roblemes de Geometria per a l ESO 08 07- Si un jardí rectangular l eixamplarem m més ample i 3 m més llarg, tindria 64 metres quadrats més gran Si l eixamplarem 3 m més amples i m més llargs, tindria 68 metres quadrats més grans uines són les dimensions del jardí? a+3b+6=64 3b b+ b a a+3 6 3a+b+6=68 a b b+3 3a 6 el rectangle de a metres de llarg i b metres d ample Si l eixamplarem m més ample i 3 m més llarg, tindria 64 metres quadrats més gran leshores ( a 3)(b ) ab 64 a 3b 58 Si l eixamplarem 3 m més amples i m més llargs, tindria 68 metres quadrats més grans leshores: ( a )(b 3) ab 68 a+ 3a b 6 onsiderem el sistema format per les dues equacions: a 3b 58 a 4 m Resolent el sistema 3a b 6 b 0 m
07- un rectangle i el punt mig del costat la projecció perpendicular de sobre la recta roveu que el triangle és isòsceles a, b costats del rectangle a plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle a 4b Els triangles rectangles teorema de Tales: a b a 4b ab a 4b, plicant el la projecció de sobre la recta Els triangles rectangles, : ' plicant el teorema de Tales: ' ' b a a 4b leshores, ' ab a 4b er tant, ' leshores, és el punt mig del costat i ' perpendicular a aquest costat leshores, el triangle és isòsceles, Si el punt és exterior al rectangle la demostració és anàloga ',79 cm
073- Els vèrtexs d un octógon regular inscrit en una circumferència de radi eatan connectats de tres maneres diferentes, cada vèrtexs amb els vèrtexs adjacentes, formants dos quadrats i el tercer formant un octógon estrellat emostreu que el producte dels radis de les terceres circumferències inscrites és KöMaL 48 EFGH l octògon regular de centre O i radi O R OK radi de la circumferència inscrita a l octògon regular EFGH 360º O, OK 8 plicant raons trigonomètriques al triangle rectangle KO: R cos R OL radi de la circumferència inscrita al quadrat EG: O 90º, OL plicant raons trigonomètriques al triangle rectangle cos R LO : R 3 OM radi de la circumferència inscrita al octògon estrellat: OE 35º, OEM plicant raons trigonomètriques al triangle rectangle EOM : R 3 sin R R R3 cos cos sin 4 sin cos sin90º Generalització: Si el radi de la circumferència circumscrita a l octògon regular EFGH és R: R 3 R R R3 4 H K G L O M F E
074- En la figura, és un quadrat de costat 6 EF és paral lel al quadrat i té longitud Les cares F i E són triangle equilàters alculeu el volum del sòlid EF Siguen les rectes i M el punt mig de l aresta E la projecció de E sobre el plànol El plànol perpendicular a la recta que passa per E talla les rectes i en els punts i, respectivament El plànol perpendicular a la recta que passa per F talla les rectes i en els punts i, respectivament ' EF ' EF 3 El volum del sòlid EF és igual al volum del prisma E F menys dues vegades el volum de la piràmide E plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle 6 3 3 6 EM plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle 3 6 3 6 EE ' El volum del sòlid EF és: S EF EE ' EF EE ' 3 S EF 6 6 3 6 6 88 3 ME : ME ' E :
075- Siguen dues circumferències de centres i i radis 8 i 6, respectivament La distància entre els centres intersecció de les dues circumferències Una recta que passa per talla les circumferències en els punts i R tal que R alculeu R Solució : R x, R R plicant el teorema del cosinus al triangle : 8 6 8 6 cos cos 4 80º 80 º x x cos, 8 6 0,3 cos( ) 4 x 6 x 56 x sin 6 x x cos, 6 44 x sin x 56 x 44 x x 56 x 44 x 88 6 4 88 56 x 44 x Elevant al quadrat i simplificant: x 30 Resultado:,40 Resultado: 3,60 Resultado: 5,40 Resultado: 3,4 Solució : R x M el punt mig de N el punt mig de R MR MNR 90º M N x M La circumferència de centre talla el segment en el punt K K K 6 plicant el teorema invers de Tales: K és paral lel a M i N leshores, KR 90º leshores, R pertany a la recta Siguen i E la intersecció de la recta i la circumferència de centre R 0, RE 6 plicant la potència de R respecte de la circumferència de centre : R R R RE x x 0 6 Resolent l equació: x 30 E K N R
