Matemáticas II
CSTILL-L MNCH CONVOCTORI SEPTIEMRE 00 SOLUCIÓN DE L PRUE DE CCESO UTOR: José Luis Péez Sanz Pime loque Llamamos al adio de la base y h a la altua del cilindo. Como la capacidad del depósito es 7 m, la elación ente las vaiables y h es: h 7 h 7 h 7/ Constuimos la función que popociona la supeficie del cilindo en función de y h: S(, h) h Sustituimos en la función de la supeficie: 7 54 S() Deivamos esta función: 54 54 S () S () 0 540 54/ 7 Compobamos si este valo popociona un mínimo: 0 0 S () S () 0 7 Luego minimiza la función supeficie. Calculamos el valo de la altua: h 7/ Po lo tanto, el cilindo debe tene m de altua y m de adio de la base. h Si la ecta y es una asíntota hoizontal de f(x) es poque el límite en y de la función vale, es deci: x ax 4 Como los gados del numeado y denominado son iguales se dividen los coeficientes pincipales: a Paa el valo a la función no puede tene asíntotas oblicuas, ya que tiene asíntotas hoizontales. Paa calcula las asíntotas veticales hallamos los númeos que anulan el denominado: x 4 0 x 4 x 6 x 6yx6 En x 6 x 6 + x 6 0 x 4 x 6 x 6 0 x 4 En x 6 x 6 x 6 0 x 4 x a x 6 x 6 0 x 4 Segundo loque a) tg x dx dx dx cos(x) sen(x) cos(x) sen(x) ln cos x C b) ( tg x)dx sen x dx cos x cos x sen x dx tg x C cos x cos x c) ac tg x dx. Po pates: u ac tg x du dx x dv dx v x x ac tg x dx x ac tg x dx x x ac tg x ln x C
CSTILL-L MNCH CONVOCTORI SEPTIEMRE 00 a) Las dos funciones que foman f(x) son continuas y deivables po se polinomios, luego, estudiamos la continuidad y deivabilidad de f(x) en x. Continuidad en x i) f() () 0 ii) 4x 4 0 x x x x 0 Como f(x) x x f(x) f(x) 0 x iii) f() x f(x) f(x) es continua en x Deivabilidad en x x 4 si x f (x) x si x f () x x 4 f () x x Como las deivadas lateales existen y coinciden, la función es deivable en x. b) Paa calcula el áea debemos enconta los puntos de cote de las dos subfunciones de f(x) con el eje de abscisas igualando cada una de ellas a ceo: x 4x 0 x, x x 0 x, x Teniendo en cuenta estos puntos de cote planteamos el áea de la siguiente manea: (x 4x ) dx ( x )dx x x x x x ( ) 4 4 u Obseva el ecinto en esta gáfica: O f(x) x 4x, si x Y f(x) x, si x X Tece loque a) Despejamos X de la siguiente manea: X X X X X X I X ( I) X ( I) b) Calculamos : 0 4 0 4 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 Calculamos I: 0 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 6 0 0 0 6 Calculamos su invesa, ( I) : I dj ( I) (dj ( I)) t (dj ( I)) ( I) Con estos cálculos, tenemos: 4 6 0 0 X 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 6 0 0 0 0 0 0
CSTILL-L MNCH CONVOCTORI SEPTIEMRE 00 a) Hallamos la matiz de coeficientes: 5 0 56 0 o Po tanto: Si y / ango () ango (*) n.º de incógnitas El sistema es compatible deteminado. Si 5 ango () * 5 0 ango (*) ango () ango (*) n.º de incógnitas El sistema es compatible indeteminado con gado de libetad. Si / y z 5 ango () * 5 0 ango (*) Po lo tanto, ango () ango (*). El sistema es incompatible. b) Sabemos, po el apatado anteio, que es compatible deteminado cuando 0. 5x y z 0 x y plicamos las Reglas de Came paa esolvelo: 0 0 0 x 0 / 5 0 0 0 0 y 5 0 / 5 4 0 0 0 z 5 0 / 5 Cuato loque. La afimación es falsa. Po el punto P pasa una única ecta pependicula al plano. Todos los planos que contienen a esa ecta cumplen la condición pedida. Po consiguiente, no es el único plano, hay infinitos.. Esta afimación es cieta. Si se toma como vecto caacteístico del plano el vecto diecto de la ecta y se calcula el témino independiente del plano haciendo que el punto P petenezca al mismo, se obtiene un único plano. a) Paa que dos ectas estén contenidas en un mismo plano, estas deben se paalelas o cotase. Estudiamos, po tanto, la posición elativa de y : v " (,, ) v " (,, ) Como los vectoes no son popocionales, las ectas no son paalelas. Hallamos oto vecto uniendo un punto de cada ecta: P (0, 0, ) P (, 0, a) P $ P P P (, 0, a ) Constuimos un deteminante con los tes vectoes: 0 a a a a Paa que las ectas se coten, el deteminante debe anulase; esto pasa cuando a. Calculamos, a continuación, la ecuación del plano que contiene a las ectas y s; paa ello tomamos los vectoes diectoes de ambas ectas y un punto cualquiea de una de ellas, po ejemplo Q(, 0, ). El plano se constuye de la siguiente manea: x y z 0 x z y z y x 0 y z 0 Si simplificamos, obtenemos: y z 0 4
CSTILL-L MNCH CONVOCTORI SEPTIEMRE 00 b) Sabemos, po el apatado anteio, que si a 0 las ectas y se cuzan poque el deteminante del apatado anteio no se anula. Calculamos el plano que contiene a y es paalelo a y el plano que contiene a y es paalelo a. mbos planos seán paalelos: π' π P P v v v v El plano que contiene a y es paalelo a se constuye con ambos vectoes diectoes, peo con un punto de : : x y con, z El plano que contiene a y es paalelo se constuye igualmente con ambos vectoes, peo con un punto de, que paa a 0 es Q(, 0, 0): : x y con, z 5