PROBLEMES PAU SOBRE SISTEMES D EQUACIONS ) PAU 999 Sèrie Qüestió : Resoleu el sistema següent per als valors de k que el facin compatible. x + y 3 x y 4x + 3y k ) PAU 000 Sèrie 5 Qüestió 4: Discutiu el sistema d equacions segons els valors del paràmetre a. ax y + z a x + 3y z 3a x + y z a 3x y + z 5 3) PAU 000 Sèrie Qüestió 3: Donat el sistema d'equacions x 3y + z 4 a) Afegiu-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui incompatible. b) Afegiu-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui compatible indeterminat. Resoleu el sistema que s'obtingui. 4) PAU 000 Sèrie 3 Qüestió 3: Se sap que el sistema d'equacions x + y az x + y 8z té més d'una solució. x y + 0z 5 Calculeu a i digueu quina és la interpretació geomètrica que té el conjunt de totes les solucions d'aquest sistema. 5) PAU 003 Sèrie Qüestió 4: Per a quin o quins valors del paràmetre real λ el sistema d equacions és compatible i indeterminat? ( λ ) ( λ ) x + y + + z 0 x + y + 3z 9 x z 4 6) PAU 003 Sèrie 5 Qüestió 4: Considereu el sistema d'equacions ax + y + z a + x y + az a + x y + z 4 on a és un paràmetre. Si x, y, z és una solució, quin és el valor del paràmetre a? Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya
7) PAU 004 Sèrie Qüestió : La matriu ampliada d un sistema d equacions lineals, un cop reduïda pel mètode de Gauss, és 0 0 0 0 0 0 a) El sistema, és compatible o incompatible? Raoneu la resposta. b) En cas que sigui compatible resoleu-lo. 8) PAU 004 Sèrie 3 Problema : Donat el sistema y + z x + y + z m x + m z m on m és un paràmetre, es demana: a) discutiu el sistema segons els valors de m; b) resoleu els casos compatibles; c) en cada un dels casos de la discussió de l apartat a), feu una interpretació geomètrica del sistema. 9) PAU 005 Sèrie 4 Problema : De tres nombres, x, y i z, sabem el següent: que el primer més el segon sumen 0; que el primer més el tercer sumen ; que la suma de tots tres val 0 i, per últim, ens diuen que el primer multiplicat per un nombre k més el doble de la suma del segon i del tercer dóna. Es demana: a) què podem dir del valor de k? b) quan valen els tres nombres? 0) PAU 005 Sèrie Qüestió : Considereu el sistema següent en funció del paràmetre real a: a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a. b) Resoleu els casos compatibles. x ay ax + y 3 ) PAU 005 Sèrie 3 Qüestió : En un sistema hi ha, entre d altres, aquestes dues equacions: x + y 3z 5 i x + 4 y 6z. Què podem dir de les solucions del sistema? ) PAU 006 Sèrie Qüestió : Esbrineu si el sistema següent pot ser compatible indeterminat per a algun valor del paràmetre m. x + 3y + z 0 x + 4y + 3z 0 És incompatible per a algun valor de m? x + y + mz 0 3) PAU 006 Sèrie 3 Qüestió 4: Sigui la matriu Determineu els valors de m per als quals Rang ( A ) < 3. 0 A 4 m 0 m 3 Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya
Pot ser Rang ( A ) per a algun valor de m? 4) PAU 006 Sèrie 4 Problema : Considereu el sistema d equacions px + 7 y + 8z 370 x + y + z 00 7x + py + 8z 395 a) Discutiu-lo en funció del paràmetre p. b) Doneu la interpretació geomètrica en els casos en què el sistema és incompatible. c) Resoleu el sistema per a p 6. 5) PAU 007 Sèrie Problema : Discutiu el sistema següent x + y + z 5 x + py + z 0 en funció del paràmetre p. Doneu la interpretació geomètrica del px + 6y + 3z sistema en cada cas i resoleu-lo quan sigui compatible. 6) PAU 007 Sèrie 3 Qüestió : Donada la matriu següent dependent d un paràmetre m: A m m m + m a) Estudieu-ne el rang segons els valors de m. b) Digueu quina és la posició relativa dels plans π : x + y + z, : x my mz m π + + + i m. π : mx y m z 0 3 + + +, segons els valors de 7) PAU 008 Sèrie 4 Qüestió 3: Considereu un sistema de dues equacions amb tres incògnites- Pot ser incompatible? Pot ser compatible determinat? Raoneu les respostes. 8) PAU 008 Sèrie Qüestió 3: Discutiu el sistema d equacions lineals següent en funció dels valors del paràmetre m. x + y + m z x + m y + z m m x + y + z m + 9) PAU 008 Sèrie 5 Problema : Considereu el sistema d equacions següent: x + y a z 4 x y + z 4 4x ( a + ) y + z a Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 3
a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan sigui compatible indeterminat. c) En el cas de l apartat anterior, trobeu una solució del sistema en què x, y i z tinguin valors enters. 0) PAU 009 Sèrie 4 Qüestió 4: En la resolució pel mètode de Gauss d un sistema de tres equacions amb tres incògnites ens hem trobat amb la matriu següent: 3 5 5 0 0 0 0 0 3 6 6 a) Expliqueu, raonadament, quin és el caràcter del sistema inicial. b) Si és compatible, trobeu-ne la solució. ) PAU 009 Sèrie 3 Qüestió : Considereu la matriu A a b. Trobeu b a els valors dels paràmetres a i b perquè la matriu tingui rang. x + py p ) PAU 009 Sèrie 3 Qüestió 3: Donat el sistema px + y p a) Discutiu-ne el caràcter en funció del paràmetre p. b) Resoleu-lo quan p. : 3) PAU 00 Sèrie Qüestió : Donat el sistema d equacions lineals x + y z x + y + z 4 : x y + p 3 z 5 a) Estudieu-ne el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) en funció del paràmetre p. b) Comproveu que si p 5 la solució del sistema no depèn del valor d aquest paràmetre. 4) PAU 00 Sèrie 4 Qüestió 4: Hem escalonat la matriu ampliada d un sistema d equacions lineals, 3 A X b, i hem obtingut: ( A b) 0 a + 0 0 a 3 a) Discutiu aquest sistema en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan a. 5) PAU 00 Sèrie 5 Qüestió : Considereu un sistema qualsevol de dues equacions amb tres incògnites. Responeu raonadament a les qüestions següents: a) És possible que el sistema considerat sigui compatible determinat? b) Pot ser incompatible? Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 4
