TALLER N 5 DE ESTADÍSTICA

UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL MAULE FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN TALLER N 5 DE ESTADÍSTICA Integrante 1 : Victor Córdova Cornejo (heibubu@hotmail.com) Integrante 2 : Rodrigo Gutiérrez Aguilar (ayudante.pmc@gmail.com) Carrera : Pedagogía en Matemática y Computación Profesor de Cátedra : Marcelo Rodríguez Fecha : 02/01/2012

Universidad Católica Del Maule Facultad de Ciencias Básicas Pedagogía en Matemática Y Computación Estadística I Taller 5 - Distribuciones de Probabilidad 04 de Enero del 2012. 1. Distribución de Probabilidad Binomial: a) Mediante estudios recientes se ha determinado que la probabilidad de morir por causa de cierta vacuna contra la gripe es de 0,00002. Si se administra la vacuna a 100 mil personas y se supone que éstas constituyen un conjunto independientes de ensayos, cuál es la probabilidad de que mueran no más de dos personas a causa de la vacuna? Desarrollo: * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS -p= sera nuestro exito de que las personas mueran a causa de la vacuna contra la gripe (p=0,00002) -q= nuestro fracaso. La probabilidad de que mueran no más de dos personas a causa de la vacuna (q=0,99998) -n=son las 100 mil eventos, los cuales consisten en la aplicación de la vacuna, que constituyen un conjunto de ensayos independientes de manera tal que la probabilidad de de morir por causa de cierta vacuna contra la gripe es de 0,00002 entre ensayos. -x=el número de personas muertas a causa de la vacuna contra la gripe que se encuentran entre las 100 mil persona que contituyen nuestra población * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -En este caso se solicita P (X 4)

* PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X x) = F (x; n, p) = x i=0 n! i!(n i)! (p)x (q) n i en este caso sería de la siguiente manera P (X 2) = 2 x=0 100000! x!(100000 x)! (0, 00002)x (0, 99998) 100000 x P (X 2) = 100000! 0!(100000)! (0, 00002)0 (0, 99998) 100000 + 100000! 1!(99999)! (0, 00002)1 (0, 99998) 99999 + 100000! 2!(99998)! (0, 00002)2 (0, 99998) 99998 P (X 2) = (0, 99998) 100000 + 100000(0, 00002)(0, 99998) 99999 + (100000)(99999) 2 (0, 00002) 2 (0, 99998) 99998 = 0, 135332576 + 0, 270670566 + 0, 270673273 P (X 2) = 0,6767 * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Contextualizando se puede decir que la probabilidad de que mueran no más de dos personas a causa de la vacuna es de el 67,67 % b) Las líneas telefónicas del sistema de reservación de una aerolínea, están ocupadas 40 % del tiempo. Suponga que los eventos donde las líneas estan ocupadas en llamadas sucesivas son independientes. Suponga que se hacen 10 llamadas telefónicas al sistema de reservación. 1) Cuál es la probabilidad de que, al llamar exactamente tres veces, las líneas estén ocupadas? Desarrollo: P (X = 3) = 10! (3!)(7!) (0, 4)3 (0, 6) 7

P (X = 3) = 120(0,064)(0,0279936) P (X = 3) 0,214 Contextualizando podemos decir que la probabilidad de que, al llamar exactamente tres veces, las líneas estén ocupadas es de un 21,4 % aproximadamente. 2) Cuál es la probabilidad de que al menos en una de las llamadas, las líneas no estén ocupadas? Desarrollo: P (X 1) = como P (X 1) = 1 P (X < 1) y 10 x=1 10! x!(10 x)! (0, 6)x (0, 4) 10 x P (X < 1) = P (X = 0) = (0, 4) 10 luego P (X 1) = 1 (0, 4) 10 P (X 1) 0, 999895 Contextualizando podemos decir que la probabilidad de que al menos en una de las llamadas, las líneas no estén ocupadas es de un 99,98 % aproximadamente. 3) Cuál es el número esperado de llamadas en las que todas las lineas estan ocupadas? Desarrollo: La media de la Distribución Binomial esta dado por : E(X) = np donde n es la cantidad de ensayos independiendies y p es la probabilidad de éxito que permanece constante para cada ensayo. En nuestro problema se tiene que n = 10 y p = 04, luego E(X) = 10 0, 4 E(X) = 4