5 Ricard eiró i Estruch 076- l interior del quadrat de costat 60, construïm quatre triangles isòsceles igual de base 60 i altura 50, tal que cada base coincideix en un costat del quadrat alculeu l àrea de l octògon format per les interseccions dels quatre triangles rux Mathematicorum 34,50 cm el quadrat de costat 60 F E el punt mig del costat F el punt mig del costat,40 cm Siguen, R i, cm d altura 50 S els triangles isòsceles F 0 GHIJKLMN l octògon format per les interseccions dels quatre triangles EN FL x,40 cm Els triangles rectangles EN, plicant el teorema de Tales: 30 50 Resolent l equació: x 30 x 8 FR són semblants E V M N O G L H R K J I U S NJ x 60 8 4 R F 60 0 40 U la projecció de I sobre el costat y U Notem que I pertany a la diagonal U 60 y, IU y Els triangles rectangles UI, FR són semblants plicant el teorema de Tales: 60 y 50 Resolent l equació: y 30 45 y V la projecció de K sobre FR 45 5 VK F y 30 L àrea de l octògon GHIJKLMN és igual a l àrea del rombe NRJ menys quatre vegades l àrea del triangle LK : 5 S GHIJKLMN NJ R 4 L VK 4 40 4 8 360
077- En el triangle, com mostra la figura, El punt divideix el costat en dues parts de longituds,, i es coneixen els angles, 60º etermineu la mesura de l angle Ledesma, (005): Áreas de juegos y juegos de áreas XVII Open Matemático eportes y Matemáticas E altura del triangle F altura del triangle E x 3 F F E 60º E x 3 E E ( x) x 3 ( x) 3 x Resolent l equació: F E x 6 F F 6 F 3 F 3 leshores, F 30º F F 30º 75º
078- Un cuboctaedre és un poliedre semiregular format per cares (8 triangles equilàters i 6 quadrats de costats iguals) Si el cuboctaedre té arestes iguals a, calculeu la distància entre dues cares triangulars oposades una cara triangle equilàter del cuboctaedre El cuboctaedre està inscrit en un cub, tal que els vèrtexs del cuboctaedre són els punts migs de les arestes del cub Siguen i vèrtexs oposats del cub tal que la recta és perpendicular a la cara cuboctaedre del La recta talla la cara en el punt plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle : L aresta del cub és: a La diagonal ' a 3 6 ' del cub mesura: és el centre del triangle equilàter 3 3 3 3 : plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle : 6 3 6 La distància entre dues cares triangulars oposades del cuboctaedre és: 6 d ' 6 6 6 3 La distància entre dues cares quadrades oposades és igual a l aresta del cub
079- En una esfera hi ha inscrit un doble con recte alculeu la proporció entre L àrea del doble con i l àrea de l esfera La generatriu del con és: g R L àrea del doble con és: S c R R R L àrea de l esfera és: S e 4R La proporció entre els volums és: S S c e R 4R
080- el quadrat Siguen O, M, N els punts migs dels costats, i ibuixem l arc MN de centre O alculeu la proporció entre l àrea ratllada i l àrea del quadrat N M O c costat del quadrat MON 90º plicant el teorema de itàgores al triangle rectangle isòsceles ON : OM c L àrea ratllada és igual a l àrea del quadrat menys la suma de les àrees d un quadrant de radi OM c i l àrea d un quadrat de costat O c : 6 Sratllada c c c c 4 8 La proporció entre les àrees és: 6 c Sratllada 8 6 03573 S c 8