Análisis Numérico para Ingeniería Clase Nro. 13
Aproximación de Funciones Temas a tratar: Métodos de Newton-Cotes. Método de los Trapecios. Método de 1/3 de Simpson. Método de 3/8 de Simpson. Método de Romberg. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 2
Problema a resolver Se desea calcular numéricamente: b I f = a f x dx Cuando la función a integrar no tiene antiderivada explícita. La función antiderivada es muy complicada de calcular. La función está expresada en forma discreta. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 3
Método de Resolución El método básico utilizado para obtener el valor de una Integral definida, se denomina cuadratura numérica y está basado en la siguiente fórmula: n i=0 H i f x i Entonces tendremos: b I f = a n f x dx = i=0 H i f x i Error Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 4
Formas de Resolución Si se conocen los valores de las abscisas x i con i=0,1,...,n y éstos son equiespaciados, se utilizarán las fórmulas de Newton Cotes para hallar los valores de H i Otras forma de calcular los H i se logran utilizando las fórmulas Gauss-Legendre, o de Cuadratura Gaussiana. Otra forma consiste en hallar la Serie de Taylor e integrar el polinomio resultante al truncar la misma. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 5
Métodos de Newton-Cotes La estrategia consiste en aproximar los puntos de la función f(x) y luego integrar el polinomio resultante: b I f = a b f x dx a p n x dx Y considerando el error de interpolación, tendremos: b I f = a b f x dx = a b p n x dx a E x dx Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 6
Métodos de Newton-Cotes Teniendo en cuenta el error de interpolación para puntos equiespaciados, obtenemos la siguiente expresión para el Error de Integración: a Error = b E(x) dx= a b s (s 1) (s 2) (s n) h n+1 f (n+1) (ξ) dx (n+1)! Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 7
Métodos de Newton-Cotes Esta fórmula puede utilizarse de diferentes formas, ya que el rango de ajuste del polinomio no necesariamente tiene que coincidir con el intervalo de integración. b I f = a b f x dx = a b p n x dx a E x dx En el caso que los extremos de integración coincidan con el intervalo de interpolación se llaman fórmulas cerradas de Newton-Cotes, de lo contrario se denominan fórmulas abiertas. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 8
Métodos de Newton-Cotes Las fórmulas de Newton-Cotes más utilizadas son aquellas que poseen mejor ajuste y menor error de redondeo, es decir, aquellas que utilizan un polinomio de interpolación de grado bajo. NEWTON COTES CERRADAS {n=1 Trapecios 1 n=2 de Simpson 3 3 n=3 de Simpson 8 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 9
Método de Trapecios Dados dos puntos es posible aproximar por un polinomio interpolante de Newton de grado 1. y p 1 (x) f(x) x 0 x 1 x Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 10
Método de Trapecios Aproximando con un polinomio de 1er. Grado, obtenemos: x 1 x 0 x f x dx 1 y 0 s y 0 dx = x 0 = h [ y 0 s 0 1 y 0 s2 1 2 0 ] = h [ y 0 y 0 2 ] = = h [ y 0 y 1 y 0 2 ] = h 2 [ y 1 y 0 ] Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 11
Error en el Método de Trapecios Por lo tanto, el error cometido en la integración es: b Error = a E x dx = (por TVM) = h 3 f ' ' 1 1 = h 3 f ' ' 1 s3 6 s2 4 0 x 1 x 0 1 0 s s 1 h 2 f ' ' dx = 2 s s 1 ds = 2 = h3 12 f ' ' 1 Donde x 0 ξ 1 x 1 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 12
Teorema del valor Medio para Integrales Si f es una función contínua en el intervalo [a, b], entonces existe un número z en [a, b] tal que: b a f x dx = f z b a Veamos una interpretación geométrica del teorema: Supongamos que f(x) 0 para todo x que pertenece a [a, b], en este caso, la integral de f(x) se toma como el área de la región encerrada bajo la curva f(x) y las rectas x=a y x=b, entonces se demuestra que existe al menos un valor z que pertenece a [a, b], que verifica que f(z)*(b-a) es igual al área antes mencionada. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 13