Así el número esperado de llamadas en las que todas las lineas estan ocupadas son 4. c) El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservación sabe, por experiencia, que el 15 % de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservaciones pero sólo dispone de 20 mesas, cual es la probabilidad de que todas las personas asistan al restaurante se les asigne una mesa? Desarrollo: * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS -p= sera nuestro exito de que las personas asistan al restaurante (p=0,85) -q= nuestro fracaso, de que las personas no asistan al restaurante (q=0,15) -n=son las 25 resevaciones que brinda el restaurante -x=el número total de personas que se espera que asistan y que se le asigne una mesa. * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -En este caso se solicita P (X 20) * PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X x) = F (x; n, p) = x i=0 n! i!(n i)! (p)x (q) n i en este caso sería de la siguiente manera como se tiene que P (X 20) = 20 x=0 P (X 20) = 1 25! x!(25 x)! (0, 85)x (0, 15) 25 x P (X > 20) = 1 P (X 20) P (X 20) = 1 P (X > 20) 25 x=21 25! x!(25 x)! (0, 85)x (0, 15) 25 x

25 x=21 Así 25! x!(25 x)! (0, 85)x (0, 15) 25 x = 25! 21!(4)! (0, 85)21 (0, 15) 4 + 25! 22!(3)! (0, 85)22 (0, 15) 3 25 x=21 + 25! 23!(2)! (0, 85)23 (0, 15) 2 + 25! 24!(1)! (0, 85)24 (0, 15) 1 + 25! 25!(0)! (0, 85)25 (0, 15) 0 25! x!(25 x)! (0, 85)x (0, 15) 25 x = 0, 21098569 + 0, 217379196 + 0, 160671579 25 x=21 +0, 07587269 + 0, 017197809 25! x!(25 x)! (0, 85)x (0, 15) 25 x = 0, 682106964 P (X 20) = 1 0, 682106964 P (X 20) = 0, 317893036 * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Contextualizando se puede decir que la probabilidad de quetodas las personas asistan al restaurante se les asigne una mesa es de un 32 % aproximadamente. 2. Distribución Geométrica: a) La probabilidad de un alineamiento óptico exitoso en el emsamblado de un producto de almacenamiento óptico de datos es 0,8. Suponga que los ensayos son independientes. 1) Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera exactamente 4 ensayos? Desarrollo: * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS -p= La probabilidad de que se realize un alineamiento óptico de manera exitosa en el emsamblado de un producto de almacenamiento óptico de datos (0,8) -q=la probabilidad de que al realizar un alineamiento óptico en el emsamblado de un producto de almacenamiento óptico de datos fracase (0,2) * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -En este caso se solicita P (X = 4)

* PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X = x) = q x 1 p en este caso sería de la siguiente manera P (X = 4) = 0, 2 3 0, 8 P (X = 4) = 0, 008 0, 8 P (X = 4) = 0, 0064 * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Contextualizando se puede decir que la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera exactamente 4 ensayos es del 0,64 % 2) Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera como máximo cuatro ensayos? * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS -p= La probabilidad de que se realize un alineamiento óptico de manera exitosa en el emsamblado de un producto de almacenamiento óptico de datos (0,8) -q=la probabilidad de que al realizar un alineamiento óptico en el emsamblado de un producto de almacenamiento óptico de datos fracase (0,2). * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -En este caso se solicita P (X 4) * PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X x) = (q) x 1 (p) xɛr x en este caso sería de la siguiente manera 4 P (x 4) = (0, 2) x 1 (0, 8) x=1 P (x 4) = 0, 8 + 0, 2 0, 8 + 0, 2 2 0, 8 + 0, 2 3 0, 8 P (x 4) = 0, 9984 * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Contextualizando se puede decir que la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera como máximo cuatro ensayos es de un 0,64 %

