1 CINEMÁTICA Movimiento rectilíneo uniforme. 1.- Un objeto se encuentra en el punto de coordenadas (4,0) en unidades del SI moviéndose en el sentido positivo del eje X con una velocidad constante de 3 m/s. a) determina la ecuación del el vector posición en función del tiempo b) Representa la gráfica posición tiempo..- Un atleta corre por una carretera recta con una velocidad constante de 18 km/h, Calcula: a) La distancia que recorre en 0 min, expresada en kilómetros b) El tiempo que tarda en recorrer 4 km. 3.- La ecuación de posición de un móvil es r (4 t + 5 ) i + j m. Calcula: a) Cuál es su posición inicial? b) Su posición al cabo de 8 s b) La distancia recorrida en dicho tiempo. 4.- Dibuja las gráficas x-t y v x-t de un objeto de movimiento rectilíneo que se desplaza a lo largo del eje X según los datos de la tabla adjunta: t (s) 0 4 6 8 x(m) 40 60 80 100 10 5.- Desde dos lugares, A y B, que se encuentran situados a una distancia de 6 km, parten dos ciclistas en el mismo instante con velocidades constantes de 18 km/h y 36 km/h, en línea recta y uno al encuentro del otro. Calcula: a) El tiempo que tardan en encontrarse b) La posición del encuentro, tomando como origen de coordenadas el punto A c) Dibuja conjuntamente el diagrama x-t de ambos movimientos. 6.- Un peatón parte del punto A con velocidad 5 m/s en dirección al punto B. Al mismo tiempo, otro sale desde el punto B, 00 m más adelante, en la misma dirección y sentido con una velocidad 4 m/s. Calcula: a) el tiempo que tardará en alcanzarlo b) la posición tomada desde A en la cual el primer peatón dará alcance al segundo c) dibuja la gráfica x-t de ambos peatones. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. 7.- Representa gráficamente v y, v (en módulo), y a y frente al tiempo de un objeto lanzado desde el suelo verticalmente hacia arriba.
8.- Un automóvil que parte del reposo, recorre 15 m con aceleración constante durante 8 s. Calcula: a) la aceleración b) la velocidad final en kilómetros por hora. 9.- Un vehículo que circula a 90 km/h acelera para adelantar a otro. Si la aceleración es igual a 5 m/s y precisa de 50 m para adelantar, calcula: a) la velocidad del automóvil al finalizar el adelantamiento b) el tiempo durante el cual está adelantando. 10.- Un turismo lleva una velocidad constante de 54 km/h cuando cruza por una señal de tráfico. Dos kilómetros más adelante, en ese mismo instante, un camión inicia su camino en sentido contrario con una aceleración de 4 m/s. Calcula: a) la distancia a la cual se encuentran, medida desde señal de tráfico b) la velocidad del turismo y del camión cuando ambos se cruzan. 11.- Un vehículo arranca con aceleración constante de 3 m/s en el mismo instante en el que es adelantado por otro que circula a una velocidad constante de 108 km/h. Calcula: a) la distancia a la que el primer vehículo da alcance al segundo b) la velocidad del primer vehículo en dicho momento. 1.- Desde una altura de 100 m de se deja caer un objeto. Calcula: a) el tiempo que tarda en llegar al suelo. b) la velocidad del impacto con el mismo. 13.- Desde una altura de 50 y 5 m sobre el suelo se lanzan al mismo tiempo hacia arriba sendos cohetes con velocidades de 150 y 00 m/s respectivamente. Calcula: a) la distancia del suelo a la que se cruzan y el tiempo que tardan en cruzarse b) las velocidades de cada cohete en dicho instante. 14.- Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 0 m/s; tres segundos después se lanza otra piedra con una velocidad de 1 m/s en la misma dirección y sentido. Calcula: a) el tiempo que tardan en cruzarse b) la altura a la que se cruzan c) las componentes escalares de la velocidad de cada una de las piedras en dicho momento.