6) PAU 0 Sèrie Qüestió 4: Considereu el sistema d equacions següent: x + y az 3 x + ( a 5) y + z 4a + 4x ( a ) + y 3z 4 a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè el sistema no sigui compatible determinat. b) Hi ha algun valor de a per al qual x, y 3, z sigui l única solució del sistema? 7) PAU 0 Sèrie Qüestió : k + Donada la matriu M 0 k : 0 k k a) Calculeu els valors del paràmetre k per als quals la matriu M no és invertible. b) Per a k0, calculeu M. 8) PAU 0 Sèrie 4 Qüestió 4: Analitzeu, segons els valors del paràmetre k, el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) del sistema d equacions següent: x + y z k 4 ( k 6) y + 3z 0 ( k + ) x + y 3 9) PAU 0 Sèrie 4 Qüestió 3: Considereu el sistema d equacions lineals següent: x + y 3z x + ay 5z a + 3 x 3y + ( a ) z 9 a) Calculeu el valor o els valors del paràmetre a per al qual o per als quals el sistema és compatible indeterminat. b) Quantes solucions té aquest sistema quan a 3? 30) PAU 03 Sèrie 4 Qüestió :,, és una solució del sistema Sabem que el vector ax + by + cz a + c bx y + bz a b c cx by + z b Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 5
3) PAU 03 Sèrie 5 Qüestió : La matriu de coeficients d un sistema d equacions lineals homogeni és: 3 A a 0 4 a + a) Per a quins valors del paràmetre a el sistema té una solució? Quina és aquesta solució única? b) Resoleu el sistema si a. 3) PAU 04 Sèrie 4 Qüestió : Responeu a les qüestions següents: a) Discutiu el sistema d equacions lineals valors de k. k y + k z 0 ( 4k + ) x y 7z x + y + z 0 en funció dels b) Resoleu el sistema per a k. 33) PAU 04 Sèrie 5 Qüestió 3: Considereu el sistema d equacions lineals mx y m 3x + ( m 4) y m + per a m R. a) Discutiu el sistema d equacions per als diferents valors del paràmetre m. b) Resoleu el sistema en aquells casos en què el sistema sigui compatible. 34) PAU 05 Sèrie Qüestió : Considereu el sistema d equacions lineals següent: 3x + y + 3z 0 ( a ) y 3z 0 x y ( a 3) + z 0 a) Calculeu per a quins valors del paràmetre a el sistema té més d una solució. b) Resoleu el sistema per al cas a 3. 35) PAU 05 Sèrie 4 Qüestió : x y z 0 Considereu el sistema d equacions mx + 3y + z 0, en què m és un paràmetre x + y 4 real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m. b) Resoleu el sistema per a m. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 6
36) PAU 06 Sèrie Qüestió 3: Tres nombres, x, y i z, compleixen dues condicions: que el primer és la suma dels altres dos, i que el segon és la suma de la meitat del primer i el doble del tercer. a) Comproveu que el càlcul dels tres nombres, x, y i z, té una infinitat de solucions. b) Trobeu una expressió general de les solucions. 37) PAU 06 Sèrie 3 Qüestió : Considereu el sistema d equacions lineals següent: x + 4y + 4z 4k 7 x ky x k + a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. b) Resoleu el sistema per al cas k 0. 38) PAU 06 Sèrie 5 Qüestió : x b Considereu el sistema d equacions lineals 4 5 y b. Expliqueu 3 4 z b 3 raonadament si les afirmacions següents són vertaderes o falses: b 0 x 0 a) Si b 0, el sistema és compatible determinat i la solució és y 0. b 3 0 z 0 b b) Si b, el sistema és compatible indeterminat. b 3 Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 7
SOLUCIONARI: ) PAU 999 Sèrie Qüestió : Resoleu el sistema següent per als valors de k que el facin compatible. x + y 3 x y 4x + 3y k Pel mètode de GAUSS: Primer esgraonem la matriu: 3 3 3 A' 0 5 5 0 5 5 4 3 k 0 5 k 0 0 k 7 Una vegada esgraonada discutim el sistema en funció del paràmetre: k 7 Rang A Rang A' nº incògnites S. C. D. Solució única k 7 Rang A 3 Rang A' Sistema Incompatible No té solució Ara resolem el sistema en el cas k 7 : En aquest cas el sistema, un cop esgraonat queda: 3 x + y 3... x y 0 5 5 5y 5 També podríem discutir el sistema utilitzant determinants: Sistema Compatible Rang ( A) Rang ( A' ) Però Rang ( A) ( n files n columnes ) min º, º min 3, Així, per a que el sistema sigui compatible el rang de la matriu ampliada ha de ser o menor que, és a dir, 3 Rang A ' < 3, o sigui A ' 0 A' k + 8 + 8 + 3 4k 5k + 35 4 3 k A' 0 5k + 35 0 5k 35 k 7 A partir d aquí es discutirien els casos k 7 i k 7 com hem fet abans. ) PAU 000 Sèrie 5 Qüestió 4: Discutiu el sistema d equacions segons els valors del paràmetre a. ax y + z a x + 3y z 3a x + y z a Donat que la matriu de coeficients del sistema és quadrada podem utilitzar determinants per discutir el sistema. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 8
a A 3 3a + 8 + 6 + a a + A 0 a + 0 a Per tant, hem de discutir els casos Cas a : a i a. A' 3 3 0 5 5 5 0 0 3 3 3 Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I. Infinites Solucions Cas a : a A 0 Rang A 3 Rang A' 3 nº incòg. S. C. D. Solució única NOTA: Fixat que l enunciat diu DISCUTEIX però no diu RESOLDRE, per tant, donem el problema per acabat. Anem a discutir el mateix sistema utilitzant el mètode de GAUSS: a a a a A' 3 3a 3 3a 0 a a a a 0 a + a a + a Arribat aquest punt, podem continuar amb el mètode de GAUSS o fer el següent: Per a que Rang ( A ) < 3 s ha de complir que les files i 3 d aquesta matriu siguin proporcionals. És a dir + a + a a a a a + a + a + a A partir d aquí es discutiria el sistema com abans, és a dir, distingint els dos casos a i a. En el cas a, aprofitant els càlculs anteriors, tenim que A' 0 0... 0 0 3 3 3 0 0 0 0 També haguéssim pogut utilitzar el mètode de GAUSS fins el final i acabar d esgraonar la matriu A '. En aquest cas tindríem: a a F3 F3 + ( a ) F A' 0 a 0 a 0 a + a a + a 0 0 a + a Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 9
a + 0 a A' 0...(Igual que abans) 0 0 0 0 3) PAU 000 Sèrie Qüestió 3: Donat el sistema d'equacions 3x y + z 5 x 3y + z 4 a) Afegiu-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui incompatible. Per exemple x 3y + z 0. Es pot comprovar que en aquest cas Rang ( A ) i Rang A ' 3. b) Afegiu-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui compatible indeterminat. Resoleu el sistema que s'obtingui. En aquest cas podem afegir una equació que sigui combinació lineal de les altres dues, pot ser una de les equacions multiplicada per un nombre real diferent de zero o qualsevol combinació que afecti a les dues equacions. Per exemple, afegim una equació que sigui la suma de les dues que ja ens dóna el problema, és a dir, afegim l equació 5x 5y + z 9. En aquest cas es pot comprovar que Rang ( A) Rang ( A' ). 4) PAU 000 Sèrie 3 Qüestió 3: Se sap que el sistema d'equacions x + y az x + y 8z té més d'una solució. x y + 0z 5 Calculeu a i digueu quina és la interpretació geomètrica que té el conjunt de totes les solucions d'aquest sistema. a a a A' 8 0 8 + a 3 0 8 + a 3 0 5 0 0 a 3 0 0 8 3a 0 El sistema té més d una solució vol dir que és compatible indeterminat, per tant: Rang A Rang A' < 3 nº incògnites Així, 8 3a 0 3a 8 a 6 En aquest cas, si resolem el sistema tindrà infinites solucions que formaran una recta. Anem a resoldre l: a 6 a 6 6 0 8 + a 3 0 4 3 0 4 3 0 0 8 3a 0 0 0 0 0 Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 0
