CAPITULO 4 INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Transcripción

1 INTEGRACION NUMERICA Consideremos las siguientes expresiones (1) () Debe ser muy claro que la primera expresion es una funcion que depende de, mientras la segunda no, esto se puede verificar facil ya que () (4) = = 0 es decir, la expresion es una constante que no depende de (un numero), esto es claro, ya que por lo conocido en nuestros cursos de calculo, la expresion en () es el area bajo una curva, Existen varias formas de hallar el valor en la expresion (), como por ejemplo usar un argumento puramente geometrico, en particular el hecho que el area de un triangulo es y asi en nuestra expresion conseguimos (5) = = Aunque la forma mas conocida es hacer uso del TFC (Teorema fundamental del calculo) es decir, encontrar explicitamente una antiderivada (es decir, calcular la expresion (1)), evaluar en los extremos y restar asi, (6) = 1 0 Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 1

2 Gráfica 1 donde F es una antiderivada de, en este caso, es bien conocido que las antiderivadas son de la forma = asi (6) toma la forma +, asi podemos considerar = y (7) = = El gran problema de calcular una integral definida, es decir, (8) por medio del uso del TFC es encontrar las antiderivadas, es decir, (9) y este es el problema real, existen funciones aunque bonitas (por ejemplo continuas y diferenciables) no tienen una antiderivada que pueda ser expresada de manera elemental, como por ejemplo, (10) la cual es bastante conocida y usada en estadistica (a grandes rasgos esta es la distribucion normal), es decir, la expresion (10) no existe, sin embargo, la siguiente expresion (11) si existe ya que es el area sombreada en la siguiente grafica, calcular, sino que no existe) no es posible el uso del TFC para calcular (11), aquí es donde se hacen necesarios los metodos numericos, vamos a aproximar numericamente esa area sombreada. Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página

3 Para esto veremos primero la forma historica en la cual desarrollaron la integral definida (Riemann) y luego estudiaremos los metodos de Newton-Cotes, en particular (Trapecio, Simpson y simpson /8), los cuales aproximan la funcion por medio de los polinomios de interpolacion y los integran, despues vamos a acelerar la convergencia del metodo del trapecio por medio de extrapolacion de Richarson y asi, tendremos el metodo de Romberg, hay que notar que estos no son los unicos metodos que nos sirven para aproximar la integral definida, aunque son los mas conocidos y naturales. APROXIMACION POR FUNCIONES ESCALONADAS Haremos el analisis inicial sobre funciones que sean continuas (preferiblemente diferenciales), lo que buscan las sumas de Riemann (al igual que todos los metodos de Newton-Cotes) es trabajar sobre una particion del intervalo sobre el cual se va a integrar, para esto consideremos el ejemplo que llevamos en la introduccion, es decir, (1) la idea es tomar una particion equidistante (aunque no necesariamente debe ser equidistante) sobre, de + 1 puntos, asi,,, donde los son dados por la relacion, (1) = ; (14) = + h donde h es el tamano del intervalo, asi, h =. Ahora en cada subintervalo,, para = 0,1,, 1. (para nuestro ejemplo consideremos que = 4 ) aproximaremos la funcion por medio de una funcion constante, el problema, es que se puede hacer por medio de varias funciones constantes y hay que elegir cual de estas, en este caso veremos tres formas, sumas superiores, inferiores y punto medio. Sumas Superiores ( ) En cada subintervalo buscaremos un valor en el cual la funcion alcance el valor mas alto, (este valor es asegurado ya que la funcion es continua sobre un compacto) es decir, por ejemplo en el caso de Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página

4 Gráfica (15) = aproximaremos la funcion por medio de una funcion. Para definir esta nueva funcion consideremos la particion quedara como 1,,,, y asi el punto que se escoge en cada intervalo es, 0,, como se muestra en la sigiuente grafica, y al considerar funciones constantes sobre cada subintervalos encontramos a aproximacion de la funcion por medio de Gráfica (16) =, 1 1, <,, < < y hallar el area bajo estas, esta consideracion coincide con construir rectangulos por encima (aproximacion por exceso) de la funcion como se hace en los cursos de calculo, (sabemos que es mas facil atacar este problema de manera geomertrica, sin embargo, como queremos generalizar este proceso, lo analizaremos analiticamente), geometricamente, es hallar el area de los rectangulos en la siguiente grafica y sumarlos, Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 4