3) Cuál es la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera al menos cuatro ensayos? * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS -p= La probabilidad de que se realize un alineamiento óptico de manera exitosa en el emsamblado de un producto de almacenamiento óptico de datos (0,8) -q=la probabilidad de que al realizar un alineamiento óptico en el emsamblado de un producto de almacenamiento óptico de datos fracase (0,2). * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -En este caso se solicita P (X 4), que es igual a preguntarse por 1 P (X < 4). * PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X x) = xɛr x (q) x 1 (p) en este caso sería de la siguiente manera 3 P (x 4) = 1 (0, 2) x 1 (0, 8) P (x 4) = * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Contextualizando se puede decir que la probabilidad de que el primer alineamiento exitoso requiera exactamente 4 ensayos es del 0,64 % b) La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para una licencia de piloto privado es 0,7. Encuentre la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen 1) en el tercer intento Desarrollo: x=1 * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS -p= LLa probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para una licencia de piloto privado (p=0,7) -q=la probabilidad de que un estudiante para piloto no apruebe el examen escrito para una licencia de piloto privado (q=0,3).

* PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -En este caso se solicita P (X = 3) * PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X x) = xɛr x (q) x 1 (p) en este caso sería de la siguiente manera P (x = 3) = (0, 3) 2 (0, 7) P (x = 3) = 0, 09 0, 7 P (x = 3) = 0, 063 * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Contextualizando se puede decir que la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen en el tercer intento es de un 0,67 % 2) antes del cuarto intento. * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS -p= LLa probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para una licencia de piloto privado (p=0,7) -q=la probabilidad de que un estudiante para piloto no apruebe el examen escrito para una licencia de piloto privado (q=0,3). * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -En este caso se solicita P (X < 4) * PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X x) = xɛr x (q) x 1 (p) en este caso sería de la siguiente manera 3 P (x < 4) = (0, 3) x 1 (0, 7) x=1 P (x < 4) = 0, 7 + 0, 3 0, 7 + 0, 3 2 0, 7 P (x < 4) = 0, 973

* PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Contextualizando se puede decir que la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen antes del cuarto intento es de un 97,3 % c) Cuando se graba cierto anuncio de televisión, la probabilidad es de 0,3 de que cierto actor diga sus líneas de corrido en una toma cualquiera. Cuál es la probabilidad de que recite sus líneas de corrido por primera vez en sexta toma? Desarrollo: * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS -p= La probabilidad de que cierto actor diga sus líneas de corrido en una toma cualquiera (p=0,3) -q=la probabilidad de que cierto actor no diga sus líneas de corrido en una toma cualquiera (q=0,7). * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -En este caso se solicita P (X = 6) * PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X = x) = (q) x 1 (p) en este caso sería de la siguiente manera P (x = 6) = (0, 7) 5 (0, 3) P (x = 6) = 0, 16807 0, 3 P (x = 6) = 0, 050521 * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Contextualizando se puede decir que l la probabilidad de que recite sus líneas de corrido por primera vez en sexta toma es de un 0,05 % aproximadamente.

3. Distribución de probabilidad Hipergeométrica a) Considerece un fabricante de automóviles que compra los motores a una compañía donde se fabrican bajo estrictas superviciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote, consiste en seleccionar de manera aleatoria y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma lo rechaza. Si el lote contiene 2 motores con serios defectos, cuál es la probabilidad que sea aceptada? Desarrollo * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS -N=número total de lotes (40) -n=muestra aleatoria (8) -k= nuestro éxito, en este caso el número de lotes defectuosos (2) * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -En este caso se solicita P (X = 0) * PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X = x) = ( ) ( ) k N k x n x ( ) N n en este caso sería de la siguiente manera P (X = 0) = ( ) ( ) 2 40 2 0 8 0 ( ) 40 8 = ( ) ( ) 2 38 0 8 ( ) 40 8 aplicando fórmula de factorial se llega a que P (X = 0) = 1, 48903492 76904685

