Introducción a la Mecánica Lagrangiana. Ligaduras

Introducción a la Mecánica Lagrangiana. Ligaduras Tema 2A Universidad de Sevilla - Facultad de Física cotrino@us.es 25 de septiembre de 2017 Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 1 / 51

Tema 2: Formulación Lagrangiana. Ligaduras Contenido 1 Principio diferencial de D Alambert 2 Ecuaciones de Lagrange 3 Multiplicadores de Lagrange Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 2 / 51

Principio diferencial de D Alambert Desplazamiento virtual (δ r i ) Concepto básico en la Mecánica Anaĺıtica Conjunto de los desplazamientos imaginarios que pueden efectuarse por el conjunto de los puntos del sistema, compatibles con las ligaduras, que se efectúan de forma instantánea, siendo, por tanto, independientes del tiempo Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 3 / 51

Desplazamiento virtual (δ r i ) Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 4 / 51

Ejercicio: Partícula libre en tres dimensiones Escribir el principio de D Alambert para una partícula libre en tres dimensiones Obtener la segunda ley de Newton para la partícula libre en 3D a partir del principio de D Alambert Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 7 / 51

Ejercicio: Partícula insertada en un alambre Consideramos una partícula de masa m obligada a moverse por un alambre que forma un ángulo α con la horizontal (eje x) bajo la acción de la gravedad Admitiendo que el movimiento tiene lugar en un plano, obtener las ecuaciones del movimiento de la partícula a partir del principio de D Alambert Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 8 / 51

Principio diferencial de D Alambert La expresión obtenida con el principio de D Alambert es: r {[ d dt ( ) T q r ] } T q r Q r δq r = 0 Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 12 / 51

Ecuaciones de Euler-Lagrange Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 14 / 51

Ejemplo: dependencia en el tiempo Las funciones de transformación r i = r i (q j, t) pueden depender del tiempo El sistema de coordenadas generalizadas puede moverse Por ejemplo, sistema de coordenadas fijo sobre la Tierra Ejemplo: Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 15 / 51

Ejemplo: Dependencia temporal Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 16 / 51

Ejemplo: Dependencia temporal Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 17 / 51

Ejemplo: Arbitrariedad de la Lagrangiana Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 18 / 51

Hipótesis realizadas Energía potencial no depende de la velocidad Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 19 / 51

Energía potencial depende de la velocidad Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 20 / 51

Fuerza electromagnética sobre una partícula (1) Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 21 / 51

Fuerza electromagnética sobre una partícula (2) Tenemos ahora un potencial de la forma V = V (q i, q i, t) La fuerza generalizada será: Q j = V q j + d dt ( V q j ) Obtener la expresión de la componente x de la fuerza de Lorentz que actúa sobre la partícula Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 22 / 51

Regla de supresión de puntos Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 23 / 51

Momentos generalizados (1) Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 24 / 51

Momentos generalizados (2) Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 25 / 51

Fuerzas generalizadas (1) Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 26 / 51

Fuerzas generalizadas (2) Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 27 / 51

Ecuaciones de Newton (1) Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 28 / 51

Ecuaciones de Newton (2) Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 29 / 51

Resumen Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 30 / 51

Sistema monogénico Si todas las fuerzas en el sistema se derivan de un potencial generalizado, el sistema se denomina MONOGÉNICO U es función de (q, q, t) La fuerza de Lorentz es monogénica ( ) Q j = U q j + d U dt q j Un sistema monogénico es conservativo solo si: U = U(q) o tenemos que U q = U t = 0 Las ecuaciones de Lagrange funcionan en sistemas monogénicos Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 31 / 51

Formulación Lagrangiana (resumen) Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 32 / 51

Función de disipación de Rayleigh: Sistemas con rozamiento (1) Sistema en presencia de campos no conservativos En algunos casos se pueden separar las fuerzas actuantes en dos: fuerzas derivables de un potencial escalar y fuerzas claramente disipativas Son comunes los problemas donde coexisten las fuerzas gravitatorias (campo conservativo) y fuerzas de rozamiento ( ) En tal situación tenemos d L dt q j L q j = Q j En la Lagrangiana está el potencial de las fuerzas conservativas, el resto de las fuerzas no derivables de un potencial, están en Q j Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 35 / 51

Función de disipación de Rayleigh: Sistemas con rozamiento (2) Siempre podemos las fuerzas generalizadas en dos partes: la fuerza generalizada correspondiente a las fuerzas conservativas, Q jc y la fuerza generalizada correspondiente a las fuerzas disipativas, Q jd Q jc = V q j, se introduce en el primer miembro (como en los campos conservativos) En tal situación tenemos d dt ( ) L q j L q j = Q jd Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 36 / 51