5 en este caso, tenemos que: Area del primer rectangulo es Atrea del segundo rectangulo es 1 Area del tercer rectangulo es Area del cuarto rectangulo es asi el area sombreada es (17) como la particion la tomamos equidistante podemos sacar de factor comun el ancho de cada rectangulo asi se puede escribir de la forma (18) ahora si repetimos este proceso para una funcion continua en general sobre una particion de cuatro rectangulos obtenemos (19) h = h donde cada es un punto donde la funcion alcanza maximo en,, generalizando, para una particion cualquiera,,, obtenemos (0) h = h = Si deseamos usar unicamente este metodo para aproximar el valor de la integral definida, debemos notar que al incrementar el numero de puntos en la particion, el valor de la aproximacion es menor, es decir, (1) siempre que < Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 5

6 y asi podemos construir una sucesion decreciente y acotada de numeros reales, por la completez de los numeros reales, esta sucesion debe ser convergente, asi () 1 Veamos el siguiente ejemplo, donde calcularemos una aproximacion de este sucesion partiendo de un determinado numero de cifras significativas, es decir en esta sucesion calcularemos el error normalizado y observaremos como es tan lenta que hace inútil el criterio de la tolerancia para la convergencia de sucesiones, lo cual se ilustra en los siguientes ejemplos Ejemplo 1 Aproximar el valor de la siguiente integral con cinco cifras significativas. utilizando las sumas superiores Solución Para crear la sucesión tomaremos una particion de n=1, estos nos dar la primera aproximacion, en este caso =, para n= tenemos = y asi sucesivamente hasta que el error normalizado porcentual sea menor que la tolerancia, la cual para este ejemplo es = %. Recurriendo a Maple para agilizar las cuentas obtenemos la siguiente tabla, Observemos que en la iteracion 545, donde el error normalizado es 0, se alcanzan las cinco cifras significativas que supuestamente queremos. Sumas Inferiores ( ) Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 6

7 Gráfica 4 De manera analoga que en las Sumas Superiores aquí en cada subintervalo buscaremos un valor en el cual la funcion alcance el valor mas bajo, y definiremos una funcion que aproxime a luego para el caso de nos queda () Donde la particion quedara como 1,,,, y asi el punto que se escoge en cada intervalo es,,, y al considerar funciones constantes sobre cada subintervalos encontramos a aproximacion de la funcion por medio de Gráfica 5 (4) =, 1, <, <, < y hallar el area bajo estas, obtenemos geometricamente, en este caso, tenemos que: Area del primer rectangulo es Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 7

8 Area del segundo rectangulo es Area del tercer rectangulo es Area del cuarto rectangulo es asi el area sombreada es (5) como la particion la tomamos equidistante podemos sacar de factor comun el ancho dde cada rectangulo asi se puede escribir de la forma (6) ahora si repetimos este proceso para una funcion continua en general sobre una particion de cuatro rectangulos obtenemos (7) h = h donde cada es un punto donde la funcion alcanza minimo en,, generalizando, para una particion cualquiera,,, obtenemos (8) h = h = Procediendo de la misma manera que en las sumas superiores; aproximaremos el valor de la integral definida, rcordemos que al incrementar el numero de puntos en la particion, el valor de la aproximacion es menor, es decir, (9) siempre que < construiremos nuevamente una sucesion decreciente y acotada de numeros reales, como en el caso anterior, por la completez de los numeros reales, esta sucesion debe ser convergente, asi (0) 1 1 En el siguiente ejemplo, calcularemos una aproximacion de este sucesion partiendo de un determinado numero de cifras significativas, realizaremos calculos similares para evaluar el error normalizado y observaremos que al igual que en el ejemplo anterior, la convergencia es tan lenta que no es útil el criterio de la tolerancia para la convergencia de sucesiones Ejemplo Aproximar el valor de la siguiente integral utilizando Riemann con sumas Inferiores Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 8

