ema 4 - EL GAS IDEAL ÍNDICE. DEFINICIÓN DE GAS IDEAL...4.. ECUACIÓN DE ESADO ÉRMICA...4.. ECUACIÓN DE ESADO ENERGÉICA...4.3.. Experiencia de Joule...4.4.. Energía interna y entalpía de un Gas Ideal...4.5. EL GAS ERFECO...4.6 3. ROCESOS CUASIESÁICOS EN GASES IDEALES...4.9 3. ROCESO ISOCORO...4.9 3. ROCESO ISOBARO...4.0 3.3 ROCESO ISOERMO...4.0 3.4 ROCESO ADIABÁICO...4.0 4. EL ROCESO OLIRÓICO...4. BIBLIOGRAFIA...4.4 EJEMLOS DESARROLLADOS...4.5 ROBLEMAS ROUESOS...4.0 El Modelo de Gas Ideal (MGI) es un modelo sencillo que describe de forma aproximada el comportamiento de los gases a bajas presiones.. DEFINICIÓN DE GAS IDEAL El MGI consta de dos ecuaciones de estado: ecuación de estado térmica (relación --) y ecuación de estado energética (relación u--). En realidad no son independientes: la ecuación de estado energética se puede deducir de la térmica; sin embargo, de momento las postularemos como dos ecuaciones independientes: Ecuación de estado térmica: VmR Ecuación de estado energética: uu(). ECUACIÓN DE ESADO ÉRMICA Es un hecho experimental para sustancias simples compresibles: la relación / se aproxima a un alor fijo a bajas presiones: CAMUS ECNOLÓGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA. NAFARROAKO UNIBERSIAEKO CAMUS EKNOLOGIKOA aseo de Manuel Lardizábal 3. 008 Donostia-San Sebastián. el.: 943 9 877 Fax: 943 3 44 www.tecnun.es omás Gómez-Acebo, tgacebo@tecnun.es, octubre 004
4. ema 4 - El Gas Ideal lim lim lim R 0 ρ 0 ρ a [J/g K] [4.] La constante R a depende de cada sustancia, pero es independiente de la temperatura. Si se expresa la ecuación [4.] en olúmenes molares (multiplicando por el peso molecular del gas), el alor límite es el mismo para todos los gases lim m R [4.] donde R es la constante uniersal de los gases, cuyo alor es J J R 8,345 8,345 [4.3] mol K mol K La relación entre las dos constantes (la uniersal y la de cada gas) iene dada por R R a [4.4] M or tanto, la ecuación de estado térmica del GI (gases a bajas densidades) es cualquiera de las siguientes: R ρr m a a R V mr a V NR [4.5] La desiación respecto al comportamiento del GI se mide con el factor de compresibilidad: Z [4.6] R ρr a a Es eidente que una definición alternatia del MGI es lim Z 0 [4.7] El comportamiento -- de los gases no ideales (gases reales) se puede hacer analizando su desiación del MGI, con el factor de compresibilidad. Se ha comprobado que, si se expresan la presión y la temperatura diididas por la presión crítica y la temperatura crítica (coordenadas reducidas: r / c, r / c ), el comportamiento de todos los gases reales es prácticamente idéntico, con pequeñas diferencias.
Definición de Gas Ideal 4.3 Figura 4. Superficie -- de un gas ideal. Las líneas rectas dibujadas son isobaras. Se trata de una superficie reglada. Ha sido dibujada con el comando de Maple: :R*/:plot3d(subs(R8.34,*e-),0...,300..000,axesboxed,contours0,orien tation[8,60],labels[`(m^3/mol)`,`(k)`,`(a)`]); La superficie -- tiene el aspecto mostrado en la Figura 4.. En la Figura 4. se muestran arias isotermas en el diagrama -. Figura 4. Isotermas en el plano - de un gas ideal. Imagen dibujada con el comando de Maple: restart::*/r:plot3d(subs(r8.34,),0...0,0...000,axesboxed,stylecontour,contours0,colorblac,orientation[-90,0],labels[`(m^3/mol)`,`(a)`,`(k)`]);. ECUACIÓN DE ESADO ENERGÉICA La ecuación de estado energética relaciona una propiedad energética (p.ej. la energía interna o la entalpía) con las demás ariables (presión, olumen y temperatura). ara un sistema simple, es función de dos ariables, uu(,); pero eremos que para el GI se reduce a uu(). La deducción experimental se basa en la experiencia de Joule.