P (X = 0) = 0, 6359 * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Contextualizando se puede decir que la probabilidad de que el lote de motores sea aceptada es de 0,6359 ó 63,59 %

b) Supóngase que se tienen 50 representantes de cierto estado, a una convención política nacional, la cual 30 apoyan al candidato A y 20 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente cinco representantes, cuál es la probabilidad de que, entre estos cinco, por lo menos dos apoyen al candidato A? Desarrollo * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS -N=número total de representantes (50) -n=muestra aleatoria (5) -k= nuestro éxito (30) * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -En este caso se solicita la variable aleatoria que representa el número de personas de la muestra que apoyan a A, en este caso sería P (X 2) = 1 P (X 1) = 1 [P (X = 1) + P (X = 0)] * PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X = x) = ( ) ( ) k N k x n x ( ) N n en este caso sería de la siguiente manera ( ) ( ) 30 50 30 0 5 0 P (X = 0) = ( ) = 50 5 aplicando fórmula de combinatoria se llega a que ( ) ( ) 30 20 0 5 ( ) 50 5 además P (X = 0) = 15504 = 0, 0007317 2118760 P (X = 1) = ( ) ( ) 30 50 30 1 5 1 ( ) = 50 5 ( ) ( ) 30 20 1 4 ( ) 50 5

aplicando fórmula de combinatoria se llega a que P (X = 1) = 145350 = 0, 6860 211876 luego que tenemos P (X = 1), P (X = 0), calculamos P (X 2) = 1 P (X 1) = 1 [P (X = 1)+P (X = 0)] = 1 [0, 6860+0, 0007317] = 0, 3132 * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Contextualizando se puede decir que la probabilidad de que al menos 2 candidatos apoyan al candidato A es 0,3132 aprox ó 31,32 % c) Si en una empresa se presentan para cubrir dos vacantes 13 aspirantes de los cuales 5 son hombres y 8 son mujeres, calcular el número de hombres contratados. * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS N=número total de aspirantes (13) -n=muestra aleatoria (2) -k= nuestro éxito (5) * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -Número de hombres contratados. Para ello existen tres sucesos, lo cual lo llamaremos P (E 0 ) se contratan 0 hombres, P (E 1 ) se contrata 1 hombre, P (E 2 ) se contratan 2 hombres. * PASO III: APLICAR FÓRMULA - En este caso sería P (X = x) = ( ) ( ) k N k x n x ( ) N n P (X = 0) = P (X = 1) = ( ) ( ) 5 8 0 2 ( ) = 28 = 0, 3588 13 78 2 ( ) ( ) 5 8 1 1 ( ) = 40 = 0, 5128 13 78 2

( ) ( ) 5 8 2 0 P (X = 2) = ( ) = 10 13 78 2 = 0, 1282 * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Respecto a P (E 0 ), la probabilidad que sean contratados 0 hombres es de 35,88 % Respecto a P (E 1 ), la probabilidad que sea contratado 1 hombre es de 51,28 % Respecto a P (E 2 ), la probabilidad que sean contratados 2 hombres es de 12,82 %

4. Distribución de probabilidad de Poisson a) Suponga que el número de llamadas que llega a una central es de 0,5 por minuto en promedio, halle la probabilidad de que: 1) En un minuto no lleguen llamadas. 2) En un minuto lleguen más de 3 llamadas. 3) En 5 minutos lleguen más de 2 llamadas. Desarrollo * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS Sea λ=0,5 el promedio de llamadas por minuto * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE P (X = 0; λ = 0, 5) * PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X = x) = e λ λ x x! En este caso sería P (X = 0) = e 0,5 0, 5 0 0! luego aplicando un cálculo trivial, ya que 0! = 1 se tiene que P (X = 0) = 0, 6065... * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO La probabilidad de que en un minuto no lleguen llamadas es de 60,65 % Desarrollo * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS Sea λ=0,5 el promedio de llamadas por minuto * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE P (X > 3; λ = 0, 5) = 1 P (X 3) P (X = 1) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)]

* PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X = x) = e λ λ x x! luego calculamos e 0,5 0, 5 0 P (X = 0) = 0! e 0,5 0, 5 1 P (X = 1) = 1! e 0,5 0, 5 2 P (X = 2) = 2! e 0,5 0, 5 3 P (X = 3) = 3! = 0,6065 = 0,3032 = 0,0758 = 0,0126 P (X > 3) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] P (X > 3) = 0, 0019 * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO Existe un 0,19 % de que en un minuto lleguen más de 3 llamadas Desarrollo * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS Sea λ=2,5 el promedio de llamadas por 5 minutos, ya que 5 0,5=2,5 * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE P (X > 2; λ = 2, 5) = 1 P (X 2) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)] * PASO III: APLICAR FÓRMULA P (X = x) = e λ λ x x! En este caso sería P (X = 0) = e 2,5 2, 5 0 0! = = 0, 082... e 2,5 2, 5 1 P (X = 1) = = = 0, 2052... 1!

e 2,5 2, 5 2 P (X = 2) = = = 0, 2565 2! luego calculamos P (X > 2) = 1 [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)] P (X > 2) = 0, 4563... * PASO IV: INTERPRETAR RESULTADO La probabilidad de que en 5 minutos lleguen más de 2 llamadas es de 45,63 % aprox.

b) En una clínica el promedio de atención es 16 pacientes por cada 4 horas, encuentre la probabilidad de que: 1) En 30 minutos se atiendan menos de 3 personas * PASO I: IDENTIFICAR LOS DATOS λ=16 pacientes en 4 horas λ= 4 pacientes por hora λ=2 pacientes por media hora * PASO II: IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -La probabilidad que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas. para ello debemos calcular P (X < 3) = P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) * PASO III : APLICAR FÓRMULA P (X = x) = e λ λ x, aplicando lo que se dijo en B x! P (X = 0) = e 2 2 0 = 0,1353 0! P (X = 1) = e 2 2 1 = 0,2707 1! P (X = 2) = e 2 2 2 = 0,2707 2! luego, P (X < 3) = P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) P (X < 3) = 0, 6767 * PASO IV : INTERPRETAR RESULTADO -La probabilidad de que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas es 67,67 % 2) en 180 minutos se atiendan 12 pacientes. * PASO I : IDENTIFICAR LOS DATOS λ=16 pacientes en 4 horas λ= 4 pacientes por hora λ=12 pacientes por cada 3 hora * PASO II : IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE -La probabilidad que se atiendan 12 personas en 3 horas. para ello debemos

calcular P (X = 12) * PASO III : APLICAR FÓRMULA aplicando lo que se dijo en B P (X = x) = e λ λ x x! P (X = 12) = e 12 12 1 2 12! = 0,1144 luego, P (X = 3) = 0, 1144 * PASO IV : INTERPRETAR RESULTADO -La probabilidad de que en 180 minutos se atiendan 12 personas es 11,44 %

c) Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, cuáles son las probabilidades de que reciba: 1) cuatro cheques sin fondo en un día dado. * PASO I : IDENTIFICAR LOS DATOS λ=6 cheques sin fondo por día * PASO II : IDENTIFICAR LO QUE SE PIDE - Cuatro cheques sin fondo en un día cualquiera, en este caso sería P (X = 4) * PASO III : APLICAR FÓRMULA aplicando lo que se dijo en B P (X = x) = e λ λ x x! P (X = 4) = e 4 6 4 4! = 0, 9890 * PASO IV : INTERPRETAR RESULTADO - La probabilidad de que se reciban 4 cheques sin fondo en un día cualquiera es 98,90 % aprox. 2) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos. * PASO I : IDENTIFICAR LOS DATOS λ=6 cheques sin fondo por día λ = 6 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos. * PASO II : IDENTIFICAR LOS DATOS - 10 cheques sin fondo en cualquiera de dos días consecutivos, en este caso sería P (X = 10) * PASO III : APLICAR FÓRMULA P (X = x) = e λ λ x x!

aplicando lo que se dijo en B P (X = 10) = e 12 12 10 10! = 0, 1048... * PASO IV INTERPRETAR RESULTADO - La probabilidad de que se reciban 10 cheques sin fondo en un 2 días consecutivos es 10,48 %