9 Solución Utilizando el software Maple; obtenemos la siguiente tabla Observemos que en la iteracion 548, donde el error normalizado es 0, se alcanzan las cinco cifras significativas que supuestamente queremos. Nota 1 Observemos que en los ejemplos anteriores se quería aproximar el mismo valor (es decir, ), sin embargo los resultados no comparten las cifras significativas que se buscaban, esto se debe a que las sucesiones creadas por la implementación de las sumas superiores e inferiores tienen una convergencia demasiado lenta para poder aplicar el teorema del capitulo 1. Lo observación anterior nos hace recurrir a métodos de aproximación de integrales que tengan una convergencia un poco más rápida. Las sumas superiores e inferiores en su conjunto son llamadas sumas de Riemann, las estudiaremos ahora de manera conjunta RIEMANN Notemos que se hizo el analisis de las sumas superiores e inferiores de manera separada, ahora, lo que hacen las sumas de Riemann es trabajar simultaneamente las dos aproximaciones haciendo uso de la desigualdad (1) Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 9

10 la cual se cumple para todo N. En realidad las aproximaciones por medio de sumas de Riemann mas que dar aproximaciones de la integral; dan una sucesión de intervalos en los cuales está el valor de la integral, donde el ancho de cada una de estos intervalos es y va disminuyendo a medida que se hace grande el (y bajo buenas condiciones de la funcion, por ejemplo, continuidad, la medida de estos intervalos tiende a cero). En el caso particular de nuestro ejemplo, tenemos () Para trabajar el error en Riemann lo podemos deducir directamente desde la desigualdad y concluir que el error es menor a () A continuacion generaremos una tabla con los intervalos donde se encuentra la aproximacion del area; ademas observaremos como va dismunuyendo el ancho entre estos intervalos. Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 10

11 Sumas Punto Medio ( Gráfica 6 De manera analoga que en las Sumas del punto medio aquí en cada subintervalo buscaremos un valor en el cual la funcion alcance el punto medio, luego para el caso de nos queda (5) Donde la particion quedara como 1,,,, y asi el punto que se escoge en cada intervalo es,,, y al considerar funciones constantes sobre cada subintervalos encontramos a aproximacion de la funcion por medio de Gráfica 7 (6) =, 1 < <, < <,,, y hallar el area bajo estas obtenemos geometricamente, < < < < Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 11

12 en este caso, tenemos que: Area del primer rectangulo es Area del segundo rectangulo es Area del tercer rectangulo es, Area del cuarto rectangulo es asi el area sombreada es (7) + +, + como la particion la tomamos equidistante podemos sacar de factor comun el ancho de cada rectangulo asi se puede escribir de la forma (8) + +, + Ejemplo Aproximar el valor de la siguiente integral sumas de punto medio utilizando Riemann con Solución Utilizando el software Maple; obtenemos la siguiente tabla Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 1

13 ahora si repetimos este proceso para una funcion continua en general sobre una particion de cuatro rectangulos obtenemos (9) h donde cada = h es un punto medio del subintervalo,, generalizando, para una particion cualquiera,,, obtenemos (40) h = h = Notemos que independiente del valor de siempre se va a tener la desigualdad (41) Nota es mas, tenemos la siguiente desigualdad que involucra el valor real de la integral (aunque no sabemos cual es) (4) En ningún momento se estan relacionando y, si se desea realizar dicho análisis, es necesario en cada subintervalo hacer la aproximación de la función por medio de la serie de Taylor centrada en el punto medio de cada subintervalo y estudiar el error de truncamiento para cada una de ellas con = 0. Ya que la noción de limite es un concepto matemático, netamente analítico, no lo podemos considerar en el caso numérico, (una maquina no se puede acercar tanto como quiera a un número real), consideramos el n como un numero finito. Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 1

14 REGLA DEL TRAPECIO Como vimos en las sumas de Riemann, se cambia la función original, por una función escalonada, (es decir, una función definida a trozos donde cada parte es un polinomio de grado cero), ahora queremos generalizar un poco esta idea, con el método del trapecio utilizamos una función definida a trozos, donde cada parte es una funcion lineal (polinomio de grado uno). El método del trapecio utiliza la aproximación por medio de una función lineal; Para la deducción de la formula del trapecio podemos tomar dos caminos uno es por medio de áreas y el otro es por medio de el polinomio lineal interpolante, esta da una idea mas clara del error que se comete. Iniciaremos con la aproximación por medio de áreas: Al igual que en los metodos anteriores, paritremos el dominio de la funcion con una particion equidistante (aunque no necesariamente debe ser equidistante) sobre, de + 1 puntos, asi,,, donde h es el tamano del intervalo, asi, h =. En cada subintervalo, aproximaremos la funcion por medio de una recta (un polinomio de grado 1, o menor, en el caso en que = ), la forma mas natural, es por medio de la recta que pasa por los puntos, y,, es decir, por medio del polinomio interpolador que pasa por, y,, retomemos la integral (4) y nuevamente consideremos que = 4, en este caso tenemos la siguiente grafica Gráfica 8 Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 14