4.4 ema 4 - El Gas Ideal.. Experiencia de Joule La experiencia de Joule es la expansión libre adiabática de un gas a bajas presiones. Joule dispuso de dos depósitos de cobre A y B, conectados por medio de una álula C. En B se hace el acío, y en A se introduce un gas a determinada presión. El conjunto está aislado térmicamente (adiabático). Se abre la álula C, se permite que el sistema alcance el equilibrio y se mide cuidadosamente el cambio de temperatura del gas. Joule obseró que, a bajas presiones, la temperatura del gas no cambiaba. Análisis del proceso: es una expansión libre (W0, expansión contra el acío) adiabática (Q0) irreersible (no estático) en sistema cerrado. Aplicando el, U Q W 0 Luego es un proceso isoenergético (la energía interna se mantiene constante). A B C Figura 4.3 Experiencia de Joule. La obseración experimental de Joule puede resumirse en el coeficiente de Joule, que es la ariación de la temperatura al cambiar el olumen en un proceso isoenergético: µ J ; en este caso: lim µ J 0 0 [4.8] u Aplicando la regla de la cadena, puede desarrollarse la definición del coeficiente de Joule: Dos modos de aplicar la regla de la cadena se pueden deducir de la siguiente manera: sea una función de estado xx(y,z), o también yy(x,z). Utilizando notación abreiada, las diferenciales totales de x e y se pueden expresar como dx x y dy + x z dz, y dy y x dx + y z dz. Sustituyendo dx en la segunda ecuación y agrupando términos, queda 0(y x x y )dy + (y x x z +y z )dz. Como dy y dz pueden tener cualquier alor, los coeficientes de la ecuación diferencial deben ser nulos. De ahí que y x x y ; y x x z y z y x x z z y. Con y x la notación habitual, y x z y. x z y x z y z y x z
Definición de Gas Ideal 4.5 µ J u u u u c u 0 0 Es decir, en un gas a bajas presiones (GI) la energía interna no depende del olumen; por tanto, sólo es función de la temperatura: uu() [4.9] que es la ecuación de estado energética del gas ideal. ambién puede expresarse en forma diferencial, du c d ó du mc d [4.0] donde c V () será distinto para cada gas... Energía interna y entalpía de un Gas Ideal En un GI, la energía interna sólo depende de la temperatura (ecuación de estado energética). La entalpía de un GI también es función exclusia de la temperatura: h u + u( ) + R h( ) En general, para cualquier fluido, la determinación del cambio de energía interna en un proceso se hace integrando la ecuación diferencial u u u u u(, ) du d + d u cv d + d ara un gas ideal la segunda integral se anula. En la entalpía ocurre lo mismo, luego ambas funciones pueden calcularse en un GI integrando los calores específicos en los límites de temperatura del proceso: u cv d; h cd [4.] Como u y h son aquí funciones de una ariable, los calores específicos de un GI son las deriadas totales, no las parciales: c u du h dh ; c [4.] d d V Los dos calores específicos principales (c V y c ) no son independientes en un GI. artiendo de la definición de entalpía,
4.6 ema 4 - El Gas Ideal h u + dh du + d( ) c d c d V + Rd c cv R (relación de Mayer, sólo para GI) [4.3] + Como la energía interna y la entalpía de un GI son función exclusia de, sus primeras deriadas (c V y c ) también lo son. El cociente de los calores específicos, denominado, también es sólo función de la temperatura: c / c V [4.4] Las ecuaciones [4.3] y [4.4] permiten expresar c V y c en función de : R R cv c [4.5] Las propiedades energéticas de los gases ideales suelen enir expresadas de dos maneras alternatias: como tabla para cada gas de uu(); o bien en función de los calores específicos de cada gas, que habitualmente se pueden ajustar a una expresión del tipo c + 3 a + b + c d [4.6] En la abla 5 del Cuaderno de ablas y Diagramas se muestran los coeficientes a, b, c y d del calor específico para arios gases a bajas presiones.. EL GAS ERFECO Se llama gas perfecto al gas ideal con calores específicos constantes, es decir, aquél en el que la diferencia de energía interna y de entalpía es proporcional a la diferencia de temperatura entre dos estados. Supone una simplificación aún mayor del MGI. Experimentalmente se obsera que, a las temperaturas habituales de trabajo (00 K < < 000 K): Gases monoatómicos (He, Ne, Ar, etc.): c V 3R/ c 5R/ 5/3,667 Gases biatómicos (O, H, CO, aire, etc.): c V 5R/ c 7R/ 7/5,40 Gases poliatómicos (H O, CH 4, SO, etc.):,,35 (ariable) Los alores del calor específico en gases monoatómicos y biatómicos también se deducen teóricamente a partir de los postulados de la Mecánica Estadística (energía de un conjunto de partículas sin interacción, con determinada distribución de elocidades). En todo caso, para cualquier gas en interalos pequeños de temperatura se puede suponer que el calor específico es aproximadamente constante, o al menos que existe un a-
El Gas erfecto 4.7 lor medio del calor específico en ese interalo de temperaturas: por el teorema del alor medio, existe un alor medio de c en el interalo considerado h c d c ( ) c c p d [4.7] En la abla 6 del Cuaderno de ablas y Diagramas se listan alores medios de c entre 98 K y ariable para arios gases. Figura 4.4 Calor molar isobaro del aire: dependencia con la temperatura. Dibujo realizado con el comando de Maple: restart:cp[aire]:8.087+.965e-3*+4.8e-6*^-.9648e-9*^3:plot(cp[aire],98..500,axesboxed,labels[`[k]`,`cp[j/mol K]`]); Figura 4.5 Entalpía molar del aire: dependencia con la temperatura. Dibujo realizado con Maple: plot(int(cp[aire],),98..500,0..50000,axesboxed,labels[`[k]`,`h-h0[j/mol]`]); ara un GI con calores específicos constantes (gas perfecto), la energía interna y la entalpía son