x + y 6z y + 4z 3 z : λ y + 4z 3 y 4z 3 y 4λ 3 x + y 6z x + 4λ 3 6λ x λ 3 x + λ a és: Així la solució al sistema en el cas 6 ( x, y, z) ( λ, 4λ 3, λ ) (, 3, 0) λ (, 4, ) + + que és la recta que passa v, 4, pel punt (, 3, 0) P i té com a vector director 5) PAU 003 Sèrie Qüestió 4: Per a quin o quins valors del paràmetre real λ el sistema d equacions és compatible i indeterminat? ( λ ) ( λ ) x + y + + z 0 x + y + 3z 9 x z 4 λ + 0 λ + 0 A' λ 3 9 0 λ λ 9 0 4 0 4 5 λ 4 Per a que el sistema sigui compatible indeterminat el rang de la matriu de coeficients A ha de ser i per tant les files i 3 d aquesta matriu han de ser proporcionals, és a dir: λ 5 λ λ 4 0λ 4λ + 0 + 4λ 4 + 4λ λ λ λ λ λ 4 0 + 4 0 + 5 7 0 7 λ Ara, cal estudiar per a cadascun d aquests valors com és el sistema: Cas λ : + 0 3 0 3 0 A' 3 9 3 9 0 0 0 9 0 4 0 4 0 4 7 4 Rang A 3 Rang A' S. I. 7 λ : 7 3 + 0 0 4 3 0 7 A' ( ) 3 9 7 3 9 7 3 9 0 4 0 4 0 4 Cas 7 3 9 7 3 9 7 3 9 4 3 0 0 8 9 8 0 0 4 0 4 7 4 0 Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya
7 3 9 7 3 9 0 0 0 0 0 0 Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I. solucions 6) PAU 003 Sèrie 5 Qüestió 4: Considereu el sistema d'equacions ax + y + z a + x y + az a + x y + z 4 on a és un paràmetre. Si x, y, z és una solució, quin és el valor del paràmetre a? Com d entrada ens donen la solució, provarem de substituir en el sistema a veure si amb aquest mètode ja som capaços de calcular a.,,,, en el sistema tenim: Substituint ( x y z ) per a + a + a + a + 0 0 ( ) + a a + + + a a + 3 + a a + { a a 3 ( ) 4 4 + + + 0 0 a Es pot comprovar que en aquest cas ( a ) el sistema és compatible determinant i la única solució és la proposada en el problema. Anem a fer-ho: 0 0 x + y + z 0 0 y + z ( x, y, z) (,, ) 4 0 0 4 z 4 7) PAU 004 Sèrie Qüestió : La matriu ampliada d un sistema d equacions lineals, un cop reduïda pel mètode de Gauss, és 0 0 0 0 0 0 a) El sistema, és compatible o incompatible? Raoneu la resposta. Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I. Per tant sistema compatible indeterminat. b) En cas que sigui compatible resoleu-lo. Com el rang de la matriu de coeficients i de la ampliada coincideixen el sistema és compatible. A més, com aquestos rangs donen però el sistema té 3 incògnites (3-) serà compatible amb un grau de llibertat, és a dir, la solució dependrà d un paràmetre. Així, anomenem z : λ, a equació: y + z y + λ y λ Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya
a equació: x + y z 0 x + λ λ 0 x + 4λ λ 0 x + 5λ Per tant, la solució del sistema és: ( x, y, z) ( + 5 λ, λ, λ ) (,, 0) + λ ( 5,,) És a dir, la solució del sistema és la recta que passa pel punt (,,0 ) i té com a vector director ( 5,,). 8) PAU 004 Sèrie 3 Problema : Donat el sistema y + z x + y + z m x + m z m on m és un paràmetre, es demana: a) discutiu el sistema segons els valors de m; Com la matriu de coeficients del sistema A és quadrada, treballarem amb A en detriment del mètode de Gauss. 0 Així: A 0 0 ( m) ( m) 0 ( m ) + + + m 0 m ( m ) ( m ) 4 A 0 4 m 0 m 0 m Per tant, tenim els següents casos: Cas m : m A 0 Rang A 3 Rang A' 3 nº incògnites S. C. D. Cas m, en aquest cas el sistema és el següent: y + z y + z x + y + z x + y + z x + y + z y + z 0x + 0y 0 Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I. Per altra banda, podríem arribar al mateix resultat utilitzant el mètode de Gauss: 0 F3 F3 ( m ) F A' 0 m 0 m m m 0 m m F 3 F 3 m 0 0 0 0 m + m m 0 0 0 4 (Notar que en la transformació que apareix en color vermell ens hem d assegurar que no dividim per zero, per tant hem de distingir el cas m. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 3
Mirant la matriu última podem dir que en aquest cas, ( m ), tenim que Rang ( A) Rang ( A' ) 3 nº incògnites S. C. D. Hem estudiat el cas m. Ara queda estudiar el cas m. En aquest cas la matriu ampliada del sistema queda A' 0 per 0 0 0 0 Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I. tant, Encara haguéssim pogut utilitzar un 3r mètode, la idea seria la següent: Donat un sistema d equacions lineals si multipliquem o dividim una de les seves equacions per un nombre diferent de zero les solucions no varien. Aleshores podem veure que la tercera equació es pot dividir per m. Per tant, tenim dos casos: Cas : Si m 0 (és a dir, m ) la 3a equació es pot dividir per m quedant el sistema: y + z y + z ( m ) x + y + z x + y + z ( m) x ( m ) z m + x + z amb matriu associada 0 0 0 0 i per 0 0 0 0 0 4 tant S.C.D. Cas : m 0, és a dir m : En aquest cas la 3a equació directament s anul la. y + z y + z ( m) x ( m ) z m + ( ) x + ( ) z m x + y + z x + y + z y + z y + z 0 x + y + z A' S. C. I x + y + z 0x + 0z 0 b) resoleu els casos compatibles; En l apartat anterior hem vist que tots dos casos són compatibles: Cas vegada aplicat el mètode de reducció de Gauss és: x + y + z 3 0 y + z z y 0 x 0 0 4 z 4 m, en aquest cas, la matriu ampliada associada al sistema, una I per tant, en aquest cas la solució al sistema és ( x, y, z ) ( 3,0,) Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 4
m, en aquest cas la matriu associada al sistema és: Cas x + y + z 0 0 y + z 0 0 0 0 z : λ y + z y + λ y λ x + y + z x + λ + λ x + λ + λ x 3 x x, y, z, λ, λ,,0 + λ 0,, 3 3 3 c) en cada un dels casos de la discussió de l apartat a), feu una interpretació geomètrica del sistema. Cas Rang A Rang A' 3 nº incògnites S. C. D. m Cada equació representa un pla en punt que és ( x, y, z ) ( 3,0,) m Cas 3 R, els tres plans es tallen en un mateix Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I. En aquest cas els tres plans representats per cadascuna de les equacions es tallen en una recta que és la solució del sistema. L equació vectorial d aquesta recta és ( x, y, z) ( 3,,0) + λ ( 0,,) 9) PAU 005 Sèrie 4 Problema : De tres nombres, x, y i z, sabem el següent: que el primer més el segon sumen 0; que el primer més el tercer sumen ; que la suma de tots tres val 0 i, per últim, ens diuen que el primer multiplicat per un nombre k més el doble de la suma del segon i del tercer dóna. Es demana: a) què podem dir del valor de k? b) quan valen els tres nombres? Tenim el sistema següent: x + y 0 x + z x + y + z 0 kx + ( y + z) Podem observar que el sistema format per les tres primeres equacions és compatible determinat. És a dir: x + y 0 x + y 0 x + z E3 E E E x z z 0 x y x y z 0 + + + x + y + z 0 kx + ( y + z) Per tant, la solució del sistema format per les tres primeres equacions és ( x, y, z ) (,,0 ) Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 5