15 formamos 4 trapecios (de aquí el nombre del metodo), donde el area de cada trapecio puede hallarla en forma geometrica como El área del trapecio 1 es El área del trapecio es El área del trapecio es El área del trapecio 4 es (44) h (45) h (46) h (47) h donde h es el tamano de cada subintervalo, en este caso h =. Sumamos dichas areas (gracias a la linealidad de la integral) y obtenemos (48) h y de esta manera se puede llegar rapido a una generalizacion, sin embargo, desde este punto de vista, es muy dificil (por no decir imposible), realizar el estudio del error que se comete, ahora, lo estudiaremos desde un punto de vista mas analitico, es decir, como ya lo mencionamos en cada subintervalo, aproximar la funcion por medio del polinomio interpolador que pasa por, y,, en este caso, para el primer subintervalo, utilizando interpolacion por los puntos, y, tenemos (49) = + que es un polinomio de grado 1 (o cero) el cual vamos a considerar como aproximacion de la curva en el intervalo,, al hacer esto en cada subintervalo encontramos una funcion definida a trozos que aproxima la funcion original y es dada en este caso por +, + (50) =, < +, < +, < y ahora integramos esta funcion entre y, lo cual coincide con el trato geometrico ya que (51) + = h Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 15

16 y con lo cual (5) = + y sustituyendo obtenemos (5) y reduciendo terminos obtenemos = h + + (54) = al generalizar a subintervalos obtenemos la formula (55) = Si quisiéramos hallar la aproximación del área bajo la curva sumariamos todos los trapecios inscritos (circunscritos) en f (x), así obtenemos: (56) f ( x0) + f ( x1 ) f ( x1 ) + f ( x) f ( x) + f ( x) f ( xn 1) + f ( xn) Area= h + h + h + K+ h Reordenando obtenemos: (57) h Area = 1 1 n 1 + que sumando obtenemos (58) [ f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + K+ f ( x ) f ( x )] 0 n h Area = 1 n 1 + [ f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) + K+ f ( x ) f ( x )] 0 n (59) = + + Con respecto al error de este método lo trataremos mas adelante. lo anterior es un trato netamente geométrico, lo cual no nos da una idea precisa del error, para ello utilizaremos la idea básica de pasar un polinomio de grado uno en cada subintervalo, iniciaremos con n=1. Considerando la función f en [a,b] y tomando n=1 podemos pasar el polinomio de interpolacion e integrar entre a y b es decir P 1 (x) = ( x - x 1 ) f (x 0 ) + ( x - x 0 ) f (x 1 ) ( x 0 - x 1 ) ( x 1 - x 0 ) Recordemos que este polinomio tiene un error al aproximar cualquier punto de la función diferente a los nodos asi, F(x) = ( x - x 1 ) f (x 0 ) + ( x - x 0 ) f (x 1 )+E(ξ) ( x 0 - x 1 ) ( x 1 - x 0 ) Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 16

17 Donde E(ξ)= f ( ξ (x))( x - x 0 )( x - x 1 ) x0 Integrando este error vemos que el error es de tipo O(h) Ahora utilizaremos la aproximación utilizando el polinomio lineal interpolante de Lagrange; Por lo tanto, utilizando el primer y segundo polinomios de Lagrange con nodos igualmente espaciados nos da la regla del trapecio. b La regla del trapecio, nos ayuda a aproximar la integral de la forma f (x) dx, sean x 0 = a, x 1 = b, h= b-a y usaremos el polinomio lineal de Lagrange: a Luego, (a.) b P 1 (x) = ( x - x 1 ) f (x 0 ) + ( x - x 0 ) f (x 1 ) ( x 0 - x 1 ) ( x 1 - x 0 ) x1 f (x) dx = [ ( x - x 1 ) f (x 0 ) + ( x - x 0 ) f (x 1 ) ] dx a x0 ( x 0 - x 1 ) ( x 1 - x 0 ) x1 + 1 f ( ξ (x))( x - x 0 )( x - x 1 )dx x0 Dado que ( x - x 0 )( x - x 1 ) no cambio de signo en [ x 0, x 1 ], podemos aplicar el teorema de valor medio ponderado de las integrales al termino de error a fin de obtener, para algún ξ en ( x 0, x 1 ): x1 x1 f ( ξ (x))( x - x 0 )( x - x 1 )dx = f (ξ) ( x - x 0 )( x - x 1 )dx x0 x0 = - h f (ξ) 6 En consecuencia, la ecuación (a.) implica que x1 = f (ξ)[ x - ( x 1 + x 0 ) x + x 0 x 1 x ] x 0 b f (x) dx = [ ( x - x 1 ) f (x 0 ) + ( x - x 0 ) f (x 1 ) ] - h f (ξ) a ( x 0 - x 1 ) ( x 1 - x 0 ) x0 1 = ( x1 - x 0 ) [ f ( x 0 ) + f( x 1 )] - h f (ξ) 1 Puesto que h = x 1 - x 0, tenemos la siguiente regla: Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 17 x1

