo que la EDO que determina la cantidad x(t) de estudiantes que conocen el rumor es x (t) = k[n x(t)] Donde N = 135 es el número total de estudiantes, determine: 1. El tiempo en el cual el 50% de los estudiantes conoce el rumor. 2. Todos los estudiantes sabrán sobre el contenido del parcial para el día martes a las 12:00 m? EJERCICIO 2 Considere un vehículo de masa m y velocidad inicial v i transitando por una autopista. Un transeúnte observa a un sujeto ubicado a una distancia conocida x f del vehículo, el conductor al ver al transeúnte frena bruscamente de modo que demora un tiempo t f en detenerse. Considere que el vehículo tiene m = 1.5 [T on], v i = 70 [Km/h], t f = 20 [seg], x f = 70 [m]. 1. Encuentre la ecuación diferencial que modela el fenómeno considerando una fuerza de fricción superficial (proporcional a la normal del vehículo f f = µn donde µ = 5X10 3 ) y una fuerza de fricción laminar (proporcional a la velocidad instantánea del vehículo f F = v) El conductor logra frenar a tiempo? 2. Considere ahora que al frenar el vehículo, el conductor nervioso también hunde el acelerador por lo que el vehículo experimenta un empuje (debido al motor) de F 0 = 20 [N]. Determine la velocidad y posición del vehículo. 3. Represente gráficamente la velocidad y posición para los dos modelos planteados. EJERCICIO 3 Considere la ecuación diferencial: yp 2 + 2xp + y = 0
1. Qué tipo de ecuación diferencial es?, es posible reducirla a otro tipo de ED? 2. Encuentre las regiones del plano donde se puede ubicar un punto (x 0, y 0 ) de tal manera que se garantice solución al problema de valor inicial. 3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial. 4. Encuentre las soluciones singulares de la ecuación diferencial.
SOLUCIÓN EJERCICIO 1 La ecuación diferencial que modela la cantidad de estudiantes que saben sobre el rumor es: dx = k[n x] (1) dt Ecuación diferencial de primer orden o de variables separables. Considerando t en días, se tiene que x(0) = 1 y x(1) = 20, por lo tanto la cantidad de estudiantes que saben sobre el rumor para el día martes es x(5) =? EDO de primer orden La ecuación 1 se puede escribir como: dx dt + kx = kn El factor de integración para la ecuación diferencial es: φ(t) = e kdt = e kt Por lo tanto la solución general es: x(t) = Ce kt + e kt kne kt dt Integrando y evaluando la condición inicial x(0) = x 0 se llega a: x(t) = (x 0 N)e kt + N El valor de k se determina con la condición x(1) = x 1 de modo que: ( ) x 1 = (x 0 N)e k x1 N + N k = ln x 0 N Reemplazando los valores dados se llega a: x(t) = 135 134e 0.1529t (2)
EDO de variables separables La ecuación 1 se puede escribir como: Integrando a ambos lados se llega a: dx N x = kdt ln C(N x) = kt Reorganizando la anterior expresión y evaluando la condición inicial x(0) = x 0 se llega a: x = N (N x 0 )e kt El valor de k se determina con la condición x(1) = x 1 de modo que: ( ) x 1 = N (N x 0 )e k x1 N k = ln x 0 N Reemplazando los valores dados se llega a: x(t) = 135 134e 0.1529t (3) 1. El tiempo t i en el cual el número de estudiantes es 67.5 de modo que x(t i ) = 67.5. 67.5 = 135 134e 0.1529t t = 1 ( ) 67.5 135 0.1529 ln = 4.48 5 134 2. El tiempo t f no se puede determinar despejando t de la ecuación 2 debido a que ln 0 no existe, las funciones exponenciales que tienen la forma: f(t) = 1 e ( t τ ) Donde τ es la constante de tiempo de la función, estas funciones presentan estabilidad al cabo de 5 constantes de tiempo por lo tanto: τ = 1 0.1529 = 6.5399 Por lo tanto el tiempo que demora en que el rumor sea esparcido en los 135 estudiantes es t f = 5τ = 32.6995 [dias] por lo tanto no todos los estudiantes sabrán sobre el contenido del parcial para el día martes.