5. Distribución de Probabilidad Normal: a) Supóngase que la demanda mensual de cierto producto se encuentra aproximada por una variable aleatoria normal con media de 200 y desviación estándar igual a 40 unidades. Qué tan grande debe ser el inventario disponible a principio de un mes para que la probabilidad de que la existencia se agote no sea mayor de 0,05? Desarrollo: Sea X la demanda mensual, entonces X es N(200,40). Lo que se desea obtener es el valor del cuantil x 0,95 para el nivel de inventario a principio del mes, de manera tal que la probabilidad de que la demanda exceda a x 0,95 (existencia agotada) no sea mayor de 0,05. Esto es: P (X > x 0,95 ) = 0, 05 o P (X x 0,95 ) = 0, 95. De lo anterior se sigue que: P [Z (x 0,95 200)/40] = 0, 95. o P (Z z 0,95 ) = F z (z 0,95 ; 0, 1) = 0, 95 donde z 0,95 = (x 0,95 200)/40 es el valor cuantil correspondiente a la variable aleatoria normal estándar. Para obtener z 0,95 de la tabla D, primero se busca la probabilidad más cercana a 0,95. Una vez se encuentra este valor, se toman los correspondientes valores del renglón y la columna y se interpola para encontrar el valor deseado de z 0,95.Por ejemplo, z 0,95 tiene un valor de 265,8. Esto significa que el inventario a principio de cada mes no debe ser menor de 266 unidades para que la probabilidad de agotar las exitencias no sea mayor de 0,05. b) Un investigador científico reporta que unos ratones vivirán en un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen drásticamente y después se enriquecen con vitaminas y

proteínas. Suponga que las vidas de tales ratones se destribuyen normalmente con una desviación estándar de 6,3 meses, encuentre la probabilidad de que un ratón dado viva: 1) más de 32 meses; Desarrollo: Debemos calcular la probabilidad P (X > 32) = 1 P (X 32) utlizando la siguiente transformación Z = X µ, donde µ = 40,σ = 6, 3 y X = 32 en σ nuestro ejercicio. Así Z = 1, 27 Luego P (Z > 1, 27) = 1 P (Z 1, 27), obserbado P (Z 1, 27) en la tabla de distribucion normal se tiene que P (Z 1, 27) = 0, 102042, de este modo lo que implica que P (Z > 1, 27) = 0, 897958 P (X > 32) = 0, 897958 Contextualizando podemos decir que la probabilidad de que un ratón viva mas e 32 meses bajo las condiciones descritas en el problema es de 90 % aproximadamente. 2) menos de 28 meses; Desarrollo: Debemos calcular la probabilidad P (X < 28) utlizando la siguiente transformación Z = X µ, donde µ = 40,σ = 6, 3 y X = 28 en σ nuestro ejercicio. Así Z = 1, 27 Luego P (Z > 1, 27) = 1 P (Z 1, 27), obserbado P (Z 1, 27) en la tabla de distribucion normal se tiene que P (Z > 1, 905) = 0, 028717, lo que implica que P (X > 32) = 0, 028717 Contextualizando podemos decir que la probabilidad de que un ratón viva menos de 28 meses bajo las condiciones descritas en el problema es de 2,9 % aproximadamente.

3) entre 37 y 49 meses. Desarrollo: Debemos calcular la probabilidad P (37 < X < 49) utlizando la siguiente transformación Z = X µ σ, donde µ = 40,σ = 6, 3 y X 2 = 37, X 2 = 49 en nuestro ejercicio. Luego Z 1 = 0, 48, Z 2 = 1, 43 Luego P ( 048 < Z < 1, 43) = P (Z < 1, 43) P (Z < 0, 48), obserbado P (Z < 0, 48) = 0, 333598 y P (Z < 1, 43) = 0, 923641 en la tabla de distribucion normal se tiene que P ( 048 < Z < 1, 43) = 0, 923641 0, 333598, de este modo lo que implica que P ( 048 < Z < 1, 43) = 0, 590043 P (37 < X < 49) = 0, 590043 Contextualizando podemos decir que la probabilidad de que un ratón viva entre 37 y 49 meses bajo las condiciones descritas en el problema es de 59 % aproximadamente. c) La Apex Taxi Company ha encontrado que el costo de los viajes se distribuye normalmente con una µ = 4,30 dolares y σ = 1,25 dólares. Si el chofer acuda a una llamada escogida al azar, cuál es la probabilidad de que su costo sea menor de 3,05 dólares? Desarrollo: Debemos calcular la probabilidad P (X < 3,05) utlizando la siguiente transformación Z = X µ, donde µ = 4,30,σ = 1,25 y X = 3,05 en σ nuestro ejercicio. Luego Z = 1 obserbado que P (Z < 1) = 0, 158655, en la tabla de distribucion normal se tiene que P (Z < 3,05) = 0, 158655, lo que implica que P (X < 3,05) = 0, 158655

