TC3001: Optimización y Programación Lineal Examen Final Profr. Eduardo Uresti, Agosto-Diciembre 2008 Matrícula: Nombre: 1. Suponga que se tiene disponible la siguiente información salida de LINDO a un problema de maximización al cual se le ha pedido realice el análisis de sensibilidad. LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 280.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.000000 0.000000 X2 0.000000 5.000000 X3 8.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 24.000000 0.000000 3) 0.000000 10.000000 4) 0.000000 10.000000 5) 5.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 60.000000 20.00000 4.000000 X2 30.000000 5.000000 INFINITY X3 20.000000 2.500000 5.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 48.000000 INFINITY 24.000000 3 20.000000 4.000000 4.000000 4 8.000000 2.000000 1.333333 5 5.000000 INFINITY 5.000000 a) Qué coeficiente tiene X2 en la función objetivo y arriba de qué valor hace que en la solución optima tenga a X2 como variable básica? Tiene 30 y arriba de 35 aparece X2 en la base. b) En la función objetivo, suponga que el coeficiente X2 se incrementa en 3 y que el coeficiente de X3 pasa a ser 20.9, habrá un cambio en las variables básicas? Escoja una opción a. La regla aplica: es seguro que no. b. La regla no aplica: se debería correr el modelo. c. La regla aplica: sí habrá cambio. a. es la respuesta c) Suponga que el lado derecho de la restricción 1 (row 2) se disminuye en 10 y el lado derecho de la restricción 4 (row 5) pasa a ser 9, habrá algún cambio en las variables básicas? No habrá cambio. 2. Una empresa que fabrica componentes de computadoras tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 900 y 1400 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costos de transporte, en dólares por pieza, son los que aparecen en la tabla siguiente. Cómo debe organizarse el transporte para que el costo sea mínimo?
TC3001, Examen final agosto-diciembre 08 2 Fábrica Tienda A Tienda B Tienda C I 3 7 1 II 2 2 6 Variables de decisión x ij son las unidades producidas enviadas de la fábrica i (i = 1 para fábrica I y i = 2 para la fábrica II) a la ciudad j ( j = 1 para la ciudad A, j = 2 para la ciudad B, y j = 3 para la ciudad C) Función objetivo Minimizar los costos de trasporte: 2 3 Minimizar c ij x ij Restricciones i=1 j=1 Cubrir las demandas: No exceder las capacidades: Codificación en LINGO model: sets: m /1..2/:s; n /1..3/:d; links (m,n): x, c; endsets data: s = 900, 1400; d = 1000, 700, 600; c = 3, 7, 1, 3, 3, 6; enddata min = @sum(links:c*x); @for(m(i): @sum(n(j):x(i,j)) <= s(i) ); @for(n(j): @sum(m(i):x(i,j)) >= d(j) ); end Resultado de LINGO x 11 + x 21 1000 x 12 + x 22 700 x 13 + x 23 600 x 11 + x 12 + x 13 900 x 21 + x 22 + x 23 1400 Global optimal solution found. Objective value: 5700.000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X( 1, 1) 300.0000 0.000000 X( 1, 2) 0.000000 4.000000 X( 1, 3) 600.0000 0.000000 X( 2, 1) 700.0000 0.000000 X( 2, 2) 700.0000 0.000000 X( 2, 3) 0.000000 5.000000
TC3001, Examen final agosto-diciembre 08 3 Conclusión El plan de mínimo costo de envio ($5,700 dólares) es: Enviar de I a A 300 unidades Enviar de I a C 600 unidades Enviar de II a A 700 unidades Enviar de II a B 700 unidades 3. Armadillo Auto considera la fabricación de 3 tipos de autos: Compacto, mediano, y grande. En la siguiente tabla se muestran los recursos requeridos y las ganancias por cada tipo de auto. En la actualidad se cuenta con 700 toneladas de acero y 70,000 horas de trabajo. Para que la producción de un tipo de auto sea factible, hay que fabricar al menos 100 automóviles. Formule un modelo PLE para maximizar la ganancia de Armadillo Auto. COMPACTO MEDIANO GRANDE Acero requerido 1.5 ton 3 ton 5 ton Trabajo requerido 30 horas 25 horas 40 horas Ganancia obtenida 2,000 dólares 3,000 dólares 4,000 dólares Variables de decisión x 1 = número de autos compactos a fabricar x 2 = número de autos medianos a fabricar x 3 = número de autos grandes a fabricar Función objetivo Maximizar la ganancia: Restricciones Maximizar z = 2000 x 1 + 3000 x2 + 4000 x 3 Recurso: Acero Recurso: Horas de trabajo 1.5 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 700 30 x 1 + 25 x 2 + 40 x 3 70000 Condiciones de fabricación x 1 = 0 ó x 1 100 x 1 M y 1 y 100 x 1 M (1 y 1 ) x 2 = 0 ó x 2 100 x 2 M y 2 y 100 x 2 M (1 y 2 ) x 3 = 0 ó x 3 100 x 3 M y 3 y 100 x 3 M (1 y 3 ) Codificación en LINGO model: sets: n /1..3/:x,y,g,a,h; endsets data:! Ganancias por cada auto; g = 2000, 3000, 4000;! Acero requerido por auto; a = 1.5, 3, 7;