4.8 ema 4 - El Gas Ideal U mc V y H mc [4.8] Empleando la ecuación de estado térmica y las ecuaciones [4.] es posible obtener otras expresiones para el cálculo de la ariación de energía interna y entalpía, en función de y los límites de presión y olumen en el proceso. El calor específico aría poco con la temperatura, como puede erse en la Figura 4.4; esto justifica de modo razonable la aproximación de calor específico constante. De este modo, la entalpía de un GI aría de forma aproximadamente lineal con (Figura 4.5). Ejemplo 4. Calcular el cambio de energía interna y entalpía cuando g de aire pasan de 5 C a 500 C. Repetir el cálculo para g de CO y de H. Solución De acuerdo con la abla 5, el calor molar del aire es: c (aire) 8,087 +,965 0 3 + 4,8 0 6,9648 0 9 3 [J/mol K] En la abla 4 se leen el peso molecular y la constante R del aire: M (aire) 8,96 [g/mol] R (aire) R /M 0,87097 J/g K La ariación de entalpía será H mc d [g] 8,96[g/mol] 965, 0 8, 087(773 98) + 8,96 99,[J] 3 6 9 3 ( 8, 087 + 965, 0 + 4, 8 0 9648, 0 ) 773 98 3 (773 4, 8 0 98 ) + 3 6 (773 3 3 9648, 0 98 ) 4 d [J/mol] 9 (773 4 4 98 ) La ariación de energía interna puede calcularse de la misma manera, integrando el calor molar isocoro, que a su ez se deduce de la relación de Mayer: c V c R (8,087 8,34)+,965 0 3 +4,8 0 6,9648 0 9 3 [J/mol K] Otro modo más rápido para calcular U es mediante la definición de entalpía: U H (V) H mr 99, (8,34/8,96)(500 5) 79,4 [J] ara el cálculo de la entalpía también puede emplearse la abla 6, que da calores molares medios entre 5 C y arios alores de ; esta tabla se emplea mucho en ermoquímica y análisis de combustión, pues la temperatura de referencia en esos casos es siempre 5 C: H m<c > (30,46/8,96)(500 5) 99, [J] La suposición de gas perfecto biatómico daría los siguientes resultados: U mc V m 5R/ (5)(8,34/8,96)/ (500 5) 68,8 [J] H mc m 7R/ (7)(8,34/8,96)/ (500 5) 954,6 [J] ara el caso del CO y H los calores molares isobaros son c (CO ),46 + 59,77 0 3 34,987 0 6 + 7,464 0 9 3 [J/mol K] c (H ) 9,087,946 0 3 + 4,005 0 6 0,8698 0 9 3 [J/mol K] y los pesos moleculares, M(CO ) 44,00; M(H ),06. Se obtiene como resultado final:
rocesos Cuasiestáticos en Gases Ideales 4.9 H (CO ) 970,0 [J] H (H ) 373 [J] Nótese el efecto del peso molecular. U (CO ) 790,5 [J] U(H ) 9805 [J] 3. ROCESOS CUASIESÁICOS EN GASES IDEALES Consideramos ahora arios procesos elementales cuasiestáticos para un gas ideal. Conocemos la ecuación de estado y tenemos expresiones para calcular la energía interna y la entalpía; por tanto, se pueden obtener expresiones para el trabajo y el calor de procesos cuasiestáticos en sistema cerrado. La expresión matemática que relaciona los estados termodinámicos intermedios de un proceso se denomina ecuación de la línea de estados (ELE). Es eidente que sólo está definida cuando los estados intermedios del proceso son estados de equilibrio, es decir, en procesos cuasiestáticos. ara un sistema simple el trabajo en un proceso cuasiestático se puede calcular integrando W dv + W d (con Wd 0) [4.9] Si el trabajo disipatio es nulo, el proceso será además reersible (cuasiestático y sin disipación). Supondremos en los casos siguientes que el trabajo disipatio es nulo; en caso contrario, habría que añadirlo al trabajo asociado al cambio de olumen para tener el trabajo total. 3. ROCESO ISOCORO En un proceso a olumen constante (isocoro) se cumple dv0, el trabajo cuasiestático es cero y la interacción de calor se deduce de la rimera Ley, Q U m c V d [4.0] y para c V constante, Q U mcv ( ) [4.] La ELE es simplemente V V, o bien.
4.0 ema 4 - El Gas Ideal 3. ROCESO ISOBARO ara un proceso a presión constante (isobaro), la ELE es. El trabajo será W (V V ) mr( ) [4.] y el calor se deduce de la rimera Ley, Q V U o bien Q H mc d [4.3] que para c constante es Q H mc ( ) [4.4] 3.3 ROCESO ISOERMO En un proceso a temperatura constante (isotermo) la ELE es. or ser gas ideal, u h 0; se deduce de : Q W dv [4.5] Sustituyendo la ecuación de estado mr/v e integrando se tiene V Q W mr ln V ln [4.6] V 3.4 ROCESO ADIABÁICO Deduciremos en primer lugar la ELE. En un proceso adiabático δq 0, y la rimera Ley en forma diferencial es du δw [4.7] y para un proceso cuasiestático mc V d dv Diidiendo ambos miembros por mr V se deduce c V R d dv V que integrando para c V constante conduce a
rocesos Cuasiestáticos en Gases Ideales 4. V V [4.8] o bien V cte. [4.9] Empleando la ecuación de estado térmica del gas ideal, ec. [4.5], se pueden obtener otras expresiones de la ELE de un proceso adiabático cuasiestático y sin disipación en gas ideal. Se resumen en la abla 4. en función de los olúmenes específicos. Como el calor es igual a cero, el trabajo en un proceso adiabático es W U [4.30] or tanto, usando la ecuación [4.8] y la ecuación de estado térmica del GI, ec. [4.5], es posible determinar el trabajo de un proceso adiabático para un GI en función de los estados inicial y final; si el calor específico es constante queda: W mc V ( ) [4.3] W ( V V ) [4.3] W mr [4.33] abla 4. Diersas expresiones de la ecuación de la línea de estados de un proceso adiabático reersible en un gas ideal. Variables Forma diferencial Forma integral para cte. d d, + ( ) 0 d d, + 0 d d, 0 cte. cte. cte.