18 Como el termino de error de la regla del trapecio contiene f, la regla da el resultado exacto cuando se aplica a una función cuya segunda derivada sea cero, es decir, cualquier polinomio de grado 1 o menos. Cota de error para la regla del trapecio: Para acotar el error del trapecio; observemos la siguiente grafica Observemos que aproximaremos el area bajo la curva con una ecuacion de una recat, que es la aproximacion del trapecio. La ecuacion de esta recta la podemos escribir en terminos de diferencias finitas (Newton) = +,, ) luego el area quedaria sabemos que = +,,,, = = + y ademas = + < < Luego la integral quedaria + Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 18

19 GRAFICA Evaluaremos la siguiente integral = + = E T ( b - a ) M en donde M f (x) 1 Si f es continua y M es cualquier cota superior para los valores de (f ) en [a,b] Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 19

20 Cuando hacemos el método de trapecio multiple debemos componer este error y llegamos a Ejemplo (60) donde sup, Aproximar el valor de la siguiente integral con: Solucion a. Una aproximacionde cinco cifras significativas. b. Un error no mayor de 10 utilizando la regla del Trapecio; a. Para obtener las cinco cifras significativas; Utilizamos el software Maple, obtenemos la siguiente tabla: Observemos que este metodo converge mas rapidamente que el metodo de Riemann y obtenemos las cinco cifras significativas en la iteracion 7, recordemos que Riemann en la iteracion 8 no alcanzaba a garantizar ni siquiera dos cifras significativas. b. Para acotar el error; procedemos de la siguiente manera: Recordemos que el error del trapecio lo definimos como Inicial mente tenemos que donde sup, = = = 4 Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 0

21 Para hallar M tenemos que acotar ; - Primero acotamos y partimos de multiplicando por -1 a ambos lados 4 0 aplicando la funcion exponencial = 1 es decir 1 quedando acotado el primer termino -Segundo acotamos 4 y partimos de 1 aplicando la función cuadrado 0 4 multiplicando por restando 4 14 Tomando valor absoluto 4 14 quedando acotado el segundo termino - Tercero, reemplazando 114 = 14 es decir = < 10 despejando n tenemos 14 < 10 operando tenemos = 561,48 561; luego para 561 particiones se garantizan un error no mayor a 10 Como observamos es mejor poder acotar la funcion; ya que con esta llegamos de forma inmediata al numero de particiones y no tenemos que recurrir al error normalizado para lograrlo. Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 1

22 APROXIMACION POR MEDIO DE UNA FUNCION CUADRATICA Este método también es conocido como el método de SIMPSON, utiliza la aproximación por medio de funciones cuadráticas; Para obtener una aproximación utilizando la regla de Simpson se puede obtener mediante dos caminos; uno por medio de áreas y otro por el polinomio cuadrático interpolante de Lagrange. Tomaremos la aproximación por medio de áreas, Simpson utiliza parábolas para generar la aproximación del área bajo la curva, observemos la siguiente grafica, como se aproxima el área de la función por medio de áreas bajo la parábola de aproximación Quermos aproximar el area de la figura negra, y generamos particiones, quedando la grafica aproximada por cada una de las areas de color. Observe que a cada una se le paso un polinomio interpolante que pase por tres puntos; y claramente se ve que se pueden presentar tres opciones: Cuadratico, lineal y constante. Los puntos p0, p1 y p generan la primera aproximación (observemos que tomamos tres puntos para generar tal aproximación), luego se toman otros tres puntos para generar la siguiente aproximación y así sucesivamente llegamos a aproximar el área bajo la curva. Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página

