SECCIÓN 3: MÉTODOS ESTADÍSTICOS El diseño de las redes de saneamiento, están siempre relacionadas con eventos lluviosos. Evento que debe pronosticarse con objeto de determinar adecuadamente las secciones de transporte de caudales en la red. El camino más viable es el estadístico. Entre las funciones de distribución de probabilidad utilizadas en hidrología destacamos: la distribución normal, Lognormal, Pearson III y Gumbel. De todas ellas, las más empleadas en una serie de valores extremos son las dos últimas y especialmente el método de Gumbel. MÉTODO DE GUMBEL El método de Gumbel nos permite obtener a partir de una serie anual de máximas intensidades medias la máxima intensidad media correspondiente a cada período de retorno. Si se disponen de N muestras, cada una de las cuales contiene n eventos y se selecciona el máximo x de los n eventos de cada muestra, se demuestra que a medida que n aumenta, la función de distribución de probabilidad de x F(x) tiende a: F(x) = e e α ( x u ) o lo que es lo mismo F(x) = exp { exp[ α( x u) ]} x aunque aquí viene referido a precipitaciones puede ser otra magnitud extrema, por ejemplo caudales. Según la definición del período de retorno T se tiene: F(x) = 1 T = e e α ( x u ) Los parámetros α y u para muestras grandes valen: α = σ * σ y u = x - σ y σ * Los valores de y y σ se recogen en la tabla 14 x = media de la serie dada; σ = desviación típica Página 1 de 1
Tabla 14 y σ * n 10 0,4952 09497 12 0,5035 09833 14 0,5100 10095 16 0,5157 10316 18 0,5202 10493 20 0,5236 10628 22 0,5268 10754 24 0,5296 10864 26 0,5320 10961 28 0,5343 11047 30 0,5362 11124 35 0,5403 11285 40 0,5436 11413 45 0,5463 11518 50 0,5485 11607 55 0,5504 11682 60 0,5521 11747 65 0,5535 11803 70 0,5548 11854 75 0,5559 11898 80 0,5569 11938 85 0,5578 11974 90 0,5586 12007 95 0,5593 12037 100 0,5600 12065 (Véase sección 3: aplicación) MÉTODO PARA LA DETERMINACIÓN DE LAS CURVAS I D F Este método relaciona simultáneamente las tres variables intensidad, duración y frecuencia, en una familia de curvas cuya ecuación es la expuesta anteriormente: m a T I = (d + b) n Si tomamos logaritmos en la ecuación anterior se obtiene: lg I = lg a + m lg T n lg (d + b) Página 2 de 2
Si sustituimos: lg I = y ; lg a = A 0 ; m = A 1 ; lg T = X 1 ; - n = A 2 ; lg (d + b) = X 2 nos queda una ecuación del tipo: y = A 2 X 2 + A 1 X 1 + A 0 La ecuación anterior, representa una familia de líneas rectas de pendiente A 2, ordenada en el origen A 0 Podemos por tanto realizar un ajuste lineal, en el que se obtendrían las siguientes ecuaciones: y = A 2 X 2 + A 1 X 1 + N A 0 ( X 1 y ) = A 2 (X 1 X 2 )+ A 1 (X 2 1 ) + A 0 X 1 ( X 2 y ) = = A 2 ( X 2 ) 2 + A 1 (X 1 X 2 ) + A 0 X 2 X 1, X 2 e y son datos del registro de precipitaciones, las incógnitas A 0, A 1 y A 2 Ejemplo En una estación pluviométrica se han tomado los siguientes datos en los intervalos de tiempos referidos para la serie de años de la tabla 15 Tabla 15 Año Altura de precipitación en mm Duración minutos 30 60 90 120 1990 5 6 8 11 1991 7 7 12 18 1992 10 12 15 19 1993 8 11 14 19 1994 1 2 3 4 1995 6 7 9 10 1996 9 12 18 21 1997 7 7 7 7 1998 9 15 21 39 1999 8 10 12 20 2000 10 18 18 19 Página 3 de 3
Transformamos los datos de la tabla 15 en intensidades en mm/h, dividiendo los valores dados por el tiempo expresado en horas, se ordenan de mayor a menor y se le asigna un período de retorno mediante la expresión: T = n + 1 m obteniéndose la tabla 16 Tabla 16 Nº de orden Intensidades en mm/h orden Período de retorno Duración minutos 30 60 90 120 1 12,00 20,0 18,0 14,0 19,5 2 6,00 20,0 15,0 12,0 10,5 3 4,00 18,0 12,0 12,0 10,0 4 3,00 18,0 12,0 10,0 9,5 5 2,40 16,0 11,0 9,3 9,5 6 2,00 16,0 10,0 8,0 9,5 7 1,71 14,0 7,0 8,0 9,0 8 1,50 14,0 7,0 6,0 5,5 9 1,33 12,0 7,0 5,3 5,0 10 1,20 10,0 6,0 4,7 3,5 11 1,09 2,0 2,0 2,0 2,0 En la tabla 17 se recoge en cada columna, el cálculo de las variables X 2 X 1 e y, los productos X 1 *Y, X 2 *Y los cuadrados de X 1, X 2 y los productos X 1 *X 2, respectivamente. Página 4 de 4