Figure 1: Comportamiento de la cantidad de estudiantes x que saben sobre el rumor EJERCICIO 2 De la segunda ley de Newton se tiene que: d(mv) dt = F = F f,1 F f,2 + F 0 Los signos de las fuerzas F f,i son negativos debido a que las fuerzas se oponen al movimiento del vehículo, el signo de la fuerza F 0 es positivo porque va en la dirección del movimiento del vehículo. La ecuación se puede escribir de la forma: La ecuación se puede escribir como: m dv dt + v = µn + F 0 (4) dv dt + m v = µg + F 0 m Ecuación diferencial de primer orden que tiene como factor de integración φ(t) = e m dt = e m t Por lo que la solución a la ecuación diferencial viene dada por: ( ) ( ) v(t) = Ce m t + e m t F0 m µg e m t dt = Ce m t F0 m + m µg
Evaluando la condición v(0) = v i se llega a: ( ) F0 µmg v(t) = (1 e m t ) + v i e m t (5) De la ecuación 5 se determina el valor de debido a que el comportamiento de la función es exponencial, esta alcanza estabilidad al cabo de 5 constantes de tiempo, esto es: t f = 5τ = 5 m = 5m t f = 375 [Kgs 1 ] NOTA: Considerar la condición x(t f ) = x f que corresponde a x(20) = 70 es un error debido a que se está preguntando si el automóvil atropella al transeúnte, asumir esa condición indica que si atropella al transeúnte. Integrando la ecuación 5 se llega a la posición del vehículo en todo instante de tiempo, esto es: [( F0 µmg x(t) = v(t)dt + C = ( ) F0 µmg ( x(t) = t + m e Y evaluando la condición inicial x(0) = 0 se llega a: ) (1 e m t ) + v i e m t ] dt ) m t mv i e m t + C ( F0 µmg 0 = ( ) F0 µmg ( x(t) = t + m e ) m mv i + C ) m t mv i e m t + m ( v i F ) 0 µmg (6) 1. Considerando F 0 = 0 las ecuaciones se reducen a: v(t) = 0.1962(1 e 0.25t ) + 19.4444e 0.25t (7) x(t) = 0.1962 ( t + 4e 0.25t) 77.7778e 0.25t + 78.5626 (8) Calculando x(t f ) = x(20) = 74.1092 [m] por lo tanto, el conductor si atropella al transeúnte.
Figure 2: Velocidad en función del tiempo del vehículo para F 0 = 0 [N] Figure 3: Posición en función del tiempo del vehículo para F 0 = 0 [N] 2. Considerando F 0 = 20 [N] las ecuaciones se reducen a: v(t) = 0.1429(1 e 0.25t ) + 19.4444e 0.25t (9) x(t) = 0.1429 ( t + 4e 0.25t) 77.7778e 0.25t + 78.3492 (10)
Figure 4: Velocidad en función del tiempo del vehículo para F 0 = 20 [N] Figure 5: Posición en función del tiempo del vehículo para F 0 = 20 [N] Comparando las velocidades y posiciones para F 0 = 0 [N] y F 0 = 20 [N] gráficamente:
Figure 6: Comparación de la velocidad en función del tiempo del vehículo para los dos modelos Figure 7: Comparación de la posición en función del tiempo del vehículo para los dos modelos EJERCICIO 3 La ecuación diferencial se puede escribir como: ( ) x p 2 + 2 p + 1 = 0 y
1. es una EDO tipo p soluble para p, debido a que despejando p se llega a una EDO homogénea por lo que si es posible reducirla. p = dy dx = 2 ( x y ) ( ± 2 2 ( x y )) 2 4 = x y ± (x y ) 2 1 2. Las regiones del plano donde se garantiza solución. Sea f(x, y) = x y ± (x y ) 2 1 f y = x y 2 ± x 2 y 3 ( x y ) 2 1 Las condiciones para que halla continuidad para las dos funciones es: y 0 x2 y 2 1 > 0 x2 y 2 > 0 De la última condición: (x + y)(x y) > 0 por lo que aparecen dos regiones que corresponden a la unión de (x + y) > 0 (x y) > 0 y (x + y) < 0 (x y) < 0 De la región (x + y) > 0 (x y) > 0 se llega a que y > x y < x y de la región (x + y) < 0 (x y) < 0 se llega a que y < x y > x. Las regiones son entonces:
Figure 8: Regiones del plano donde se garantiza solución por el TEU (azules). Las zonas y lineas rojas corresponden a zonas donde NO se garantiza solución 3. Sea u = yx 1 y = ux dy dx = u + xdu dx Reemplazando en la ED se llega a: u + x du dx = 1 1 u ± u 1 = 1 1 u 2 u ± 2 u 2 = 1 u ± 1 u 1 u 2 u + x du dx = 1 ( 1 ± ) 1 u u 2 x du dx = 1 ( 1 ± ) 1 u u 2 u = 1 ( (1 + u 2 ) ± ) 1 u u 2 Ecuación diferencial de variables separables udu (1 + u 2 ) ± 1 u 2 = dx x (11)
Sea z 2 = 1 u 2 u 2 = 1 z 2 por lo que zdz = udu y reemplazando en la ED zdz z 2 ± z 2 = dx x El primer término mediante fracciones parciales es: z (z ± 2)(z 1) = A z ± 2 + z 1 Se llega a A(z 1) + (z ± 2) = z. Si z = ±1 se llega a que (±1 ± 2) = ±1 y si z = 2 se llega a que A( 2 1) = 2 por lo que A = 2/3 y = 1/3 La ecuación se reduce a: Integrando a ambo lados. ( 1 2 3 z ± 2 + 1 ) dz = dx z 1 x 1 (2 ln (z ± 2) + ln (z 1)) = ln (kx) 3 ln ( (z ± 2) 2 (z 1) ) = ln (kx) 3 (z ± 2) 2 (z 1) = (kx) 3 (± 1 u 2 ± 2) 2 (± 1 u 2 1) = (kx) 3 La solución general a la ecuación diferencial es: ( ) ( y ) 2 ( ) 2 ( y ) 2 ± 1 ± 2 ± 1 1 = (kx) 3 (12) x x 4. Para determinar las soluciones singulares de la ED: (yp 2 + 2xp + y) p = 0 2yp + 2x = 0 p = x y Reemplazando en la ED: ( y x ) 2 ( + 2x x ) + y = 0 x2 y y y 2x2 y + y = 0 De donde y 2 = x 2 y las soluciones singulares son y = ±x