Substituint en la 4a equació tenim kx + y + z k + + 0 k k 3 També podríem resoldre el sistema per Rangs: x + y 0 0 0 0 0 0 0 x z 0 F F F 0 ( ) 0 + x y z 0 0 F3 F3 F + + 0 0 0 0 0 0 F4 F4 kf kx + ( y + z) k 0 k 0 0 4 k 3 k F k F + k k k k k 0 4 k 3 k 0 F F 4 k F 0 4 k 3 k 0 3 k 0 0 () 0 Per a que el sistema sigui compatible determinat s ha de 0 0 0 0 0 0 3 k Rang A Rang A B nº incògnites 3 complir que Rang A B 3 3 k 0 k 3 Finalment resoldrem el sistema per al valor k 3: Aprofitant la triangulació del sistema que acabem de fer, tenim la següent matriu: 0 0 0 0 0 0 0 k 3 0 0 z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 k 0 0 0 0 ( A B) y + z y y x + y x x z 0 0 0 Per tant, la solució del sistema és: ( x, y, z ) (,,0 ) 0) PAU 005 Sèrie Qüestió : Considereu el sistema següent en funció del paràmetre real a: a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a. b) Resoleu els casos compatibles. x ay ax + y 3 Quan la matriu de coeficients és quadrada el mètode més segur per discutir un sistema possiblement sigui calcular el determinant. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 6
a A A a a a a + 0 No té solució real. Per tant, sigui quin sigui el valor del paràmetre a, Rang A Rang A B nº incògnites S. C. D. Anem ara a resoldre l per triangulació: x ay a F F af a ax + y 3 a 3 0 + a 3 a 3 a + a y 3 a y a + 3 a 3a a 3a a a + 3a a x ay x a x x + + a + a + a + a + a + 3 a + 3 3 (, ) a + x y, a a + a + a + NOTA: També es podia solucionar mitjançant la fórmula de Cramer. ) PAU 005 Sèrie 3 Qüestió : En un sistema hi ha, entre d altres, aquestes dues equacions: x + y 3z 5 i x + 4 y 6z. Què podem dir de les solucions del sistema? x + y 3z 5 3 5 3 5 x + 4y 6z 4 6 0 0 0 Rang A Rang A B S. I. Si el sistema ja és incompatible qualsevol altre sistema que contingui aquestes dues equacions també serà incompatible, per tant, podem dir que el sistema no té solucions. ) PAU 006 Sèrie Qüestió : Esbrineu si el sistema següent pot ser compatible indeterminat per a algun valor del paràmetre m. x + 3y + z 0 x + 4y + 3z 0 x + y + mz 0 És incompatible per a algun valor de m? Per a ser compatible indeterminat hauríem d estar en el cas en que Rang A Rang A B < 3 nº incògnites. 3 A 4 3 A 4m + 4 + 9 8 3 6m m + 0 m m m Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 7
Per a Rang A Rang A B < 3 nº incògnites S. C. I. m tenim que A la pregunta si és incompatible per a algun valor de m la resposta és que no, perquè un sistema homogeni mai pot ser incompatible donat que sempre tindrà com a mínim la solució trivial. 3) PAU 006 Sèrie 3 Qüestió 4: Sigui la matriu els valors de m per als quals Rang ( A ) < 3. Pot ser Rang ( A ) per a algun valor de m? 0 A 4 m 0 m 3 Determineu 0 Rang A < 3 A 0 4 m 0 3 4m + m 0 m 4m + 3 0 0 m 3 m m 3 El rang de A no pot ser mai donat que el menor no nul. 0 4 és d ordre i sempre és 4) PAU 006 Sèrie 4 Problema : Considereu el sistema d equacions px + 7 y + 8z 370 x + y + z 00 7x + py + 8z 395 a) Discutiu-lo en funció del paràmetre p. b) Doneu la interpretació geomètrica en els casos en què el sistema és incompatible. c) Resoleu el sistema per a p 6. Donat que la matriu de coeficients és quadrada, potser, el mètode més segur sigui fer el determinant. p 7 8 p 7 A 8p + 8p + 49 56 p 56 p + 6p 63 0 p 9 7 p 8 Si p 7: Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 8
7 7 8 370 ( A B) 00 Podem observar que la primera i la 3a fila són 7 7 8 395 incompatibles entre sí, per tant, en aquest cas el sistema és incompatible. Si p 9: 9 7 8 370 00 00 ( A B) 00 9 7 8 370 0 430 En aquest 7 9 8 395 7 9 8 395 0 5 cas, també podem observar que la a i la 3a files són incompatibles entre si, per tant, el sistema també és incompatible. Si p 7 i p 9: En aquest cas A 0 Rang ( A) 3 Rang ( A) Rang ( A B) 3 nº incògnites S. C. D. La interpretació geomètrica és la següent: En el cas p 7 tenim que la a i la 3a equació corresponen a dos plans paral lels secants amb el pla de la a equació però que evidentment, tots 3, no tenen cap punt en comú i per tant el sistema és incompatible. En el cas p 9 també tenim que el sistema és incompatible però mirant la part vectorial de l equació podem veure que en aquest cas no hi ha cap parell de plans paral lels, per tant, en aquest cas, els 3 plans es tallen dos a dos però sense tenir cap punt en comú tots 3. Finalment resoldrem el sistema quan p 6: px + 7 y + 8z 370 6 7 8 370 00 x y z + + 7x + py + 8z 395 7 6 8 395 7 6 8 395 00 p 6 00 F F F F 6F 6 7 8 370 F3 F3 7F 00 00 F3 F3 + F 0 70 0 70 3z 65 z 55 0 5 0 0 3 65 y + z 70 y + 55 70 y + 0 70 y 60 x + y + z 00 x + 60 + 55 00 x 85 Per tant, la solució del sistema en el cas 6 p és ( x, y, z ) ( 85,60,55) Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 9
5) PAU 007 Sèrie Problema : Discutiu el sistema següent x + y + z 5 x + py + z 0 en funció del paràmetre p. Doneu la interpretació geomètrica del px + 6y + 3z sistema en cada cas i resoleu-lo quan sigui compatible. Donat que la matriu de coeficients és quadrada el més fàcil serà calcular el seu determinant: p 3 4 3 + + 4 + 7 0 p A p p p p p p p 6 3 Si p 3: 5 5 F F F ( A B) 3 0 0 0 0 La fila 3 ens diu que el sistema F3 F3 3F 3 6 3 0 0 0 3 és incompatible. Podem observar que la a i la 3a equació corresponen a plans paral lels, per tant, la situació geomètrica seria que la a i la 3a equació són dos plans paral lels, secants al pla que representa l equació a però que evidentment, tots tres, no tenen cap punt en comú. Si p 4: 5 5 F F F ( A B) 4 0 0 0 0 0 F3 F3 4F 4 6 3 0 8 Rang A Rang A B < 3 nº incògnites S. C. I. En aquest cas podem observar que la a i la a equació són proporcionals, per tant corresponen al mateix pla que intersectarà amb el pla representat en la 3a equació en una recta comuna. Si p 3 i p 4: Rang A Rang A B 3 nº incògnites S. C. D. En aquest En aquest cas cas, els tres plans representats per les equacions es tallen en un únic punt. Finalment anem a resoldre el sistema en els casos en que és compatible: 5 5 F F F p 0 0 p 4 0 0 F3 F3 pf p 6 3 0 6 p 3 p 5p Podem observar que aquesta ja és una matriu triangular: Si p 4 la a equació és nul la i el sistema queda: Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 0