Método de Trapecios Compuestos Si subdividimos el intervalo [a, b] en sub-intervalos, equiespaciados o no, la integral aproximada, será igual a la suma de las áreas de los trapecios correspondientes a cada uno de los sub-intervalos. Por ejemplo, para dos puntos cualesquiera dentro del intervalo [a, b], tenemos: x i 1 f x dx h x i 2 [ y i y i 1] Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 14
Método de Trapecios Compuestos Por lo tanto, si extendemos esta expresión para calcular la integral aproximada dentro del intervalo [a, b] y considerando n puntos equiespaciados, tenemos : b a n 1 h f (x) dx i=0 2 [ y i+ y i+1 ] = = h 2 [ y 0 + y 1 + y 1 + y 2 + y 2 + + y n 1 + y n 1 + y n ] = = h 2 [ y 0+2 y 1 +2 y 2 + +2 y n 1 + y n ] Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 15
Error en Trapecios Compuestos El error local correspondiente a un trapecio es : Error local = h3 12 f ' ' 1 Por lo tanto, podemos calcular el error global del método, sumando todos los errores locales : Error global = h3 12 [f ' ' (ξ 1)+f ' ' (ξ 2 )+ +f ' ' (ξ n 1 )+f ' ' (ξ n )] Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 16
Error en Trapecios Compuestos Los ξ i corresponden a cada uno de los subintervalos. Si asumimos que f ''(x) es contínua en (a, b), entonces habrá algún valor ξ perteneciente al intervalo (a, b), para el cual: Error global = h3 12 [ f ' ' (ξ 1)+f ' ' (ξ 2 )+ +f ' ' (ξ n 1 )+f ' ' (ξ n )]= = h3 12 n f ' ' (ξ) = h 3 12 (b a) f ' ' (ξ) h Por lo tanto, nos queda: Error global = (a b) 12 h2 f ' ' (ξ) Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 17
Ejemplo de Trapecios Compuestos Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 18
Método de 1/3 de Simpson Aproximando con un polinomio de 2do. Grado, obtenemos: x 2 x 0 x f x dx 2 y 0 s y 0 s s 1 2 y 2 0 dx = 2 = h 0 x 0 y 0 s y 0 s s 1 2 y 2 0 ds = = h 3 y 0 4 y 1 y 2 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 20
Error en 1/3 de Simpson Si denominamos : f (x) = F '(x) f (x) dx = F (x 2 ) F(x 0 ) x 2 x 0 Desarrollando la integral de f(x) en Serie de Taylor, obtenemos: x 2 x 0 f (x) dx =F ' (x 0 ) (2h)+ (2h)2 2 F ' ' (x 0)+ (2h)3 6 F ' ' ' (x 0) + + (2h)4 24 F iv (x 0 )+ (2h)5 120 F v (x 0 )+ Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 21
Error en 1/3 de Simpson Reemplazando F'(x 0 ) = f(x 0 ) = y 0, finalmente nos queda : x 2 f x dx = 2h y 0 2h 2 y ' 0 8 x 0 6 h3 y 0 ' ' + + 16 24 h4 y 0 ' ' ' 32 120 h5 y iv 0 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 22
Error en 1/3 de Simpson Para estimar el error de truncamiento del método, utilizaremos el desarrollo en Serie de Taylor del valor aproximado de la integral, obtenida por 1/3 de Simpson. h 3 y 0 4 y 1 y 2 = = h 3 [ y 0 4 y 0 h y 0 ' h2 2! y 0' ' h3 3! y 0 ' ' ' h4 4! y vi 0 + + y 0 2h y 0 ' 2h 2 y 2! 0 ' ' 2h 3 y 3! 0 ' ' ' 2h 4 y vi 4! 0 = Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 23
Error en 1/3 de Simpson Realizando las simplificaciones correspondientes en la expresión anterior, tenemos: = h 3 [6 y 0+6 h y 0 '+( 4 2 +4 2 ) h2 y 0 ' ' + +( 4 6 +8 6 ) h3 y 0 ' ' '+( 4 24 +16 24 ) h4 y 0 iv + ] = = h 3 [6 y 0+6 h y 0 '+4 h 2 y 0 ' '+2 h 3 y 0 ' ' ' + 5 6 h4 y 0 iv + ] Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 24
Error en 1/3 de Simpson Ahora, para obtener una expresión del error hacemos la diferencia entre la integral exacta y la integral aproximada. x 2 x 0 f (x) dx h 3 ( y 0+4 y 1 + y 2 ) = =(2 h y 0 6 3 h y 0)+(2 h 2 y 0 ' 6 3 h2 y 0 ')+ +( 16 24 h4 y 0 ' ' ' 2 3 h4 y 0 ' ' ')+( 32 120 h5 y 0 vi 5 18 h5 y 0 iv )= = 1 90 h5 y 0 iv + Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 25