4. ema 4 - El Gas Ideal 4. EL ROCESO OLIRÓICO Un proceso cuasiestático cuya ELE es n cte. se denomina proceso politrópico. En el apartado anterior se han estudiado algunos casos especiales de procesos politrópicos: proceso isocoro: cte. cte. n proceso isobaro: cte. 0 cte. n 0 proceso isotermo: cte. cte. n proceso adiabático cuasiestático: Q 0 cte. n Los procesos habituales de compresión o expansión de gases no son adiabáticos ni isotermos. Habitualmente estos procesos puede aproximarse a politrópicos con < n < (aunque hay procesos con otros alores de n). La ELE de los procesos politrópicos en gases ideales puede deducirse planteando en forma diferencial (proceso cuasiestático): du δq δw δq dv δw d siendo δw d < 0 [4.34] Se define proceso politrópico aquél que tiene lugar con capacidad calorífica constante: C mc (δq δw d )/d cte.; es decir, un proceso a lo largo del cual la temperatura del gas aría proporcionalmente con el calor intercambiado con el entorno (δq) o generado en el interior por rozamiento ( δw d ): mcd δq δw d siendo δw d < 0 [4.35] Sustituyendo [4.35] en [4.34] queda du mcd dv Reorganizando y sustituyendo la ecuación de estado energética del GI, ec. [4.0], m(c V c)d dv [4.36] Diidiendo ambos miembros por la ecuación de estado térmica mr V c c d R V dv V d + c V R c dv V 0 [4.37] or analogía con la ELE de los procesos adiabáticos reersibles (abla 4.), se define un parámetro n que iene dado por R c c V c c n n [4.38] c c V
El roceso olitrópico 4.3 De este modo, para c V cte., n cte., y se deduce la ELE de un proceso politrópico en gas ideal, resumida en la abla 4. en función de diersas parejas de ariables de estado; obsérese el paralelismo con la abla 4.. En el proceso adiabático c 0, luego n. El trabajo cuasiestático en un proceso politrópico se calcula a lo largo del camino en el que V n V n V n cte.: W n dv dv V n V n V n n n ( V V ) de donde se deducen las siguientes expresiones: W W mr ( ) n [4.39] ( V V ) n [4.40] W mr n n n [4.4] La interacción de calor se puede calcular a partir de : mr Q U + W mc ( ) + ( ) mr( ) n n abla 4. Diersas expresiones de la ecuación de la línea de estados de un proceso politrópico en un gas ideal. Variables Forma diferencial Forma integral para cte. d d, + ( n ) 0 d d, + n 0 d n d, 0 n n cte. n n n cte. cte. n n n n Ejemplo 4. A partir del rimer rincipio, demostrar que para un gas ideal ( R, du c d ), el exponente politrópico ( n cte.) de una expansión o compresión adiabática iene dado por n + R/c V c /c V.
4.4 ema 4 - El Gas Ideal Solución 0 ; u c d c ( ) q w u ; n w d d n n n R ( ) n n n n ; R w u ( ) ( ) n c n R c R c + p +, q.d.e. c c c Ejemplo 4.3 No todos los procesos en gas ideal son politrópicos. or ejemplo, deducimos ahora la proyección en el plano - (es decir, la ELE) de un proceso de expansión adiabática cuasiestática con rozamiento constante de alor r, sin otros tipos de trabajo. Solución La expresión del en proceso cuasiestático es du mc d δw e dv or equilibrio de fuerzas (proceso cuasiestático), e + r mc d ( r)dv A partir de mr V se deduce md (dv + Vd)/R, que sustituyendo queda (c V /R)(dV + Vd) ( r)dv (c V /R + r)dv + (c V /R) Vd 0 Agrupando términos se llega a la expresión diferencial de la ELE; en función de olúmenes específicos: d/ + d/( rr/c ) 0 que integrando para cte. queda ( rr/c ) cte. que eidentemente no es la ecuación de una politrópica. No obstante, el trabajo en un proceso de estas características se puede calcular por el, sin necesidad de conocer la ELE: W mc V ( V V )/( ) BIBLIOGRAFIA M.J. MORAN y H.N. SHAIRO, Fundamentos de ermodinámica écnica, Barcelona, Reerté, 993, pp. 0 7. A. SHAVI & C. GUFINGER, hermodynamics. From concepts to applications, London, rentice Hall, 995, pp. 65 74. J. M. SEGURA, ermodinámica écnica, Madrid, AC, 980, pp. 46 53, 37 53. K. WARK, ermodinámica (5ª ed.), Mexico, McGraw-Hill, 99, pp. 73 99.