5 y z 8 z y + 8 0 8 x + y + z 5 x + y y + 8 5 x 3 Així, en aquest cas, la solució del sistema és: ( x, y, z) ( 3, y, y 8) correspon a una recta. Si p 3 i p 4: 5 0 p 4 0 0 0 6 p 3 p 5p Donat que 4 p tenim de la a equació que: Substituint en la 3a equació tenim que: p 4 y 0 y 0 0 3 5 6 p y + 3 p z 5p 3 p z 5p z 3 p Finalment, substituint en la a equació: + que y p p 5p 5p 5 5p + 5p 3 x + y + z 5 x + 0 + 5 x 5 3 p 3 p 3 p 3 p Així, en aquest cas, la solució és el punt: ( x y z) 3 5p,,,0, 3 p 3 p NOTA: Per resoldre sistemes d equacions on la matriu de coeficients és quadrada, depèn d un paràmetre i el sistema és compatible indeterminat resulta molt útil la Regla de Cramer. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya
6) PAU 007 Sèrie 3 Qüestió : Donada la matriu següent dependent d un paràmetre m: A m m m + m a) Estudieu-ne el rang segons els valors de m. b) Digueu quina és la posició relativa dels plans π : x + y + z, π + + + i : x my mz m π : mx y m z 0 3 + + +, segons els valors de m. A m m m + m + 8 + m m 4m + m m + m + + + m m 8 4m 4 m m 4m 4 m A 0 m 0 m 0 m m, aleshores A Rang ( A) Si Si 0 3 4 0 0 0 4 0 0 0 m, aleshores, A Rang ( A) Per estudiar la posició relativa dels plans caldria estudiar els rangs de les matrius que formen i després comparar-los dos a dos. A B m m m + m + m 0 Donat que la matriu A ja l hem estudiat podem afirmar que: Si Rang A 3 Rang A B 3 S. C. D. Els tres plans es m, aleshores tallen en un únic punt. Si m, ( A B) 4 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 Rang A Rang A B S. I i observant la matriu i mirant les equacions de dos en dos podem dir que els dos primer plans són coincidents i paral lels al tercer. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya
7) PAU 008 Sèrie 4 Qüestió 3: Considereu un sistema de dues equacions amb tres incògnites. Pot ser incompatible? Pot ser compatible determinat? Raoneu les respostes. Un sistema així pot ser incompatible. Per exemple, el sistema x + y + z x + y + z ho és, però un sistema de dues equacions amb tres incògnites no pot ser mai compatible determinat. Donat que per ser compatible determinant s ha de donar que Rang A Rang A B nº incògnites 3. Però per altra banda, el rang d una matriu és menor o igual que el mínim entre el seu nombre de files i de columnes, és a dir, Rang A min nº files, nº columnes min,3 Rang A 3. 8) PAU 008 Sèrie Qüestió 3: Discutiu el sistema d equacions lineals següent en funció dels valors del paràmetre m. x + y + m z x + m y + z m m x + y + z m + Donat que la matriu de coeficients és quadrada podem procedir per determinants: m 3 A m m + m + m m m 3 3 3 3 m m 3m 3 m 3m + 3m 3m 5 m + 3m 3m + 3 m + m m + m 3 4 m + 0 m A 0 ( m + ) ( m ) 0 ( m ) 0 m 0 m m i m, aleshores: A 0 Rang A 3 Rang A Rang A B nº incògnites S. C. D. Per tant, si Si m, aleshores: F F F F3 F3 + F ( A B) 0 3 3 3 0 3 3 3 F3 F3 + F 0 3 3 3 0 0 0 0 Rang A Rang A B < 3 nº incògnites S. C. I. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 3
Si m, aleshores: ( A B) Ja es pot observar que les dues primeres files són iguals i 4 incompatibles amb la 3a, per tant, en aquest cas S. I. NOTA: També haguéssim pogut discutir el sistema esgraonant la matriu amb el mètode de Gauss. El resultat hagués estat: m m F F F A B m m 0 m m m F3 F3 ( m ) F + m m + 0 m m + m 3 m 0 m m m + 0 0 m + m + m + F3 F3 + F m + m + 0 m i m... obtenint els mateixos resultats que abans. 9) PAU 008 Sèrie 5 Problema : Considereu el sistema d equacions següent: x + y a z 4 x y + z 4 4x a + y + z a a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan sigui compatible indeterminat. c) En el cas de l apartat anterior, trobeu una solució del sistema en què x, y i z tinguin valors enters. Mirant els dos primers aparts, donat que la matriu de coeficients és quadrada i que en l apartat b) ens demanen resoldre el sistema precisament quan és compatible indeterminat que per Cramer surt automàtic pot ser la millor opció sigui treballar amb determinants. a + A 4 + a a + + 4 + 8 a + a 4 a + + + + + + + 4 a a a 4 8a 8 a a 6a 8 a 4 A 0 a 6a + 8 0 a Així: Si a i a 4 aleshores: A 0 Rang A 3 Rang A Rang A B 3 nº incògnites S. C. D. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 4
Si a : 4 4 4 F F F F F ( A B) 4 4 0 5 3 F3 F3 4F 4 3 4 4 3 4 0 5 3 Rang A Rang A B < 3 nº incògnites S. C. I. Si a 4: x + y ( a ) z 4 x y + z 4 4x ( a + ) y + z a 3 4 4 4 F F F F F ( A B) 4 3 4 0 5 5 F3 F3 4F 4 5 8 4 5 8 0 3 3 8 Rang A 3 Rang A B S. I. Anem ara a resoldre el sistema quan és compatible indeterminat, és a dir, quan a. En aquest cas, hem obtingut que: 4 4 4 ( A B) 4 0 5 3 0 5 3 4 3 4 0 5 3 + 3z 5y 3z 5y + 3z y 5 + 3z 4 6z x y + z 4 x + z 4 x + + z 4 5 5 4 + 6z 0 5z + 4 + 6z z + 4 x 4 z + x x 5 5 5 Així, la solució és: ( x y z) quan z + 4 + 3z,,,, z 5 5 + 4 + 3 5 5 z que tindríem: ( x, y, z),, (,3, ) on una solució entera s obtindria 0) PAU 009 Sèrie 4 Qüestió 4: En la resolució pel mètode de Gauss d un sistema de tres equacions amb tres incògnites ens hem trobat amb la matriu següent: 3 5 5 0 0 0 0 0 3 6 6 a) Expliqueu, raonadament, quin és el caràcter del sistema inicial. b) Si és compatible, trobeu-ne la solució. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 5
Rang A Rang A B < 3 nº incògnites S. C. I. En aquest cas 3 5 5 3 5 5 3 5 5 0 0 0 0 0 3 6 6 0 0 3 6 6 y z y + z 3x 5y + z 5 3x 5 + z + z 5 3x 0 0z + z 5 8z + 5 3x 5 + 8z x 3 Així, la solució del sistema és: 8z 5 x, y, z +, z +, z 3 ) PAU 009 Sèrie 3 Qüestió : Considereu la matriu A a b. Trobeu els b a valors dels paràmetres a i b perquè la matriu tingui rang. La matriu A tindrà rang si les tres seves files són proporcionals. És a dir, si (, ) és proporcional a ( a, b ) i b, a., també és proporcional a (, ) ( a, b) b a a b b a a b (, ) ( b, a ) a b b a a b a 4a b a 0 0 a b a 4a a 4a 0 a ( a 4) 0 b a a 4 b 8 Per tant el problema té dues possibles solucions: ( a, b ) ( 0,0) i ( a, b ) ( 4,8) ) PAU 009 Sèrie 3 Qüestió 3: Donat el sistema a) Discutiu-ne el caràcter en funció del paràmetre p. b) Resoleu-lo quan p. x + py p px + y p : ( A B) p p F F pf p p p p 0 p p p p 0 p p p Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 6