Error en 1/3 de Simpson Este es el error de truncamiento de la serie. Error de Truncamiento= 1 90 h5 y 0 iv + Para estimar el error local, recordemos el término del error de interpolación para puntos equiespaciados. Al integrarlo, nos queda: b Error= a n E(x) dx=h n+2 0 s (s 1) (s 2) (s n) f (n+1) (ξ) (n+1)! ds Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 26
Error en 1/3 de Simpson Uno esperaría que la integración de 1/3 de Simpson sea exacta si f(x) es un polinomio de grado menor o igual a 2, sin embargo, resulta exacta, también para un polinomio de grado 3, ya que : ERROR DE INTERPOLACIÓN PARA UN POLINOMIO DE GRADO 3 Error = h 4 f ' ' ' 3! 2 0 s s 1 s 2 ds = 0 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 27
Error en 1/3 de Simpson Por lo tanto, si calculamos el error de interpolación para un polinomio de grado 4, obtenemos : Error = h 5 f (iv) (ξ) 4! = h 5 f (iv) (ξ) 90 2 0 s (s 1) (s 2) (s 3) ds = Donde x 0 ξ x 2 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 28
Método de 1/3 de Simpson Compuesto Si tenemos un número impar de puntos equiespaciados dentro de nuestro intervalo de integración, podemos aplicar la regla de 1/3 de Simpson en forma repetida, y si luego sumamos las áreas, obtenemos : b a f (x) dx = = h 3 ( y 0 +4 y 1 +2 y 2 +4 y 3 + +2 y n 2 +4 y n 1 + y n )+ + Error Global Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 29
Error en 1/3 de Simpson Compuesto Sumando los errores locales de cada uno de los arcos de parábola, obtenemos una expresión para el error global. Error Global= h5 90 [f (iv) (ξ 1 )+f (iv) (ξ 2 )+ +f (iv) (ξ n 2 b a = h5 90 n 2 f (iv) (ξ)= h5 90 h 2 f (iv) (ξ)= = h5 90 b a 2 h f (iv) (ξ) = (b a) 180 h4 f (iv) (ξ) )]= Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 30
Ejemplo de 1/3 de Simpson Compuesto Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 31
Método de 3/8 de Simpson Está basado en la integral de una aproximación polinomica de 3er. Grado: x 3 x 0 x f (x) dx 3 x 0 p 3 (x) dx= 3 h 8 ( y 0+ 3 y 1 + 3 y 2 + y 3 ) Error Local= 3 80 h5 f (v) (ξ) Donde x 0 ξ x 3 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 33
Método de 3/8 de Simpson Compuesto Sumando los errores locales de cada una de las aproximaciones, obtenemos una expresión para el error global. x 3 x 0 x f x dx 3 x 0 +2 y 3 3 y 4 3 y 5 2 y n 2 3 y n 1 y n ] p 3 x dx= 3 h 8 ( y 0 3 y 1 3 y 2 + Error Global= b a h 4 f v 80 Donde x 0 ξ x n Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 34
Comparación de Errores Si comparamos los errores globales de los diferentes métodos, tenemos : TrapeciosCompuestos = (a b) 12 h2 f ' ' (ξ) 1 3 3 8 SimpsonCompuestos= (b a) 180 h4 f (iv) (ξ) (b a) SimpsonCompuestos= h 4 f (v) (ξ) 80 Donde x 0 ξ x n Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 35
Método de Romberg Aunque el método de los trapecios es muy sencillo de aplicar, carece de la exactitud requerida habitualmente. La integración de Romberg es un método que utiliza inicialmente los valores obtenidos por el método de los trapecios y posteriormente aplica el proceso conocido como extrapolación de Richardson para obtener correcciones a las aproximaciones anteriores. Sabemos que el error de Trapecios Compuestos es: Error global = a b 12 h2 f ' ' = a b 3 f ' ' 2 12 n Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 36
Método de Romberg Sean n1 y n2 dos cantidades de trapecios distintas. Y sea I* el verdadero valor de la integral y I n el valor de la integral aproximada por n trapecios. Entonces: I * = I n1 E n1 = I n2 E n2 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 37
Método de Romberg Entonces: E n2 E n1 = b a 3 12 n f ' ' 2 2 2 b a 3 12 n f ' ' 2 1 1 Donde ξ 1 y ξ 2 se encuentran en (a, b) Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 38
Método de Romberg Asumiendo que f ''(ξ 1 ) = f ''(ξ 2 ) nos queda : E n2 = [ n 1 n 2 ]2 E n1 I n1 E n1 I n2 E n2 = 0 [ I n1 E n1 I n ]2 1 n2 E n n1 = 0 2 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 39
]2} Método de Romberg { I n1 I n2 E 1 [ n 1 n1 n 2 = 0 Por lo tanto : E n1 = I n 2 I n1 1 [ n 1 n 2 ]2 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 40
