TEMA 6. PROBABILIDAD En este tema vamos a estudiar el comportamiento del azar. A pesar de que entendemos la palabra azar como sinónimo de imprevisible, vamos a ver cómo, en realidad, el azar tiene ciertas regularidades y leyes que lo rigen. Por ejemplo, si lanzamos una moneda al aire, podemos considerar que es igual de probable que salga cara o que salga cruz. O bien, si lanzamos un dado, cualquiera de de los seis posibles resultados tienen la misma probabilidad. Otro ejemplo típico es sacar una carta de una baraja. Cada vez que realizamos un experimento de este tipo (lanzar una moneda, un dado ) estamos realizando una experiencia aleatoria. Las experiencias anteriores son regulares, pero hay otros casos en los que es imposible predecir el valor de las probabilidades de lo que pueda acontecer. Por ejemplo, no podemos saber la probabilidad de que una persona sufra un accidente de tráfico un día determinado, o de que el próximo coche que pase por la calle sea de color rojo. En estas experiencias, que llamamos irregulares, sólo podemos conocer aproximadamente el valor de las probabilidades haciendo muchas observaciones repetidas del fenómeno aleatorio. SUCESOS ALEATORIOS Cuando realizamos una experiencia aleatoria pueden darse varios resultados. Cada uno de ellos se llama suceso elemental. Ejemplo: Cuando lanzamos un dado, tenemos seis sucesos elementales, que son sacar 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Al conjunto de todos los sucesos elementales se le llama espacio muestral, y se designa por E. En el ejemplo anterior, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Pero a veces, nos puede interesar el estudio de varios sucesos elementales a la vez, como el caso de sacar cifra par al lanzar un dado. Éste sería el suceso {2, 4, 6} formado por tres sucesos elementales. Llamamos suceso a cualquier subconjunto de E, incluyendo el propio E y el conjunto vacío Ø. Ejemplo: Al lanzar un dado, los posibles sucesos serían { Ø, {C}, {+}, {C,+} } Al suceso E se le llama suceso seguro y al suceso Ø, suceso imposible. 1
Ejemplo: En el experimento extraer una carta de una baraja española, el espacio muestral está formado por las 40 cartas, que son los sucesos elementales. Además, otros sucesos podrían ser: AS = { as de oros, as de copas, as de bastos y as de espadas } OROS = { 1 de oros, 2 de oros,.., caballo de oros y rey de oros} OPERACIONES CON SUCESOS Unión de dos sucesos A y B (A B) es el suceso formado por los elementos que pertenecen a A y los que pertenecen a B. Ejemplo: Supongamos que lanzamos un dado y que nos interesamos por los sucesos A = menor que 5 = {1, 2, 3, 4} y B = número par = {2, 4, 6}. Entonces, A B = {1, 2, 3, 4, 6} Intersección de dos sucesos A y B (A B) es el suceso formado por los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente. Ejemplo: A B = {2, 4} Sucesos incompatibles son los que no tienen en común ningún suceso elemental, es decir, que nunca pueden ocurrir sumultáneamente: A B = Ø. Ejemplo: Menor que 3 = {1, 2} y Mayor que 4 = {5, 6} son incompatibles. Suceso contrario o complementario de S ( S ) es el suceso formado por los sucesos elementales que no pertenecen a S, de forma que entre S y S completan el espacio muestral y se cumple que S S = E y S S = Ø. Ejemplo: par = {2, 4, 6} e impar = {1, 3, 5} son contrarios. PROBABILIDAD DE UN SUCESO La probabilidad de un suceso S indica el grado de posibilidad de que ocurra dicho suceso. Se expresa mediante un número comprendido entre 0 y 1, y se escribe P(S). Si P(S) está próximo a 0 el suceso es poco probable y será más probable cuanto más se aproxime a 1, que es la probabilidad del suceso seguro. 2
Propiedades de la probabilidad a) P(Ø) = 0 b) P(E) = 1 c) 0 P(S) 1 d) Además, P(S ) = 1 P(S) Regla de Laplace Cuando dos sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir al realizar un experimento aleatorio, se dicen equiprobables. Si en un espacio muestral todos los sucesos elementales son equiprobables se dice regular y la probabilidad de un suceso cualquiera S se puede calcular mediante la regla de Laplace: P( S) casos favorables casos posibles Ejemplos: Al lanzar un dado, P(número par) = 3/6 = 0.5. En una baraja española, P(Oros) = 10/40 = 0.25 y P(As) = 4/40 = 0.1 SUCESOS COMPUESTOS En muchas ocasiones un experimento aleatorio está formado por la sucesión de otros más sencillos y se llama suceso compuesto. Es el caso de tirar dos dados, lanzar tres monedas, extraer varias cartas de una baraja, En estos casos, para obtener el espacio muestral se puede utilizar alguna de estas técnicas: a) Tabla de doble entrada. Es para cuando se combinan dos experimentos simples, como tirar dos dados: 3
b) Diagrama de árbol. Sirve también para más de dos experimentos simples. Ejemplo: lanzar tres monedas. Observa que si el primer experimento tiene m resultados distintos y el segundo n, el número de resultados para la combinación de ambos experimentos es m n. PROBABILIDAD DE SUCESOS COMPUESTOS Es más fácil calcular la probabilidad de los sucesos compuestos si los descomponemos en sucesos más simples. Por ejemplo, la experiencia lanzar tres veces una moneda se puede considerar formada por experiencias simples: lanar primero la moneda, luego otra vez y otra vez. Las experiencias simples que forman una experiencia compuesta pueden ser: Independientes: Cuando el resultado de cada experiencia no influye en el de las siguientes (por ejemplo, cuando lanzas tres monedas seguidas). En este caso, la probabilidad de que ocurra la experiencia compuesta es igual a su producto. P(A y B y C) = P(A B C) = P(A) P(B) P(C) 4