Ejemplos desarrollados 4.5 EJEMLOS DESARROLLADOS Ejemplo 4.4 Un gas perfecto monoatómico sufre dos transformaciones politrópicas reersibles de clases τ y τ 3 desde el mismo estado inicial, que producen el mismo trabajo. En la primera transformación la presión se reduce a la mitad y la temperatura inicial es de 500 K. Calcular la temperatura final en la politrópica τ 3 y el calor intercambiado en ambas transformaciones. Dato: Relación entre el exponente politrópico n y la clase τ: n + /τ. Solución Se sabe, por tratarse de un gas ideal monoatómico, que c V 3R/ y c 5R/. ara τ, n y para τ 3, n 4/3. n n4/3 V El trabajo de un proceso politrópico en gas ideal es W NR ( ' ) n Esta fórmula es aplicable al segundo proceso. El primer proceso, por contra, es isotermo cuasiestático (n), por lo que el trabajo iene dado por: NR W dv V dv NR V NR ln ln V Sustituyendo para mol: w 500 R ln w R ( 500) / ( /3) Como por el enunciado w w, al igualar y despejar se obtiene: 500 [ (ln )/3] 384,47 K ara calcular el calor intercambiado, se aplica el a ambos procesos: roceso : roceso : Ejemplo 4.5 q w u 0 (dado que el proceso es isotermo) q w 500R ln 88,4 J/mol q w + u w + c V ( ) 88,4 + 3R/(384,47 500) 440,4 J/mol (Examen del 0/0/95) El dispositio de la figura está construido en su totalidad con paredes adiabáticas, incluido el émbolo de cierre E. Inicialmente el recinto de la derecha, cuyo olumen es mitad del de la izquierda, está acío y la álula V cerrada, mientras que en el recinto de la izquierda hay 0 litros de gas a bar de presión y 5 C de temperatura.
4.6 ema 4 - El Gas Ideal E V or desplazamiento del émbolo se comprime reersiblemente el gas hasta reducir su olumen inicial a la mitad, en cuyo momento el émbolo se bloquea para asegurar su inmoilidad. Una ez alcanzado este estado intermedio se abre la álula V, con lo que el gas pasa a un nueo estado. Finalmente y suprimiendo el carácter adiabático de las paredes, se suministra o elimina reersiblemente el calor necesario para que el gas uela al estado inicial. Calcular el calor y trabajo desarrollado en cada uno de los tres procesos descritos, así como las correspondientes ariaciones de energía interna, representándose asimismo en el diagrama presión olumen específico. Datos: se supondrá el gas ideal con c V 0 J/mol K, despreciándose el olumen del conductor que pone en comunicación los recintos. Solución Conocido c V y sus relaciones con c y, se obtiene c c V + R 8,34 J/mol K y,4. roceso -: or ser adiabático, Q 0 W U Nc V ( ) [] ara determinar el número de moles N, se parte de la ecuación de estado del gas ideal en el estado : N V /R 0,807 mol Ahora hay que hallar : basándonos en que - es un proceso adiabático reersible de un gas ideal, (V /V ),65 bar; ( / ) R/cp 396,5 K Sustituyendo en [], W 6, J or el, U W 6, J roceso -3: or ser también un proceso adiabático, Q 3 0. Además, W 3 0 por tratarse de una expansión adiabática en ausencia de fuerzas exteriores (expansión libre o expansión contra el acío). Lógicamente, por el se obtiene U 3 0. roceso 3-: or tratarse de un proceso cíclico U total U + U 3 + U 3 0 U 3 6, J. or ser a V cte. W 3 0. or el () Q 3 U 3 6, J. Ejemplo 4.6 Un cilindro rígido de paredes adiabáticas, tiene un pistón, también adiabático, que puede moerse libremente sin rozamiento dentro del cilindro. + A B - Inicialmente, el pistón diide al cilindro en dos partes iguales, denominadas A y B en la figura, y cada parte contiene mol del mismo gas ideal a 300 K de temperatura y 00 a de presión.
Ejemplos desarrollados 4.7 Se instala en la parte A un calentador eléctrico por el cual se hace pasar una corriente de modo que aumente muy lentamente la temperatura de la parte A hasta 600 K. Suponiendo despreciables las capacidades caloríficas del cilindro y del pistón y sabiendo que el calor específico del gas ideal es c V 5R/, se pide hallar: (a) presión final de ambos compartimentos A y B; (b) temperatura final del compartimento B; (c) trabajo eléctrico suministrado al sistema por el calentador. Solución (a) En la cámara B se da una compresión adiabática, cuasiestática y sin rozamiento. Así, puede decirse que Q B 0 y que V B B cte. [] c p c donde: c + R c 5 R+ R 7 R 5 5 4, El olumen total del sistema a lo largo del proceso es constante: V A + V B V A + V B [] Existe equilibrio mecánico, por lo que A B [3] Ya que se trata de gases ideales, con [] y [3] se puede escribir: N R A A A NBRB N ARA NBRB + + B A B + A B [4] De []: V V B B B B B NBR B B B NBR B B B B B B [5] Se tienen dos ecuaciones ([4] y [5]) y dos incógnitas ( B y B ); resoliendo: [ 4] : A B 600 + + 300 A B + or tanteos, se obtiene que /,569, de donde 56,9 a. (b) De [5], B 300 (,569) 0,4/,4 34, K. (c) Aplicando el, U A Q A W A W el W A W el U B Q B W B W B por otra parte, W A W B Con estas ecuaciones se concluye que : W el ( U A + U B ) U [N A c ( A A ) + N B c ( B )] [ 5/ 8,34 (600 300) + 5/ 8,34 (34, 300)] 709 J.