3 Composición de movimientos. 15.- Se desea cruzar un río de 60 m de ancho nadando a una velocidad de 1,5 m/s perpendicularmente a una corriente de m/s. Calcula: orilla. a) el tiempo que se tarda en llegar a la otra orilla b) la velocidad real del nadador c) la distancia del punto de partida a la que llega el nadador cuando alcance la otra 16.- Un saltador de esquí salta desde 30 m de altura sobre la zona de caída horizontalmente con una velocidad de 108 km/h. Calcula: a) el tiempo que está en el aire b) el alcance que consigue, medido desde el trampolín c) la velocidad en el momento del contacto con la nieve. 17.- Se dispara un misil horizontalmente desde un alto situado 80 m por encima de la meseta. Si se desea que hagan impacto en un objetivo situado a 0 km al norte del lanzador, calcula: a) el tiempo que tardan en chocar contra el objetivo b) la velocidad a la que tienen que salir los misiles del lanzador. 18.- Disparamos un proyectil desde el suelo con una velocidad inicial de 700 m/s y un ángulo de inclinación de 40 respecto a la horizontal. Calcul a: a) el alcance del proyectil b) la altura máxima c) la posición y la velocidad del proyectil 5 s después de haber sido lanzado. 19.- Un lanzador de peso consigue alcanzar una distancia de 0 m con un ángulo de inclinación de 45º. Calcula: a) la velocidad de lanzamiento b) el tiempo que la bola estuvo en el aire. 0.- Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 300 m/s desde una colina 100 m por encima del terreno y con un ángulo de inclinación de 30º respecto de la horizontal. Calcula: a) el alcance del proyectil (distancia horizontal) b) la velocidad del proyectil cuando llega al suelo.
4 Movimiento circular. 1.- Contesta si es verdadero o falso: a) La velocidad angular es la misma para todos los puntos de una rueda que efectúa un movimiento circular b) La aceleración angular se mide en m/s c) En un movimiento circular uniforme la aceleración angular es nula..- Un disco gira en un tocadiscos a 45 rpm. Calcula: a) la velocidad angular en rad/s b) el número de vueltas que da durante una canción de 4 minutos. 3.- Una moto toma una curva de 00 m de radio a una velocidad constante de 7 km/h. Calcula: a) la velocidad angular; b) la aceleración normal. 4.- Un disco de 10 cm de radio se pone en movimiento con una aceleración angular de 0,5 rad/s. Calcula: a) la velocidad angular a los 5 s de iniciado el movimiento b) el ángulo girado en radianes durante ese tiempo c) el tiempo que tarda en dar 10 vueltas.
