CURSO -. 5 de mayo de. ) (,p) Calcula: ln x lím x (+senx) sen x ) (,3p) Halla m y n para que sea derivable la función: f(x) x -5x+m si x -x +nx si x> 3) (,3p) Deriva y simplifica la función: 4) (,p) Halla: sen x yarc tg +cos x x -x dx 5) (,p) Discute el siguiente sistema según sea el valor del parámetro a: ax-ya+ ax+ay+a z3a ax-y+(a-a )z-5a 6) (,3p) Dadas las matrices A y B, halla (A B) - y (A B) n : A 3 B - - 4 7) (,3p) Halla la recta que pasa por el punto P, es paralela al plano π y corta a la recta r: x+y- P(,,) π y-z r z 8) (,p) Calcula la distancia del eje de abscisas a la recta de ecuación: x- y+3 - z- --
CURSO -. Ejercicio : Calcula: ln x lím x (+senx) sen x (, PUNTOS) ln x lím x (+senx) sen x lím (+senx) x x> e lím x + ln x sen x (+sen x-) e lím ln x sen x x + sen x ln x sen x e lím x ln x + e - Ya que el dominio de la función está formado por todos los números positivos x (el argumento del logaritmo debe ser positivo) tales que sen x - (la base de las funciones potencial-exponenciales debe ser positiva) y sen x. Ya que sale la expresión indeterminada. --
CURSO -. Ejercicio : Halla m y n para que sea derivable la función: f(x) x -5x+m si x -x +nx si x> Si x, la derivada de f es: x-5 si x< f'(x) -x+n si x> Si f es continua en x, entonces -4+m-+n: f()-4+m lím x x< lím x x> f(x)lím(x -5x+m)-4+m x x< f(x)lím(-x +nx)-+n x x> Si f es derivable en x, entonces -3-+n: f' - ()lím x x< f' + ()lím x x> f'(x)lím(x-5)-3 x x< f'(x)lím(-x+n)-+n x x> Resolvemos el sistema: (,3 PUNTOS) -4+m-+n -3-+n n- m Otra forma de hacerlo es estudiar sólo la derivada en x: f' - ()lím x x< f(x)-f() x- lím x x< x -5x+m+4-m x- x lím -5x+4 x x- x< 3 f' + ()lím x x> lím x x< f(x)-f() x- (x-)(x-4) x- lím x x> lím(x-4)-3 x x< -x +nx+4-m -+n+4-m x- + 4 n-m+3 -x f' + ()lím +nx+4-m x x- x> 5 lím x x> -x+n -+n Por tanto, para que la función sea derivable, -+n-3. Llegamos, pues, al mismo sistema que antes. Si f es derivable en x, debe ser continua en dicho punto. Ya hemos visto al comienzo del ejercicio que la función es derivable en los demás puntos. 3 Factorizamos el numerador. 4 Si n-m+3, este límite sería infinito. Pero es finito, ya que la función es derivable en x. 5 Como sale la indeterminación /, aplicamos L'Hôpital. También se puede sustituir m por n+3, factorizar por Ruffini y simplificar. -3-
CURSO -. Ejercicio 3: Deriva y simplifica la función: sen x yarc tg +cos x (,3 PUNTOS) y' + sen x sen x ' +cos x sen +cos x + x cos x (+cos x)-sen x (-sen x) (+cos x) (+cos x) (+cos x) x cos x+cos x+sen x +cos x (+cos x) +sen (+cos x) +cos x+cos x+sen x +cos x +cos x +cos x (+cos x) -4-
CURSO -. Ejercicio 4: Halla: x -x dx (, PUNTOS) Como se trata de una integral racional, calculamos las raíces del denominador: -x x x± Por tanto: x -x x (-x)(+x) A -x + B +x A(+x)+B(-x) (+x)(-x) xa(+x)+b(-x) Si x A A/ Si x- -B B-/ En consecuencia: x -x dx / -x dx + -/ +x dx - - -x dx - +x dx Comprobación: - ln -x - ln +x + C - ln -x - ln +x ' - - -x - +x (-x) - (+x) +x-+x (-x)(+x) x (-x)(+x) x -x Aplicamos el método de descomposición en fracciones simples. Se trata de integrales casi inmediatas de tipo logaritmo. Si se desea, puede simplificarse el resultado final agrupando los sumandos mediante las propiedades de los logaritmos. -5-