4.8 ema 4 - El Gas Ideal Ejemplo 4.7 Se dispone de un recipiente cerrado y aislado térmicamente, cuyo interior está diidido en dos cámaras A y B, por un émbolo libre sin rozamiento y también aislado. Cada cámara está proista de un sistema de calefacción eléctrica alimentado desde el exterior. En A hay mol de un gas ideal biatómico a 300 K y bar. En B hay cierta cantidad del mismo gas a igual presión y temperatura que en A, y además un depósito de 50 litros, de pared rígida y diatérmica, lleno con otra cantidad del mismo gas a la presión inicial de 3 bar. El olumen inicial de B (incluyendo el depósito D) es 3 eces el de A. El sistema experimenta la siguiente eolución: A B D ª etapa: Mediante los sistemas eléctricos citados se calientan ambas cámaras, con lo que el émbolo se desplaza, interrumpiéndose el calentamiento cuando la temperatura del gas A alcanza los 600 K. El gas en A ha sufrido en la operación un proceso reersible y politrópico, de ecuación cte. ª etapa: Concluida la ª etapa, se bloquea el émbolo y se quita su aislamiento térmico. Al alcanzarse el nueo equilibrio térmico, el depósito que hay en B se rompe. Se pide: (a) presión y temperatura en la cámara B al final de la ª etapa; (b) calor suministrado a cada cámara en julios; (c) temperatura en ambas cámaras al final de la ª etapa; (d) exceso de presión del depósito D sobre su entorno en el momento de su rotura. Solución a) resión y temperatura en la cámara B al final de la primera etapa. omaremos R 8,34 J/mol K 8,34 a l/mol K. - Estado : N A N A mol (dato); A 300 K (dato); A bar 00 a (dato) V A N A R A / A 8,344 300/00 49,89 l B A 300 K (dato); B A 00 a (dato) V B + 50 3 V A 49,66 l V B 99,66 l N B N B B V B / R B 00 99,66/(8,34 300) 3,995 mol D B 300 K; D 3 bar 300 a (dato); V D 50 l (dato) N D N D D V D / (R D ) 300 50/(8,34 300) 6,04 mol - Estado : A 600 K (dato) A V A cte. A A A A n n A A A A n n 00 600 300 58,7 a V A N A R A / A ( 8,34 600)/58,7 6,85 l B A 58,7 a V B + V D + V A V B + V D + V A V B V B + (V A V A ) 99,66 + (49,89 6,85) 86,69 l
Ejemplos desarrollados 4.9 B B V B / (N B R) 58,7 86,69/(3,995 8,34) 44,6 K V D V D 50 l D B 44,6 K D N D R D / V D 6,04 8,34 44,6/50 44,3 a b) Calor suministrado a cada cámara en julios. W A N A R ( A A )/(n ) 8,34 (600 300)/( ) 663 J U A N A c V ( A A ) (5/) 8,34 (600 300) 47 J Q A W A + U A 663 + 47 4 34 J W B W A 663 J U B N B c V ( B B ) 3,995 (5/) 8,34 (44,6 300) 9 488 J Q B W B + U B 663 + 9 488 7 85 J W D 0 Q D U D N D c V ( D D ) 6,04 (5/) 8,34 (44,6 300) 4 83 J Q i Q A 4 34 J Q d Q B + Q D 08 J c) emperatura en ambas cámaras al final de la segunda etapa. - Estado 3: A3 B3 D3 3 Q0, W0 U 3 0 ( U A + U B + U D ) 3 0 N A c V ( 3 A ) + N B c V ( 3 B ) + N D c V ( 3 D ) 0 3 (N A A + N B B + N D D ) / (N A + N B + N D ) ( 600 + 3,995 44,6 + 6,04 44,6) / ( + 3,995 + 6,04) 445,9 K d) Exceso de presión del depósito D sobre su entorno en el momento de la rotura. V B3 V B 86,69 l B3 N B R 3 / V B3 3,995 8,344 445,9/86,69 70,6 a,706 bar D3 N D R 3 / V D 6,04 8344 445,9/50 445, a 4,45 bar D3 B3 445, 70,6 74,6 a,746 bar
4.0 ema 4 - El Gas Ideal ROBLEMAS ROUESOS 4.. Se considera el recipiente cilíndrico de la figura, de paredes diatérmicas. La longitud del muelle, cuando sobre él no actúa ninguna fuerza, es igual a la altura del cilindro, siendo su constante de recuperación igual a. Se supondrá despreciable el espesor del pistón. or la álula indicada en la figura se introduce una cierta cantidad de gas ideal, con un calor específico a olumen constante igual a c, con lo cual el muelle se comprime una longitud L 0. L 0 Suministramos calor al gas muy lentamente, por lo que el gas se expande y efectúa un trabajo sobre el muelle. Se desea saber la cantidad de calor absorbida por el gas cuando su olumen llega a ser el doble del inicial, sabiendo que no hay rozamientos entre cilindro y pistón. Datos: c,47 J/mol K; 4,0 N/m; L 0 0,50 m. Solución: Q 3L 0 (/ + c /R) 6 J. 4.. Un sistema cerrado consiste en un gas ideal con masa m y razón de calores específicos. Si los efectos de energía cinética y potencial son despreciables, demostrar que para cualquier proceso adiabático el trabajo es ( ) W mr Solución: W Q U du mc ( ) ; ( ) q.d.e. R c cp c + R c, 4.3. Un depósito de 0,08 m 3, mostrado en la figura, está diidido en dos partes. La primera parte, de 0,03 m 3 de olumen, contiene oxígeno a 300 a, 7 C. La segunda, de 0,05 m 3 de olumen, está a acío. Se rompe el tabique de separación y el gas se expande hasta ocupar todo el depósito. O Vacío Suponer el oxígeno como gas ideal con M 3,,4.