Si p ±, aleshores: Rang A Rang A Rang A B nº incògnites S. C. D. Si p, aleshores el sistema queda: p p p p p ( A B) p p 0 p p p 0 0 0 Rang A Rang A B < nº incògnites S. C. I. Si p, aleshores el sistema queda: p p p p p ( A B) p p 0 p p p 0 0 Rang A Rang A B S. I. 3) PAU 00 Sèrie Qüestió : Donat el sistema d equacions lineals x + y z x + y + z 4 : x y + p 3 z 5 a) Estudieu-ne el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) en funció del paràmetre p. b) Comproveu que si p 5 la solució del sistema no depèn del valor d aquest paràmetre. F F F F3 F3 F ( A B) 4 0 3 3 6 0 3 3 6 F3 F3 F p 3 5 0 3 p 6 0 0 p 5 0 Si 5 Rang A Rang A B < 3 nº incògnites S. C. I. p, p, Si 5 Rang A 3 Rang A 3 Rang A B 3 nº incògnites S. C. D. Si p 5, la matriu del sistema equival a la matriu esgraonada 0 3 3 6 0 0 p 5 0 p 5 z 0 que té com a solució z 0 on la 3a equació queda de la forma independentment del valor del paràmetre p. Continuant resolvent el problema tenim que: + z 0 3y 3z 6 3y 6 y x + y z x 4 0 x 3 y z 0 Per tant, la solució del sistema és ( x, y, z ) ( 3,,0) que evidentment no depèn del valor del paràmetre p. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 7
4) PAU 00 Sèrie 4 Qüestió 4: Hem escalonat la matriu ampliada d un sistema d equacions lineals, 3 A X b, i hem obtingut: ( A b) 0 a + 0 0 a 3 a) Discutiu aquest sistema en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan a. a i a tenim que: Rang A 3 Rang A Rang A B nº incògnites S. C. D. Si a tenim que Si Rang A 3 Rang A B S. I. Si a la matriu quedarà: 3 3 3 F3 F3 + 3F ( A b) 0 0 0 0 0 + 0 0 3 0 0 3 3 0 0 0 0 Rang A Rang A B < 3 nº incògnites S. C. I. Finalment, anem a resoldre el sistema quan a : 3 3 a ( A b) 0 a ( A b ) 0 4 + 0 0 a 3 0 0 3 z 3 z 3 4 y + z 4 y + 3 4 y 4 y x y + 3z x + + 9 x 9 Així la solució del sistema quan a és: ( x, y, z ) ( 9,,3) 5) PAU 00 Sèrie 5 Qüestió : Considereu un sistema qualsevol de dues equacions amb tres incògnites. Responeu raonadament a les qüestions següents: a) És possible que el sistema considerat sigui compatible determinat? b) Pot ser incompatible? AQUEST PROBLEMA ÉS EL MATEIX QUE EL Nº 7, PER TANT, ES POT MIRAR ALLÍ LA SOLUCIÓ!! 6) PAU 0 Sèrie Qüestió 4: Considereu el sistema d equacions següent: x + y az 3 x + ( a 5) y + z 4a + 4x ( a ) + y 3z 4 a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè el sistema no sigui compatible determinat. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 8
b) Hi ha algun valor de a per al qual x, y 3, z sigui l única solució del sistema? Si aquesta és la única solució del sistema aquest ha de ser compatible determinat. És a dir Rang ( A) Rang ( A B) 3 nº incògnites. Per tant, hem de buscar els valors del paràmetre a que fan que la matriu A no tingui Rang ( 3), és a dir, els valors de a que anul len el seu determinant. Així: x + y az 3 a x + ( a 5) y + z 4a + A a 5 4x + ( a ) y 3z 4 4 a 3 ( a ) a( a ) a( a ) ( a ) 3 5 + 8 + 4 5 + a 9 3a + 5 a + a + 8 + 4a 0a a + + a a + 36 0 a Si x, y 3, z és l única solució del sistema, vol dir que aquest és compatible Rang A Rang A B 3 nº incògnites i per tant a i determinat, per tant, a 9. Comprovem en aquest cas ( a, a 9), si x, y 3, z és solució del sistema i en cas que ho sigui, pel raonament anterior, aquesta serà la única: x + y az 3 6 + a 3 ( x, y, z) (, 3, ) x + ( a 5) y + z 4a + 3( a 5) 4a + 4x + ( a ) y 3z 4 4 3( a ) + 3 4 a a a 3a + 5 4a + 4 7a a 4 3a + 3 + 3 4 6 3a a Per tant, per a que la terna x, y 3, z sigui solució del sistema s ha de complir que a però en aquest cas, per l apartat anterior, el sistema no és compatible determinat, i per tant aquesta solució no seria la única. Així, no existeix cap valor de a per al qual la terna x, y 3, z sigui la única solució del problema. el problema. 7) PAU 0 Sèrie Qüestió : k + Donada la matriu M 0 k : 0 k k a) Calculeu els valors del paràmetre k per als quals la matriu M no és invertible. b) Per a k0, calculeu M. Evidentment això ocorrerà quan el determinant sigui 0. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 9
k + k M 0 k ( k + ) ( k + ) ( k ) k k k 0 k k ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) + + k 0 k M 0 ( k ) ( k + ) 0 ( k + ) 0 k + 0 k Per tant, M no serà invertible si k o k. Finalment anem a calcular la inversa de M quan k 0. 0 M k k + M 0 0 + 0 0 3 t t M 0 0 M 0 Adj ( M 0 ) 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 M 0 0 0 t ( M 0 ) Adj ( M 0 ) 8) PAU 0 Sèrie 4 Qüestió 4: Analitzeu, segons els valors del paràmetre k, el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) del sistema d equacions següent: x + y z k 4 ( k 6) y + 3z 0 ( k + ) x + y 3 Donat que la matriu de coeficients és una matriu quadrada, el mètode millor és calcular el seu determinant i mirar quins valors de k l anul len però en aquest cas he resolt el problema discutint el sistema esgraonant la matriu mitjançant el mètode de Gauss tot i que és un mètode una mica suïcida perquè és més fàcil equivocar-se. k 4 k + F3 F 4 3 F k A b 0 k 6 3 0 0 k 6 3 0 3 k k + k + 3k + 0 k 0 3 0 + F3 F3 Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 30
k 4 k 4 k + F3 F3 F 3 0 k 6 3 0 0 k 6 3 0 (*) k + k + 5 0 3 k k + k + 3k + 0 0 3 0 k + 3k + 0 (*) Arribat aquest punt l esgraonament es complica i resultaria molt més fàcil no seguir esgraonant sinó mirar els valors de k per als quals les files a i 3a són / k 6 3 k 3 k k +. k + k + 5 5 k 0 k + k + 5 0 k 3 proporcionals, és a dir, Si k 5 i 3 Rang A Rang A b 3 nº incògnites S. C. D. k aleshores Si k 5 aleshores: k 4 k 5 ( A b) 0 k 6 3 0 0 3 0 k + k+ 5 0 3 0 k + 3k + 0 0 0 0 0 Rang A Rang A b < 3 nº incògnites S. C. I. Si k 3 aleshores: k 4 7 k 3 ( A b) 0 k 6 3 0 0 9 3 0 k + k+ 5 0 3 0 k + 3k + 0 0 0 0 8 Rang A 3 Rang A b S. I. 9) PAU 0 Sèrie 4 Qüestió 3: Considereu el sistema d equacions lineals següent: x + y 3z x + ay 5z a + 3 x 3y + ( a ) z 9 a) Calculeu el valor o els valors del paràmetre a per al qual o per als quals el sistema és compatible indeterminat. Donat que la matriu de coeficients és quadrada podem treballar per determinants. Així: 3 A a 5 a a + 8 0 + 6a 5 a 3 a a a a + 8 + 6a 5 a + 4 a + a 3 0 a 3 Estudiem ara quin dels dos casos fa que el sistema sigui compatible indeterminat: Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 3