Método de Romberg I * =I n1 I n 2 I n1 1 [ n 1 n 2 ]2 Por lo tanto, si hacemos n 2 = 2*n 1 : I * = 4 3 I n 2 1 3 I n 1 Es de esperar que I* sea mejor que I n1 e I n2 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 41
Método de Romberg Sistematizando este proceso denominado Extrapolación de Richardson, obtenemos el método de integración de Romberg. Si tenemos 1 Trapecio h = (b - a), por lo tanto: T 0,1 = b a 1 [f a f b ] 1 2 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 42
Método de Romberg Si tenemos 2 Trapecios h = (b - a)/2, por lo tanto: T 1,1 = b a { 1 2 2 b a [f a f b ] f a 2 } = = 1 2 { T b a 0,1 b a f a 2 } Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 43
Método de Romberg Si tenemos 2 N Trapecios h = (b - a)/(2 N ), por lo tanto: T N,1 = 1 2 { T N 1,1 b a 2 N 1 2 N 1 i=1 i=2 f a b a 2 N i } Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 44
Método de Romberg Si tomamos dos valores consecutivos de estas aproximaciones, podemos aplicar la fórmula ya vista para encontrar una mejor aproximación. T N,2 = 4 T N 1,1 T N,1 3 Por ejemplo, si tomamos N=0, nos queda: T 0,2 = 4 T 1,1 T 0,1 3 = b a 6 [ f a 4 f a b a 2 f b ] Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 45
Método de Romberg Ahora podemos generalizar el esquema visto, para j 2. T N, j = 4 j 1 T N 1, j 1 T N, j 1 4 j 1 1 Donde j es el grado del polinomio aproximante y 2 N es la cantidad de Trapecios utilizados para obtener dicha aproximación. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 46
Método de Romberg El método de Romberg se aplica construyendo una tabla de valores como la siguiente: T 0,1 T 0,2 T 1,1 T 0,3 T 1,2 T 0,4 T 2,1 T 1,3 T 2,2 T N, j Aplicando este esquema = 4 j 1 T N 1, j 1 T N, j 1 4 j 1 1 T 3,1 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 47
Método de Romberg VALORES CALCULADOS POR TRAPECIOS VALORES CALCULADOS POR ROMBERG T 0,1 T 0,2 T 1,1 T 0,3 T 1,2 T 0,4 T 2,1 T 1,3 T 2,2 T 3,1 VALORES FINAL DE LA INTEGRAL Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 48
Ejemplo de Romberg -56.5195-50.8040-52.2328-11.9705-14.3976-0.0828-23.8564-0.2685-1.33069-1.1516-1.3258-1.42647-6.8278-1.3093-1.42638-1.42604-1.2994-1.42598-1.42604-1.42603-2.6815-1.42416-1.42604-1.42603-1.42603-1.4164-1.42604-1.42603-1.42603-1.7327-1.42600-1.42603-1.42603-1.4254-1.42603-1.42603-1.5022-1.42602-1.42603-1.4226-1.42603-1.4450-1.42602-1.4260-1.4308 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 49
Ejemplo de Romberg (II) En este caso vemos que aún tomando muchos menos puntos, 64 en lugar de los 256 de la tabla anterior, obtenemos casi el mismo resultado final. -56.5195-50.8040-52.2328-11.9705-14.3976-0.0828-23.8564-0.2685-1.33069-1.1516-1.3258-1.42647-6.8278-1.3093-1.42638-1.42604-1.2994-1.42598-1.42604-2.6815-1.42416-1.42604-1.4164-1.42604-1.7327-1.42600-1.4254-1.5022 Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 50
Comparación entre Métodos TRAPECIOS Es sencillo de aplicar. Puede utilizarse con cualquier cantidad de puntos. No integra con demasiada exactitud, a menos que la distancia entre puntos sea muy pequeña. 1/3 de SIMPSON Es sencillo de aplicar. Solo puede utilizarse con una cantidad impar de puntos. El error de integración es muy pequeño. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 53
Comparación entre Métodos 3/8 de SIMPSON Su fórmula es apenas un poco más complicada que la de 1/3 de Simpson. Solo puede utilizarse con una cantidad de puntos igual a 3*n+1, siendo n el número de arcos. Tiene un error ligeramente mayor que 1/3 de Simpson. ROMBERG Se inicia con valores obtenidos por Trapecios. Solo puede utilizarse con una cantidad de puntos igual a 2 N +1, siendo n el número de trapecios. El error de integración es muy pequeño. Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 54
PREGUNTAS... Ing. Francisco A. Lizarralde Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2016 55