23 Los puntos p0, p1 y p generan la primera aproximación (observemos que tomamos tres puntos para generar tal aproximación), luego se toman otros tres puntos para generar la siguiente aproximación y así sucesivamente llegamos a aproximar el área bajo la curva. Tomaremos los primeros tres puntos y los llevaremos al origen (como se observa en la grafica) Observemos que la función cuádrica es evaluada en h y h para así obtener la aproximación; lo primero que haremos será evaluar la integral del polinomio cuadrático en el intervalo h h: h 0 h 0 h h + h h 1 0 h 0 h + h 0 h h h 0 Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página

24 h ( ax + bx+ c) h a = h h + ch= 1 dx= ax 1 + bx ( ah + 6c) + cx h h a = h b + h a + ch+ h b h + ch Una vez obtenido un resultado de la integral, obtendremos un resultado en términos de los tres puntos de aproximación: Hallando los valore correspondientes a y 0, y1 y y obtenemos: y = a( h) + b( h + c= ah bh+ c 0 ) y = a(0) + b(0) + c= c 1 y = a( h) + b( h + c= ah + bh+ c ) Si tomamos la combinación lineal y 0+ 4y1 + y obtenemos lo siguiente: ah bh+ c+ 4c+ ah + bh+ c= ah + 6c que reemplazando en el valor de la integral obtenemos: h h h ( ax + bx+ c) dx== ( ah + 6c) = ( y0 + 4y1+ y) h que es el valor del área bajo la curva de la primer parábola, repitiendo este método hallamos la suma de todas las parábolas y obtenemos: b h h h x) dx = n 4 n 1 a ( y + 4y + y ) + ( y + 4y + y ) + + ( y + y y ) f ( K + Organizándolo obtenemos: n b h x) dx = n 4 n 1 a ( y + 4y + y + y + 4y + y + + y + y y ) f ( K + Donde n b a h= n = h ERROR DE SIMPSOM donde sup, Ejemplo Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 4

25 Aproximar el valor de la siguiente integral utilizando la regla de Simpson; con: a. Una aproximacion de cinco cifras significativas. b. Un error no mayor de 10 Solucion a. Para obtener las cinco cifras significativas; Utilizamos el software Maple, obtenemos la siguiente tabla: Observemos que este metodo converge mas rapidamente que el metodo de Riemann y de Trapecio; ya que obtenemos las cinco cifras significativas en la iteracion 4. b. Para acotar el error; procedemos de la siguiente manera: Recordemos que el error de Simpson lo definimos como Inicial mente tenemos que donde sup, = = Para hallar M tenemos que acotar ; - Primero acotamos y partimos de 1 elevando al cuadrado a ambos lados Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 5

26 0 4 multiplicando por -1 a ambos lados 4 0 aplicando la funcion exponencial = 1 es decir 1 quedando acotado el primer termino -Segundo acotamos y partimos de 1 elevando a la cuatro a ambos lados 0 16 multiplicando por obtenemos el primer termino 1 elevando al cuadrado a ambos lados 0 4 multiplicando por obtenemos el segundo termino Por desigualdad triangular tenemos < = Tercero, reemplazando 1115 = 115 es decir = 115 < 10 operando tenemos < 10 despejando n tenemos > = = 11; luego para 11 particiones se garantizan un error no mayor a 10 Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 6

27 MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG Este método es una regla compuesta del trapecio para obtener aproximaciones preliminares y luego el proceso de extrapolación de Richardson para mejorar las aproximaciones, en la extrapolación anterior se utiliza una técnica promedio para producir formulas con un error de truncamiento de orden superior. Aquí utilizaremos este hecho para aproximar integrales definidas. Lo primero que mostraremos es que este método genera una poligonal, cuyos elementos son la mejor aproximación de la integral, esta poligonal la mostraremos a continuación: R R R.1. R R R.1.. R R R R R R R R... R n.1 n. n. n.4 n. n Donde la primer columna es la regla del trapecio compuesta que se halla de la La regla compuesta del trapecio para aproximar el valor de la integral es: b a m 1 h b a f x dx f a f b f x h f ξ j= 1 1 ( ). = ( ) + ( ) +. ( j).. ''( ) Donde b a a b h x a h m m m m 1,, j, 1 1,,..., n < ξ < = = + j = = n = ahora definimos: Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 7