Tabla 17 X 1 =l og T X 2 = log d Y = log int X 1 *Y X 2 *Y 2 X 1 2 X 2 X 1 *X 2 1,079 1,477 1,301 1,404 1,922 1,165 2,182 1,594 0,778 1,477 1,301 1,012 1,922 0,606 2,182 1,149 0,602 1,477 1,255 0,756 1,854 0,362 2,182 0,889 0,477 1,477 1,255 0,599 1,854 0,228 2,182 0,705 0,380 1,477 1,204 0,458 1,779 0,145 2,182 0,562 0,301 1,477 1,204 0,362 1,779 0,091 2,182 0,445 0,230 1,477 1,146 0,264 1,693 0,053 2,182 0,340 0,176 1,477 1,146 0,202 1,693 0,031 2,182 0,260 0,114 1,477 1,079 0,123 1,594 0,013 2,182 0,168 0,079 1,477 1,000 0,079 1,477 0,006 2,182 0,117 0,041 1,477 0,301 0,012 0,445 0,002 2,182 0,061 1,079 1,778 1,255 1,355 2,232 1,165 3,162 1,919 0,778 1,778 1,176 0,915 2,091 0,606 3,162 1,384 0,602 1,778 1,079 0,650 1,919 0,362 3,162 1,071 0,477 1,778 1,079 0,515 1,919 0,228 3,162 0,848 0,380 1,778 1,041 0,396 1,852 0,145 3,162 0,676 0,301 1,778 1,000 0,301 1,778 0,091 3,162 0,535 0,230 1,778 0,845 0,195 1,503 0,053 3,162 0,410 0,176 1,778 0,845 0,149 1,503 0,031 3,162 0,313 0,114 1,778 0,845 0,096 1,503 0,013 3,162 0,203 0,079 1,778 0,778 0,062 1,384 0,006 3,162 0,141 0,041 1,778 0,301 0,012 0,535 0,002 3,162 0,074 1,079 1,954 1,146 1,237 2,240 1,165 3,819 2,109 0,778 1,954 1,079 0,840 2,109 0,606 3,819 1,521 0,602 1,954 1,079 0,650 2,109 0,362 3,819 1,177 0,477 1,954 1,000 0,477 1,954 0,228 3,819 0,932 0,380 1,954 0,968 0,368 1,893 0,145 3,819 0,743 0,301 1,954 0,903 0,272 1,765 0,091 3,819 0,588 0,230 1,954 0,903 0,208 1,765 0,053 3,819 0,450 0,176 1,954 0,778 0,137 1,521 0,031 3,819 0,344 0,114 1,954 0,724 0,083 1,415 0,013 3,819 0,223 0,079 1,954 0,672 0,053 1,313 0,006 3,819 0,155 0,041 1,954 0,301 0,012 0,588 0,002 3,819 0,081 1,079 2,079 1,290 1,392 2,682 1,165 4,323 2,244 0,778 2,079 1,021 0,795 2,123 0,606 4,323 1,618 0,602 2,079 1,000 0,602 2,079 0,362 4,323 1,252 0,477 2,079 0,978 0,466 2,033 0,228 4,323 0,992 0,380 2,079 0,978 0,372 2,033 0,145 4,323 0,791 0,301 2,079 0,978 0,294 2,033 0,091 4,323 0,626 0,230 2,079 0,954 0,220 1,984 0,053 4,323 0,479 0,176 2,079 0,740 0,130 1,539 0,031 4,323 0,366 0,114 2,079 0,699 0,080 1,453 0,013 4,323 0,237 0,079 2,079 0,544 0,043 1,131 0,006 4,323 0,165 0,041 2,079 0,301 0,012 0,626 0,002 4,323 0,086 17,035 80,176 41,477 18,661 74,618 10,802 148,343 31,041 Página 5 de 5
Sustituyendo los valores en el sistema de ecuaciones ya referido anteriormente, se obtiene: y = A 2 X 2 + A 1 X 1 + N A 0 ( X 1 y ) = A 2 (X 1 X 2 )+ A 1 (X 1 2 ) + A 0 X 1 ( X 2 y ) = = A 2 ( X 2 ) 2 + A 1 (X 1 X 2 ) + A 0 X 2 resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: por tanto, la ecuación IDF resulta ser: 41,477 = 80,176A 2 + 17,035A 1 + 44 A 0 18,661 = 31,041A 2 + 10,802A 1 + 17,035 A 0 74,618 = 148,343 A 2 + 31,041 A 1 + 80,176 A 0 A 0 = 1,482; A 1 = 0,619; A 2 = - 0,427 a = 11 A 0 = 11 1,482 = 34,94 m = A 1 = 0,619 n = - A 2 = 0,427 m a T I = = n (d + b) 34,94 T d 0,40 0,62 d en minutos, T en años e I en mm/h La ecuación anterior se puede dibujar en papel doblemente logarítmico obteniéndose una recta, para cada período de retorno, por ejemplo se puede dibujar para T = 5, 10 y 20 años. La expresión analítica para un T = 10 años resultaría ser: I = 145,65 d 0,43 Según se deduce de lo anterior se constituye una familia de curvas características de cada estación pluviométrica, que no es extrapolable a estaciones cercanas. No obstante, en la realidad a falta de datos para una supuesta zona de estudio se pueden considerar como representativas del lugar próximo a nuestra zona de estudio. Página 6 de 6