Cas a : 3 3 F F F F3 5F 3 A' 5 5 0 F3 F3 F 0 3 9 0 5 5 5 Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I. Cas a 3: 3 A' 3 5 3 En aquest cas es veu clar que el sistema és incompatible 3 5 9 perquè les dues últimes equacions són incompatibles entre si. Per tant, la resposta a la pregunta és a. NOTA: Evidentment també haguéssim pogut esgraonar la matriu, seria així: 3 3 F F F A' a 5 a 3 0 a a + F3 F3 F 3 a 9 0 5 a + 4 5 Arribat aquest punt seguir esgraonant la matriu pot resultar feixuc i és més fàcil obligar a que les dues últimes files de la matriu de coeficients A siguin proporcionals, així: a ( a )( a 4) 5 a 4a a 8 5 a a 3 0 a + + + 5 a + 4 a 3 b) Quantes solucions té aquest sistema quan a 3? Hem vist en l apartat anterior que 3 el sistema sigui incompatible, per tant, en aquest cas el sistema no té solució. a és precisament el valor de a que fa que 30) PAU 03 Sèrie 4 Qüestió :,, és una solució del sistema Sabem que el vector ax + by + cz a + c bx y + bz a b c cx by + z b Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c. Si el vector és solució del sistema, substituint-lo en les variables ( x, y, z ) s han de complir les tres equacions: ax + by + cz a + c a + b c a + c a + b c 0 ( x, y, z) (,, ) bx y + bz a b c b b a b c a + b + c cx by z b c b b + b + c Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 3
0 0 0 A' 0 3 0 F 3 F 3 0 0 0 3 F F + F F F3 F3 F3 + 3F 0 0 0 0 4 c 4 c b + c b + b b a + b c 0 a + 4 0 a 3 0 a 3 Per tant la solució del problema és: a 3, b i c 3) PAU 03 Sèrie 5 Qüestió : La matriu de coeficients d un sistema d equacions lineals homogeni és: 3 A a 0 4 a + a) Per a quins valors del paràmetre a el sistema té una solució? Quina és aquesta solució única? b) Resoleu el sistema si a. Un sistema homogeni sempre és compatible, és a dir, sempre té solució perquè x, y, z 0,0,0. Aleshores solament podrà ser com a mínim té la solució trivial compatible determinat si Rang ( A) nº incògnites 3 Rang ( A) < nº incògnites 3. En el nostre cas: 3 A a 0 4 a + 3 o compatible indeterminat si A a 0 a a + + 6 + 0 a 0 4 a + 4 a + a + a a + 6 + a 8a 8 + a + 6 + a 8a 8 a 4 a + 4a 6 0 a + a 8 0 a + a 8 0 a Per tant: Si a 4 o a tindrem: Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 33
Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I. solucions i a i a tenim Si 4 Rang A Rang A' 3 nº incògnites S. C. D. solució Així la resposta al problema és a 4 i a. Anem a resoldre el sistema quan a, cas en que sabem que sortirà compatible indeterminat: 3 3 0 3 0 A a A a A 4 a + 4 a + 0 4 6 0 a 0 ' 0 0 ' 0 0 3 0 3 0 F F 3 3 0 0 3 6 0 0 0 0 0 0 9 8 0 0 0 F F + F F 3 F3 + 4F F3 F 9 3 λ y + z 0 y + λ 0 y λ Sigui z :. x + y + 3z 0 x y + 3z x λ + 3λ 4λ + 3λ λ ( x, y, z) ( λ, λ, λ) 3) PAU 04 Sèrie 4 Qüestió : Responeu a les qüestions següents: a) Discutiu el sistema d equacions lineals valors de k. k y + k z 0 ( 4k + ) x y 7z x + y + z 0 en funció dels Considerem la matriu ampliada del sistema: 0 k k 0 0 A' 4k + 7 4k + 7 0 0 k k 0 0 0 4k 4k 8 0 k k 0 F F3 F F ( 4k + ) F Finalment, per a que les files dos i tres siguin proporcionals s ha de complir que: 4k 4k 8 x( ) 4k + 4k + 8 ( 4k + )( k ) ( 4k + 8)( k ) k k k k Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 34
k 0 k ( 4k + )( k + )( k ) ( 4k + 8)( k ) ( 4k + )( k + ) 4k + 8 k k k k 4k + 4k + k + 4k + 8 4k + k 6 0 k + k 3 0 k 3 Per tant, els valors que hem d estudiar són k i k. 3 Cas : Si k i k aleshores: Rang A Rang A' 3 nº incògnites S. C. D. Solució única Cas : k, en aquest cas: 0 k k 0 0 0 0 0 0 k F F3 A' 4k + 7 5 7 5 7 0 0 0 0 0 0 0 F F 5F 0 5 7 0 6 Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I. solucions Cas 3: k, en aquest cas: 3 0 k k 0 0 0 0 0 5 0 A' 4k + 7 5 7 5 7 0 0 0 5 5 k 3 4 F 4F F F3 3 0 0 0 5 7 0 4 0 0 0 5 0 0 0 0 0 F F + 5F F F F3 F3 F F3 F 5 3 0 0 0 0 0 Rang A 3 Rang A' S. I. No té solució. En aquest cas NOTA: En la solució que proposen a les PAU resolen l exercici per determinants. Podeu mirar si us sentiu més còmodes raonant per determinants o amb el mètode de Gauss. b) Resoleu el sistema per a k. Abans hem raonat que quan k la matriu ampliada del sistema era: Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 35
A 0 ' 0 6 λ λ + λ 6y z 6y λ 6y λ + y y 6 6 6 6 x y z 0 x λ 0 x λ + λ λ 0 x λ + + + + + + 6 6 6 Sigui z, aleshores: Per tant, en aquest cas, la solució del sistema és la recta: 6λ + λ,,,, λ λ +, λ, λ 6 6 6 6 ( x y z) 33) PAU 04 Sèrie 5 Qüestió 3: Considereu el sistema d equacions lineals mx y m 3x + ( m 4) y m + per a m R. a) Discutiu el sistema d equacions per als diferents valors del paràmetre m. En la solució que proposen a les PAU resolen aquest apartat per determinants que és el mètode menys arriscat aprofitant que la matriu de coeficients és quadrada. Per a que tingueu un altre mètode, aquí resoldrem el problema amb el mètode de Gauss. Si volem esgraonar el sistema pel mètode de Gauss tindrem: m F F F F 3 4 F m m 3 m m + 3 m 4 m + A' + 3 m 4 m + m m 0 m 4m 3 m + m 3 3 m + 4m 3 x( ) m 0 m + 4m 3 0 m 4m + 3 0 m 3 3 m i m 3. En aquest cas, Rang A Rang A' nº incògnites S.C.D. El sistema té una única Cas : solució. Cas : m 3 m 4 m + m 3 4 + F F 3 3 3 3 A' m + 4m 3 m + m + 4 3 + 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 Rang A Rang A' < nº incògnites S. C. I. solucions En aquest cas, Cas 3: m 3 3 m 4 m + m 3 3 4 + F F 3 3 3 3 A' m + 4m 3 m + m 3 + 4 3 3 3 + 3 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 Rang A Rang A' S.I. No té solució En aquest cas, Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 36
b) Resoleu el sistema en aquells casos en què el sistema sigui compatible. Hem de resoldre el sistema en el cas en que m i m 3 i en el cas en que m. Cas m i m 3. En aquest cas on no ens podem lliurar del paràmetre m un mètode de treball molt aconsellable és el mètode de Cramer. mx y m m m A' 3x ( m 4) y m + + 3 m 4 m + m 3 m 4 ( 4) + ( m + ) m + m 4 m m m 4m + m + m 3m + x m m m 4 + 3 m 4m + 3 m 4m + 3 ( m ) ( m ) ( m ) ( m 3) m m 3 m m 3 m m + 3m 3 y m m m m m m m m + m + m m m m 4 + 3 4 + 3 4 + 3 3 m 4 ( m ) m m ( m ) ( m 3) m 3 Per tant, en aquest cas la solució del sistema és ( x y) m m,, m 3 m 3. Cas m. mx y m m m F F m A' A' 3x ( m 4) y m + + 3 m 4 m + 3 3 3 + + 0 0 0 y λ ( ) x y x λ ( x, y) ( λ, λ ) Per tant, en aquest cas la solució del sistema és la recta ( x, y) ( + λ, λ ) 3F Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 37