28 h1 b a R1.1 = [ f ( a) + f ( b) ] = [ f ( a) + f ( b) ] h b a b a 1 R = f a + f b + f a+ h = 4 f a + f b + f a+ R h f a h = R.1 = { R.1+ h[ f ( a+ h ) + f ( a+ h )]}. [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) [. ( )] k 1 Rk.1 = Rk 1,1 + hk 1 f ( a+ (i 1). hk ) i= 1 b a para k =,... n; hk = observe que el numero de divisiones es k-1 k 1 R 1.1 R.1 R.1 Generalizando tenemos: R R R k, j 1 k 1, j 1 k, j = Rk, j 1+ j Los resultados generados por esta formula se dan en la siguiente tabla: R R R.1. R R R.1.. R R R R R R R R... R n.1 n. n. n.4 n. n Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 8

29 Este método tiene la característica adicional que permite calcular íntegramente un nuevo reglon de la tabla con solo hacer una aplicación mas de la regla compuesta del trapecio y luego promediar los valores previamente calculados para obtener elementos sucesivos del reglon. La integración de Romberg aplicada a f en [, ] a b, se basa en la suposición de que la regla compuesta del trapecio tiene un termino de error que podemos expresar en la forma b i i k+ f ( x). dx Rk 1= Kihk = K1hk + Kihk ; es decir debemos tener f C [ a, b] a i= 1 i= poder generar el K- esimo renglón. para Ejemplo Aproximar el valor de la siguiente integral utilizando la regla de Simpson; con Una aproximacion de cinco cifras significativas Solucion Para obtener las cinco cifras significativas; Utilizamos el software Maple, obtenemos la siguiente tabla: La tabla anterior muestra una convergencia mas rapida que Riemann y Simpson; pero no mas que Simpson (/8), comprobando asi que el metodo se Simpson (/8) tiene una mejor convergencia. Ejemplo 4 Ahora veremos un ejemplo el cual aplicara los tres metodos vistos. Consideremos el problema de Cauchy asociado a la ecuación diferencial [1] = Con condición inicial [] = 1 Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 9

30 A esta ecuación es posible aplicar las variables separables y así llegar a [] = + 1 = + 1 Sin embargo, la integral de la parte derecha en [] no es posible resolverla usando TFC (teorema fundamental del calculo), ya que la anti derivada de la función no existe, asi, lo único que podemos hacer es aproximar la función para algunos valores particulares de, en este parcial aproximaremos el valor de por las ideas expuestas en clase. De la ecuación [] sabemos que [4] = + 1 Aproximaremos el valor de la integral por el método del trapecio para hallar una aproximación de la integral [4] con un error no mayor a 10, para esto analizaremos el erroer del metodo del trapecio, recordemos que el error en el metodo del trapecio es [5] 1 primero hallemos un valor admisible para, ya que asi acotando la expresion en [6] tenemos que asi, [6] = 4 1 [7] = 140 [8] 1 si queremos que este error sea menor que 10 debemos tomar = 67 asi aplicando trapecio obtenemos la aproximación es =0, I. Aproximaremos el valor de la integral por el método de Simpson para hallar una aproximación de la integral [4] con un error no mayor a 10, para esto una cota del error es <, y asi tomaremos =, con lo cual la aproximación es = II. Aproximaremos el valor de la integral por el método Romberg para hallar una aproximación de la integral [4] con cifras significativas, para esto debemos truncar la sucesión, en =, ya que para este se tiene un = el cual es menor que la tolerancia dada por = y asi = Ejemplo 5 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) ) Calcule R 11, R 1, R, R 1, R, R por Romberg para 4 x dx INTEGRACION NUMERICA 1. Considere las siguientes funciones las cuales no poseen una anti derivada elemental 0 = = = Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 0

31 = cos = = = 1 + cos = a) Calcule: b) Calcule: Nota: Si no está definida mire si la discontinuidad es removible. c) Halle con un error no mayor a 10 por trapecio y Simpson d) Repita el punto anterior para el método de Romberg con 5 cifras significativas. Losada H. Solón, Morales P. Jorge, Ruiz P. Fabian. Página 1