5 SOLUCIONES CINEMÁTICA 1.- r0 4 i m ; v 3 i m/s a) r (x0 + vx t) i (4 + 3 t) i m b) t (s) x (m) 0 4 1 7 10.- v 18 km/h a) km 1 h s v t 18 0 min 6 km h 60 min 10 5 x (m) 1 t(s) b) s 4 km 60 min t 140 min h y 0 min v 18 km/h 1 h 3.- a) r(t 0 s) (4 m/s 0 s + 5 m) i + m j (5 i + j) m 4.- b) r(t 8 s) (4 m/s 8 s + 5 m) i + m j (37 i + j) m c) r (37 i + j) m (5 i + j) m 3 i m ; r 3 m Como el movimiento es rectilíneo y de un solo sentido: x (m) 100 v X (m/s) 10 s r 3 m 50 5 4 8 t(s) 4 8 t(s) 5.- v x1 18 km/h 5 m/s; v x 36 km/h 10 m/s a) Ciclista 1: x 1 x 01 + v x1 t 5 m/s t Ciclista : x x 0 + v x t 6000 m 10 m/s t En el punto de encuentro: x 1 x 5 m/s t 6000 m 10 m/s t t 400 s ; t 6 min 40 s
6 b) x 1 5 m/s t 5 m/s 400 s 000 m r 000 i m c) 6.- v x1 5 m/s; v x 4 m/s a) Peatón 1: x x 1 01 + v x1 t 5 m/s t Peatón : x x + v 0 x t 00 m + 4 m/s t En el punto de encuentro: x 1 x 5 m/s t 00 m + 4 m/s t t 00 s ; t 3 min 0 s b) x 1 5 m/s t 5 m/s 00 s 1000 m r 1000 i 7.- v y (m/s) v (m/s) (m/s ) a y t t t 9,8 8.- a) Como en este caso x 0 0 m; v 0 0 m/s, la ecuación general: x x 0 + v 0 t + ½ a t quedará: x ½ a t Despejando: x 15 a 3,91 m/s t (8 ) b) v v 0 + a t 3,9 m/s 8 s 31,5 m/s m 1 km 3600 s 31,5 11,5 km/h s 1000 m 1 h 9.- a y b) v 0 90 km/h 5 m/s ; x 0 0 la ecuación general: x x 0 + v 0 t + ½ a t quedará: 50 0 + 5 t + ½ 5 t. Calculamos t 6,19 s y sustituimos en la ec. de la velocidad v v 0 + a t 5 +,5 6,19 55,95 m/s v 55,9 m/s 10.- a) Turismo: x 1 x 01 + v 1 t 15 t Camión: x x 0 + v 0 t + ½ a x t 000 t
7 En el punto de encuentro: x 1 x 15 t 000 t t + 15 t 000 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: t 1 35,6 s: t 8,1 s Rechazando la solución negativa: x 1 15 m/s t 15 m/s 8,1 s 41,5 m b) v 1x 15 m/s v(turismo) 15 m/s v x v 0x a x t 8,1 56, m/s v(camión) 56, m/s 11.- a) Vehículo 1: x 1 x 01 + v 01x t + ½ a x t ½ 3 t Vehículo : x x 0 + v x t 30 t En el punto de encuentro: x 1 x : x 1 1,5 t 1,5 (0 s) 600 m b) v 1x v 01x + a t 3 0 60 m/s 1,5 t 30 t t 1 0 s: t 0 s 1.- a) y y 0 + v 0y t + ½ a y t 100 4,9 t Cuando llega al suelo y 0: 0 100 4,9 t t 15,6 s b) v y v 0y + a y t 9,8 t v y (t15,6 s) 9,8 15,6 153,4 m/s Y el módulo de la velocidad será: 153,4 m/s 13.- a) y 1 y 01 + v 0y1 t + ½ a y t 50 m + 150 m/s t 4,9 m/s t y y 0 + v 0y t + ½ a y t 5 m + 00 m/s t 4,9 m/s t Se encontrarán cuando y 1 y : 50 m + 150 m/s t 4,9 m/s t 5 m + 00 m/s t 4,9 m/s t t 0,5 s b) v y1 v 0y1 + a y t 150 m/s 9,8 m/s 0,5 s 145,1 m/s v 1 145,1 m/s v y v 0y + a y t 00 m/s 9,8 m/s 0,5 s 195,1 m/s v 195,1 m/s 14.