34) PAU 05 Sèrie Qüestió : Considereu el sistema d equacions lineals següent: 3x + y + 3z 0 ( a ) y 3z 0 x y ( a 3) + z 0 a) Calculeu per a quins valors del paràmetre a el sistema té més d una solució. El sistema és homogeni, per tant, sempre tindrà solució. Aquesta solució no serà única si el rang de la matriu de coeficients és menor que 3 o el que és el mateix, aquesta matriu té determinant nul. 3 3 3 3 F3 F3 A 0 a 3 0 a 3 a 3 a + 3 ( ( a )( a ) ( a ) ) ( a )( a ) ( a ) 3 + 3 + 0 6 3 9 0 3 + 3 + 6 + 3 + 9 ( a a a ) 3 + 3 6 + 6 3a 6 + 9 3 a + a 6 + 3a + 9 3 a + a 6 + a + 3 ( a a ) 3 + 3 + a A 0 3 a + a 3 0 a + a 3 0 a 3 Per tant el sistema serà compatible indeterminat, és a dir, tindrà més d una solució per als valors a i a 3 b) Resoleu el sistema per al cas a 3. 3x + y + 3z 0 3 3 0 3 3 0 a 3 ( a ) y 3z 0 A' 0 a 3 0 0 3 3 0 x y ( a 3) z 0 a 3 0 3 3 0 + 3 3 0 3 3 0 0 0 0 5 3 0 0 5 3 0 0 5 3 0 F3 F 3 0 0 0 0 3 3 0 F F F F3 F3 F3 + 3F 0 0 0 0 x y 0 x y 0 z: λ + + x + y 0 x + y 0 0 5 3 0 3 0 5 3 0 5y + 3z 0 5y 3z 5y 3λ y λ 5 0 5 3 0 x y x x x y z x y z 3 3 3 3 3 3 x5 + 0 λ 0 λ,, λ, λ, λ,, λ,, 5 5 5 5 5 5 ( x, y, z) λ ( 3, 3,5) Per tant la solució és la recta que passa per l origen amb v 3, 3,5. vector director Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 38
35) PAU 05 Sèrie 4 Qüestió : x y z 0 Considereu el sistema d equacions mx + 3y + z 0, en què m és un paràmetre x + y 4 real. a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre m. Aprofitant que la matriu de coeficients és quadrada el mètode més segur es actuar per determinants. Així: A m 3 A 0 + m + 3 m 0 A 0 m 0 Per tant, tenim dos casos a estudiar, m 0 i m 0: Cas m 0: 0 0 0 F3 F3 F F3 F3 F A' 0 3 0 0 3 0 0 3 0 0 4 0 3 4 0 0 0 4 Rang A 3 Rang A' S. I. Cas m 0: En aquest tenim: A 0 Rang( A) 3 Rang A Rang A' 3 nº incògnites S. C. D. NOTA: Si enlloc de raonar per determinants o féssim amb el mètode de Gauss un possible desenvolupament seria el següent: x y z 0 0 0 F F + mf mx + 3y + z 0 A' m 3 0 0 3 m m 0 F3 F3 F + + x + y 4 0 4 0 3 4 3 + m + m Per a que les files i 3 siguin proporcionals s ha de donar que 3 3 + m 3 + 3m 3 3 3m m 0 m i per tant evidentment obtenim els mateixos casos que abans, és a dir, el cas m 0 i el cas m 0. b) Resoleu el sistema per a m. x y z 0 x y z 0 0 m mx + 3y + z 0 x + 3y + z 0 A' 3 0 x + y 4 x + y 4 0 4 F F + F F3 F3 F Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 39
0 0 0 0 0 3 4 De la fila tenim: y 0, que substituint en la fila 3 ens porta a que z 4. Finalment substituint en la fila tenim: x 0 4 0 x 0 4 0 x 4 Per tant la solució del sistema és ( x, y, z ) ( 4,0,4) 36) PAU 06 Sèrie Qüestió 3: Tres nombres, x, y i z, compleixen dues condicions: que el primer és la suma dels altres dos, i que el segon és la suma de la meitat del primer i el doble del tercer. a) Comproveu que el càlcul dels tres nombres, x, y i z, té una infinitat de solucions. Les condicions que compleixen els nombres ens porten a les següents equacions: x y + z E E x y + z x y z 0 x y + z y x + 4z x y + 4z 0 El càlcul dels tres nombres tindrà una infinitat de solucions sii el sistema és compatible indeterminat. 0 F F F 0 A' 4 0 0 5 0 Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I NOTA: En realitat no calia calcular el rang perquè com el sistema és homogeni aleshores sempre té la solució trivial i per tant no pot ser incompatible. I com que el nombre d equacions és menor que el nombre d incògnites tampoc pot ser compatible determinat per tant ha de ser compatible indeterminat. b) Trobeu una expressió general de les solucions. Per trobar l expressió general de les solucions resolem el sistema o bé per Gauss o bé per Cramer. Jo el resoldré per Gauss aprofitant els càlculs de l apartat anterior; 0 F F F 0 A' 4 0 0 5 0 z : λ y + 5z 0 y + 5λ 0 y 5λ x y z 0 x y + z 5λ + λ x 6λ Per tant, la solució del sistema és: ( x, y, z) ( 6 λ, 5 λ, λ) Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 40
37) PAU 06 Sèrie 3 Qüestió : Considereu el sistema d equacions lineals següent: x + 4y + 4z 4k 7 x ky x k + a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre k. Considerem la matriu de coeficients i la matriu ampliada del sistema: 4 4 A k 0 0 0 i 4 4 4k 7 A' k 0 0 0 k + 4 4 A k 0 8k 0 0 A 0 8k 0 k 0 Per tant, hem de distingir els casos k 0 i k 0. Cas : k 0 k 0 A 0 Rang A 3 Rang A Rang A' nº incògnites S. C. D. Cas : k 0 4 4 4k 7 4 4 7 k 0 E3 E 4 4 7 A' k 0 0 0 0 0 0 0 k + 0 0 4 4 0 0 Rang A' min nº files, nº columnes min,4 Podem observar que la matriu Rang A té un menor d ordre no nul. Per tant, Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I. solucions b) Resoleu el sistema per al cas k 0. Per els càlculs de l apartat anterior sabem que la matriu ampliada del sistema és equivalent a la matriu: Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 4
4 4 7 0 0 Aleshores tenim que: x x i anomenant λ : y aleshores la primera equació seria: x x + 4 y + 4z 7 + 4λ + 4z 7 + 4λ + 4z 7 4λ + 4z 6 λ + z 3 z 3 λ z λ 3 ( x, y, z), λ, λ 3 38) PAU 06 Sèrie 5 Qüestió : x b Considereu el sistema d equacions lineals 4 5 y b. Expliqueu 3 4 z b 3 raonadament si les afirmacions següents són vertaderes o falses: b 0 x 0 a) Si b 0, el sistema és compatible determinat i la solució és y 0. b 3 0 z 0 La matriu ampliada del sistema és: 0 0 F 0 0 F F + 4F F 3 F3 F3 + F A' 4 5 0 0 3 3 0 0 0 0 0 F 3 3 F3 3F F F3 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Rang A Rang A' < 3 nº incògnites S. C. I. Aleshores Per tant, el sistema no és compatible determinat sinó compatible indeterminat, per tant té infinites solucions entre les que es troba la solució trivial ( x, y, z ) ( 0,0,0) però evidentment no és la única. b) Si b b, el sistema és compatible indeterminat. b 3 En aquest cas, la matriu ampliada del sistema és: F F F + 4F F 3 F3 F3 + F A' 4 5 0 3 3 5 0 5 3 0 0 F 3 3 F3 3F F F3 3 4 0 0 0 0 0 3 Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 4
Rang A 3 Rang A' S. I. En aquest cas tenim que Per tant, l enunciat també és fals. NOTA: La solució que proposen a les PAU és per determinants i no per Gauss. Exercicis sobre sistemes d equacions de les PAU Catalunya 43