roblemas propuestos 4. Determinar el estado final del sistema, y las interacciones de trabajo y calor en el proceso, si (a) el depósito está en contacto con un foco térmico a 7 C; (b) si el depósito está aislado. Solución: (a) 300,5 K,,5 a, W 0, Q 0; (b) 300,5 K,,5 a, W 0, Q 0. [( ) ( )] 4.4. La energía interna de un cierto gas ideal iene dada por u R a aln a, donde R es la constante de los gases y a otra constante. Calcular c, c V y el índice adiabático. Solución: c V R/(a-); c Ra/(a-); a/. 4.5. Una locomotora choca contra un amortiguador neumático formado por dos cilindros gemelos de 5 cm de diámetro y 75 cm de longitud, donde hay aire a 00 a y C, y hace retroceder 60 cm los émbolos de los cilindros. Calcular la presión y temperatura final del aire encerrado y el trabajo de compresión en cada cilindro, si la compresión es adiabática. Cuál sería el trabajo si la compresión fuera isoterma? Suponer procesos cuasiestáticos. Calor específico del aire: c,00 J/g K. 4.6. Un parachoques está constituido por dos amortiguadores de un cuerpo de bomba, de 0 litros cada uno, con aire. Choca un agón de 0 t a elocidad de,7 m/h y se para. Supuesto rozamiento nulo, y que la temperatura inicial del aire es de 7 C y bar de presión, calcular, y V. Suponer para el aire,4; R 87 J/gK. Solución: 84, C; 3,9 dm 3 ; 4,78 bar. 4.7. Un sistema de g de oxígeno (O ) en las condiciones iniciales de 0,5 Ma y 0,6 m 3 /g experimenta un proceso cuasiestático que puede ser descrito por una línea recta en el diagrama -, hasta el estado final de 5 Ma y 50 C. Determinar las interacciones de calor y trabajo en este proceso. Solución: W -4476,4 J; Q -436,7 J. 4.9. Se expansionan 5 m 3 de un gas ideal, que está a 0,4 Ma y 77 C, hasta 50 m 3 y 0, Ma, según un proceso politrópico. Calcular: (a) índice politrópico n; (b) trabajo de expansión; (c) ariación de energía interna; (d) cantidad de calor intercambiado. Se supondrá que el proceso es cuasiestático sin rozamiento y que el índice adiabático es constante e igual a,4. Solución: (a) 0,60; (b) 7538 J; (c) 750 J; (d) 5 040 J.
4. ema 4 - El Gas Ideal 4.0. El cilindro ertical de la figura contiene g de aire a 0 C y 0,5 Ma, y está cubierto por un pistón. Se transfiere calor al aire lentamente hasta que el pistón alcanza el tope. En ese estado, el olumen del cilindro es de 0,8 m 3. Se continúa calentando hasta que la presión alcanza Ma. Determinar: (a) la temperatura final en el cilindro; (b) las interacciones de calor y trabajo del aire. Aire Solución: (a) 57 C; (b) Q 38 J; W 3 J. 4.. Un cilindro aislado térmicamente contiene 0, g de nitrógeno (N ) a 3,5 Ma y 400 C. El cilindro está cubierto por un pistón también aislado, de 50 g, cuya área es de 80 cm, y soporta una carga adicional de 50 g. El pistón se mantiene en su lugar mediante un tope. Se elimina el tope y el pistón asciende, oscila durante unos instantes, y finalmente se detiene. Suponer que la presión atmosférica es de 00 a. Determinar cuánto asciende el pistón. Solución: 7, m. 4.. Se considera el sistema formado por un cilindro de paredes diatérmicas proisto de un émbolo y en cuyo interior hay mol de un gas ideal. Sumergido el sistema en un baño termostático a la temperatura constante, la presión del gas resulta ser. ) Si el gas se expande a elocidad despreciable y en ausencia de rozamientos, hasta la presión, cuál será el trabajo realizado por el sistema sobre el entorno? ) Si entre el émbolo y el cilindro existe una fuerza de rozamiento constante e igual a r A y el gas se expande, a elocidad despreciable, hasta la presión, cuál sería el trabajo realizado por el sistema sobre su entorno? 3) Si a la presión del gas sólo se opone la presión atmosférica 0, en ausencia de rozamientos, cuál sería el trabajo realizado por el sistema sobre su entorno? 4) Si a la expansión del gas sólo se oponen la presión atmosférica y la fuerza de rozamiento citada en el segundo apartado, cuál sería el trabajo realizado por el sistema sobre su entorno? r 0 Solución: W Rln ; W R ln ; W3 R ; W R 4 + r 0. 0 4.3. Un depósito de 0,0 m 3 contiene nitrógeno (gas ideal, M 8,,4) a Ma y 500 C. El depósito está conectado a traés de una álula con un cilindro ertical