Ejemplo: Al lanzar tres monedas, la probabilidad de que salgan tres caras sería: P(la 1ª sea cara y la 2ª sea cara y la 3ª sea cara) = P(Cara Cara Cara) = P(Cara) P(Cara) P(Cara) = ½ ½ ½ = 1/8 Dependientes: Cuando el resultado de cada una de las experiencias influye en el resultado de las siguientes (por ejemplo, cuando sacas tres cartas de una baraja) En este caso, para calcular la probabilidad de la experiencia compuesta, habremos de tener en cuenta las experiencias ya realizadas. P(A B) = P(A) P(B sabiendo que ha ocurrido A) = P(A) P(B/A) P(A B C) = P(A) P(B/A) P(C/A y B) A las probabilidades de tipo P(A/B) se les llama probabilidades condicionadas. Ejemplo: Si sacamos dos cartas de una baraja española sin reemplazamiento, calcular la probabilidad de que sean dos oros. P(la 1ª sea Oros la 2ª sea Oros) = P(1ª sea Oros) P(2ª sea Oros sabiendo que la primera ya ha sido Oros) = P(1ª sea Oros) P(2ª sea Oros / 1ª ha sido Oros) = 10 40 9 39 90 1560 3 52 UNIÓN DE SUCESOS Para calcular la probabilidad de la unión hemos de diferenciar dos casos: Sucesos incompatibles: Son aquellos que no pueden suceder a la vez, es decir los que cumplen que A B = Ø. En este caso, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) 5
Ejemplo: Al extraer una carta de una baraja española, calcular la probabilidad de que sea rey o sota. Estos sucesos son incompatibles porque una carta no puede ser rey y sota a la vez. Por lo tanto, P(rey o sota) = P(rey sota) = P(rey) + P(sota) = + = 0.2 Sucesos compatibles: Son los que sí que pueden suceder a la vez, en los que la intersección no es el suceso vacío, A B Ø. Por ejemplo, al sacar una carta de una baraja española, el suceso sacar as y el suceso sacar oros son compatibles porque el as de oros pertenece a los dos sucesos. En este caso, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Ejemplo: Al lanzar un dado consideremos los sucesos A = impar = {1, 3, 5} y B = primo = {2, 3, 5}. Son dos sucesos compatibles porque el 3 y el 5 pertenecen a ambos (A B = {3, 5} Ø ). Entonces, P(impar o primo) = P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) =3/6+3/6 2/6=4/6=2/3 ya que: P(A) = 3/6, P(B) = 3/6 y P(A B) =2/6. EJERCICIOS 1. Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y en caso afirmativo halla su expacio muestral. a. Extraer una carta de una baraja española y anotar el palo b. Pesar un litro de aceite c. Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo conocidos sus catetos d. Elegir sin mirar una ficha de dominó e. Averiguar el resultado de un partido de fútbol antes de que se juegue f. Sacar una bola de una bolsa que tiene 4 bolas rojas g. Sacar una bola de una bolsa que tiene 1 bola roja, 1 verde y 1 azul h. Lanzar al aire una moneda y observar el tiempo que tarda en caer i. Lanzar tres veces una moneda 2. Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste en extraer una bola. a. Cuál es el espacio muestral? b. Consideramos los sucesos A = extraer número primo y B = obtener múltiplo de 3. Escribe los sucesos A, B, A, A B y A B. 6
3. Si se extraen dos cartas de una baraja y se mira el palo, indica cuál es el suceso contrario: a. S = las dos son de oros b. S = ninguna es de copas 4. Se extrae una carta de la baraja española. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a. Que sea una figura. b. Que sea bastos o espadas. c. Que sea oros o rey. 5. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que: a. Sea impar. b. Sea mayor que 5. c. No sea el 7. 6. Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 3 azules. a. Cuál es la probabilidad de que sea roja? b. Y la probabilidad de que no sea blanca? 7. Al lanzar dos dados, Cuál es la probabilidad de que la suma sea 4? Y que sea 2? y mayor que 5? 8. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados alguna de las puntuaciones sea mayor que 4. 9. Tenemos una urna con 3 bolas verdes y 2 bolas rojas. Extraemos dos bolas. cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes? 10. Extraemos dos cartas de una baraja española. Cuál es la probabilidad de que la primera sea un rey y la segunda un as? 11. Tenemos una baraja española de 40 cartas. Calcular la probabilidad de: a. Sacar una carta al azar y que sea una sota b. Sacar una carta al azar y que sea oros c. Sacar dos cartas al azar (sin reemplazarlas) y que sean las dos copas d. Qué es más difícil: que al sacar 10 cartas al azar (reemplazándolas), obtengamos diez veces el número l,o bien, los números 2,3,5,6,4,7,4,3,4,5 12. Si lanzamos dos monedas al aire, cual es la probabilidad de obtener a. dos caras b. cara y cruz c c. dos cruces 7
13. Si lanzamos un dado al aire, y una moneda, cual es la probabilidad de obtener a. un seis y cara b. un cuatro y cruz 14. En una clase hay 7 chicos y 8 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase. Calcula la probabilidad de que: a. Sean dos chicas b. Sean dos chicos c. Sean un chico y una chica 15. Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de obtener 5 caras y también la de obtener alguna cruz. 16. Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Extraemos tres bolas. Cuál es la probabilidad de que las tres sean blancas? Y negras? 8