TC3001, Examen final agosto-diciembre 08 4! Horas de trabajo requeridas por auto; h = 30, 25, 40; enddata max = @sum(n:g*x); @sum(n:a*x) <= 700; @sum(n:h*x) <= 70000; @for(n(i): x(i) <= 10000*y(i); 100-x(i) <= 10000*(1-y(i)); ); @for(n(i):@gin(x(i));); @for(n(i):@bin(y(i));); end Salida de LINGO Global optimal solution found. Objective value: 932000.0 Objective bound: 932000.0 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X( 1) 466.0000-2000.000 X( 2) 0.000000-3000.000 X( 3) 0.000000-4000.000 Conclusión El plan de máxima ganancia consiste en producir 466 autos chicos, y se obtendrá una ganancia de $932,000 dólares. 4. Exom Gas produce dos tipos de gasolina (G1 y G2) a partir de dos tipos de petróleo (P1 y P2). Cada galón de G1 debe contener al menos 50 % de P1, y cada galón de G2 debe contener al menos 60 % de P1. Cada galón de G1 se vende 12 centavos de G2 a 14 centavos. Actualmente se disponen 500 galones de P1 y 1,000 galones de P2. Se pueden comprar 1,500 galones extra de P1 a los siguientes precios: los primeros 500 a 25 centavos el galón, los siguientes 500 a 20 centavos el galón, y los últimos 500 a 18 centavos el galón. Modele y resuelva mediante PLE la situación de Exom Gas para maximizar sus ganancias. 5. Para la función: f(x, y) = 18 x 3 x 2 14 y 9 x y x 2 y 2 y 2 x y 2 indique en orden el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto en la región: {(x, y) 3 x 1, 4 y 2} Respuesta: El máximo valor de f(x, y) es 27 (valor que alcanza en el punto P ( 3, 4)) y el mímimo es 23 (valor que alcanza en el punto P ( 3, 2)) Los puntos críticos de f(x, y) en R: (x = 2, y = 3) con evaluación 24. (x = 2, y = 2) con evaluación 24. (x = 1, y = 3) con evaluación 24. (x = 1.666666667, y = 2.666666667) con evaluación 24.037
TC3001, Examen final agosto-diciembre 08 5 Comportamiento de f(x, y) en las caras de R: Cara x = 3: f x= 3 (y) tiene un crítico para y = 2 y el punto evalua en 23. Cara x = 1: f x= 1 (y) tiene un crítico para y = 3 y el punto evalua en 24. Cara y = 4: f y= 4 (x) tiene un crítico para x = 1 y el punto evalua en 23. Cara y = 2: f y= 2 (x) tiene un crítico para x = 2 y el punto evalua en 24. Extremos de la región (x = 3, y = 4) con evaluación 27. (x = 3, y = 2) con evaluación 23. (x = 1, y = 4) con evaluación 23. (x = 1, y = 2) con evaluación 23. 6. Respecto a la función sujeta a la condición complete el análisis de los puntos críticos: a.- P ( x = 1 + 2, y = 2 + 2, z = 2 + 2 ) b.- Q ( x = 1 2, y = 2 2, z = 2 2 ) escogiendo una opción en la lista: 1) Corresponde a un mínimo relativo 2) Corresponde a un máximo relativo 3) Corresponde a un punto silla 4) El criterio no da información del comportamiento Respuesta: a.- corresponde a 2 y b.- corresponde a 1. De acuerdo a la definición de 1 y 2 se tiene que: f(x, y, z) = 4 x + 2 y + 2 x y + 2 z + 2 x z + y z + x y z g(x, y, z) = 2 + 4 x + 3 y + x y + 3 z + x z + y z = 0 Para P : 1 12.0 y 1 11.3. Por tanto, el criterio indica que P es un máximo relativo. Para Q: 1 12.0 y 1 11.3. Por tanto, el criterio indica que Q es un mínimo relativo. 7. Se disponen semanalmente de un total de 150 horas de mano de obra a 15 dólares la hora. Se pueden conseguir 150 horas de mano de obra adicionales a 25 dólares la hora. Se puede obtener capital en cantidades ilimitadas a un costo de 5 dólares la unidad de capital. Si se disponen de K unidades de capital y de L horas de mano de obra, entonces se pueden producir L 1/2 K 1/3 máquinas. Se vende cada máquina a 250 dólares. Cómo puede la empresa maximizar sus ganancias? Indique el total de horas de mano de obra a utilizar, el total de unidades de capital, y el total de máquinas a producir. Variables de decisión x 1 = número de horas de manos de obra de 15 dólares la hora usadas. x 2 = número de horas adicionales usadas. y 1 = unidades de capital usadas.
TC3001, Examen final agosto-diciembre 08 6 x 3 = total de horas de mano de obra usadas. Función objetivo Maximizar la ganancia: Restricciones Max z = 250 x 3 1/3 y 1 1/2 15 x 1 25 x 2 5 y 1 x 1 150 x 2 150 x 1 + x 2 = x 3 Si x 2 > 0, entonces x 1 150: x 1 + 150 M z 1 y x 2 M (1 z 1 )