Función de disipación de Rayleigh: Sistemas con rozamiento (3) En la Lagrangiana está el potencial de las fuerzas conservativas, el resto de las fuerzas no derivables de un potencial, están en Q j. Omitimos el subíndice d. En sistemas con rozamiento, donde la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad (F=-kv), se define la función de Rayleigh, R, como R = 1 ( ) 2 i k x vix 2 + k y viy 2 + k zviz 2 ejercicio: la función de Rayleigh es igual a la mitad de la potencia del sistema necesaria para vencer las fuerzas de rozamiento Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 37 / 51

Función de disipación de Rayleigh: Sistemas con rozamiento (4) Con esta definición, la fuerza generalizada correspondiente a las fuerzas disipativas es igual a: R q j Se tiene Q jd = i F i. r i q j = i R r i r j q j = i R r i r j q j = R q j Por tanto, las ecuaciones de movimiento para estos sistemas quedan en la forma: ( ) d L dt q j L q j = R q j Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 38 / 51

Ejercicio: Péndulo simple inmerso en un fluido Consideramos un péndulo simple inmerso en un fluido que ofrece rozamiento al movimiento, admitiendo que el rozamiento es isótropo, la función de Rayleigh será: R = 1 2 kv 2 = 1 2 k ( ẋ 2 + ẏ 2) = 1 2 kl 2 ϕ 2 La ecuación del movimiento queda entonces en la forma: ml 2 ϕ + kl 2 ϕ 2 + mgl sen ϕ = 0 Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 39 / 51

5. Multiplicadores de Lagrange (1) No existe una forma general de resolución para los sistemas no holónomos, habrán de resolverse de forma particular Si las ligaduras no holónomas son de un determinado tipo: ligaduras no holónomas de tipo diferencial, existe un método general de obtención de las ecuaciones del movimiento, el método de los multiplicadores de Lagrange. Este método facilita, al mismo tiempo, la obtención de las fuerzas de ligadura Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 40 / 51

Multiplicadores de Lagrange (2) Ligaduras no holónomas de tipo diferencial Ligaduras denominadas también integrables o semiholónomas Consisten en relaciones entre las velocidades generalizadas de las partículas del sistema que no son integrables Si lo fueran, podríamos, después de su integración, expresar unas coordenadas en función de las consideradas como independientes y tener tantas de ellas como grados de libertad del sistema Estas ligaduras se expresan mediante ecuaciones del tipo: i a lrq r = 0, donde las a lr pueden ser constantes o funciones de las coordenadas generalizadas q r El subíndice r va desde 1 hasta n + m. El subíndice l se refiere a las distintas ecuaciones de ligaduras, cuyo número está representado por m. Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 41 / 51

Ejercicio: Disco que rueda sin deslizamiento por una superficie (1) La proyección del centro del disco sobre el plano está dada por las coordenadas x, y que serán las mismas coordenadas que tiene en cada instante el punto de contacto del disco con el plano θ ángulo que forma el eje del disco con el eje Y ϕ ángulo que sobre el eje Y ha rotado el disco podemos especificar la rotación del disco y su orientación con las coordenadas θ, ϕ Aunque el sistema tiene dos grados de libertad, y por tanto, debiera especificarse dos coordenadas generalizadas, la relación entre θ, ϕ y x, y no es factible si la solución de las ecuaciones del movimiento no se conoce Figura: Un disco de radio a rueda sobre el plano XY sin deslizar (se mantiene vertical) con su eje de giro siempre paralelo al plano XY Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 42 / 51

Ejercicio: Disco que rueda sin deslizamiento por una superficie (2) Tenemos las ecuaciones: v = r ϕ, ẋ = v cos θ, ẏ = v sen θ Estas ecuaciones llevan a las dos ecuaciones diferenciales siguientes: dx + r cos θdϕ = 0, dy + r sen θdϕ = 0, que no son integrales Si lo fueran podríamos obtener unas funciones. f 1 (x, θ, ϕ) = 0, f 2 (y, θ, ϕ) = 0 Con ellas podemos conseguir x(θ, ϕ) y y(θ, ϕ) Así, la determinación de (θ, ϕ) equivaldría a la determinación de (x, y) si existe f 1 (x, θ, ϕ) = 0, su diferencial sería: f 1 x dx + f 1 θ dθ + f 1 ϕ dϕ = 0 Con la ecuación diferencial dx + rcosθdϕ = 0 vemos que f 1 θ = 0, f 1 ϕ = r cos θ No se cumple la condición para las funciones continuas/derivable: 2 f 1 θ ϕ 2 f 1 ϕ θ, f 1 no existe Figura: Un disco de radio a rueda sobre el plano XY sin deslizar (se mantiene vertical) con su eje de giro siempre paralelo al plano XY Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 43 / 51