Contextualizando podemos decir que la probabilidad de que su costo sea menor de 3,05 dólares es de 16 % aproximadamente.

BIBLIOGRÁFIA 1. Canavos, G (1988). PROBABILIDAD Y ESTADÍTICA Aplicaciones y métodos. : McGRAW- HILL. Ejercicios de Distribución de probabilidad binomial * Ejercicio a), 4,21 página 124. Capítulo Cuatro (Algunas distribuciones discretas de probabilidad). * Ejercicio c), 4.12. página 123. Capítulo Cuatro (Algunas distribuciones discretas de probabilidad). Ejercicios de Distribución de probabilidad Hipergeométrica * Ejercicio a), 4.8 página 111. Cap itulo Cuatro(Algunas distribuciones discretas de probabilidad). * Ejercicio b), 4.7 página 110. Cap itulo Cuatro(Algunas distribuciones discretas de probabilidad). Ejercicios de Distribución de probabilidad de Possion * Ejercicio a), 4.7 página 104. Capítulo Cuatro (Algunas distribuciones discretas de probabilidad). Ejercicios de Distribución de probabilidad Normal * Ejercicio a), 5.3 página 138. Capítulo Cinco (Algunas distribuciones continuas de probabilidad). 2. Montgomery, D. Runger, G (1996). Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería. : McGRAQ-HILL. Ejercicios de Distribución de probabilidad binomial * Ejercicio b), 3,62 página 130. Capítulo Tres (Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad discretas). Ejercicios de Distribución de probabilidad Geométrica * Ejercicio a) 3-71 página 138, Capítulo Tres (Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad discretas).

3. Walpole, R. Myers, R. Myers, S (1999). Probabilidad y estadística para ingenieros, 6a. ed.. México: PRENTICE-HALL HISPANOAMERICA, S.A. Ejercicios de Distribución de probabilidad Geométrica * Ejercicio b) 7. página 140, Capítulo Cinco (Algunas distribuciones de probabilidad discretas). Ejercicios de Distribución de probabilidad Normal * Ejercicio b) 7. página 158, Capítulo 6 (Algunas distribuciones continuas de probabilidad). 4. Weimer, R (2006). ESTADÍSTICA 1a. ed. en español. México: Compañia editorial contiental. Ejercicios de Distribución de probabilidad Normal * Ejercicio c) 9. página 321. Capítulo siete (Distribuciones Continuas). 5. Freund, J. & Walpole, R. (1990). Estadística matemáticas con aplicaciones 4a. ed.. México: PRETINCE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.. Ejercicios de Distribución de probabilidad Geométrica. * Ejercicio c) 24. página 205. Capítulo cinco (Distribuciones de probabilidad especiales). 6. M. en C. Jos Luis Hernndez Gonzlez (2003). DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD DE VA- RIABLES. Ejercicios de Distribución de probabilidad Hipergeométrica *Ejercicio a) 1. página 8. (Distribución Hipergeométrica)

7. Articulos obtenidos desde internet Ejercicios de Distribución de probabilidad de Poisson * Ejercicio b) Jeanpoul, (4 de Diciembre de 2004)EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMA- TICAS ONLINE Obtenido el 28 de Diciembre del 2011 desde http : //blogupiicsa.blogspot.com/2010/12/distribucion de poisson 0 4.html * Ejercicio c) Autor desconocido, (No especificada)distribucion DE POISSON Obtenido el 28 de Diciembre del 2011 desde http : //www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/ p rivate/05distr %20P oisson.htm