- a) Se calculan la posición y velocidad al cabo de 3 s, que serán y 01 y v 0y1 ya que el reloj se pone de nuevo a cero al lanzar la segunda piedra: y 1 (t 3s) 0 m/s 3 s 4,9 m/s (3 s) 15,9 m y 01 v y1 (t 3s) 0 m/s 9,8 m/s (3 s) 9,4 m/s v 0y1 y 1 y 01 + v 0y1 t + ½ a y t 15,9 m + 9,4 m/s t 4,9 m/s t y y 0 + v 0y t + ½ a y t 1 m/s t 4,9 m/s t Igualando y 1 y : 15,9 m 9,4 m/s t 4,9 m/s t 1 m/s t 4,9 m/s t t 0,74 s b) y (t0,74 s) 1 m/s 0,74 s 4,9 m/s (0,74 s) 6, m c) v y1 (t0,74 s) 9,4 m/s 9,8 m/s 0,74 s 16,7 m/s v y (t0,74 s) 1 m/s 9,8 m/s 0,74 s 4,7 m/s 15.- a) Si la corriente sigue la dirección del eje x, las ecuaciones del movimiento serán: x m/s t ; y 1,5 m/s t Particularizando para y 60 m 1,5 m/s t se obtiene que: t 40 s b) v ( i + 1,5 j) m s v + 1,5 m s,5 m/s
8 c) x (t 40 s) m/s 40 s 80 m; y (t 40 s) 1,5 m/s 40 s 60 m r ( t 40 s) 80 + 60 m 100 m 16.- a) Ecuaciones del movimiento: x 30 t ; y 30 4,9 t. El alcance es la x cuando y 0 m: 0 30 4,9 t 30 m,4 t 4,9 m s 7 s b) x (t,47 s) 30 m/s,47 s 74,1 m c) v y (t,47 s) 9,8 m/s,47 s 4, m/s ; v x 30 m/s v 30 + ( 4,) m s 38,6 m/s 17.- a) Ecuaciones del movimiento: x v 0x t ; y 80 m 4,9 m/s t. Cuando x 0000 m, y 0 m: 0 80 4,9 t t 80 m 4,9 m s 4,04 s b) v x 0000 m 4950 m/s 0 x t 4, 04 s 18.- a) alcance v0 sen α (700 m s) sen80º g 9,8 m s 4940 m También puedes plantear las ecuaciones del movimiento a lo largo de los ejes x e y calculando el valor de x cuando y 0 m b) De la ecuacion de la v y, calcula a que tiempo t su valor se hace nulo y sustituye en la ecuación de la posición en el eje y, o bien utiliza la formula: v0 sen α (700 m s) sen altura máxima g 9,8 m s c) Ecuaciones escalares del movimiento: x 700 cos 40º t y 700 sen 40º t 4,9 t. x (t 5 s) 700 cos 40º 5 681 m y (t 5 s) 700 sen 40º 5 4,9 5 17 m 40º 10330 m 19.- a) Utiliza las ecuaciones sobre los ejes x e y haciendo que y 0 m o bien emplea la formula: v0 sen α xmáx g 0 m 9,8 m / s alcance v0 g sen α 1 14 m/s
9 b) Despejando t de x v 0 cos α t: t v x 0 m cos α 14 m / cos 45º 0 s,0 s 0.- a) x 300 m/s cos 30º t ; y 100 m + 300 m/s sen 30º t 4,9 m/s t. El alcance es la x para cuando y 0 m; 0 100 + 300 sen 30º t 4,9 t. Despejando t de la ecuación de º grado se obtiene que : t 1 0,65 s; t 31,6 s x (t 31,6 s) 300 m/s cos 30º 31,6 s 81 m b) v x 300 cos 30º 59,8 m/s v y 300 sen 30º 9,8 31,6 156,3 m/s v 59,8 + ( 153,6) m / s 301,8 m/s 1.- a) Verdadero, ya que todos los puntos se desplazan el mismo ángulo en el mismo intervalo de tiempo. b) Falso. Se mide en rad/s. c) Verdadero, ya que al ser constante la velocidad angular, ω, α ω/ t debe ser igual a 0..- a) 45vueltas min π rad 45rpm min 60 s vuelta 4,71 rad/s b) ϕ ω t 45 vueltas/min 4 min 180 vueltas 3.- a) v 7 km/h 0 m/s v 0 m / s ω 0,1 rad/s R 00 m b) a v (0 m / s) m/s n R 00 m 4.- a) ω ω 0 + α t 0,5 rad/s 5 s,5 rad/s b) ϕ ω 0 t + ½ α t ½ 0,5 rad/s (5 s) 6,6 rad c) t ϕ α 0π rad 0,5 rad / s 15,85 s