Método de los multiplicadores indeterminados de Lagrange (1) Sea un sistema con n grados de libertad que tiene m ligaduras semiholónomas que se expresan con m ecuaciones de una de las formas siguiente: r a lrq r = 0, r a lrdq r + a lt dt = 0, r a lrδq r = 0 el subíndice r va desde 1 hasta n + m Si multiplicamos dichas expresiones por parámetros indeterminados λ l y realizamos la suma para todas las ecuaciones, se tendrá r l λ la lr δq r = 0 Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 44 / 51

Método de los multiplicadores indeterminados de Lagrange (2) La expresión obtenida partiendo del principio de D Alamber era: {[ ( ) ] } d T dt q r T q r Q r δq r = 0 Antes de considerar que todas las δq r son independientes, se suma el resultado anterior, relativo a las ligaduras, y {[ ( ) ] d T dt q r T q r Q r + } l λ la lr δq r = 0 Al no ser independientes todas las δq r, no se puede hacer igual a cero la expresión entre corchetes Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 45 / 51

Método de los multiplicadores indeterminados de Lagrange (3) De las n + m coordenadas q r, se pueden elegir que las n primeras sean [ ( coordenadas ) ] independientes, así, d T dt q r T q r Q r + l λ la lr = 0 Para los valores de r = 1, 2,..., n Como nada hemos dicho sobre la forma de los multiplicadores de Lagrange [ ( ) λ l se puede ] imponer ahora que, d T dt q r T q r Q r + l λ la lr = 0 Para los valores de r = n + 1, n + 2,..., n + m Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 46 / 51

Método de los multiplicadores indeterminados de Lagrange (4) Por tanto se establece que, [ ( ) ] d T dt q r T q r Q r + l λ la lr = 0 Será verdad para todos los valores de r, para los valores de r = 1, 2,..., n + m Estas n + m ecuaciones, junto a las m ecuaciones de ligadura, l λ la lr = 0 Proporcionan un sistema de n + 2m ecuaciones con n + 2m incógnitas. Las n + m coordenadas q r y los m parámetros λ l Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 47 / 51

Método de los multiplicadores indeterminados de Lagrange (5) El término: l λ la lr = 0 aparece en la ecuación diferencial del movimiento junto a Q r Es una fuerza generalizada: la fuerza generalizada debida a la ligadura El método de los multiplicadores de Lagrange nos permite: 1 resolver el problema de obtener las ecuaciones de movimiento de un sistema no holónomo y 2 obtener las fuerzas de ligadura Podemos aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange a sistema holónomos, si estamos interesados en calcular las fuerzas de ligadura. Para ligaduras holónomas la relación entre las coordenadas generalizadas y las ligaduras se puede expresar también en la forma: l a lrq r = 0 Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 48 / 51

Método de los multiplicadores indeterminados de Lagrange para campos conservativos El sistema de ecuaciones a resolver es, [ ( ) ] d T dt q r T q r Q r + l λ la lr = 0 l λ la lr = 0 r = 1, 2,..., n + m Para sistemas conservativos,las fuerzas generalizadas, Q r, se expresan: Q r = V q r, donde V es el potencial dependiente de las coordenadas, pero no dependiente, en general, de las velocidades generalizadas [ ( ) ] Podemos escribir: d (T V ) (T V ) dt q r q r + l λ la lr = 0, es decir [ d dt ( ) ] L q r L q r + l λ la lr = 0 l a lrq r = 0 Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 49 / 51

Ejercicio: Ecuación de movimiento de la máquina de Atwood y tensión del hilo El movimiento de cada una de las dos masas se efectúa en la dirección vertical El sistema tiene un solo grado de libertad La única coordenada generalizada podría ser, por ejemplo, la distancia desde el centro de masas de la partícula M a la horizontal que contiene el centro de la polea, x El origen de potenciales será esta horizontal Vamos a considerar una segunda coordenada, y, que será la distancia que separa la masa m de la citada horizontal Al ser el hilo inextensible se tiene: x + y = l (ligadura) Figura: Consideramos dos masas M y m con M > m y hilo de longitud l + πr (masa despreciable) con R el radio de la polea (masa despreciable) Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 50 / 51

Principio de Hamilton Tema 2A (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 51 / 51