roblemas propuestos 4.3 que está cubierto con un pistón de peso 0 N. El área del pistón es A 0, m. odo el sistema depósito-cilindro está bien aislado. La presión atmosférica es de 00 a. Inicialmente el cilindro no contiene nitrógeno. Se abre la álula y fluye nitrógeno hasta que se igualan las presiones del cilindro y el depósito. (a) Determinar la temperatura final en el cilindro si la temperatura final del tanque es 50 C. (b) Calcular la masa de nitrógeno que entra en el cilindro. (c) Cuánto asciende el pistón en el proceso? (Nota: comparar con el problema 3.3.) Solución: (a) 603, K; (b),356 g; (c) 8,0 m. 4.4. Un cilindro contiene aire (gas ideal,,4, M 9), y está cubierto por un pistón que puede moerse entre dos topes, como se muestra en la figura. La sección transersal del cilindro es de 0, m. El peso del pistón es de 000 N, y la presión atmosférica de 00 a. Cuando el pistón se encuentra en la posición inferior, la presión en el interior del cilindro es de 80 a, y la temperatura de 00 C. El aire comienza a calentarse desde el exterior, y al poco rato el pistón empieza a ascender hasta que llega al tope superior. El calentamiento continúa hasta que la temperatura alcanza 77 C. 0 cm Aire 0 cm (a) Representar el proceso en un diagrama -. (b) Cuál es la temperatura del aire contenido en el cilindro en el momento en que el pistón comienza a ascender? (c) Cuál es la temperatura del aire cuando el pistón alcanza el tope superior? (d) Cuál es la presión final dentro del cilindro? (e) Determinar las ariaciones de energía interna y entalpía del aire para el proceso completo. (f) Determinar las interacciones de calor y trabajo entre el sistema y su entorno para el proceso completo. 4.5. Aire (gas ideal, M 9,,4) está contenido en el sistema de la figura, de geometría cilíndrica. La sección transersal de la zona ancha es de 0, m, y 0,075 m la de la zona estrecha. Cuando el cilindro se encuentra en la posición superior, la
4.4 ema 4 - El Gas Ideal presión dentro del recipiente es de 5 Ma y la temperatura de 37 C. El aire se enfría, y el pistón baja hasta que llega al escalón. El aire continúa enfriándose hasta que la temperatura llega a 7 C. (a) Dibujar el proceso en un diagrama -. (b) Cuál es la temperatura del aire cuando llega al escalón? (c) Cuál es la presión del aire cuando su temperatura alcanza los 7 C? (d) Calcular las interacciones de calor y trabajo durante el proceso completo. (e) Calcular la ariación de energía y de entalpía del aire durante el proceso completo. 0 cm 0 cm 4.8. Un cilindro adiabático, de m de sección, proisto de un émbolo también adiabático y que puede deslizar sin rozamiento, contiene 000 mol de un gas ideal de c 30 J/mol K, y está sumergido en el mar. Cuando la marea está alta, la profundidad del agua es a 0 m, y el gas está a 300 K, en equilibrio. Sobre la superficie exterior del agua actúa en todo momento la presión atmosférica 0 00 a. La densidad del agua es ρ 050 g/m 3. a) Cuánto debe bajar la marea para que el émbolo llegue a la superficie del agua? b) Cuál será la temperatura del gas en ese momento? Considérese que el cilindro tiene la longitud exacta, de modo que ni se sale el émbolo ni se queda estancada agua dentro de las paredes del cilindro al final del proceso, y que la masa y el espesor del émbolo son despreciables. 0 a Solución: (a) 0,385 m; (b) 3,3 K. 4.0. (Examen del /09/97) El cilindro de la figura, de sección A (m ), contiene un gas ideal biatómico a temperatura ambiente ( 0 300 K) y en equilibrio con la presión atmosférica ( 0 bar). El pistón desliza sin fricción, y su masa y espesor son despreciables. La posición inicial del pistón es L (m). A una distancia L del pistón se encuentra el extremo de un muelle de constante (N/m), que se encuentra relajado. A distancia L del extremo del muelle, el cilindro tiene unos topes para impedir el desplazamiento del pistón.
roblemas propuestos 4.5 L L L A Se comunica calor al gas lentamente desde una fuente exterior, hasta que la temperatura alcanza 00 K. Se sabe que la presión en el instante en que el pistón entra en contacto con los topes es de bar. Se pide: a) resión final del gas. b) Representación del proceso en un diagrama -V. c) Calor total aportado al gas. d) rabajo hecho por el gas contra el muelle. e) Variación de entropía del gas. Nota: Expresar los resultados en unidades SI en función de A y L.