CURSO -. Ejercicio 5: Discute el siguiente sistema según sea el valor del parámetro a: ax-ya+ ax+ay+a z3a (, PUNTOS) ax-y+(a-a )z-5a Aplicamos el método de Gauss: a a a - a - a+ a a-a 3a -5a ~ a - a+ Estudiamos los distintos casos: a+ a a-a a- -6a a a+ a(-a) a a- a º) Si a-, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de un parámetro: - - - -3 6 ~3-3 x+y x-α z-3 x-y z-3 yα z-3 º) Si a, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de dos parámetros: 4 - - ~5 - xα -y y- y- zβ 3º) Si a, el sistema es incompatible: 6 - -6 4º) En los demás casos el sistema es compatible determinado: ax-ya+ (a+)y+a za- a(-a)z-6a z -6a a(-a) z 6 a- 6a (a+)ya-- a- a -a-a+-6a a- -4a -3a+ a- 7 (-4a+)(a+) a- -4a+ y a- -4a+ axa++ a- a --4a+ a- a(a-4) a- a-4 x a- ªf-ªf; 3ªf-ªf. Como no se puede dividir por cero, tenemos que calcular los valores del parámetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que tenemos que despejar luego (caso 4º). 3 ªf (-); 3ªf+ ªf. 4 Ya que el número de incógnitas menos el número de ecuaciones fundamentales es. 5 ªf+ªf. 6 Ya que la última ecuación es incompatible. 7 Factorizamos el numerador. -6-
CURSO -. Ejercicio 6: Dadas las matrices A y B, halla (A B) - y (A B) n : A - 3 B - 4 (,3 PUNTOS) A B 3 - - 4 ++ -++ 3-+ -3+4+ a) Aplicamos el método de Gauss para hallar la inversa de A B: ~ - (A B)- - Comprobación: - + + - + b) Calculamos (A B) n : (A B) (A B) (A B) 3 3 (A B) 4 3 4 Por tanto: (A B) n n También puede hacerse mediante determinantes. ªf-ªf. -7-
CURSO -. Ejercicio 7: Halla la recta que pasa por el punto P, es paralela al plano π y corta a la recta r: P(,,) π y-z r x+y- z (,3 PUNTOS) Si la recta s es paralela al plano π, el vector característico de éste, u (,,-), es perpendicular a la recta s. Si la recta s pasa por el punto P y corta a la recta r, se encuentra situada en el plano determinado por P y r. Por tanto, también el vector característico de este plano es perpendicular a s. Ahora bien, una determinación lineal de la recta r es la siguiente: π P r X v Q s u x+y- z x-y z x-α yα z Q(,,) v (-,,) En consecuencia, un vector característico del plano determinado por el punto P y la recta r es: w v [QP ] i - - j k i +j Por tanto, un vector direccional de la recta s es: i u w j k - i -j -k (i -j -k ) es: Como la recta s pasa por el punto P(,,), su ecuación continua x y- - z- - También puede calcularse s como la intersección del plano que pasa por P y es paralelo a π con el plano que determinan P y r. O hallando el punto X como intersección de la recta r y el plano que pasa por P y es paralelo a π. Este punto también puede calcularse teniendo en cuenta que el vector [PX ] es perpendicular a u. Este segundo plano queda determinado, evidentemente, por el punto Q y los vectores v y [QP ], pero también puede calcularse teniendo en cuenta que es el plano del haz de arista r, α(x+y-)+βz, que pasa por P. -8-
CURSO -. Ejercicio 8: Calcula la distancia del eje de abscisas a la recta de ecuación: x- y+3 - z- (, PUNTOS) Si r es la recta dada, una determinación lineal suya es: x- y+3 - z- P(,-3,) u (,-,) Como el eje OX pasa por O(,,) y tiene a i (,,) por vector direccional, las rectas no son paralelas, ya que sus vectores direccionales no son colineales. Por tanto: [[OP ],u,i ] d(r,ox) u i i -3 - j - k -3+ j +k + -9-